广东省深圳市2025-2026学年八年级下学期期末数学中档题训练

**基本信息** 以中档题为主，整合几何变换、函数应用、代数变形等核心知识，通过阅读材料提炼配方法、换元法等解题技巧，形成“概念-方法-应用”的逻辑链条，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|15题（如旋转中心判定、平行四边形证明）|旋转中心：对应点中垂线交点；平行四边形：对边平行且相等判定|从图形变换（旋转、平移）到三角形性质，再到平行四边形判定，构建空间观念| |代数综合|8题（如一次函数不等式、因式分解）|一次函数不等式：图像交点横坐标；因式分解：公式法、配方法|从函数图像与不等式关系，到整式变形，提升运算能力| |数学方法应用|2题（配方法、换元法）|配方法补全平方差；换元法整体代换|通过阅读材料示例，形成从具体到一般的推理意识|

广东省深圳市2025-2026学年八下期末中档题训练 1 1.如图，线段AB绕一点旋转后得到线段A'B'，点A旋转到了点A′，则旋转中心为( ____ ) A.点C B.点D C.点E D.点F 【解析】解：分别作线段AA'，BB'的垂直平分线，相交于点D， B 2 ___ 可知线段AB绕点D顺时针旋转90°后得到线段A'B'， ∴旋转中心为点D． 故选：B． 3 2.若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是( ____ ) A.x＜0 B.x＜3 C.x＞3 D.x＞2 【解析】解：由图象可知，当x＞3时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象位于x轴下方，则不等式kx+b＜0的解集为：x＞3． 故选：C． C 4 3.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路(AB，AC，BC)的距离都相等，则油库的位置可以设计在( ____ ) A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点 【解析】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴油库的位置可以设计在△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． B 5 4.如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到△DEF，若∠BAD=30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为( ____ ) A.2 B. C. D. 【解析】解：过点B作BQ⊥CF于点Q，交AD于点P，则∠BQC=∠ B 6 BQF=90°， ∵△ABC是含45°的三角形，∠ABC=90°， ∴BC=AB， 由平移得AD∥BE∥CF，AD=BE=CF， ∴边BC扫过的面积为平行四边形BCFE的面积，边AB扫过的面积为平行四边形ABED的面积， ∵∠APB=∠BQF=90°， ∴BP⊥AD，∠BQC=∠APB， ∴S平行四边形BCFE=CF•BQ，S平行四边形ABED=AD•BP=CF•BP， 7 ∵∠QBC+∠ABP=90°，∠PAB+∠ABP=90°， ∴∠QBC=∠PAB， 在△QBC和△PAB中， ， ∴△QBC≌△PAB(AAS)， ∴BQ=AP， ∵∠APB=90°，∠BAD=30°， ∴AB=2BP， 8 ∴BQ=AP= = = BP， ∴ = = ， 故选：B． 9 5.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是( ____ ) A.(x+1)(x+2)=x2+3x+2 B.x2-4x+5=(x-2)2+1 C.x2-9=(x+3)(x-3) D.x2+5x+6=x(x+5)+6 【解析】解：(x+1)(x+2)=x2+3x+2是乘法运算，则A不符合题意， x2-4x+5=(x-2)2+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， x2-9=(x+3)(x-3)符合因式分解的定义，则C符合题意， x2+5x+6=x(x+5)+6中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：C． C 10 6.如图，一次函数y1=-x+b(b是常数)，与正比例函数y2=kx(k是常数，k≠0)的图象相交于点M(2，1)，则关于x的不等式kx＞x+b的解集是( ____ ) A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 【解析】解：不等式kx＞x+b对应的函数图象是直线y2在直线y1“上方”的那一部分，即点M的右侧，其对应的x的取值范围，构成该不等式的解集， A 11 所以，关于x的不等式kx＞x+b的解集是x＞2， 故选：A． 12 7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=∠C，BC边上一点E满足BE=AD，连接D，E．现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．若CE=2，DE=3，则点E到AB边的距离为( ____ ) A. B. B 13 C. D. 【解析】解：过D作DF⊥BC于F，如图： _____ ∵AD∥BC，BE=AD， ∴四边形ABED是平行四边形， 14 ∴AB∥ED，AB=DE=3， ∵AB=CD， ∴DE=CD=3， ∵DF⊥BC， ∴EF=CF= CE=1， ∴DF= = =2 ， ∴S△CDE= CE•DF= ×2×2 =2 ， ∵将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处， 15 ∴S△C'DE=2 ， 设点E到AB边的距离为h,由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h, ∴S△C'DE= DE•h= h, ∴ h=2 ， 解得h= ， 16 ∴点E到AB边的距离为 ； 故选：B． 17 二．填空题 18 8.如图所示，△ABC是直角三角形，其中∠B=30°，∠C=90°， ，D为线段AC上一点，作DE垂直AB于点E，当AD=2CD时，AE的值是 ____ ． 【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=90°-∠B=60°，BC= AC=6 ， ∴AC=6， ∵AD=2CD， ∴AD=4， ∵DE⊥AB， 2 19 ∴∠EDA=90°-∠BAC=30°， ∴AD=2AE=4， ∴AE=2， 故答案为：2． 20 9.关于x的方程 = 有增根，则m的值为 ____ ． 【解析】解： ， 去分母，得x-2=-m. 移项，得x=2-m. ∵关于x的方程 = 有增根， ∴2-m=1． 1 21 ∴m=1． 故答案为：1． 22 10.如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A=∠F=30°．若 ，则CE的长度为 ____ ． 【解析】解：∵∠BDF=90°，BD= ，∠F=30°， ∴BF=2BD=2 ， ∵△ABC≌△FBD， ∴BC=BD= ， ∴CF=BF-BC= ， 1 23 ∵∠FCE=90°， ∴EF=2CE， ∵CE2+CF2=EF2， ∴CE2+3=(2CE)2， ∴CE=1， 故答案为：1． 24 11.如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　　． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AD∥BC，OA=OC，OD=OB， ∴∠OAE=∠OCF， ∵S▱ABCD=7， ∴S△BOC=S△DOC=S△AOD=S△AOB= S▱ABCD= ， 25 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴S△AOE=S△COF， ∴S阴影=S△AOE=S△BOF=S△COF+S△BOF=S△BOC= ， 故答案为： ． 26 12.如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A-B-C-D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为 _________________ 度时，△BDE是等腰三角形． ________ 【解析】解：①当点E在CD的延长线上时，如图， 80或140或170 27 ______ ∵∠C=60°，∠CBD=80°， ∴∠CDB=180°-∠C+∠CBD=40°， ∴∠BDE=140°， ∵△BDE是等腰三角形， ∴BD=DE， 28 ∴∠BDE=∠BED= ， ∴∠ABC=∠C+∠BED=60°+20°=80°； ②当点E在线段CD上且BE=DE时，如图， _____ ∴∠BDE=∠EBD=40°， ∴∠CBE=80°-∠EBD=40°， 29 ∴∠ABC=180°-∠CBE=140°； ③当点E在线段CD上且DB=DE时，如图， ____ ∴∠DBE=∠EBD= ， ∴∠CBE=80°-∠EBD=10°， ∴∠ABC=180°-∠CBE=170°， 30 综上所述，当∠ABC为80°或140°或170°时，△BDE是等腰三角形， 故答案为：80或140或170． 31 13.已知关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ____ ． 【解析】解：原方程去分母得：-mx=2-2(x-1)， 整理得：-mx=4-2x, ∵原方程的增根为x=1， ∴-m=4-2， 解得：m=-2， 故答案为：-2． -2 32 三．解答题 33 14.如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D． (1)尺规作图：求作AB边上的高CE，垂足为点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的基础上，若两条高BD与CE相交于点O，求证：OB=OC． 【解析】(1)解：如图，CE即为所求． 34 ___ (2)证明：∵CE为AB边上的高， ∴∠BEC=90°． ∵BD⊥AC， ∴∠CDB=90°， ∴∠BEC=∠CDB． ∵AB=AC， 35 ∴∠EBC=∠DCB． ∵BC=CB， ∴△BCE≌△CBD(AAS)， ∴∠BCE=∠CBD， ∴OB=OC． 36 15.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，延长AO到点C，使得CO=AO．过点C作CD∥AB交BO的延长线于点D，连接AD，BC． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)已知OA=3，BC=10，求四边形ABCD的面积． 【解析】(1)证明：∵CD∥AB， ∴∠CDO=∠ABO， ∵CO=AO，∠DOC=∠BOA， ∴△CDO≌△ABO(AAS)， 37 ∴CD=AB， ∴四边形ABCD是平行四边形； (2)解：∵OC=OA=3， ∴AC=6， ∵∠CAB=90°，BC=10， ∴AB= = =8， ∴平行四边形ABCD的面积=AB•AC=48． 38 16.如图，在Rt△ABC中，点D为BC边上一点，将AC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处． (1)用无刻度的直尺和圆规作出直线AD与点E； (2)连接DE，若∠B=26°，求∠ADC的度数． 【解析】解：(1)如图，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，作∠BAC的平分线，交BC于点D，作直线AD， 则直线AD与点E即为所求． 39 ____ (2)在Rt△ABC中，∠B=26°， ∴∠BAC=64°． 由翻折可知，∠CAD=∠BAD= =32°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=58°． 40 17.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点． (1)从①BF=DE；②∠BCF=∠DAE；③AE=CF；中选择一个合适的条件： ____ (填序号即可)，使得四边形AECF是平行四边形，并说明理由； (2)当四边形AECF是平行四边形时，若AD⊥BD，AB=5，BC=3，EF=8，求点D到AF的距离． 【解析】解：(1)选择③AE=CF， 理由：如图1，作AM⊥EF于点M，CN⊥EF于点N，则∠AME=∠AMB=∠ ③ 41 CND=∠CNF=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABM=∠CDN， 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN(AAS)， ∴AM=CN， 42 在Rt△AME和Rt△CNF中， ， ∴Rt△AME≌Rt△CNF(HL)， ∴∠AEM=∠CFN， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 注：答案不唯一． (2)如图2，作DH⊥AF于点H，连接AC交EF于点O， ∵AD⊥BD，AB=5，BC=3，EF=8， 43 ∴∠ADB=90°，AD=BC=3， ∴BD= = =4， ∵四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形， ∴OF=OE= EF=4，OB=OD= BD=2， ∴BF=OF-OB=4-2=2， ∴DF=BD+BF=4+2=6， ∴AF= = =3 ， 44 ∵S△ADF= ×3 DH= ×3×6， ∴DH= ， ∴点D到AF的距离是 ． 45 18.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，且AD=AE．请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由． 【解析】解：BD=CE， 理由：∵AB=AC，AD=AE， ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED， ∴∠ADB=∠AEC， 在△ABD与△ACE中， 46 ， ∴△ABD≌△ACE(AAS)， ∴BD=CE． 47 19.如图，在▱ABCD中，AP⊥BD于点P．请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形． (1)某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 在BD上作DQ=BP．点Q即为所求． 过点C作CQ⊥BD于点Q．点Q即为所求． 作图痕迹 ______ _____ 48 我选择思路 ________ ，理由如下： (2)请你用不同于(1)中的尺规作图方法求作出点Q(保留作图痕迹，不写作法)，并说明作法的正确性． 【解析】解：(1)思路一：连接AC交BD于点O． ______ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵DQ=BP， ∴OP=OQ， 一或二 49 ∴四边形APCQ是平行四边形； 思路二：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABP=∠CDQ， ∵∠APB=∠CQD=90°， ∴△APB≌△CQD(AAS)， ∴PB=DQ， 由思路一可知四边形APCQ是平行四边形； 故答案为：一或二； (2)如图，四边形APCQ即为所求． 50 ______ 理由：∵OA=OC，OP=OQ， ∴四边形APCQ是平行四边形． 51 20.【阅读材料】 我们知道，多项式a2+2ab+b2可以因式分解为(a+b)2．当一个二次三项式(如a2+6a+8)不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： a2+6a+8=(a2+6a+9)-9+8 =(a+3)2-1 -[(a+3)+1][(a+3)-1] =(a+4)(a+2)． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： a2-2a-3=(a2-2a+① ____ )-② ____ -3=(a-1)2-4=[(a-1)+2][(a-1)-2]=(a+1)(a-3 1 1 52 )． a2-6a+5=a2-6a+③ ____ -④ ____ +5=(a-3)2-4=(a-1)(a-5)． (2)将下列各式因式分解： ①a2-4a+3= _______________ ； ②x2-2nx+n2-4． 【解析】(1)a2-2a-3 =(a2-2a+1)-1-3 =(a-1)2-4 =[(a-1)+2][(a-1)-2] =(a+1)(a-3)， 9 9 (a-1)(a-3) 53 a2-6a+5 =a2-6a+9-9+5 =(a-3)2-4 =(a-1)(a-5)， 故答案为：①1；②1；③9；④9； (2)①a2-4a+3 =a2-4a+4-4+3 =(a-2)2-1 =(a-2+1)(a-2-1) =(a-1)(a-3)， 故答案为：(a-1)(a-3)； 54 ②x2-2nx+n2-4 =(x-n)2-4 =(x-n+2)(x-n-2)． 55 21.已知平行四边形ABCD． (1)如图所示，请你用无刻度的直尺和圆规在CD边上找一个点F，使得点F到直线AD和直线AB的距离相等；(请保留作图痕迹，不写作法) (2)连接BF，若BF⊥CD，AD=5且BF=4，请你求出平行四边形ABCD的面积． 【解析】解：(1)如图，作∠BAD的平分线，交CD于点F， 则点F即为所求． 56 ______ (2)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB，AD=BC=5． ∴∠DFA=∠BAF． ∵点F到直线AD和AB的距离相等， ∴AF平分∠DAB， ∴∠DAF=∠FAB， ∴∠DAF=∠DFA， 57 ∴DA=DF=5． ∵BF⊥CD， ∴∠BFC=90°， 由勾股定理得，CF= =3， ∴DC=DF+CF=8． ∴平行四边形ABCD的面积为CD•BF=8×4=32． 58 22.先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1． 解：将“x+y”看成整体，设x+y=m,则原式=m2+2m+1=(m+1)2． 再将x+y=m代入，得原式=(x+y+1)2． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替(即“换元”)，这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设x2-2x=y. 59 原式=(　　)(　　)+4 =y2+2y+1 =(　　)2 将x2-2x=y代入，得原式=(x2-2x+1)2=　　． (2)请你用“换元法”对多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解． 【解析】解：(1)设x2-2x=y, 原式=(y-1)(y+3)+4 =y2+2y+1=(y+1)2， 将x2-2x=y代入， 得原式=(x2-2x+1)2 60 =(x-1)4； 故答案为：y-1，y+3，y+1，(x-1)4； (2)设x2+6x=y, 原式=y(y+18)+81 =y2+18y+81 =(y+9)2， 把x2+6x=y代入， 原式=(x2+6x+9)2=(x+3)4． 61 23.如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)在(1)的条件下，如图2，若F为AB边上一点，E为BC边上的中点，连结DF，EF，DE，若∠DEF=90°，证明DF=AF+2BF； (3)在(1)的条件下，若F为AB边上的中点，E为BC边上的一点，连结DF，EF，DE，若∠DFE=90°，请直接写出线段BE，CE，ED之间的数量关系． 62 ________ 【解析】(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°， ∵∠A=∠C， ∴∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形； (2)证明：延长FE，交DC延长线于点G，如图， 63 ___ ∵AB∥CD， ∴∠B=∠ECG， ∵BE=CE，∠BEF=∠CEG， ∴△BEF≌△CEG(ASA)， ∴EF=EG，BF=CG， 64 ∵∠DEF=90°， ∴DE⊥FG， ∴DF=DG， ∴DF=DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF， ∴DF=AF+2BF； (3)解：DE=CE+2BE， 理由：延长EF交DA的延长线于H， _____ 65 ∵AD∥BC， ∴∠HAF=∠B， ∵F为AB边上的中点， ∴AF=BF， ∵∠AFH=∠BFE， ∴△AFH≌△BFE(ASA)， ∴AH=BE，FH=FE， ∵∠DFE=90°， ∴DH=DE， ∵AD=BC=BE+CE， ∴DE=DH=AH+AD=BE+BE+CE=CE+2BE． 66 24.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD=DE，连接AE． (1)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)若AC平分∠BAE，AC=8，AE=6，求平行四边形ABDE的面积． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵延长CD至点E，使CD=DE， ∴AB∥DE，AB=DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； 67 (2)解：如图，连接OE， ___ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC= AC= ×8=4，OB=OD，AB=CD， 在△AOB和△COD中， 68 ， ∴△AOB≌△COD(SSS)， ∴S△AOB=S△COD， ∴S平行四边形ABDE=S△ACE， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC=∠EAC， ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ECA， 69 ∴∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE=6， ∴OE⊥AC， ∴∠AOE=90°， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE= = =2 ， ∴S△ACE= AC•OE= ×8×2 =8 ， ∴平行四边形ABDE的面积为8 ． 70 25.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在OB，OD上． (1)下列条件：①BE=DF；②AF∥CE；③∠AEB=∠CFD，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程； (2)若四边形AECF是平行四边形，∠ADB=30°，AE⊥BD，垂足为点E，AD=4， ，求▱AECF的面积． 【解析】解：(1)选①．证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， 71 ∴AO=CO，BO=DO， ∵BE=DF， ∴BO+BE=DO+DF， 即EO=FO， ∵EO=FO，AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形； 选②．证明如下： ∵CE∥AF， ∴∠AFE=∠CEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB，∠ADB=∠CBD， 72 ∴180°-∠ADB=180°-∠CBD， 即∠ADF=∠CBE， ∴△ADF≌△CBE(AAS)， ∴AF=CE， ∵AF=CE，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； 选③．证明如下： ∵∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， 73 ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形； (2)∵∠ADB=30°，AE⊥BD，AD=4， ∴AE= AD=2， ∴DE= =2 ， ∴EF=DE-DF=2 - = ， 74 ∴S△AEF= AE•EF= ×2× ， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE=CF，AE∥CF， ∴CF⊥BD， ∴S△AEF=S△CEF， ∴▱AECF的面积=S△AEF+S△CEF= + =2 ． 75 $ 广东省深圳市2025-2026学年八下期末中档题训练 1．如图，线段AB绕一点旋转后得到线段A'B'，点A旋转到了点A′，则旋转中心为（　　） A．点C B．点D C．点E D．点F 2．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞2 3．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（AB，AC，BC）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点 4．如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到△DEF，若∠BAD＝30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　） A．2 B． C． D． 5．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2 B．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x2+5x+6＝x（x+5）+6 6．如图，一次函数y1＝﹣x+b（b是常数），与正比例函数y2＝kx（k是常数，k≠0）的图象相交于点M（2，1），则关于x的不等式kx＞x+b的解集是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，BC边上一点E满足BE＝AD，连接D，E．现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．若CE＝2，DE＝3，则点E到AB边的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，△ABC是直角三角形，其中∠B＝30°，∠C＝90°，，D为线段AC上一点，作DE垂直AB于点E，当AD＝2CD时，AE的值是　 　 ． 9．关于x的方程有增根，则m的值为 　 　 ． 10．如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为　 　 ． 11．如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　 　 ． 12．如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A﹣B﹣C﹣D，∠C＝60°，连接BD，∠CBD＝80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为 　 　 度时，△BDE是等腰三角形． 13．已知关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　 ． 三．解答题（共12小题） 14．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D． （1）尺规作图：求作AB边上的高CE，垂足为点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若两条高BD与CE相交于点O，求证：OB＝OC． 15．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，延长AO到点C，使得CO＝AO．过点C作CD∥AB交BO的延长线于点D，连接AD，BC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）已知OA＝3，BC＝10，求四边形ABCD的面积． 16．如图，在Rt△ABC中，点D为BC边上一点，将AC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处． （1）用无刻度的直尺和圆规作出直线AD与点E； （2）连接DE，若∠B＝26°，求∠ADC的度数． 17．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点． （1）从①BF＝DE；②∠BCF＝∠DAE；③AE＝CF；中选择一个合适的条件： 　 　 （填序号即可），使得四边形AECF是平行四边形，并说明理由； （2）当四边形AECF是平行四边形时，若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，EF＝8，求点D到AF的距离． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，且AD＝AE．请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由． 19．如图，在▱ABCD中，AP⊥BD于点P．请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形． （1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 在BD上作DQ＝BP．点Q即为所求． 过点C作CQ⊥BD于点Q．点Q即为所求． 作图痕迹 我选择思路 　 　 ，理由如下： （2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点Q（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． 20．【阅读材料】 我们知道，多项式a2+2ab+b2可以因式分解为（a+b）2．当一个二次三项式（如a2+6a+8）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： a2+6a+8＝（a2+6a+9）﹣9+8 ＝（a+3）2﹣1 ﹣[（a+3）+1][（a+3）﹣1] ＝（a+4）（a+2）． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： （1）填空： a2﹣2a﹣3＝（a2﹣2a+①　 　 ）﹣②　 　 ﹣3＝（a﹣1）2﹣4＝[（a﹣1）+2][（a﹣1）﹣2]＝（a+1）（a﹣3）． a2﹣6a+5＝a2﹣6a+③　 　 ﹣④　 　 +5＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣1）（a﹣5）． （2）将下列各式因式分解： ①a2﹣4a+3＝ 　 　 ； ②x2﹣2nx+n2﹣4． 21．已知平行四边形ABCD． （1）如图所示，请你用无刻度的直尺和圆规在CD边上找一个点F，使得点F到直线AD和直线AB的距离相等；（请保留作图痕迹，不写作法） （2）连接BF，若BF⊥CD，AD＝5且BF＝4，请你求出平行四边形ABCD的面积． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． （1）下面是小明同学用“换元法”对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设x2﹣2x＝y． 原式＝（　 　 ）（　 　 ）+4 ＝y2+2y+1 ＝（　 　 ）2 将x2﹣2x＝y代入，得原式＝（x2﹣2x+1）2＝　 　 ． （2）请你用“换元法”对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 23．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若F为AB边上一点，E为BC边上的中点，连结DF，EF，DE，若∠DEF＝90°，证明DF＝AF+2BF； （3）在（1）的条件下，若F为AB边上的中点，E为BC边上的一点，连结DF，EF，DE，若∠DFE＝90°，请直接写出线段BE，CE，ED之间的数量关系． 24．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求平行四边形ABDE的面积． 25．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在OB，OD上． （1）下列条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③∠AEB＝∠CFD，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形AECF是平行四边形，∠ADB＝30°，AE⊥BD，垂足为点E，AD＝4，，求▱AECF的面积． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/19 20:21:20；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $