辽宁朝阳市建平县实验中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

二模数学答案 1.D2.A3.A4.D5.D6.B 7.C 8.A 9.ACD10.AD11.ACD12.80 13. π4π 14.33 2a,+4d=14 15.【解析】(1)设等差数列an}的公差为d,由题意得 2a,+6d=20 解得 a=1 d=3 所以an=3n-2. (2)因为数列{b,-an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以bn-an=2”-. 从而bn=2"-+an=2"+3n-2, 所以5，=+2+22+42)+1+4+7++3n-2]=2-1+30 2 16.【答案】(1)r≈0.99，x与y之间高度线性相关； (2) X 80 150 210 ò 3-5 3 1 10 10 E(X)=114 【解析】(1)F= 1+2+3+4+5 =3,= 80+150+210+260+30 2=200, 5 5 2-00-)=1-3s0-201+2-10-20+13-3210-20 +(4-3)(260-200)+(5-3)(300-200)=550, ∑(x,-x)2=(1-3)+(2-3)}2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10, 2,-列=(80-20j2+150-2002+210-2012+260-2012+300-202=30600. 2x-0-列 i=1 550 ≈0.99(5分) √10×√30600 r接近1，∴变量x与y高度线性相关.(7分) (2)X表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为80,150,210， 从5个版据中任取3个，夫C=5X3=10种，9分) 3×2×1 X=80时，含80的组合数为CC:=1x6=6种，故PX=80)=6=, 105 X=150时，不含80，含150的组合数为CC=1x3=3种，故PX=150)= 10 10,不含80，不含150，含210的组合数为CC=1×1=1种，故P(X=210: X的分布列为： X 80 150 210 P 35 3 1 10 10 数学期望E(X)=80×3+150x3 210x=114.（15分) 0 10 17.【答案】(1)证明见解析 7V41 (2) 123 【详解】(1)因为A在底面ABC内的射影为O, 所以AO⊥平面ABC, 又BCc平面ABC,则AO⊥BC, 在斜三棱柱ABC-AB,C中， BCBC,BB,I∥AA, 又因为侧面BBCC为矩形， 所以BC⊥BB,因此BC⊥AA, 因为AA∩A,0=A1,AA,A,0C平面AAO, 所以BC⊥平面AAO,又AOC平面A4O,， 所以BC⊥AO,结合BCI∥B,C,得AO⊥B,C: (2)由(1)知BC,OA,OA两两垂直， 以O为原点，AO所在直线为y轴，BC平行x轴， AO所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 己知BC=20A=V20B, 设OA=1,则BC=2,0B=V2, Q因为A从与底面4BC所成角的余弦值为号 所以A4=3,0A=2√2， 则A01,0),A0,02√2），B(-1,-1,0),C1,-1,0), 在平面A4B中，AA=(0,-1,2V2),AB=(-1,-2,0), 设平面AAB的一个法向量为n,=(x,乃，3)， 则 A4n=0 -y+2V2z,=0 4B.n=0 -x1-2y1=0 令21=1，解得元=-4V2,2V2,1, 在平面C4B中，AB=（-1,-1,-22),AC=1,-1,-2W2) 设平面CAB的一个法向量为n2=(x2,y2,22), 则 4B.n2=0-x2-y2-2V2z2=0 4C.%=0x,-为2-2V22=0 令2=1，解得=(0-22,1， 又因为两个平面的夹角范围为 n'n2 所以cos0= 7741 V41.3123 A 【答案】1)上=1 44 (2)(i)证明见解析； (i)4 【解析】 【小问1详解】 由题意知C的渐近线方程为x±y=0, 设D(x,o),则x-=a2. 国0w0-,5.-号-2.-4服c- 二1 √222 44 【小问2详解】 (i)证明：由(1)，得A-2,0),B(2,0),设P(x,),Q(x2,y2),E(-1,t), 直线AP的斜率kp=片，直线AE的斜率kE=t. x+2 因为kD=kE,所以乃。=. x1+2 因为k=kp=当2，k3=k0=k6= x-2 3 因为父-上=1，所以=-4， 44 肥达食子比为定鱼喝 (ⅱ)解：若直线PQ的斜率为O,根据对称性，直线AP与直线BQ的交点E应在y轴上，不符合题意， 所以直线PQ的斜率不为0，又B,Q不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+nn≠2)· 联立{ -少=4得m2-y2+2m心+n-4=0, x=my+n, 由题意得m2-1≠0且△=4m2n2-4m2-1(n2-4>0,即4m2+n2-4>0, 由韦达定理，得y+,=-2m”， n2-4 m-'4=m-i 由(i)得kk=3 1 y y2 yiy2 x-2为-2(my+n-2m%+n-2m2y4+m(n-2y+,)+(n-2=3 n2-4 m2-1 1 所以 m2×n24 +m(n-2】 2mn m2-1 m2-1 +(n-22 3 化简，得n2-4 1 -(n-22 因为n≠2，所以”+2 1 1-23’解得n=4. 所以直线PQ的方程为x=my-4,因此直线PQ恒过点H-4,0), 所以当OH⊥PQ时，坐标原点O到直线PQ的距离取得最大值4. B 19.【答案】(1)p=± π23 (2)两个零点 (3)φ∈ 63 【解析】 【分析】(1)由偶函数的定理建立等式，求出p; (2)代入p=0,得到f(0)=0,写出f'(x,令h(x)=f'(x后在求导. 