期末复习专题04 正、余弦定理的应用【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题04 正、余弦定理的应用 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 考点一 利用正、余弦定理解三角形 考点二 正、余弦定理边角互化的应用 考点三 三角形面积公式的应用 考点四 利用正、余弦定理判断三角形解的个数 考点五 利用正、余弦定理判断三角形的形状 考点六 正、余弦定理的应用 考点一 利用正、余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，已知，，，则______________． 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 考点二 正、余弦定理边角互化的应用 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 6．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 7．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则______. 考点三 三角形面积公式的应用 11．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 12．（25-26高一下·江苏无锡·期中）记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 13．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________． 14．（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 15．（2026·湖南岳阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 16．（2026·北京·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 考点四 利用正、余弦定理判断三角形解的个数 17．（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．（25-26高一下·四川内江·期中）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若，且，为的内心，则的面积为 19．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 20．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 21．（25-26高一下·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（   ） A．2 B． C． D．3 考点五 利用正、余弦定理判断三角形的形状 23．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 24．（25-26高一下·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 25．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 26．（25-26高一下·江苏宿迁·阶段检测）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 27．（25-26高一下·江苏镇江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 28．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 考点六 正、余弦定理的应用 29．（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 30．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 31．（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 33．（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 34．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．（25-26高一下·北京·期中）在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 7．（25-26高一下·江苏·期中）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若为斜三角形，则 8．（25-26高一下·广东佛山·期中）（多选）在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 9．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）（多选）在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 10．（24-25高一下·全国·单元测试）（多选）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 11．（25-26高一下·新疆喀什·期中）（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆半径为8 B．若，则为钝角三角形 C．若，则 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 12．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，则___________． 13．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 14．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，若，判断三角形的形状______. 15．（25-26高一下·山东济宁·期中）某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 16．（25-26高一下·江苏扬州·期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正、余弦定理的应用 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 考点一 利用正、余弦定理解三角形 考点二 正、余弦定理边角互化的应用 考点三 三角形面积公式的应用 考点四 利用正、余弦定理判断三角形解的个数 考点五 利用正、余弦定理判断三角形的形状 考点六 正、余弦定理的应用 考点一 利用正、余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】设，由余弦定理得： . 代入已知条件： . 化简计算，整理得. 解得或（边长为正，舍去负根），故. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得，，则. 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，已知，，，则______________． 【答案】 【详解】由正弦定理得：， 因为，，所以，所以 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 考点二 正、余弦定理边角互化的应用 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【答案】1 【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c. 【详解】根据余弦定理得：， 即，整理得， 即，因为，所以. 6．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 【答案】2 【详解】由得， 所以，所以，所以. 7．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 9．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理边化角计算即可. 【详解】由正弦定理， 由边化角得. 10．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则______. 【答案】 【分析】由余弦定理变形得，所以，代入，并利用二倍角公式，诱导公式变为同名函数，再利用三角函数性质得出结论. 【详解】因为，所以，两边同乘以得， 又由余弦定理得，所以， 所以，所以， 因为，所以 即， 显然不可能为钝角，否则 ，，不可能相等， 同样不可能等于， 所以为锐角，所以，所以. 考点三 三角形面积公式的应用 11．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由及余弦定理，得， 则，所以的面积为. 12．（25-26高一下·江苏无锡·期中）记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【答案】/0.5 【分析】由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】， 由正弦定理， ，代入上式得： ，所以， 又，，所以，所以. 13．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________． 【答案】 【分析】结合余弦定理与三角形面积公式，化简求得的值，结合三角形内角的取值范围确定角. 【详解】在中，根据余弦定理可得：. 已知的面积. 将上式代入得：. 又由三角形面积公式得，因此. 由于，故，两边同除以整理得：. 即，因为为三角形内角，所以，因此. 14．（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 所以， 由于， 所以为钝角，故， 所以， 所以. 15．（2026·湖南岳阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】由面积公式，解得． 由余弦定理，代入，得，即． 于是，所以． 16．（2026·北京·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 考点四 利用正、余弦定理判断三角形解的个数 17．（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项． 【详解】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 18．（25-26高一下·四川内江·期中）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若，且，为的内心，则的面积为 【答案】BCD 【分析】借助余弦定理将角化为边计算可得；对A：由可得，再利用正弦定理与圆的面积公式计算即可得；对B：由正弦定理结合有两解，可得，解出即可得；对C：借助正弦定理可得，结合锐角三角形性质可求出的范围，即可得解；对D：借助三角形内角关系及三角恒等变换公式计算可得，从而可得该三角形各角及边长，再利用等面积法可得内切圆的半径，即可得解. 【详解】由和余弦定理，可得， 化简得，解得； 对A：因为，，所以， 设的外接圆的半径为，由正弦定理，，所以， 所以的外接圆的面积为，A不正确； 对B：由正弦定理可得， 有两解等价于有两个不同值，所以，解得，B正确； 对C：因为，所以， 整理得， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以，所以c的取值范围为，C正确； 对D：因为，，所以， 则，解得， 由于为锐角，所以，即； 因为，则、， 设内切圆的半径为，则， 即，解得， 所以，D正确. 19．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理及有两解， 得且，解得， 所以所求的取值范围是. 20．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据判断即可. 【详解】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 21．（25-26高一下·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 22．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】已知，，根据正弦定理， 可得， 要使三角形有两个解，需满足：且， 即：，解得：. 时，满足条件，有两解. 考点五 利用正、余弦定理判断三角形的形状 23．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 24．（25-26高一下·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边长比值，通过余弦定理得到最大角的余弦值 大于，进而判断三角形为锐角三角形 【详解】由正弦定理可得，则，， 因此根据余弦定理，即， 而由可知，三角形为锐角三角形. 25．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 26．（25-26高一下·江苏宿迁·阶段检测）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 27．（25-26高一下·江苏镇江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】A. 由，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据为锐角三角形，得到，即，再利用在上的单调性判断. 【详解】A. 由，得，即 ，又 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，则 ，即 ，由大角对大边得，故错误； B. 因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确； C. 由得， ，化简得，因为， 所以，则，所以为直角三角形，故正确； D. 因为为锐角三角形，则，所以， 因为在上递增，则，故正确； 28．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状. 【详解】若，得， 由正弦定理可得， 化简可得，即， 利用辅助角公式可得， 即， 所以或，或者（舍）， 所以一定是直角三角形. 考点六 正、余弦定理的应用 29．（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 30．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】A 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 31．（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 32．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 【答案】27 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案． 【详解】因为米，， 所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 33．（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 34．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出乙船12分钟的航行距离得到乙船速度，再建立方程判断是否存在时间使两船相遇，从而得到正确结论. 【详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在中 ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是中点，由向量的中点公式可得：， 将上式两边平方得： . 已知，，且，代入得： ， 对两边开平方得：. 2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理角化边得，即， 故．因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 3．（25-26高一下·北京·期中）在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】A 【详解】因为， 所以设，则， 所以 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得出的值，分析可知为锐角，再利用同角三角函数的基本关系可得出的值. 【详解】因为，，由正弦定理得，故， 由题意可知，则，故为锐角，所以. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 6．（25-26高一下·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 7．（25-26高一下·江苏·期中）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若为斜三角形，则 【答案】BCD 【分析】A.由，利用正弦定理得到，再利用二倍角的正弦公式化简判断；B.由，利用大角对大边得到，再利用正弦定理判断；C.由为锐角三角形，得到，，得到，再利用正弦函数的单调性判断；D.在中，由，得到，两边取正切，再利用两角和的正切公式化简判断. 【详解】A. 若，则，即， 则 或，即或， 所以一定是等腰三角形或直角三角形，错误； B.若，则，由正弦定理得， 所以，则，即，正确； C. 若为锐角三角形，则，因为，所以， 则，因为在上递增，所以， 即，正确； D.在中，，则，所以， 因为为斜三角形，所以都有意义，所以， 因为，所以， 即， 即，正确. 8．（25-26高一下·广东佛山·期中）（多选）在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 【答案】ABD 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得，，再结合正弦定理逐项判断即可. 【详解】由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 9．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）（多选）在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据正弦函数单调性分析判断；对于C：利用余弦定理运算求解. 【详解】对于选项A：例如，，满足， 但此时不是直角三角形，故A错误； 对于选项B：因为为锐角三角形，则，即，， 且，则，， 又因为在内单调递增， 则，， 两式相加得 ，故B正确； 选项C：由余弦定理得，即， 整理可得，解得， 所以符合条件的三角形有两个，故C正确； 对于选项D：例如，满足， 但不是等腰直角三角形，故D错误. 10．（24-25高一下·全国·单元测试）（多选）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【分析】根据三角形的边角关系可得是正三角形，进而根据余弦定理可得，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD. 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 11．（25-26高一下·新疆喀什·期中）（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆半径为8 B．若，则为钝角三角形 C．若，则 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B、C. 【详解】对于A，由知，所以的外接圆半径为，故A错误； 对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对于C，由可得，即， 又，所以，故C正确； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确． 12．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，则___________． 【答案】2 【分析】先利用三角形内角和定理求出角，再结合正弦定理求解的长度。 【详解】. 根据正弦定理，. 13．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【分析】借助正弦定理计算可得，再由圆的面积公式即可得. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 14．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，若，判断三角形的形状______. 【答案】等腰三角形 【分析】由余弦定理化简可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得，所以，化简得， 所以是等腰三角形. 15．（25-26高一下·山东济宁·期中）某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 【答案】 【详解】设塔高米， 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，已知，， 由余弦定理得， 得， 化简得，解得 或（舍去）， 即塔高为米. 16．（25-26高一下·江苏扬州·期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 【答案】6 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $