期末复习专题01 平面向量概念和线性运算讲义【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题01平面向量概念和线性运算 知识清单 一、向量的概念及几何表示 1.向量的概念 ()向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度· 以A为起点、B为终点的有向线段记作AB,线段AB的长度叫做有向线段AB的长度，记作 AB· (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量 的方向 ②字母表示：向量可以用字母，b,c,表示（印刷用黑体a,b,c,书写时用a,b,c) 【注意】(1)书写向量时带箭头， (2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来 表示 二、向量的模、零向量和单位向量 向量的模 向量A的大小称为向量AB的长度（或称模），记作AB 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 【注意】零向量不能说没有方向，它的方向是任意的 三、相等向量和共线向量 方向相同或相反的非零向量；向量a与b平行，记作ab,规定：零向 平行向量（共线向量） 量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a=b 【注意】共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的共线平行”不同 四、向量加法 1/14 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量加法的三角形法测 己知非零向量，b,在平面内取任意一点A,作AB=a,B元=b,则向量AC叫做a与b的和，记 作a十b,即a十b=AB+B元=AC·这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 【注意】运用向量加法的三角形法则作图时要首尾相接，再首尾连” 3.向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作e OACB,则以O为起点的向量O元(OC 是。OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边 形法则. B a+b a 【注意】平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和 共线向量的加法与向量加法的运算律 1.a十b与d,b之间的关系 一般地，我们有a十b≤a+b1，,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量 时，等号成立. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b=b+a (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 3.对于零向量与任意向量a,规定0十a=十0=a. 4.相反向量 (I)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作一a· (2)性质：①-(-a)=a. ②对于相反向量有：a十（一）=（一）+a=0. ③若a,b互为相反向量，则a=-一b,b=一a,a十b=0· 【注意】相反向量与相等向量一样，从长度”和“方向两方面进行定义，相反向量必为平行向量 五、向量减法的几何意义 2/14 已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OA=a,0=b,则BA=a一b.即a一b可以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义， 0a之A a b ba-b B 【注意】两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点 六、向量的数乘运算 一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，其长度 与方向规定如下： (1)2d=2d. (当入>0时，与a的方向相同； (2a(a0)的方向 当入<0时，与a的方向相反. 特别地，当=0时，1a=0. 当2=-1时，(-1)a=-a. 【注意】(1)数乘向量仍是向量 (2)实数入与向量不能相加 七、向量的线性运算 1.数乘运算的运算律 设元，u为实数，那么 (1)2(ud=(2)a· (2)(2+)a=a十ua· (3)2(a+b)=1a+b· 特别地，(-)a=一(10=（一d,(a一b)=1a-b. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，b,以及任意实数入，山1,2， 恒有(41仕2b)=1仕入u2b. 向量共线定理 向量a(时0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b=入a. 【注意】定理中0不能漏掉.若a=b=0,则实数可以是任意实数，若a=0,b≠0，则不存在实数 ,使得b=a 八、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e,2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一 向量a,有且只有一对实数入1,2，使a=1e1十22. 3/14 2.基底：若e1,e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【注意】(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可 (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即21,2是唯一确定的三角形的“重心” 九、向量四心 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2：1 三角形中线向量式：AM=丽+AC G B M 2、重心的性质： (1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 (2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 (3)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(，'") 3 3 3、常见重心向量式：设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点 ①0A+0i+0元=i②Pi=青(PA+Pi+P元) ③若A=(A疤+A心)或可驴=0A+(A店+A心)，1E[0,+0)则P一定经过三角形的重心 ①老正=A+元恶e)或O=OA+A+元系），1ED,十aw,则p一定经过三角形的年 心 三角形的“垂心” 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1、OA·0=0B.0元=0元.0A 2+=|o2+Ga2-162+12 3、列点P满定=0A+(+远)，1E(0,十四)，则动点P的游-定通过AABC的垂心 4/14 三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点（或内切圆的圆心）。 2、常见内心向量式：P是△ABC的内心， (1)A店|P元+BdPA+|CAP=0(或aPA+bP序+cP元=i)其中a,b,c分别是△ABC的三边BC 、ACAB的长， 2)币=A(需+需)，0，十，则p-定经过三角形的内心： 三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：0是△ABC的外心， 1、|oA=1o|=|od→0A2=0B2=0c2 2 (OA+0)·A=(o+OC)·BC=(OA+OC)·A元=0 3、动点P满足O驴-证+入 AB AC 2 c十dcc,Ae(0,+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 4、若(OA+O)·A店=(O+OC)·BC=(O元C+OA)·CA=0,则0是△ABC的外心 考点汇总 考点一平面向量的概念 考点二平面向量的线性运算 考点三平面向量基本定理的应用（含基底） 考点四平面向量基本定理求参数 考点五共线定理的证明与求参数 5/14 考点六向量的四心问题 考点突破 考点一平面向量的概念 1.(25-26高一下.贵州毕节期中)（多选）关于平面向量，下列说法错误的有() A.路程、海拔、电流强度都是向量 B.单位向量的方向一定相同 c.若向量a与共线，且a>,则a>i D.若ABC是等边三角形，则AB与BC的夹角为120° 2.(25-26高一上福建莆田期末)（多选）关于平面向量，下列说法正确的是() A.若d>月，则a>b B.若a=b,则a/b C.若a/b,b/1c,则a/1c D.若a=b,b=c,则a=c 3.(25-26高一下·广东广州期中)（多选）给出下列命题，不正确的有() A.两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B.若a川b,bIc,则alc c.若a为非零向量，则同与a同向 D.已知，μ为实数，若a=ub,则a与共线 4.(25-26高一下·广东深圳期中)（多选）下列命题中，不正确的有() A.有相同起点的两个非零向量不共线 B.“a=b"的充要条件是|a=且a/b C.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 考点二平面向量的线性运算 5.(25-26高一下.安徽阜阳·期中)下列各式中不能化简为4D的是() A.AB+CD+BC B.AB+MB+CD+BC 6/14 C.MB+AD +BM D.OC+40+CD 6.(25-26高一下·陕西汉中阶段检测)如图，已知0为平行四边形ABCD内一点，OA=a,OB=i,OC=c,则0D等 于 (用a,b,c表示) A D 7.(25-26高一下·山东济宁期中)在ABC中，点D,E分别为边AB,BC的中点，若EF=DF,则() 4 A.AF-14B+3AC B.AF=14B+2AC 4 4 2 3 C.AF-24B+1AC 1 D.AF=4B+2AC 2 3 2 3 8.(25-26高一下·福建龙岩期中)如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则OA+CD=() B A.OC B.OD C.E D.OF 9.(25-26高二下.甘肃兰州期中)根据如图的平行六面体ABCD-A'B'CD',化简下列各式： D' C A B D A B (1)AB+BB-D'A+D'D: AC-AC+AD-A4 10.(25-26高一下·广西钦州期中)（多选）下列结论恒为零向量的是() A.AB-AC+BD-CD B.AB-(BC+CA C.Nō+OP+MN-MF D.OD-04+AD 考点三平面向量基本定理的应用（含基底） 11.(25-26高一下·重庆期中)设e,e是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是() 7/14 A.e+2e2,e,+3e2 B.2e-e2,e2 C.e+e2,e-e2 D.e-2e,,3e-6e, 12.(25-26高一下·广东佛山期中)如图，在ABC中，点D是AB的中点，点E是CD的中点，则AE=() D A+4cB.B+号4C C.14B+AC 4 6 2 6 13.(25-26高一下·广西河池期中)如图所示，D,E分别为AB,CD的中点，若向量ABa,AC=b用a,b表示向 量BE, 14.(2026高三·全国.专题练习)（多选)已知等边三角形ABC内接于⊙0，D为线段OA的中点，E为线段BC的 中点，则BD=() A. C.BA+}A正 D. 2A+A正 6 36 15.(25-26高一下·安徽合肥期中)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠 近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若AB=a,AD=b,则AP=() E P F B A. 13 C. n2 16. (2026福建福州三模)如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方 形构成若AE=EF,则() G H B 8/14 A.AF-44B+3AD 5 5 7 C.-6+号0 5 D、-+ 7 考点四平面向量基本定理求参数 17.(25-26高一下山东菏泽·期中)（多选）如图，OM∥AB,点P在由射线0M、线段OB及AB的延长线围成 的阴影区域内（不含边界）运动，且OP=xOA+OB,则下列对于太y的取值可能正确的是() B A.x= 2y=2 B.x=-山y= 4 51 C.x= 2 D.=-2y= 2 18.(25-26高三上安徽准南阶段检测)如图，在ABC中，4D=2DB,AE=EC,BE与CD相交于点P,若 2 AP=xAB+yAC(x,y∈R),则x+y= 19.（26辽宁沈用三核)在4BC中，N=号C,P是Bv上一点，若Pm+专4C,则实数m的值为 () B 1 A. D.1 9 B. C.1 3 20.(2026江西九江二模)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点.若A正=mAB+nAF,则 m-n=() C. 3 D. 4 9/14 21.(25-26高一下山东枣庄期中)在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,∠BAD=,E,F分别是边 3 CD,AD的中点，AE与BF交于点N. B A D (I)求BEFE; (2)记AN=xAB+yAD,求x-y的值. 22.(25-26高一下·山东菏泽·期中)在梯形ABCD中，ABIICD,AB⊥AD,AB=2CD,点P是线段BC(含端点) 上的动点，设亚=丽+y0,若-y行则+y 考点五共线定理的证明与求参数 23.(25-26高一下·山东济南阶段检测)已知a,b是不共线的向量，且AB=a-4b,BC=-2a+3b,CD=3a+36, 则() A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 24.(25-26高一下·广西梧州期中)己知ABCD中，AD=ā，AB=b,M为AB的中点，N为BD上靠近B的三 等分点. D B (1)a,五表示向量MC,N元； (②)判断M,N,C三点的位置关系，并证明. 25.(25-26高一下·重庆渝北期中)若点M是ABC所在平面上一点，且AM+BM+CM=0,N是直线BM上一 动点，满足=2mB+nAC(m>0,n>0),则2+上的最小值是() m n A.4V2+6 B.2√2+3 C.8 D.9 26.(2026北京石景山二模)设向量a与五不共线，向量2ā+b(2∈R)与ā+2b共线，则2= 27.(2026新疆二模)已知向量a,b不共线，且向量2a+b与a+(2元-1)b的方向相反，则实数元的值为() 1 A.1 C.2 D.3 10/14 28。(25.26高-下-广东深圳期中)在平行四边形ABCD中，B=a,AD=方，BM=名BC,AN=4AB,用向 3 量a,乃来表示D0,则下列结论正确的是() D B A.D0=3a-4 B.D0=3a-66C.D0=2a-4iD.D0=2a-56 105 147 05 116 29.(25-26高一下陕西安康期中)如图，在△04B中，0G=}0A+10B,过点G的直线与射线0A,0B分别 6 交于点P,Q,且0P=m0A,00=n0B,其中m,n>0,则2m+n的最小值为() A B.2 C.4 9 D.3 考点六向量的四心问题 30.(25-26高一下·重庆期中)己知0为坐标原点，A(1,2),B5,1),则△0AB的重心坐标为() B.(6,3) C.（2,1 D.(3,3 31.(2025高一全国·专题练习)已知ABC,0为平面内任意一点，动点P满足 50P=[2+0A+(2+20B+1-2)0C], 则点P的轨迹一定经过() A,ABC的内心 B.ABC的垂心 C.ABC的重心 D.ABC的外心 32.(25-26高三·全国，二轮复习)己知点O,P均在ABC所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ①若动点P满足OP=OA+PB+PC,则点P为ABC的重心： ②若动点P满足OP=OA+元 AB AC ∈R),则动点P的轨迹一定经过ABC的内心； AB AC ③若动点P满足OP=OA+入 AB AC (2∈R),则动点P的轨迹一定经过ABC的重心： AB sinB ACsinC ④若动点P满足OP=OA+入 AB AC (2∈R),则动点P的轨迹一定经过ABC的垂心. ABcosB ACcosC 11/14 33.(25-26高一下·四川期中)已知N,P,O在ABC所在平面内，满足NA+NB+NC=0,且PA.PB=PB.PC AB CA OB BA CB BC CA PC.PA,OA 0,则点N,P,O依次是ABC的() A.垂心，外心，内心 B.重心，外心，内心 C.重心，垂心，外心 D,重心，垂心，内心 34.(25-26高一下.河南郑州期中)已知0，N,P在ABC所在平面内，满足0A=0B=0C, NA+NB+NC=0,且PA.PB=PB.PC=PC.PA,则点O,N,P依次是ABC的() A.外心，垂心，重心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心 强化训练 1.(25-26高一下·四川南充期中)下列说法正确的是() A.长度相等的向量叫相等向量 B.零向量的长度是0 C.若=，则a=场 D.共线向量是在同一条直线上的向量 2.(25-26高一下·安微安庆·阶段检测)在口ABCD中，E是线段AC上的靠近A的三等分点，则BE=() 2B-4D 3 3.(25-26高一下·河南南阳·期中)AB-DB-DA+DC-AD=() A.AD B.0 C.AC D.G 4.(25-26高三·全国.一轮复习)己知0是ABC所在平面内的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为α，b,c,若 aOA+bOB+cOC=0,则0是ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 5.(25-26高一下·安微徽芜湖期中)设g,6是两个不共线的向量，且A8=2+me,BC-+26, BD=-5e+4e,,若A,C,D三点共线，则m的值为() A.-3 B.-4 C.3 D.4 6.(25-26高一下·北京·期中)如图，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 BE=() 12/14 B D A. B+ACB.-AB+AC 6 6 C.各B+兮cD.+c 6 7.(2026辽宁盘锦二模)在平行四边形ABCD中，点E满足BE=BC,DE与AC交于点M若 AM=xAB+yAD,则x+y=() A.5 4 B月 C. 3 D.1 8.(25-26高一下.贵州贵阳阶段检测)已知a,6不共线，OA=a+b,OB=a+2b,OC=1a+3b(2∈R),若A,B,C三 点共线，则2=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 9.(25-26高一下.甘肃白银阶段检测)已知e，e,是两个不共线的单位向量，a=e,+2e,,i=-3+ke,若a与 共线，则k=() A.6 B.-6 C. 3 D. 10.(25-26高一下·贵州贵阳·期中)（多选）下列说法正确的是（) A.若=，则a=b或a=b B.非零向量a与五平行，则ā与的方向相同或相反 C.起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D.与非零向量a平行的单位向量有1个 1.(25-26高一下四川成都期中)（多选）在ABC中，D=34C,P是BD的中点，则() B A.AB+BP+PA=0 B.AC-AB=BC C.AB+AD=AP D.BD=2BA+3BC 5 5 12.(25-26高一下·河南月考)（多选）在ABC中，点M,N满足AM=MC,BN=2NC,P为直线MN上一点， 则() A.2BM=AB-BC 6 13/14 C.若CP=xCA+yCB,则2x+3y=1D.若AP=mAB+nAC,则2m+3n=1 13.(25-26高三上海南儋州·开学考试)（多选）已知M为△ABC的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的 中点，则下列等式成立的是() A.MA=MB =MC B.MA+MB+MC=0 c.CM=1c4+2CD D. BM=1BA+IBC 3 6 14.(25-26高三下·安徽六安阶段检测)已知A、B、C三点共线（该直线不过原点0），且 OA=m0B+2n0C(m>0,n>0),则上+2的最小值为 m n 15.(25-26高一下·河北邯郸期中)己知e,e,不共线，且a=ke,-e,b=e2-e,若a,五不能作为基底，则k等 于 16.(25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中)在ABC中，BC=3BD,CF=2FA,E是AB的中点，EF与AD交 于点P,若AP=mAB+nAC,则m+n= 17.(2025高三·全国专题练习)在ABC中，I为ABC的内心，若3A+4B+5IC=0,则C= 18.(25-26高一下·山西临汾阶段检测)已知0是ABC所在平面内一定点，动点P满足 OP=0A+ AB AC ,入∈[0，+o),则动点P的轨迹一定过ABC的 .(选填：外心、内心 B sin B 4Csin C 垂心、重心) 14/14