第十一章 立体几何初步（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版高一必修第四册

**基本信息** 本立体几何单元卷通过基础判断、空间推理及文化情境题，覆盖空间几何体、线面关系等核心知识，适配单元复习，强化直观想象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间几何体判断、异面直线成角|如第1题考圆锥截割，第7题结合《九章算术》“阳马”| |多选|3/18|面面关系、异面直线判定|如第9题辨析线面位置关系，体现推理能力| |填空|3/15|圆台侧面积、二面角|第12题球与圆台结合，考查空间模型构建| |解答|5/77|线面平行、体积计算|第19题综合线面垂直与外接球，层次分明|

第十一章 立体几何初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列说法中正确的个数是（    ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 4．已知线段的长为，且线段在平面上的射影长为，则直线与所成角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．在正三棱柱中，为的中点，则以下结论错误的是（   ） A．面 B． C．面 D．平面 7．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 8．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）已知两个不同的平面，两条不同的直线，若，则下列说法正确的是（   ） A．若与相交，则与相交 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A．① B．② C．③ D．④ 11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 13．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 14．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 16．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 17．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 18．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列说法中正确的个数是（    ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误； 根据圆锥的结构特征，显然②说法正确， 根据圆柱的定义可得③说法正确，故说法正确的有2个． 故选：C 2．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【详解】在矩形中，， 所以直观图还原得. 四边形为平行四边形，， ，所以，， 则. 所以，故原图形为菱形. 3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 4．已知线段的长为，且线段在平面上的射影长为，则直线与所成角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【详解】设直线与所成角为， 因为线段，且线段在平面上的射影长为， 故，所以. 故选：A 5．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 6．在正三棱柱中，为的中点，则以下结论错误的是（   ） A．面 B． C．面 D．平面 【答案】D 【详解】如图： 对A：因为为正三棱柱，所以平面平面，平面，所以面.故A正确； 对B：因为为正三棱柱，所以平面，平面，所以. 因为是正三角形，且为中点，所以. 平面，且，所以平面. 平面，所以.故B正确； 对C：连接和，相交于点，因为为正三棱柱，所以为中点， 又因为为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面.故C正确； 对D：假设平面，因为平面，所以. 这需要四边形是正方形才可以. 而条件中并无四边形是正方形，所以假设不成立，故D错误. 7．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 8．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知， 点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）已知两个不同的平面，两条不同的直线，若，则下列说法正确的是（   ） A．若与相交，则与相交 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，，且与相交，与相交，否则与平行或， 均可得或，与条件矛盾，故A正确： 对于B，因为，所以平面与平面没有公共点,又， 则直线与平面也没有公共点，根据线面平行的定义可知,故B正确； 对于C，直线可能平行，也可能异面，故C错误； 对于D，直线可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误． 故选：AB 10．（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【详解】图①中，直线；图②中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 图③中，连接（图略），，因此与共面； 图④中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 所以在图②④中，与异面． 故选：BD． 11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【答案】AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆，    如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 则圆台的母线长为， 所以可得圆台的侧面积为. 故答案为：. 13．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 14．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 【答案】 【详解】 在上任取一点并作平面，则即为直线与平面所成角的平面角． 过点作，，. 因为平面，平面，所以，. 又平面，，所以平面， 又平面，所以，同理. 又，，所以，所以. 又，所以，所以. 设，在中，；在中，. 在中，， 则. 即直线与平面所成角的正切值为. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在，证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）存在，当G为PA的中点，点D，C，E，G共面． 证明如下： 取PA的中点G，连接EG， 又∵点E是PB的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段PA上存在一点G，使得点D，C，E，G共面． （2）∵E为PB的中点，∴，则， ∵底面直角梯形中，，，ABAD，∴， 而PC⊥底面ABCD，且， ∴， 则三棱锥的体积为. 16．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 17．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 18．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 作，交于点，作，交于点，连接． 因为，所以．同理可得． 因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形，所以． 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记． 因为，所以，，即，分别为，的中点． 因为，，所以四边形为平行四边形，， 所以，平面即平面，延长，与的交点即为点． 因为，所以，解得． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）连接，如图所示，因为底面是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点，连接，如图所示，又是棱的中点，所以， 又底面是边长为2的正方形，是棱的中点，所以， ，所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （3）由（2）知平面，又平面平面平面，所以，所以， 取的中点，连接，则，所以或其补角为直线与所成的角. 因为四棱锥的所有顶点都在球的球面上， 所以球的半径， 所以球的表面积，解得. 记，连接，又平面平面， 所以，所以， 所以， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $