期末真题专项训练01 平面向量及其应用15大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期末真题专项训练01 平面向量及其应用 【考点一】向量的加、减法 【考点九】平面向量基本定理的应用 【考点二】向量的线性运算的几何应用 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 【考点三】平面向量数量积的几何意义 【考点十一】由向量共线（平行）求参数 【考点四】数量积的运算律 【考点十二】数量积的坐标表示 【考点五】已知数量积求模 【考点十三】平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例 【考点六】向量夹角的计算 【考点十四】余弦定理与正弦定理 【考点七】求投影向量 【考点十五】余弦定理、正弦定理应用举例 【考点八】用基底表示向量 【考点一】向量的加、减法 1.（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 2.（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 3.（24-25高一下·江西南昌·期末）在锐角中，若的最小值为，则的最大值为________． 【答案】 【分析】过点作于点，由向量减法的几何意义得出，进而得出，由两角差的正弦公式，辅助角公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】过点作于点， 则的最小值为，即， 在中，， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 即的最大值为， 故答案为：． 4.化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 【考点二】向量的线性运算的几何应用 5.（24-25高一下·河南鹤壁·期末）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 6．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【详解】. 故选：D 7.平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________． 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则计算即可. 【详解】如图所示， ， 所 故答案为： 8．设M为内一点，且，则与的面积之比为___________． 【答案】 【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可. 【详解】在取点，使得，则， 可知：点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：.    【考点三】平面向量数量积的几何意义 9.（23-24高一下·辽宁·期末）已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数量积的几何意义得到，再利用求解. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以，，， 又，则， 所以圆的半径为， 故选：C 10．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 11.在圆中，已知弦，则的值为_________． 【答案】2 【分析】设圆心，为半径，为弦，可得在上的投影为，再根据，计算求得结果． 【详解】如图，设圆心，为半径，为弦，   故在上的投影为， ， 故答案为：. 12．已知向量，，则在方向上的投影为_________. 【答案】 【分析】先利用，算出数量积和，再利用投影公式算出答案 【详解】因为，，所以， 所以在方向上的投影为 故答案为： 【考点四】数量积的运算律 13.（24-25高一下·湖北恩施·期末）设为非零向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式化简即可求得结果. 【详解】因为， 所以化简得，所以， 故选：D． 14．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知单位向量满足，则（ ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】把化成，平方即可得到答案. 【详解】由移项可得， 两边平方得：， 又因为 、、 都是单位向量， 所以，所以. 故选：B 15.（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知向量，满足，则 __ 【答案】6 【分析】利用平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为向量，满足， 所以， 故答案为： 16．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知向量满足，则___________． 【答案】2 【分析】由数量积的运算律转换为关于的方程即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 解得或（舍去）. 故答案为：2. 【考点五】已知数量积求模 17.（24-25高一下·河南许昌·期末）已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用平方法的方法来求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 18．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知单位向量，的夹角为，则=（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】对两边平方再开方可得答案. 【详解】. 故选：C. 19.（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意， ， 故当时，的取最小值. 故答案为： 20．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量，的夹角为，，，则______. 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 【考点六】向量夹角的计算 21.（24-25高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 22．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方展开后化简得到关于的方程，解方程即可. 【详解】由两边平方得，，所以． ， 故选：C． 23.（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则_____. 【答案】/ 【分析】根据平面向量夹角公式计算即可. 【详解】因为单位向量满足，若向量 所以，， 所以， 故答案为：. 24.（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【详解】（1）平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． （2）， 所以． （3）， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 【考点七】求投影向量 25.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 26．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 27.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 【答案】3 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 28.（23-24高一下·河北邢台·期末）已知平面向量，，满足，，． (1)若在上的投影向量为，求和的夹角； (2)若，，两两夹角为，且与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据投影向量的概念及公式直接计算； （2）根据垂直的向量表示，结合向量数量积的运算律列方程，解方程即可. 【详解】（1）在上的投影向量为， 因为，，所以，即， 所以， 即和的夹角为； （2）由与垂直，所以， 整理得， 又，，，且，，两两夹角为， 则，，， 则，解得， 综上，的值为或． 【考点八】用基底表示向量 29.（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C 30．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 31.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则_______． 【答案】 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 32.（24-25高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，； (2)若，求； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的加减法即可求解； （2）由得，利用平面向量数量积的运算律即可求解； （3）设，，又，利用数量积的定义得，利用二倍角公式化简得，令，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）由题意知，， ； （2）若，则， 所以， 可得， 即，所以． （3）设，， 因为， 所以 ， 令，则，， 因为，， 可得， 所以的取值范围是． 【考点九】平面向量基本定理的应用 33.（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 34．（25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 35.（24-25高一下·河南南阳·期末）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则_____. 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，由向量加法的法则结合条件可求得，将已知向量等式取平方，利用向量数量积的运算律计算即可. 【详解】如图，过点作交于点，交于点， 则，所以，即，. 又因平分，且，则，解得， 则，因此，又， 则 .解得. 故答案为：.    36.（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 37.（24-25高一下·广西百色·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由坐标表示向量的加法可得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 38．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，， ，， 设，，，解得， ，，. 故选：D. 39.（23-24高一下·河南南阳·期末）已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________. 【答案】或 【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接可得解. 【详解】 由点是线段的三等分点，可得，或， 则， 或， 即点的坐标为或， 故答案为：或. 40.（24-25高一下·河北雄安·期末）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据对应关系计算即可； （2）根据设，根据对应关系可得关于的方程组，求出其解后可得向量的坐标； （3）设，，根据对应关系可得及后可得两者相等. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． （2）设，则， 因为，则，即 解得因此． （3）设，，∴， ， 又，， 所以 ， 所以对任意向量，，均满足． 【考点十一】由向量共线（平行）求参数 41.（24-25高一下·广东湛江·月考）设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 42．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 43.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）设向量，若，则_______________. 【答案】 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，解得. 故答案为：. 44.（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 【考点十二】数量积的坐标表示 45.（24-25高一下·福建福州·期末）已知平面向量、满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，再结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则， 又因为，，故，解得. 故选：A. 46．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出，结合计算即可. 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 47.（24-25高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】证明出，可得出，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为，，，故， 所以， 故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，故， 所以， 故答案为：. 48.（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得，由此得到； （2）由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，由向量夹角公式可计算求得结果. 【详解】（1）， 由可得：，解得：， ． （2）， 由可得：，解得：， . 【考点十三】平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例 49.（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 50．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    51.（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 52．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N．（重力加速度g取） 【答案】 【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果. 【详解】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 【考点十四】余弦定理与正弦定理 53．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 54．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 55.（25-26高二上·湖南长沙·期末）在中，则__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由题意得， 又，所以. 故答案为： 56.（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【详解】（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 【考点十五】余弦定理、正弦定理应用举例 57.（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 58.（24-25高一下·广东汕头·期末）甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 【答案】 / 【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，得到，然后在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近， 则， 在中，由余弦定理得， 所以当，即航行时间为小时时，最小，即甲、乙两船相距最近， 最近距离是． 故答案为：；. 59.（24-25高一下·江苏南京·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. （2）因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 60．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练01 平面向量及其应用 【考点一】向量的加、减法 【考点九】平面向量基本定理的应用 【考点二】向量的线性运算的几何应用 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 【考点三】平面向量数量积的几何意义 【考点十一】由向量共线（平行）求参数 【考点四】数量积的运算律 【考点十二】数量积的坐标表示 【考点五】已知数量积求模 【考点十三】平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例 【考点六】向量夹角的计算 【考点十四】余弦定理与正弦定理 【考点七】求投影向量 【考点十五】余弦定理、正弦定理应用举例 【考点八】用基底表示向量 【考点一】向量的加、减法 1.（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·江西南昌·期末）在锐角中，若的最小值为，则的最大值为________． 4.化简下列各式: (1) (2) 【考点二】向量的线性运算的几何应用 5.（24-25高一下·河南鹤壁·期末）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 7.平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________． 8．设M为内一点，且，则与的面积之比为___________． 【考点三】平面向量数量积的几何意义 9.（23-24高一下·辽宁·期末）已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 10．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11.在圆中，已知弦，则的值为_________． 12．已知向量，，则在方向上的投影为_________. 【考点四】数量积的运算律 13.（24-25高一下·湖北恩施·期末）设为非零向量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知单位向量满足，则（ ） A．0 B． C． D．1 15.（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知向量，满足，则 __ 16．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知向量满足，则___________． 【考点五】已知数量积求模 17.（24-25高一下·河南许昌·期末）已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 18．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知单位向量，的夹角为，则=（   ） A．1 B．2 C． D．3 19.（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 20．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量，的夹角为，，，则______. 【考点六】向量夹角的计算 21.（24-25高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 23.（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则_____. 24.（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【考点七】求投影向量 25.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 27.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 28.（23-24高一下·河北邢台·期末）已知平面向量，，满足，，． (1)若在上的投影向量为，求和的夹角； (2)若，，两两夹角为，且与垂直，求的值． 【考点八】用基底表示向量 29.（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 31.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则_______． 32.（24-25高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，； (2)若，求； (3)若，求的取值范围． 【考点九】平面向量基本定理的应用 33.（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 35.（24-25高一下·河南南阳·期末）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则_____. 36.（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 37.（24-25高一下·广西百色·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 39.（23-24高一下·河南南阳·期末）已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________. 40.（24-25高一下·河北雄安·期末）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 【考点十一】由向量共线（平行）求参数 41.（24-25高一下·广东湛江·月考）设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 42．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 43.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）设向量，若，则_______________. 44.（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【考点十二】数量积的坐标表示 45.（24-25高一下·福建福州·期末）已知平面向量、满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 47.（24-25高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为______. 48.（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角的余弦值. 【考点十三】平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例 49.（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 51.（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    52．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N．（重力加速度g取） 【考点十四】余弦定理与正弦定理 53．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 55.（25-26高二上·湖南长沙·期末）在中，则__________. 56.（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 【考点十五】余弦定理、正弦定理应用举例 57.（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 58.（24-25高一下·广东汕头·期末）甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 59.（24-25高一下·江苏南京·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 60．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $