高中数学单元测试——第八章立体几何初步（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）下列命题正确的是 A．一条直线和一点确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．三条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】利用确定平面的条件即可依次判断出正误. 【详解】根据一条直线和直线外一点确定一个平面,知A不正确; B显然正确; C中四点不一定共面,或当四点在一条直线上时,不能确定一个平面,故C不正确; 三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故D不正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了确定平面的条件，需理解定理、定义，属于基础题. 3．（本题5分）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的几何性质，做出轴截面，求出圆台的高，根据台体体积公式求出结果. 【详解】 根据题意可知，圆台轴截面为等腰梯形，如图所示， 已知的上、下底面半径分别为2和4，母线长为，则, 则， 过作与,作与，则,所以, 在中根据勾股定理可得, 所以圆台体积. 故选：B. 4．（本题5分）轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（   ） A． B．3cm C． D．1cm 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为，利用建立方程，解之即得. 【详解】设圆锥的底面半径为，因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为，母线长为， 由题意，，即，解得. 故选：A. 5．（本题5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 6．（本题5分）如图，在外接球体积为的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，且交于点F，当截得的较小部分的几何体的体积为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体外接球体积可求出正方体棱长，然后结合图形和几何关系确定截面，根据较小几何体体积求出结果即可. 【详解】设正方体棱长为，则外接球半径为，所以，解得． 在上取一点，使得，连接，设， 由，可得平面为过，，三点的截面，． ，， 由题意知，整理为，解得或（舍），故． 故选：B． 7．（本题5分）在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意到，则、所成角，即为与所成角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】连接、，由题可得，又， 则四边形为平行四边形，则， 即，所成角，即为与所成角或其补角， 又由题可得，， 则. 因此，异面直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 8．（本题5分）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】AC 【分析】根据面面平行的性质判断A；根据线面之间的基本关系判断BCD. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：若，，则或或与相交，故B错误； C：若，，则，故C正确； D：若，，则或，故D错误. 故选：AC 10．（本题6分）三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，二面角的大小为，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面. B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为1 D．点形成的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断，位置，利用垂直关系证明为中点即可判断AC，再由体积公式判断B，根据为定长判断点轨迹为圆，即可判断D. 【详解】当P与球心O在平面ABC同侧时，如图，    设是的外心，是的外心， 则平面，平面， 又平面，平面， 所以，，又，平面, 所以平面，又平面， 所以，由，则是的中点， 所以，且，所以平面，所以四点共面， 所以是二面角的平面角，即， 因为，，所以，， 所以，即， 则是中点，如图，    显然，当P与球心O在平面ABC同侧时，直线与平面相交于，故A错误； ，故B正确； 由是中点，则，故C正确； 由，故点形成的轨迹是半径为的圆的一部分（与在同侧）， 当P与球心O在平面ABC同侧时，由对称性，轨迹可与P与球心O在平面ABC同侧时构成一个完整的圆， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD 11．（本题6分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【答案】BC 【分析】求出勒洛四面体被平面截得的截面面积判断选项；求出勒洛四面体内切球的半径判断选项． 【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得， 勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形， 弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图所示： 因此，截面面积为：，选项A错误，C正确； 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 正外接圆半径，正四面体的高， 设正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 因此，勒洛四面体内切球半径为，选项B正确； 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，选项D错误． 故选：BC． 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 四、填空题 13．（本题5分）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______.（，其中，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长.） 【答案】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】根据斜二测画法，还原平面图形，如图： 由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 故答案为： 14．（本题5分）如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.    【答案】/ 【分析】根据圆锥的侧面展开图、两点间直线距离最短以及余弦定理求得正确答案. 【详解】圆锥的底面半径为， 由于， 所以为钝角，且，所以. 圆锥的侧面展开图如图，    沿母线展开的圆锥的侧面展开图中弧所对的圆心角为， 连接，可得从到的最短路径长度为： . 故答案为： 五、解答题 15．（本题13分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件即可推出，即可判定线面平行； （2）由已知可得，三棱锥的高为，进而可根据三棱锥的体积公式求解得出. 【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以是的中位线，所以， 又平面EBD，平面EBD， 因此，平面EBD. （2）因为， 又平面，所以三棱锥的高为， ∴. 16．（本题15分）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可； （2）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据求解即可. 【详解】（1）因为，所以四点共面， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，故平面， 又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 又因为， 所以三棱锥的体积为. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（本题17分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． (1)求证：直线∥平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据线面垂直的判定定理可证. 【详解】（1）连接，因为，分别是棱、的中点， 则，，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，故直线∥平面． （2）直棱柱中，，则. 因为是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以. ，，平面，故直线平面． 19．（本题17分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）由可知平面得，，即为二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解； （3）连接交于O，过O作交于，连接，，进而得平面，由结合即可求解. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面 （2）由可知平面， ，平面，，， 为二面角的平面角， ，， ， 二面角的余弦值为 （3）连接交于O，过O作交于，连接， 由平面，平面，得平面 ，， 又，， 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（本题5分）下列命题正确的是 A．一条直线和一点确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．三条平行直线确定一个平面 3．（本题5分）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（   ） A． B．3cm C． D．1cm 5．（本题5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在外接球体积为的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，且交于点F，当截得的较小部分的几何体的体积为时，（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 10．（本题6分）三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，二面角的大小为，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面. B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为1 D．点形成的轨迹长度为 11．（本题6分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 四、填空题 13．（本题5分）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______.（，其中，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长.） 14．（本题5分）如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.    五、解答题 15．（本题13分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 16．（本题15分）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求三棱锥的体积． 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本题17分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． (1)求证：直线∥平面； (2)求证：直线平面． 19．（本题17分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $