专题2.2 平面向量线性运算参数问题归纳（含共线、基本定理、等和差线、奔驰定理）（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2平面向量线性运算参数问题归纳（期末复习讲义) 内容导航 明期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01向量共线求参数问题 题型02平面向量基本定理求参数问题 题型03平面向量基本定理求系数最值 题型04等和线求系数和（最值） 题型05等差线求系数差 题型06奔驰定理求参数问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明•期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 共线定理 掌握ā=入b是共线的充要条件：能熟练用 基础必考，常在选择题、填空题中直接考 定理证明三点共线；理解系数入与分点位 查，与三角形中线、重心结合是常见题 置、方向的关系，对爪子定理的熟练运 型，难度中等偏下 用。 平面向量基本定 理解基底的概念及不共线要求；能根据 核心考点，是后续坐标运算的基础，常在 理 图形将任意向量用基底表示；掌握待定 解答题第一问出现，需熟悉平行四边形、 系数法求基底系数 三角形中的向量分解 等和（等差）线 理解系数和（差）与平行线距离的关 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中 定理 系：会求线性组合系数和的最值、系数 期末压轴小题出现，灵活性强，需结合几 和（差）与线段比值之间关系。 何意义理解 1/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 奔驰定理 理解三角形中点分得的面积比与向量关 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中 系式中系数的关系。 期末压轴小题出现，常与三角形四心问题 一同出现。 记·必备知识 凰知识点01爪子定理 1、平面三点共线 平面内三点A,B,C线的充要条件是：存在实数入，μ，使OC=入OA+μOB,其中入+H=1,O为平面 内一点. A、B、C三点共线 口存在唯一的实数入，使得AC=入AB: ~存在唯一的实数入，使得OC=OA+λAB: y ~存在唯一的实数入，使得OC=(1-)OA+1OB: ~存在入+μ=1，使得OC=λOA+μOB】 2、爪子定理 m B 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知D在线段BC上，且 BD_ CDn 则Aò=nA花+mA衣 m+n m+n 厘知识点02等和线定理 1、定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有OP=入OA+μOB(入+μ=1)。 B 若OC=kOP,OC=k1OA+kμOB,则系数和kλ+kμ=k 总结有：若点P在直线AB上或在平行AB的直线上则OP=入OA+μOB(k),反之也成立，我们把 直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 2、等和线的性质 2/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1: (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k0,1: (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k1,: (4)当等和线过O点时，k=0: (5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数： (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 屋知识点3等差线 1、平面内一组基底OA'O元及任一向量O萨'有OP=OA+uOB(,μ∈R)C为线段AB的中点， 若点P在直线OC上或平行于OC的直线上，则入-μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线OC以及与 直线OC平行的直线称为等差线。 2、等差线的性质 (1)当等差线恰为直线OC时，k=0 (2)当等差线过A点时，k=1 (3)当等差线在直线OC与点A之间时，k∈(0,1) (4)当等差线与BA延长线相交时，k1, (5)若等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数。 履知识点4奔驰定理 奔驰定理：当SABOC:SMOC:SA40B=:B:Y时，有a·OA+BOB+y·OC=0 。A0=BAB+义AC=A0=40c.AB+4.AC a+B+ya+B+y SAABC SAABC A B B∈ D 正期：延长A05BC文于D点，根器共线定E有动-8肥元+BC应 IBCI 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BDI_SAABD 根据BC SAABC D-@有峦=@AC+@峦 BC S△ABC SAABC SABC 由共线定理有AO= AOLAD= AD AOSa0花+AO|@花，根据 ADS△ABC ADS△ABC AO_S△ABO= AD SAABD S△ACO代 S△ACD 入 A0=S6A@S△A花+S△AS△A巴AB=S△A@A花 S△ACO AB S△ABDS△ABC SAACD SAABC S△ABC SAABC =S△@(OC.OA)+△四(O成.OA移项合并有 SAABC SAABC （1.AA0.a@)A0=AA00元+AmOi=5ac·0A+SMocOB+54o6*0C=0 SAABC SAABC SAABC SAABC 破·重难题型 巴题型一 向量共线求参数问题 解|题技|巧 对非共线向量a、b,则k1a+k2b与k3a+k4b共线一k1k4=k3k2 【典例1】(25-26高一下浙江温州期中)已知9、9为两个不共线的向量， a=e-2e2 b=ke+e 者86 则实数一 【典例2】(25-26高一下·上海黄浦期中)已知9、6是两个不平行的向量， B=G-6,BC=38+2g,CD=kg+26,且4、C、D三点共线，则k- 【变式1】(25-26高一下安徽合肥期中)已知向量9,6不共线，且 B=G+28,CD=2g+e,若 ABIICD 元， ,则的可能值是() A.元=2，W=-1B.=-2,4=-4C.=2,u=3 D.元=-1,4=2 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26高一下四川内江阶段检测)已知a与5是不共线的向量，且 B=a+kb,BD=-2ā+4b 若AB,D三点共线，则k的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 题型二 平面向量基本定理求参数问题 答|题|模|板 平面向量运用基本定理求参问题：运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示，利用基底 表示向量的唯一性求解. 对平面内三点A,B,C线的充要条件是：存在实数，4，使OC=入OA+μOB,其中入+H=1,O为平 面内一点.注意其中的入、μ的几何意义，当C点在AB线段上时，入>0、μ>0，当C点在AB线段外时， μ<0 【典例1】(25-26高一下四川成都期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于0点，线段OD 上有点M满是D0=DM,线段C0上有点N满是0C=O>0),设B=五而=6，已知 D A.2 B.1 C.2 D.3 【典例2】(2025高一·全国专题练习)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联 T-5+1δ 系，在如图所示的五角星中，以P,Q,RS,T为顶点的多边形为正五边形，且 2 ,设 函-P=B0(2eR),则= 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B E D 【变式1】(25-26高一下内蒙古鄂尔多斯期中)在平行四边形ABCD中， AM=MB,BN =2NC;AP=xAB+(1-x)AD ,x∈R.若AP IMN,则() 6 3 A.7 B.7 c.7 D.7 【变式2】(2026贵州安顺模拟预测)如图，有两个正六边形，G为BC的中点.若° JF=xAB+yBC 则x+y=() D H c.号 15 A.-2 B.2 D. 4 题型三平面向量基本定理求系数最值 答|题模|板 平面向量基本定理求系数和或最值的问题： 1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示 2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. 3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。 【典例1】(25-26高一下山东枣庄期中)在△1BC中， BD=2DC AB,AC ， ，过点D的直线分别交直线 于 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,F 点，且 AE=mAB AF=nAC ，其中m>0n>0 则 m+n 的最小值为 【典例2】(25-26高一下重庆渝北：期中)若点M是△18C所在平面上一点，且A+BM+CW=0,N 21 是直线BM上一动点，满足N=2mB+nAC(m>0,n>0),则m+元的最小值是() A.4V2+6 B.2V2+3 C.8 D.9 【变式1】(25-26高一下重庆月考)如图，在△ABC中，点0是BC上的一点，且B0:0C=1:2,过点 AB,AC O的直线分别交直线 于不同的两点 ,N.设形=m孤，C=n孤，则2m+n= B M 【变式2】(25-26高一下·上海期中)如图，在正六边形ABCDEF中，延长DC,AB相交于点G,线段 FE的中点为”，P为线段H上一动点（不包括端点），连接P,4C相交于点'，若=4C 6 Fp=FE,则n+a 4+元的取值范围为. E H 巴型四等和线求系数和（最值） 答题|模|板 若点P在直线AB上或在平行AB的直线上则OP=λOA+μOB( k),反之也成立，我们把直线AB以及 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与直线AB平行的直线称为等和线。 等和线问题将系数和的问题转换成线段比值问题。 OCD,∠AOB=120°，OD=4,OB=1 【典例1】(25-26高一下·上海闵行·期中)折扇平面图为扇形 动点P 在弧CD上（含端点），连接OP交扇形01B的B于0，且OP=0c+)OD, 则下列说法错误的是 () A.若y=x,则x+y=2 B AB·PO>-5 C.若y=3x,则OA.Op=0 D.PAPB≥23 【典例2】(2026吉林白山模拟预测)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作一个半圆， 点P为此半圆弧上的一个动点，若 驴=xB+yBC,则+y的最大值为 A B 【变式1】（多选）(25-26高一下·海南海口·期中)（多选）正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形 AP=AAB+uAD 内部及边上运动， ,则下列结论正确的有() 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.元+“的最大值为2 B.当P为△MBC 内部的点， S.APn :S.:S.=4:3:2 AP=AAB+HAC 则+从=？ 3 C.点P在线段CD上时，ADAP=2 1 D.若元+2μ=2，则p点轨迹长度为、5 【变式2】（多选）(25-26高一下海南海口期中)（多选）已知扇形A0B的半径为1，∠40B=120°，点 C在弧4B上运动， OC=xOA+yOB ,下列说法正确的有() A.当C位于B点时，x+y的值最大 B.当C位于A点时，x+y的值最小 c CA.CB的取值范围为2 D.OC(OA-OB)的最大值为2 巴题型五等差线求系数差 答|题|模|板 对等差线的构造需要先画出中线，然后找中线或者平行于中线的直线，再计算线段比值 【典例1】(25-26高一下广东佛山月考)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若 正=2B+4D,则2-“的值为() 9/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 1 A.-2 B. C.-2 D.2 【典例2】(25-26高一下·河南期中)如图，等边三角形ABC是由三个全等的三角形（△ACD,△CBF, △BAE)与中间一个小等边三角形DEF拼成的，且△ABC的面积是△DEF的面积的19倍，设 AD=mAB+nAC m-n= ,则 C D B 【变式1】(25-26高一上江苏盐城期末)如图，点B是线段AC的中点，BE=20B,点P是平行四边形 BCDE内（含边界）的一点， OP=xOA+)OB(∈R),以下结论中不正确的是(） D P B A.当p是线段CE的中点时，x=)y 5 2, 2 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当x+y为定值2时，点P的轨迹是一条线段 D.x-y的最大值为-I 【变式2】在△ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且 DC=4AD BE=2BD ,若 AE mAB+nAC ,则m-n=() 1 B. 3 3 A.5 C. D.-5 题型六奔驰定理求参数问题 答|题|模|板 根据奔驰定理：当SABOC:SAOC:SAOB=:B:Y时，有aOA+B·OB+yOC=0 【典例1】(25-26高三上广东月考)已知点°为△1BC 0A+30B=AOC 一点，满足 ,若 S。40B= 434c,则兄=（) A.-2 B.-3 C. D.2 【奥例2】(25-26高三上上海阶段检测)设M是△1BC所在平面上的一点，且丽+M+C=0,D DM 是的中点，则 BM AC 【变式1】(2526高三上潮江温州月考》点M是6ABC所在平面内一点，满足M6++C-0,若 2 2 S.ABM D为AC中点，则SCD的值为() 5 A.8 B c. D.a 【变式2】(25-26高一下·重庆·阶段检测)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若aBOC、△AOC、 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AOB 的面积分别记为S.S.5,则5,01+5，OB+,oc=0.“奔跑定理”是平面向鼓中-个非 常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知 O是△ABC的内心，且3OA+4OB+5OC=0.设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为R,则R的值为 () A.月 B.3 c.2 D.5 过·分层验收 --------------------…----…--------- 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1,(25:26高一下海南省直辖县级单位期中)在△18C 中， BC-=3BD,C示=2FAE是M 的中点， EF与 AD 交于点P,若 P=mAB+nAC ，则m+n 2.(25-26高一下江苏无锡期中)在△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CD上，且满足 BD=24D,CE=3D,若正=B+aC(,yeR),则+y的值为一 3 故m+n= 3.（25,26高一下广东惠州期中)在平行四边形1BCD中，点E在线段4C上，且4E-号4C,若 3 ED=AAD+uAB ,其中入，“eR,则 九+4= 4.(25-26高一下·山东青岛期中)在矩形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，若 C=A+u8丽，则+A=（) 2 A. B.1 c.s 8 D.5 5.(25-26高一下安徽合肥期中)在△ABC中，D是BC上一点，满足 D=DC,M是AD的中点，若 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=ABA+uBC 则2+=) J A.4 B.1 C.4 5 D. 从而得到丽=号B研+号8C,进面可知2=方“-子2+4 .1 1 3 4 4 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下广东梅州月考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 3 81 AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,m>0,n>0,则m3n+2的最小值（） A.2 B.8 C.9 D.18 2.(25-26高一下·安徽淮南期中)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 19 AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nA，m>0,n>0,则m+n的最小值（) A月 B.9 C.8 o. 3.(25-26高三上山东期中)已知直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥CD,且CD=3,AB=2,点P 是梯形ABCD内《含边界)任意一点，设严=AB+u(a,”eR）,则2+“的取值范围为() 13/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a吲e 4.(25-26高一下浙江杭州期中)矩形ABCD中，点E是边AD上靠近点A的三等分点，点F是边DC的 BE,B 中点，连接 分别51C交于P0两点.若P0=沥+hD 则2+ “的值为() A.2 c. D.6 5.(25-26高一下江苏苏州期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别是边AD,DC边的中点， AB BE,BF分别与AC交于R,T两点，若2AB.AD+9DR.AT=0,则AD的值是 D 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(多选)(25-26高一下·重庆期中)（多选）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC的中点 4,C 为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是 ( ) A.0-号+c B,B:B0=5 C.B脉-B动 的最大值为2 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+V5 D.若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为3 2,(多选)(25-26高一下山西期中)（多选）已知平面内三个向量01,0丽，0C 满足 OC=01+u0B(2,u∈R),且O-O丽=1，∠40B=120°，给出下列四个结论：其中正确的是(） A.若元=u=1,则射线OC平分∠AOB: 1 B.若4=1，则OC的最小值为2； C.若1=-2，I=-4,则△AOC面积是△A0B面积的4倍： [335 D.若2≤1≤1,1+4=2，设点C到OA所在直线的距离为从，则d的取值范围为24 3.(25-26高一下·上海宝山期中)在△ABC中，M为边BC上不同于B,C的任意一点，点N为线段AM 的三等分点（靠近点4），若=xAB+A ,则+少的最小值为一 4,(25-26高一下浙江期中)如图所示，在同一个平面内，向量01,0B,0c满足：网-08，O 与OC的夹角为，且mu=3.OC与O5的夹角为45，若0C=mOa+n0m,neR),则-() B √5 V10 3V5 3V10 A.3 B.3 C.5 D.10 5.(多选)(25-26高一下·河南信阳·期中)（多选）悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条)，在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点A,B,C位于悬链线上，且悬链线内部一点P满足向量关 PA+2PB+3PC=0 根据平面向量的知识，下列结论正确的是(） A.点P在△ABC的内部 B.点P是△ABC的重心 C.Sarc:Smc=1:2:3 D.SPc:S.c:S=3:2:1 16/16 专题2.2 平面向量线性运算参数问题归纳（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01向量共线求参数问题 题型02平面向量基本定理求参数问题 题型03平面向量基本定理求系数最值 题型04等和线求系数和（最值） 题型05等差线求系数差 题型06奔驰定理求参数问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共线定理 掌握是共线的充要条件；能熟练用定理证明三点共线；理解系数与分点位置、方向的关系，对爪子定理的熟练运用。 基础必考，常在选择题、填空题中直接考查，与三角形中线、重心结合是常见题型，难度中等偏下 平面向量基本定理 理解基底的概念及不共线要求；能根据图形将任意向量用基底表示；掌握待定系数法求基底系数 核心考点，是后续坐标运算的基础，常在解答题第一问出现，需熟悉平行四边形、三角形中的向量分解 等和（等差）线定理 理解系数和（差）与平行线距离的关系；会求线性组合系数和的最值、系数和（差）与线段比值之间关系。 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期末压轴小题出现，灵活性强，需结合几何意义理解 奔驰定理 理解三角形中点分得的面积比与向量关系式中系数的关系。 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期末压轴小题出现，常与三角形四心问题一同出现。 知识点01 爪子定理 1、平面三点共线 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 2、爪子定理 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则 知识点02 等和线定理 1、 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 2、等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 知识点03 等差线 1、平面内一组基底，及任一向量，有。C为线段AB的中点，若点P在直线上或平行于的直线上，则，反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等差线。 2、等差线的性质 （1）当等差线恰为直线时， （2）当等差线过点时， （3）当等差线在直线与点之间时， （4）当等差线与延长线相交时， （5）若等差线关于直线对称，则两定值互为相反数。 知识点04 奔驰定理 奔驰定理：当时，有 证明：延长与交于点，根据共线定理有 根据有 由共线定理有 ,根据代入 ) 移项合并有 题型一 向量共线求参数问题 解｜题｜技｜巧 对非共线向量，则 与共线 【典例1】（25-26高一下·浙江温州·期中）已知、为两个不共线的向量，，，若，则实数___________. 【答案】/ 【分析】设，其中，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为，设，其中，即， 因为、为两个不共线的向量，所以，解得. 【典例2】（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 【答案】8 【分析】利用共线定理和平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又、、三点共线，所以存在，使得，即， 因为、是两个不平行的向量，所以，解得. 【变式1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知向量不共线，且，若，则的可能值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得存在一个非零实数，使得，得，即，结合选项即可求解. 【详解】由，， 则存在一个非零实数，使得， 即，得， 两式相除得，即，只有B选项满足题意. 故选：B 【变式2】（25-26高一下·四川内江·阶段检测）已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得，即. 因为与是不共线的向量，所以，解得， 代入得，因此的值为. 题型二 平面向量基本定理求参数问题 答｜题｜模｜板 平面向量运用基本定理求参问题：运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示，利用基底表示向量的唯一性求解． 对平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．注意其中的的几何意义，当点在线段上时，，当点在线段外时， 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）如图，平行四边形的对角线交于O点，线段上有点M满足，线段上有点N满足，设，已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算表示出，结合平面向量基本定理列出方程组即可求解． 【详解】由已知得， ， 又，所以． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 【答案】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为： 【变式1】（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得. 设， 因为， 而 所以，解得. 【变式2】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案. 【详解】连接,如图所示：    设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则为边长为1的正三角形， 所以,, 由正六边形的性质可知三点共线， 所以, 则 , 又因为， 所以， 所以. 题型三 平面向量基本定理求系数最值 答｜题｜模｜板 平面向量基本定理求系数和或最值的问题： 1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示 2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。 【典例1】（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【典例2】（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 【变式1】（25-26高一下·重庆·月考）如图，在中，点O是上的一点，且，过点O的直线分别交直线于不同的两点．设，，则______． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、三点共线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以. 【变式2】（25-26高一下·上海·期中）如图，在正六边形中，延长，相交于点，线段的中点为，为线段上一动点（不包括端点），连接，相交于点，若，，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用线性运算得到，然后根据三点共线得到，最后利用换元法求范围即可. 【详解】因为是正六边形，所以， ， ， ， 设，则 ， 又不共线，所以，解得， 因为三点共线，所以， 所以，变形得， 因为是的中点，所以，则，令，即. ， 因为，所以， 结合二次函数性质得， 所以的范围是. 题型四 等和线求系数和（最值） 答｜题｜模｜板 若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 等和线问题将系数和的问题转换成线段比值问题。 【典例1】（25-26高一下·上海闵行·期中）折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】C 【分析】作，分别以，为轴，轴建系，写出各点的坐标，设，由可得，， 根据可判断A；利用向量数量积的坐标公式，辅助角公式，三角函数的性质即可判断BCD． 【详解】如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 由可得，， 对于A，若，则，解得（负值舍去），故，故A正确； 对于B，， 则 ， 因为，所以，则， 所以，所以，故B正确； 对于C，若，则，， 所以， 因为，故C错误； 对于D，由于，， ， 而，所以，所以，故D正确． 【典例2】（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，， 因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则， 因为，的最大值为， 所以. 【变式1】（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）（多选）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ） A．的最大值为 B．当为内部的点，，， 则 C．点在线段上时， D．若，则点轨迹长度为 【答案】AB 【分析】对于选项ACD利用平面向量的坐标表示可以简化问题，让问题快速解答；对于选项B要综合利用平面向量共线定理及平面向量基本定理，得到的关系，从而求解问题. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，那么 对于A选项，，设，，， 由得，， 所以，即，， 故当时，取得最大值，最大值为，故A选项正确； 对于B选项，设与相交于，则由， 设与相交于，则由可得， 因，，三点共线，故存在实数， 使， 因C，P，N三点共线，故存在实数n， 使得， 所以，解得， 由于， 所以，，所以，B选项正确. 对于C选项，点在线段上时，设，， ，故C选项错误； 对于D选项，由A选项知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为， 所以，D选项错误. 故选：AB 【变式2】（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）（多选）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当位于点时，的值最大 B．当位于点时，的值最小 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解. 【详解】我们通过建立平面直角坐标系求解：将放在原点，在轴上， 则，设， 由解得：， 因此， 选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值， A错误； 选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值， B正确； 选项C，， 因为，所以， C正确； 选项D，， 最大值为，因此最大值为， D正确. 题型五 等差线求系数差 答｜题｜模｜板 对等差线的构造需要先画出中线，然后找中线或者平行于中线的直线，再计算线段比值 【典例1】（25-26高一下·广东佛山·月考）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【详解】在正方形中，为的中点，所以， 又因为，所以，则. 【典例2】（25-26高一下·河南·期中）如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______． 【答案】 【分析】可先通过面积倍数关系推导各线段长度比例，再借助坐标法对向量进行线性分解，求解系数后计算的值. 【详解】设小等边三角形的边长为，由， 设，则. ∵，且， ∴，即. 由中间小等边三角形性质，， ∴. ∵， ∴化简得， 解得正根，即，. 在中由余弦定理得 ， 解得. 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 得各点坐标：，，. 在中，由正弦定理，得； 由余弦定理得. 又， 则， ， 因此点坐标为， ∴. 则， 所以， 解得，，因此. 【变式1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】B 【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解. 【详解】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则，又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 【变式2】在ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且，，若，则m-n=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运用共线向量的性质，结合平面向量基本定理、平面向量加法的几何性质进行求解即可. 【详解】∵，∴， ∴ ∴· 故选：B 题型六 奔驰定理求参数问题 答｜题｜模｜板 根据奔驰定理：当时，有 【典例1】（25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 【典例2】（25-26高三上·上海·阶段检测）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 【变式2】（25-26高一下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【分析】将往上思考，再根据与的关系和三点共线的性质求出m，n最后得出答案. 【详解】由题知，，， 设, 因为三点共线，所以，解得，则， 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 【答案】 【分析】由向量的线性运算求解. 【详解】 所以（的系数），（的系数） 则 故. 3．（25-26高一下·广东惠州·期中）在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________ 【答案】 【详解】由， 又，则，故. 4．（25-26高一下·山东青岛·期中）在矩形中，，分别为，的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】在矩形中，由分别为的中点，得， 解得，因此， 而，且向量不共线，则， 所以. 5．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，是上一点，满足是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算计算即可. 【详解】是的中点，， 又， 从而得到，进而可知 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·广东梅州·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 2．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则 的最小值（ ） A． B．9 C．8 D． 【答案】C 【分析】由平面向量共线定理的推论得到，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】解：因为是的中点，则，又，， 则，又三点共线，则， 所以，得到， ，又， 则当且仅当， 即时取等号，所以 3．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）矩形中，点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点，连接分别与交于两点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法、减法的几何运算以及向量共线定理求解即可. 【详解】已知点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点， 所以， 设，因为，，， 所以，解得. 设， 因为，，， 所以，解得. 则，故. 5．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.若，则的值是________． 【答案】 【分析】设，得到，根据B，T，F三点共线，得到，再用表示向量，最后应用数量积运算律计算得出，结合模长公式求解； 【详解】设，且B，T，F三点共线， ，解得；同理； 由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似可得R，T分别是线段BE、BF上的三等分点， 又，所以， 又因为，所以 即得，所以， 所以，即得. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）（多选）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】选项A ，利用中点向量公式；选项B，直接计算数量积；选项C，先化简为 ，再用圆中弦长的最大值判断；选项D，将 两边平方，利用基本不等式得到，又，从而得到的最大值. 【详解】对于A：因为是的中点，所以即所以A正确； 对于B：因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，， ，所以B错误； 对于 C：因为所以 而点在以为直径所在圆的右半圆弧上运动， 所以的最大值为故C正确； 对于 D：因为，， 所以， 因为， 所以 ， ，所以， 又因为, 所以，解得， 所以的最大值为故D正确. 2．（多选）（25-26高一下·山西·期中）（多选）已知平面内三个向量，，满足，且 ，，给出下列四个结论：其中正确的是（   ） A．若，则射线OC平分； B．若，则的最小值为； C．若，，则面积是面积的4倍； D．若，，设点C到OA所在直线的距离为d，则d的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则， 因为，故为等腰三角形，取为的中点， 则，而平分，故平分，故A正确； 对于B，若，则， 所以 ， 当时，，故，故B错误； 对于C，若，则,取， 以为邻边做平行四边形,则， 由于，故到直线的距离为到直线距离的4倍， 故面积是面积的4倍，故C正确； 对于D，取，则， 由可得， 因为，故在直线上， 取的中点，过作的平行线交于，过作的平行线交于， 则，， 因为，故在线段上（如图所示）， 故到的距离为，到的距离为， 故的取值范围为，故D正确； 3．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过平面向量线性运算结合平面向量基本定理得到（），再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】    设（）， 由图可得： 因为为线段靠近的三等分点，故， 代入得： 结合题意得：，，其中，因此. 由基本不等式，可得， 将代入得：, 当且仅当（对应，即为中点）时等号成立. 故的最小值为. 4．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且与的夹角为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法的平行四边形法则可得，结合正弦定理可得，根据题意运算求解． 【详解】如图 根据向量加法的平行四边形法则可设：， 则， ∴， 在△中，由正弦定理可得：， ∵且为锐角，则，解得， ∴. 5．（多选）（25-26高一下·河南信阳·期中）（多选）悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（    ） A．点在的内部 B．点是的重心 C． D． 【答案】AC 【分析】设分别为的中点，整理可得，可知点为线段的三等分点（靠近点），进而逐项分析判断即可. 【详解】设分别为的中点， 因为，即， 则，即，可知点为线段的三等分点（靠近点）， 所以点在的内部，点不是的重心，故A正确，B错误； 不妨设，则，， 可得，，， 则，， 所以，故C正确，D错误. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $