6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减法运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量正交分解、坐标表示及加减运算，通过回顾平面向量基本定理和基底搭建学习支架，结合重力分解实例引入正交分解，自然过渡到向量坐标表示，构建完整知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如重力分解），通过公式推导培养数学思维（推理能力），用坐标符号强化数学语言。小结归纳求坐标方法、共线条件口诀，学生易掌握，教师可借互动例题提升教学效率。

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 你还记得这些知识吗？ 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________. 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 1.平面向量基本定理 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_____向量的一个基底. 不共线　 所有　 2.基底 O 不共线的两个向量互相垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形. 你能联想到正交分解的例子吗? 一、正交分解 O ①平行于斜面使木块沿斜面下滑的力. ②垂直于斜面的压力. 正交分解的意义：在平面中，如果取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来极大的方便. 重力可以分解为两个分力： 想一想：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 取{i，j}作为基底，则有且只有一对实数x，y，使得 a＝xi+yj 二、向量的坐标表示 5 平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a＝（x，y）． ① 其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， ①叫做向量a的坐标表示． 说一说：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0） y x O x y 6 注意：向量的坐标与点的坐标的区别与联系 则终点A的坐标（x，y）就不是向量a的坐标． 若向量a的起点不是原点， 以原点O为起点作 ＝a， ＝xi+yj． 向量 的坐标（x，y）就是终点A的坐标； 终点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标． 说一说：向量a＝（2，3）表示什么？ 7 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 x y 4 5 3 例1 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们的坐标吗？ 试一试：已知，你能得出的坐标吗？ 与坐标间的加减类似！ 同理可得 结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的（差）． 9 1.已知求的坐标. 解： 10 如图，作向量，，则 想一想：如图，已知，，你能得出的坐标吗？ 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标． 2.已知则的坐标是（ ）. A. B. C. D. 3.已知向量，，则向量的坐标是（ ）. A. B. C. D. B C 末减初 点的坐标 向量的坐标表示 方法归纳： 例2.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 解法1：如图，设顶点的坐标为 因为 又 所以 即解得 所以顶点的坐标为 13 解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 议一议：你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？ 14 求平面向量坐标的方法 (1)若是分别与轴、轴同方向的单位向量，则当时，向量的坐标即为(). (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标. (3)求点的坐标一般转化为求向量的坐标.解题时，常常结合几何图形，有时需利用三角函数的定义和性质进行计算. 方法归纳： 1.已知，则点位于（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.不能确定 D A 2.若|a|＝ ，θ＝45°，则向量a的坐标为（ ） ＝i＋j＝(1，1). 3.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(－2，0)， ＝(2，－3)，求点D的坐标. 故点D的坐标为(6，1). 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 知识小结 平面向量加数乘运算的坐标表示 ①坐标表示：若平面向量的坐标为,为任意实数，则实数与向量的数乘运算坐标表示为 ②线性运算顺序：先数乘，后加减 典例分析 例1 已知向量 ，，求 的坐标。 【分析】先根据数乘向量的坐标运算规则，分别计算和 4的坐标，再将两个结果对应坐标相加，得到最终坐标。 解： 即时训练 1.填空 （1）若，则________，； （2）若，则，； 【分析】用实数 λ 分别乘以向量的横、纵坐标，得到新向量的坐标. 解：（1） ② （2）① ②（即零向量 ） 新知探究 探究二：向量共线的坐标表示 设，，，根据向量共线的基本充要条件，你能猜想出用坐标表示的条件吗？ 转化为坐标形式：； 列出方程组：； 消去实数，整理得 共线的充要条件是 推导过程：由 ()，得存在实数，使； 典例分析 例2 已知向量 ，，且 ，求 。 【分析】利用向量共线的坐标条件：若,则代入已知坐标，列出关于的方程，解方程即可求出. 解： 因为 ， 所以 解得 典例分析 例3 已知 , , , 判断 , , 三点之间的位置关系。 【分析】先求出由同一点出发的两个向量和利用向量共线的坐标条件判断最后结合两向量有公共点,即可证明三点共线。 解：在平面直角坐标系中作出 , , 三点. 观察图形，我们猜想 , , 三点共线.下面来证明。 因为 又 典例分析 又直线 ,直线有公共点 所以 点共线。 所以 ①构造向量：取三点中一点为公共点，作两个向量； ② 求坐标：计算两个向量的坐标； ③ 判共线：代入共线坐标条件，判断向量是否共线； ④ 下结论：若向量共线且有公共点，则三点共线。 三点共线的向量判定步骤 典例分析 例4 设 是线段 上的一点，点 , 的坐标分别是 , 。 (1) 当 是线段 的中点时，求点 的坐标； (2) 当 是线段 的一个三等分点时，求点 的坐标。 【分析】先利用向量关系，将点的位置向量用、的位置向量表示； 再根据中点或三等分点的比例关系，确定与的系数； 最后代入坐标，得到分点坐标公式。 解： (1)如图，由向量的线性运算可知 所以，点 的坐标是 。 典例分析 （2）如图，当点 是线段 的一个三等分点时，有两种情况，即 或 。 如果 ，那么 即点 的坐标是 . 即时训练 2.已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，， 因为 所以，解得. 所以 ， C 知识小结 向量共线的坐标表示 ①向量共线的坐标充要条件：若, () 则 记忆：交叉相乘，再相减，结果为 0 ②线段中点坐标公式： 题型1 由坐标判断向量是否共线 1.下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. D 题型2 由向量共线（平行）求参数 2.已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. D 故选D 题型3 由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 3.已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. D 题型4 平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 4.已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． D 解析　由题意，得a＝( )i＋( )j cos 45° sin 45° A.(1， 1) B.(－1，－1) C.(，) D.(－，－) 设点D的坐标为(x，y)，则 ＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)， 又因为＋＝，且＝(2，－3)， 所以(x－1，y－2)＝(5，－1)， 即解得 解析　因为A(1，2)，B(－2，0)， 所以＝(－3，－2)， $