6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示、6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 如果, 是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的_向量_实数,,使得 =_ 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对 若_,我们把{, }叫做表示这一平面内_向量的一个基底 不共线 所有 2. 基底 不共线 任一 M N O 【情境】我们在小时候都玩过“滑滑梯”,滑梯越高、越光滑,滑的速度越快, 如图是在光滑斜面上的一个木块,它受到了哪些力的作用?这些力之前有什么关系? 在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用?这些力之间有什么关系? 木块所受重力G可以分解为两个分力:平行于斜面使木块下滑的力F1垂直于斜面的压力F2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解 【问题】在平面直角坐标系中,每一个点可用一对有序实数(即它的坐标)表示,那么对平面直角坐标内的每一个向量,可否用实数对来表示?又如何表示呢? 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. O x y i j a 平面向量的坐标表示 a=(x,y), ① 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,①式叫做向量的坐标表示. 显然,i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0). 这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 O x y i j a 平面向量的坐标表示 向量与坐标的对应关系 y x A a y x O j i a (x,y) y O x a xi yj xi yj b 相等的向量坐标相同 向量a、b有什么关系? a=b 能说出向量b的坐标吗? b=( x,y ) i j 例3.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 x y 4 5 3 结论:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 已知向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),如何求a+b,a-b的坐标? 思考 例4.已知向量a=(2,1) ,b=(-3,4),求a+b,a-b的坐标. 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),你能得出的坐标吗? 思考 例5 已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分别为(-2,1)(-1,3)(3,4),求顶点D的坐标. A B C D O 解:设顶点D的坐标为(x,y) A B C D O 例5 已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分别为(-2,1)(-1,3)(3,4),求顶点D的坐标. 方法总结 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 平面向量坐标(线性)运算的方法 1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4, -3),则向量=( ) A.(-7,-4) B.(7, 4) C.(-1, 4) D.(1, 4) 从而=(-4, -2)-(3, 2)=(-7, -4). 设C(x,y), 则=(x, y-1)=(-4, -3), 所以 , A C O y x D B (A) 2.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标. 解析:如图,正三角形ABC的边长为2, 则顶点, 所以, 所以, , . $