由fx)解析式可知当x≥π时，fx>0恒成立. 当0<x<π时，h'(x>0,得到f'(x)单调递增， 由二分法知道f'(x)=0在x1∈（0，π)存在唯一零点x=x· 由此知道函数f(x)的单调区间，再由二分法得到函数零点。 2 3x23时，x>0恒成立，所以当0≤x< 由f0)≥0，求出p的范围。 将p分为列x(祭引（受0 三个范围， 由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出φ的范围， 【小问1详解】 因为函数f(x)是偶函数，所以f(-x=f(x). 即3xr2-8sin-x+p)=3x2-8sinx+p）, 解得：0=±π 2 【小问2详解】 当p=0时，f(x)=3x2-8sinx. f(0)=0,f'(x)=6x-8cosx, 令h(x)=f'(x)=6x-8cosx,则h'(x)=6+8sinx. 当x2π时，f(x)>3π2-8>0， 当0<x<π时，h'(x=6+8sinx>0,f'(x单调递增， 又f'(0)=-8<0,f'(π=6π+8>0， 所以存在x∈（0，π)，使得f'(x)=0. x∈(0，x,)，f"(x)<0,f(x单调递减，xe(x,+o)，f'(x)>0,f(x单调递增， 而f(0)=0,f(x)<0,f()=3π2>0，所以在(x,)上存在一个零点. 综上，函数f(x)在0，+0)有两个零点. 【小问3详解】 当号，f>行-8>0：当05x号时，f0=-8s0≥0，则p00 (i)当p [- 2π时，x+p∈-元，0，sin(x+p)<0,f(y>0成立： (i)当p∈ 2_T 32 时， 则f'(x)=6.x-8cosx+p)>3π-8>0，f(x)单调递增， sin(x+p)<0,f(x>0成立； (m)当0（受0]时，若mx+o≤0，则之0废立 只要考虑sin(x+p)>0，此时令h(x)=f'(x=6x-8cos(x+p), 则h'(x)=6+8sin(x+p)>0,f'(x)递增，f'(0)=-8cos0<0,f' 3π+8sinp>0, 所以存在∈0,2 使得f'(x)=6x-8cosx,+p)=0, 若x∈(0，x),则f'(x<0,f(x)递减； 若x∈2 则f'(x)>0,f(x递增. 9 2V3 所以f≥f,=3G-8sin(x,+o)=3x-8V-6亏≥0，解得 3 o+o-之9 2 所以+9≤君从而≤-≤2 6 6 Γ63 若p=π，则函数fx)=3x2+8sinx, 当x∈[0，π时，f(x)≥0显然成立， 当x∈（π，+o)时，因为3x2>3π2>8，所以f(x>0恒成立，即0=π符合题意. -π2V3 建平实验中学2026届第二次模拟考试数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（ ） A． B． C． D． 5．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为，高为的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ） A．2 B．0.5 C．1 D．0.25 6．在中，内角A，B，C的对边分别为，，，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为．点为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知A，B，C，D是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列结论正确的是（ ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，的平均数为2，则，，，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10． D．随机变量服从正态分布，且，则 10．函数的部分图象如图所示．则（ ） A． B．图象关于轴对称 C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．4是的极大值点 B．当时， C．函数的图像是中心对称图形 D．当且时， 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．的展开式中的系数为________． 13．已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则________． 14．函数在内有最大值，没有最小值，则的取值范围是________． 四、解答题：（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 16．（15分）近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 1 2 3 4 5 在线用户数（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数，． 17．（15分）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． （1）求证：； （2）若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）已知双曲线的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且． （1）求的方程； （2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点． （ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求坐标原点到直线距离的最大值． 19．（17分）已知函数，其中． （1）若函数是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $