专题04 空间直线、平面的平行（五大题型训练）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间平行关系，以5类题型构建从概念应用到判定证明再到性质拓展的逻辑体系，精选正方体、棱柱等载体，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等角的应用|4题|考查异面直线所成角的概念及计算|空间角概念为线面平行铺垫基础| |证明线面平行|5题|结合中点、平行四边形证线线平行得线面平行|线面平行判定定理的直接应用| |线面平行的性质|5题|已知线面平行反推线线平行或确定点位置|性质定理与判定定理的双向应用| |证明面面平行|4题|通过证两条相交直线平行证面面平行|线面平行到面面平行的递进推导| |面面平行性质应用|5题|利用面面平行证线线平行或求参数|性质定理在综合问题中的拓展应用|

专题04 空间直线、平面的平行 【题型1 等角的应用】 【题型2 证明线面平行】 【题型3 线面平行的性质】 【题型4 证明面面平行】 【题型5 面面平行性质定理的应用】 【题型1 等角的应用】 1．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得 或 ． 2．两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是. 故选：B. 3．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 4．空间中两个角和，若，则的大小是______ 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 【题型2 证明线面平行】 5．如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 6．如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 7．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 8．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【详解】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 9．已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． (1)求证：平面MBC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设为中点，连接，根据已知得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）应用等体积法及已知、棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】（1）设为中点，连接，又O为线段的中点，则且， 由M为棱的中点，则且， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面MBC，平面MBC，则平面MBC； （2）由，则且为直角三角形， 所以三棱锥的高为，故. 【题型3 线面平行的性质】 10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)点M为的中点 【分析】（1）取的中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设过三点的平面与交于点N，连接，由线面平行的性质证明出四边形为平行四边形，即可证明点M为的中点． 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且 ， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且 ，所以， 且，所以点M为的中点．    11．如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 为的中点，且平面平面， 平面，平面， ， 为的中点，即实数的值为． 12．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【详解】（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 13．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【题型4 证明面面平行】 14．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据线面平行的性质，即可证明； （3）根据几何体特征，可求得正四棱锥的高为，再根据锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． （2）因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （3） 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以， 又， 所以四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积． 15．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 16．如图，在长方体中，． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立； （2）根据锥体体积公式求得正确答案. 【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且， 所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形； 因此，； 又平面，平面；平面，平面； 所以平面；平面； 又平面，平面，， 所以平面平面； （2）过作，垂足为， 在长方体中，平面， 因为平面，所以， 由于平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 解得，所以四棱锥的高为， 所以. 17．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，平面，来证明面面平行； （2）先证明异面直线与所成角为（或其补角），再在中计算即可. 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 【题型5 面面平行性质定理的应用】 18．如图，空间六面体中，，平面 平面为正方形，求证： ； 【答案】证明见解析 【分析】根据题意证明平面 平面，结合面面平行的性质分析证明. 【详解】因为 平面平面， 所以 平面. 又因为为正方形，则 ， 且平面平面，可得 平面. 平面平面， 所以平面 平面. 且平面平面，平面平面， 所以 . 19．如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质证得线线平行，进而证得三角形相似，再利用相似三角形性质求出面积. 【详解】由，则，所在平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，， 同理，， 因此 ，它们的面积之比为， 又的面积为， 所以的面积为. 20．如图，直三棱柱中，且平面 平面.求实数的值. 【答案】 【分析】连接交于点，利用面面平行的性质得到 ，得到，再结合条件，利用面面平行的性质得 ，结合正方体的性质得 ，从而有，即可求解. 【详解】连接交于点，则为的中点，连接， 因为平面 平面， 平面平面， 平面平面， 所以 所以为的中点，所以， 因为平面 平面， 平面平面， 平面平面， 所以 ，又 ， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 故. 21．如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，得到平面，从而，设，由求解； （2）取线段AB的中点F，连接EF，FD，论证平面平面即可. 【详解】（1）解：因为平面，即平面， 又平面，所以, 设，则， 又，解得； （2）如图所示： 取线段AB的中点F，连接EF，FD， 因为E，D为中点， 所以，， 又平面，平面， 所以平面， 又，所以，同理平面， 又， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. 22．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证平面，平面，可得平面平面，结合面面平行的性质分析证明即可得. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为都是所在棱的中点，则，， 所以，且平面，平面，所以平面． 因为分别是和的中点，则，， 可得，，可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题04空间直线、平面的平行 题型归纳 【题型1等角的应用】 【题型2证明线面平行】 【题型3线面平行的性质】 【题型4证明面面平行】 【题型5面面平行性质定理的应用】 题型训练 【题型1等角的应用】 1.若AB/∥AB,BC/BC,且∠ABC=45·,则∠ABC等于() A.450 B.135° C.45°或135° D.不能确定 2.两条异面直线所成角的范围是() A.[0,] B.(0,] c.[0,r] D.(0,π) 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与AB1所成的角为() A.30° B.45 C.60° D.90 4.空间中两个角∠ABC和∠A1B1C1,若AB//A1B1BC//B1C1∠ABC=30°，则 ∠A1B1C1的大小是 【题型2证明线面平行】 5.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，AA=2.E、F、G分别为CD、CC1、BB1中 点。 (1)求三棱锥C-BEF的表面积； (2)求证：DG//平面BEF. 6.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，AB⊥AC,AB=4,AC=4V5,AA1=4V6 ,点E,F分别为棱BC,AB的中点. A C B A B (1)证明：直线EF//平面AA1C1C; (2)求异面直线EF与B1C1所成的角的大小. 7.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF‖AB, FG‖BC,EG‖AC,AB=2EF,M是线段AD的中点，求证：GM/平面ABFE B 2 8.四棱锥P一ABCD的底面为平行四边形，E为PD中点，证明：PB/平面ACE D E 9.己知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=2AB=2AC=2,AB L AC,M为棱A1A的 中点，O为线段C1B的中点. C A B M O C B (1)求证：A1O//平面MBC: (2)求三棱锥0-MBC的体积. 【题型3线面平行的性质】 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E,M分别在棱AB,PC上，其 中E是AB的中点，连接ME 3 M D-- (1)若M为PC的中点，求证：ME//平面PAD: (2)若ME//平面PAD,求点M的位置， 11.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，AC1BC,AC=2,且BC=CC1=1,点D在 线段BC1(含端点)上运动，设入=熙.当AB/∥平面A1CD时，求实数7的值. C 12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为A1B1,A1D1的中点. D C A B B (1)求五面体ABD-AEF的体积； (2)若P在线段A1C1上，CP//平面BDEF,求C1P的长度. 13.如图所示，正方体ABCD-ABCD'的棱长为2，E,F分别为AB,BC的中点，点G满 足BG=BB D' E B' G D人 M (1)若=专，证明：EG/平面DAC: (2)连接BD,点M在线段BD上，且满足DM∥平面EFG.当入E[支，1]时，求DM长 度的取值范围。 【题型4证明面面平行】 14.如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的 中点，设平面PAD与平面PBC的交线为！， D (1)求证：平面MNQ//平面PAD: 5 (2)求证：BC//1; 3)若PA=5,AB=4V2,求四棱锥P-ABCD的体积. 15.由正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示，0为 AC与BD的交点. B (1)求证：A10//平面B1CD1: (2)求证：平面A1BD//平面B1CD1 16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=CC1=1. D B (1)求证：平面AB1D//平面BDC1: (2)求四棱锥A-BDD1B1的体积. 6 17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB,A1B1的中点。 B B (1)证明：平面BC1E//平面A1DC; (2)若三棱柱ABC-A1B:C1为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线A1D与BC1所成角 的正弦值. 【题型5面面平行性质定理的应用】 18.如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD//BC,EH//FG,平面ABCD//平面 EFGH,CDHG为正方形，求证：AE//BF; H G E B 7 19.如图所示，平面c//平面B,△ABC,△ABC分别在a,B内，线段AA,BB, CC共点于0,0在平面a和平面B之间，若AB=2,AC=2,∠BAC=60°， OA:OA=3:2,求△ABC的面积. B B 20.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD1=A1CA币=AC(uE(0,1))且平 面AB1D1/平面BDC1.求实数入，u的值 B E B 21.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D,E分别是BC, AB1的中点. C E B D (1)若C1D⊥平面ADE,求BB1长度； (2)证明：DE//平面ACC1A1; 22.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E,F分别为棱BC,BBCC1的中点.证明： AF/平面ADE. E B 9