核心考点培优05：空间几何体８大必考题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优05：空间几何体8大必考题型 (高一复习全国通用) 题型一 立体图形直观图 3 题型二 锥体的表面积与体积 4 题型三 柱体的表面积与体积 6 题型四 台体的表面积与体积 9 题型五 几何体的最短路径问题 11 题型六 几何体的外接球问题 13 题型七 几何体的内切球问题 14 题型八 表面积与体积中的最值问题 16 思维导图 1.空间几何体（柱体、椎体、台体、球）的表面积与体积： (1)圆柱的侧面积(侧展图是矩形) 圆柱的表面积 (2)圆锥的侧面积(侧展图是扇形) 圆锥的表面积 (3)圆台的侧面积(侧展图是扇环) 圆台的表面积 (4)； (5)； (6) (7)；；截面圆性质：过球心与截面圆心的直线垂直于该截面（类似于垂径地理）；截面圆的直径一般用正弦定理求 (8)设长方体的长、宽、高分别为，其外接球半径为，则 (9)由长方体的四个顶点连接成的四面体，与长方体共同一个外接球 (10)由正方体的三个顶点构成的正三角形截面，都有正方体的一条对角线与它相交垂直，且交点为截面正三角形的中心，它也是该对角线的一个三等分点。正四面体中的问题，转化到相应的正方体中去研究，更容易解决问题 经典重现+变式提升 题型一 立体图形直观图 方法点拨： 知识梳理 1斜二测画法核心规则 建系：原图，直观图，夹角或 平行关系：与轴平行的线段，平行关系不变，长度不变 与轴平行的线段，平行关系不变，长度变为原来的；与轴平行的线段，长度与方向均不变 2原图与直观图的面积关系 ； 解题方法 1原图转直观图 按斜二测规则画坐标系，确定关键点坐标，按比例缩放轴长度，依次连线 2直观图还原原图 将轴方向线段长度乘以2，恢复直角坐标系，计算原图的边长、面积 3面积换算 直接套用面积比例公式，无需画图，快速计算 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·湖南长沙·月考）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（    ）    A． B． C．8 D．16 【变式1-1】 （云南德宏州2026年高一年级下学期期中教学质量统一监测数学试卷）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A．12 B．24 C． D． 【变式1-2】 （25-26高一下·天津河北·期中）如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A．24 B．12 C． D． 【变式1-3】 （25-26高一下·湖北武汉·期中）边长为1的正六边形的直观图的面积是__________. 题型二 锥体的表面积与体积 方法点拨： 1棱锥的结构特征 底面为多边形，侧面为共顶点的三角形，高为顶点到底面的垂线段 2表面积公式 侧面积：各侧面三角形面积之和，正棱锥侧面积（为底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为高） 解题方法 1表面积计算 先求底面边长与周长，再求斜高或各侧面的高，计算侧面积，最后加底面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式计算；高未知时，可通过勾股定理或等体积法求解 3正棱锥问题 利用底面中心与顶点连线为高，结合底面外接圆半径，构造直角三角形求斜高、高 刷经典·悟方法 【例2】 （25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】 （25-26高一下·天津红桥·期中）已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （25-26高一下·北京·月考）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】 （多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中S为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 D．若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则 题型三 柱体的表面积与体积 方法点拨： 1棱柱的结构特征 两底面平行且全等，侧面为平行四边形，侧棱互相平行且相等，直棱柱侧棱与底面垂直 2表面积公式 侧面积：直棱柱（为底面周长，为侧棱长），斜棱柱各侧面平行四边形面积之和 表面积： 3体积公式（为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 直棱柱直接用底面周长乘侧棱长求侧面积，再加两个底面积；斜棱柱需分别计算各侧面面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式；斜棱柱的高为两底面间的垂直距离，需注意与侧棱的区别 3特殊棱柱（长方体、正方体） 直接用公式计算：长方体，正方体，表面积分别为、 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【变式3-1】 （2026·北京通州·一模）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________ 【变式3-2】 （2026·山西吕梁·三模）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】 （25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 题型四 台体的表面积与体积 方法点拨： 1棱台的结构特征 由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到，上下底面平行且相似，侧棱延长线交于一点，侧面为梯形 2表面积公式 侧面积：正棱台（为上下底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 先求上下底面的周长和面积，再求斜高，计算侧面积，最后加上下底面积 2体积计算 直接代入棱台体积公式；也可还原为原棱锥，用大棱锥体积减去小棱锥体积求解 刷经典·悟方法 【例4】 （25-26高一下·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【变式4-1】 （多选）（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中.将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【变式4-2】 （多选）（25-26高一下·浙江·期中）正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 【变式4-3】 （25-26高二下·贵州贵阳·期中）在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 题型五 几何体的最短路径问题 方法点拨： 1圆柱侧面最短路径 沿母线剪开，展开为矩形，底面圆周长为矩形的长，高为矩形的宽，两点间的线段长度即为最短路径 2圆锥侧面最短路径 沿母线剪开，展开为扇形，计算扇形的圆心角，确定两点在扇形中的位置，再用余弦定理求线段长度 3棱柱/棱锥侧面最短路径 沿侧棱剪开，将侧面展开为平面图形，确定两点位置，构造直角三角形，用勾股定理计算最短路径长度 4通用步骤 确定展开方式→画出展开图→确定两点位置→计算线段长度 刷经典·悟方法 【例5】 （25-26高一下·浙江·期中）如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 【变式5-1】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【变式5-2】 （25-26高一下·浙江·期中）如图，为圆锥的轴截面，，则从点出发沿圆锥的侧面再回到点的最短路线的长是__________. 【变式5-3】 （多选）（25-26高一下·吉林长春·月考）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥SO的体积为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 题型六 几何体的外接球问题 方法点拨： 1外接球定义：经过几何体所有顶点的球，球心到各顶点的距离相等，等于球的半径 2常见几何体的外接球模型 长方体/正方体：外接球直径等于体对角线长度， 直棱柱：外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，半径（为底面外接圆半径，为高） 正棱锥：外接球的球心在高线上，设高为，底面外接圆半径为，则，解方程求 解题方法 1长方体/正方体模型 直接用体对角线公式计算外接球半径，快速秒杀 2直棱柱模型 先求底面外接圆半径，再结合高，用勾股定理求外接球半径 3正棱锥模型 确定底面外接圆半径和高，设球心在高线上，列方程求解 4补形法 将不规则几何体补成长方体、正方体或直棱柱，利用补形后的几何体的外接球求解原几何体的外接球 刷经典·悟方法 【例6】 （多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 【变式6-1】 （25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】 （云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题）已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且，则的轨迹长度为________． 【变式6-3】 （多选）（25-26高一下·湖南株洲·期中）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．球心在三棱锥的内部 C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为 题型七 几何体的内切球问题 方法点拨： 1内切球定义：与几何体所有面都相切的球，球心到各面的距离相等，等于球的半径 2核心公式：等体积法，（为几何体体积，为表面积，为内切球半径） 3常见几何体的内切球模型 正方体：内切球直径等于棱长， 正四面体：内切球半径（为高），外接球半径，且 解题方法 1正方体模型 直接用棱长的一半作为内切球半径 2正四面体模型 利用内切球与外接球的比例关系，或用等体积法计算 3通用方法（等体积法） 先求几何体的体积和表面积，再代入公式求解内切球半径 4规则多面体 利用对称性，确定球心位置，再结合几何关系求半径 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·广东汕头·月考）如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h，则当冰球完全融化为水时的深度约为（    ） 参考数据：；；；；. A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h 【变式7-1】 （2026·天津·二模）如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】 （25-26高三下·湖南长沙·月考）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式7-3】 （25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 题型八 表面积与体积中的最值问题 方法点拨： 1函数建模 根据几何体的参数关系，将表面积或体积表示为某一变量的函数，确定变量的取值范围 2基本不等式法 利用均值不等式，如，求面积或体积的最值，注意等号成立条件 3导数法 对函数求导，分析单调性，确定极值点，结合定义域求最值 4几何临界法 分析几何体的动态变化，找到临界位置（如相切、顶点重合），计算对应的表面积或体积 5变量消元法 刷经典·悟方法 【例8】 （2026·四川·二模）已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________． 【变式8-1】 （25-26高三下·安徽合肥·月考）在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______． 【变式8-2】 （2026高一·全国·专题练习）四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为______. 【变式8-3】 （2026·青海西宁·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 1．（安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题）如图，在四边形中，，，，现将其水平放置，用斜二测画法画出其直观图，则直观图的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 2．（2026·天津河西·二模）今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 3．（25-26高一下·宁夏银川·期中）直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东烟台·期中）一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（   ） A． B． C．3 D．4 5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B．2 C． D． 6．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．（25-26高一下·天津红桥·期中）设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·福建厦门·月考）若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 10．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·四川成都·期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 13．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高一下·浙江·期中）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆锥的外接球体积是 C．圆锥的内切球半径为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 15．（25-26高一下·安徽安庆·期中）棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 16．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________． 18．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 19．（25-26高一下·广西河池·月考）如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 20.（2026·广东江门·一模）已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 21.（2026·江苏南京·模拟预测）三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成的角为，则.现已知在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．8 C．9 D．16 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优05：空间几何体8大必考题型 (高一复习全国通用) 题型一 立体图形直观图 3 题型二 锥体的表面积与体积 5 题型三 柱体的表面积与体积 9 题型四 台体的表面积与体积 13 题型五 几何体的最短路径问题 17 题型六 几何体的外接球问题 22 题型七 几何体的内切球问题 25 题型八 表面积与体积中的最值问题 30 思维导图 1.空间几何体（柱体、椎体、台体、球）的表面积与体积： (1)圆柱的侧面积(侧展图是矩形) 圆柱的表面积 (2)圆锥的侧面积(侧展图是扇形) 圆锥的表面积 (3)圆台的侧面积(侧展图是扇环) 圆台的表面积 (4)； (5)； (6) (7)；；截面圆性质：过球心与截面圆心的直线垂直于该截面（类似于垂径地理）；截面圆的直径一般用正弦定理求 (8)设长方体的长、宽、高分别为，其外接球半径为，则 (9)由长方体的四个顶点连接成的四面体，与长方体共同一个外接球 (10)由正方体的三个顶点构成的正三角形截面，都有正方体的一条对角线与它相交垂直，且交点为截面正三角形的中心，它也是该对角线的一个三等分点。正四面体中的问题，转化到相应的正方体中去研究，更容易解决问题经典重现+变式提升 题型一 立体图形直观图 方法点拨： 知识梳理 1斜二测画法核心规则 建系：原图，直观图，夹角或 平行关系：与轴平行的线段，平行关系不变，长度不变 与轴平行的线段，平行关系不变，长度变为原来的 与轴平行的线段，长度与方向均不变 2原图与直观图的面积关系 ； 解题方法 1原图转直观图 按斜二测规则画坐标系，确定关键点坐标，按比例缩放轴长度，依次连线 2直观图还原原图 将轴方向线段长度乘以2，恢复直角坐标系，计算原图的边长、面积 3面积换算 直接套用面积比例公式，无需画图，快速计算 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·湖南长沙·月考）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（    ）    A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以，    由斜二测画法可知原平面图形如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 【变式1-1】 （云南德宏州2026年高一年级下学期期中教学质量统一监测数学试卷）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 【变式1-2】 （25-26高一下·天津河北·期中）如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】由直观图可得，， 所以原图形为 所以，，，， ，， 所以原图形的周长是. 【变式1-3】 （25-26高一下·湖北武汉·期中）边长为1的正六边形的直观图的面积是__________. 【答案】 【详解】由于 边长为1的正六边形的面积为， 故其直观图的面积为. 题型二 锥体的表面积与体积 方法点拨： 1棱锥的结构特征 底面为多边形，侧面为共顶点的三角形，高为顶点到底面的垂线段 2表面积公式 侧面积：各侧面三角形面积之和，正棱锥侧面积（为底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为高） 解题方法 1表面积计算 先求底面边长与周长，再求斜高或各侧面的高，计算侧面积，最后加底面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式计算；高未知时，可通过勾股定理或等体积法求解 3正棱锥问题 利用底面中心与顶点连线为高，结合底面外接圆半径，构造直角三角形求斜高、高 刷经典·悟方法 【例2】 （25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 【变式2-1】 （25-26高一下·天津红桥·期中）已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 【变式2-2】 （25-26高一下·北京·月考）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 【变式2-3】 （多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中S为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 D．若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则 【答案】AC 【分析】求出圆锥的底面半径、高、母线长后，结合圆锥体积和圆台体积公式逐项判断可得答案. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为， 则，解得，则； 对A：圆锥的母线长为，故A正确； 对B：圆锥的体积，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，则圆锥的高为，底面半径为， 则，故， 即，故D错误.    题型三 柱体的表面积与体积 方法点拨： 1棱柱的结构特征 两底面平行且全等，侧面为平行四边形，侧棱互相平行且相等，直棱柱侧棱与底面垂直 2表面积公式 侧面积：直棱柱（为底面周长，为侧棱长），斜棱柱各侧面平行四边形面积之和 表面积： 3体积公式（为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 直棱柱直接用底面周长乘侧棱长求侧面积，再加两个底面积；斜棱柱需分别计算各侧面面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式；斜棱柱的高为两底面间的垂直距离，需注意与侧棱的区别 3特殊棱柱（长方体、正方体） 直接用公式计算：长方体，正方体，表面积分别为、 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题可知截去的几何体为三棱锥，再利用锥体体积公式计算即可； （2）由题可知表面由3个三角形和3个矩形构成，结合余弦定理求面积即可． 【详解】（1）解：被截去的几何体为三棱锥，体积为． （2）解：因为，， 所以，，， ． ，， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 所以 【变式3-1】 （2026·北京通州·一模）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________ 【答案】 【详解】已知圆柱底面半径，高，圆锥高，且圆锥底面与圆柱上底面重合，故圆锥底面半径也为。 、体积的计算 ∵ 圆柱体积公式为， ∴ 。 ∵ 圆锥体积公式为， ∴ 。 ∴ 组合体体积。 、表面积计算 先求圆锥母线长，由勾股定理： ∵ ， ∵ 圆锥侧面积公式为， ∴ 。 ∵ 圆柱侧面积公式为， ∴ 。 ∵ 圆柱下底面积公式为， ∴ 。 ∵ 圆锥底面与圆柱上底面重合，属于内部面，不计入外露表面积， ∴ 组合体表面积。 【变式3-2】 （2026·山西吕梁·三模）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I，    则多面体可以分成8个全等三棱锥， 则，且平面，， 则， 该“十字贯穿体”的体积即为. 【变式3-3】 （25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 【答案】B 【详解】已知是AB的中点，是的中点， ， 又， ， ， 即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 题型四 台体的表面积与体积 方法点拨： 1棱台的结构特征 由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到，上下底面平行且相似，侧棱延长线交于一点，侧面为梯形 2表面积公式 侧面积：正棱台（为上下底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 先求上下底面的周长和面积，再求斜高，计算侧面积，最后加上下底面积 2体积计算 直接代入棱台体积公式；也可还原为原棱锥，用大棱锥体积减去小棱锥体积求解 刷经典·悟方法 【例4】 （25-26高一下·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 【变式4-1】 （多选）（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中.将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【答案】BC 【分析】先还原直观图得原图，再结合圆台的体积公式，侧面积公式求解即可. 【详解】在四边形中，由题知是底角为的等腰梯形， 所以. 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中， 则，故A错误； 因为，则几何体是上底半径为1，下底半径为3，高为的圆台，故B正确； 几何体的体积为，故C正确； 几何体的侧面积为，故D错误. 【变式4-2】 （多选）（25-26高一下·浙江·期中）正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据棱台体积公式、勾股定理、余弦定理等知识逐项判断即可. 【详解】如图，，则棱台的高为，故A错误； 四棱台的体积，故B正确； 四棱台的外接球的球心在直线上，球心在的延长线上，记为， 设外接球的半径，设， 则有，解得，则，故C正确； 将侧面和展开平铺成一个平面．当A，P，C三点共线时，最小， 且的最小值为线段AC长，易知， 且，在展开图中由余弦定理可知，故D正确． 【变式4-3】 （25-26高二下·贵州贵阳·期中）在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作于点，则底面， 因为，所以， 故，， 侧棱与底面的所成角为， 则，故， 故该正四棱台的体积为. 题型五 几何体的最短路径问题 方法点拨： 1圆柱侧面最短路径 沿母线剪开，展开为矩形，底面圆周长为矩形的长，高为矩形的宽，两点间的线段长度即为最短路径 2圆锥侧面最短路径 沿母线剪开，展开为扇形，计算扇形的圆心角，确定两点在扇形中的位置，再用余弦定理求线段长度 3棱柱/棱锥侧面最短路径 沿侧棱剪开，将侧面展开为平面图形，确定两点位置，构造直角三角形，用勾股定理计算最短路径长度 4通用步骤 确定展开方式→画出展开图→确定两点位置→计算线段长度 刷经典·悟方法 【例5】 （25-26高一下·浙江·期中）如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用侧面展开解题； （2）法一，总体积减去多余的体积；法二，等体积换顶点体积； （3）确定正棱柱的外接球球心，求得半径，代入表面积公式. 【详解】（1）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当A，F，E三点共线时，取得最小值， 且最小值为． （2）法一：因为为等边三角形，， 所以的面积，又， 所以， ， ， 所以． 法二：因为的面积，， 所以． （3）设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为． 正三棱柱的外接球半径， 外接球表面积． 【变式5-1】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【答案】 【分析】将长方体的表面展开为平面图，将原问题转化为平面问题，利用两条直线之和共线时长度最小即可求解. 【详解】将平面与平面沿直线翻折为一个平面（如下图所示），将原问题转化为平面问题. 本题所求必在下图所示的图中，从而连接，为线段上的一个动点（不含端点）， 则，当且仅当在线段上时等号成立， ，则四边形为正方形， 由可得， 则， 所以的最小值为. 【变式5-2】 （25-26高一下·浙江·期中）如图，为圆锥的轴截面，，则从点出发沿圆锥的侧面再回到点的最短路线的长是__________. 【答案】 【详解】因为，所以圆锥底面圆周长为，即侧面展开图中扇形的弧长为， 因为，所以扇形的圆心角， 则最短路线长为该圆心角所对应弦长. 【变式5-3】 （多选）（25-26高一下·吉林长春·月考）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥SO的体积为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】求得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，结合圆锥的侧面积公式，可判定A不正确；当时，得到的面积取得最大值，结合体积公式，可判定B正确； 根据圆锥的体积公式，可判定C正确；将以为轴旋转到与平面所在平面共面，结合，可判定D正确. 【详解】在直角中，可得， 则圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 对于A，圆锥的侧面积为，所以A不正确； 对于B，连接，当时，此时的面积取得最大值， 最大面积为， 所以三棱锥体积的最大值为，所以B正确； 对于C，由圆锥的底面圆的半径为 ，高， 可得圆锥的体积为，所以C正确； 对于D，由，可得， 又由，所以为等边三角形，所以， 将以为轴旋转到与平面所在平面共面，得到， 则为等边三角形，且， 如图所示，，当三点共线时，取得等号， 因为， 所以， 所以的最小值为，所以D正确. 题型六 几何体的外接球问题 方法点拨： 1外接球定义：经过几何体所有顶点的球，球心到各顶点的距离相等，等于球的半径 2常见几何体的外接球模型 长方体/正方体：外接球直径等于体对角线长度， 直棱柱：外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，半径（为底面外接圆半径，为高） 正棱锥：外接球的球心在高线上，设高为，底面外接圆半径为，则，解方程求 解题方法 1长方体/正方体模型 直接用体对角线公式计算外接球半径，快速秒杀 2直棱柱模型 先求底面外接圆半径，再结合高，用勾股定理求外接球半径 3正棱锥模型 确定底面外接圆半径和高，设球心在高线上，列方程求解 4补形法 将不规则几何体补成长方体、正方体或直棱柱，利用补形后的几何体的外接球求解原几何体的外接球 刷经典·悟方法 【例6】 （多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由球表面积求得，由几何关系，正三棱柱的性质，三棱柱的体积公式及基本不等式结合选项分别判断即可求解． 【详解】由已知球表面积为得半径， 对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确； 对于B，由几何关系得，即， 代入，得，故B正确； 对于C，若，则，体积，故C错误； 对于D，由得， 侧面积， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，故D正确． 【变式6-1】 （25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 【变式6-2】 （云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题）已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且，则的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】如图，设在平面上的射影为，四面体的外接球的半径为． 易得，． 由，得，得． 因为为的中点，所以． 又，所以的轨迹是半径为的圆，所以的轨迹长度为． 【变式6-3】 （多选）（25-26高一下·湖南株洲·期中）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．球心在三棱锥的内部 C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为 【答案】ACD 【分析】选项A，利用余弦定理计算的长度；选项B，结合底面外接圆圆心和球心关系判断即可；选项C，根据外接球的球心位置规律推导距离；选项D，利用外接球半径公式求出球的半径，再使用球的表面积公式计算. 【详解】底面，，，. 选项A：由余弦定理： ，得，A正确； 选项B：底面中，是钝角，钝角三角形的外心（外接圆圆心）在三角形外部，因此三棱锥外接球的球心在三棱锥外部，B错误； 选项C：侧棱垂直底面，外接球的球心在过底面外心且垂直于底面的直线上， 球心到底面的距离，C正确； 选项D：由正弦定理，底面外接圆半径满足： ， 外接球半径满足， 因此球的表面积：，D正确. 题型七 几何体的内切球问题 方法点拨： 1内切球定义：与几何体所有面都相切的球，球心到各面的距离相等，等于球的半径 2核心公式：等体积法，（为几何体体积，为表面积，为内切球半径） 3常见几何体的内切球模型 正方体：内切球直径等于棱长， 正四面体：内切球半径（为高），外接球半径，且 解题方法 1正方体模型 直接用棱长的一半作为内切球半径 2正四面体模型 利用内切球与外接球的比例关系，或用等体积法计算 3通用方法（等体积法） 先求几何体的体积和表面积，再代入公式求解内切球半径 4规则多面体 利用对称性，确定球心位置，再结合几何关系求半径 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·广东汕头·月考）如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h，则当冰球完全融化为水时的深度约为（    ） 参考数据：；；；；. A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h 【答案】C 【详解】依题意得，冰球是正四面体的内切球，如图所示： 设正四面体的高为、棱长为，冰球（内切球）的半径为，则； ,解得； ,解得； ，即融化后水的体积为； 由正四面体的高为、棱长为，，得正四面体的体积； 由水在正四面体容器中形成的形状是一个小的正四面体，设冰球完全融化为水时的深度为, 则，即，； ，. 【变式7-1】 （2026·天津·二模）如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨取正方体边长为，根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，计算出表面积和体积，进而得到内切球半径及体积，再求比值即可． 【详解】解：连接它们的交点后如下图所示， 是中点，不妨取正方体边长为， 所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为， 体积， 则内切球半径，， ． 【变式7-2】 （25-26高三下·湖南长沙·月考）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 【变式7-3】 （25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】/ 【详解】过作于点，如图：    则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 题型八 表面积与体积中的最值问题 方法点拨： 1函数建模 根据几何体的参数关系，将表面积或体积表示为某一变量的函数，确定变量的取值范围 2基本不等式法 利用均值不等式，如，求面积或体积的最值，注意等号成立条件 3导数法 对函数求导，分析单调性，确定极值点，结合定义域求最值 4几何临界法 分析几何体的动态变化，找到临界位置（如相切、顶点重合），计算对应的表面积或体积 5变量消元法 刷经典·悟方法 【例8】 （2026·四川·二模）已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先尝试作出截面，并找到截面与上底面的交线，通过对交线的情况讨论解决问题. 【详解】 设正方体棱长为，体积为， 如图1，过O、M两点的平面与交于点， 过O、M两点的平面将正方体分为两部分， 记两部分的体积分别为、，设， 如图2，当时，两部分的体积分别为和，此时， 当时，如下图 的体积相对于时 增加了一个斜三棱柱的体积， 同时减少了多面体的体积， 观察上图发现增加的体积多于减少的体积，且其体积是连续变化的， 当，如下图的体积必然大于多面体的体积， 计算多面体的体积为， ， 所以多面体的体积为， 所以当，如下图的体积必然大于， 如下图，当截面与上底面的交点在上时， 考虑特殊情况为上的中点时，，此时，根据对称性，， 且从运动到上的中点过程中，同时一样，的体积必然大于，， 再根据对称性，及体积变化的连续性知，的取值范围是. 【变式8-1】 （25-26高三下·安徽合肥·月考）在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______． 【答案】 【分析】利用结构特征，将几何体补全为直棱柱，结合正弦定理、外接球与直棱柱的空间关系列方程求外接球半径，即可得. 【详解】由题意知CD为异面直线AD与BC的公垂线， 将四面体补形为直三棱柱，如图： 由已知可得，，由，故． 在中，，，． 在中，由正弦定理得底面外接圆直径，即． 设外接球的半径为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积的最小值为． 【变式8-2】 （2026高一·全国·专题练习）四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为______. 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理结合基本不等式求出面积的最大值；结合线线角可得点到平面距离的最大值，即可计算求解. 【详解】 设点到平面距离为，，， ， ，即（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）； 直线与所成角为，直线与平面所成角的最大值为， 点到平面距离的最大值， 四面体体积的最大值为. 【变式8-3】 （2026·青海西宁·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 1．（安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题）如图，在四边形中，，，，现将其水平放置，用斜二测画法画出其直观图，则直观图的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】原直角梯形的面积为，水平放置的平面图形的斜二测画法直观图的面积与原图的面积之比为， 故直观图的面积为. 2．（2026·天津河西·二模）今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 【答案】C 【分析】根据题意可得梯形的高（即几何体的高）为，利用长方体的体积减去四个三棱锥的体积即可求解. 【详解】将原图形补全为长方体，如下图： 因为侧面为等腰梯形，上底长米，下底长米，腰长米， 所以梯形的高（即几何体的高）为：米 所以长方体下底面长米、宽米，高为米，体积立方米； 由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：米，米， 所以每个三棱锥的体积为：立方米， 4 个三棱锥总体积：立方米 所以该纪念碑基座的体积为立方米 3．（25-26高一下·宁夏银川·期中）直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据几何关系求出直三棱柱的外接球半径，最后利用外接球表面积公式即可求解. 【详解】根据正弦定理，在中，解得. 直三棱柱外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点，满足勾股定理， 代入，，则. 球的表面积公式为. 4．（25-26高一下·山东烟台·期中）一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】将直观图复原为原图，求相关长度，即可得结果. 【详解】在等腰梯形中，，，，则， 将直观图复原为原图，如图所示： 则，所以. 5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即，得，球的体积公式为，代入可得：， 解得，所以. 6．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 7．（25-26高一下·天津红桥·期中）设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得长方体的对角线长为，结合长方体的性质，求得，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由长方体的长、宽、高分别为2，1，1，可得长方体的对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以该球的体积为. 8．（2026高一·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 9．（25-26高一下·福建厦门·月考）若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 10．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出等边三角形边长为4，则由题意可得圆锥的底面半径为2，母线长为4，从而可求出其侧面积. 【详解】设圆锥的轴截面的等边三角形的边长为， 则，解得， 所以圆锥的底面半径为2，母线长为4， 所以圆锥的侧面积为. 11．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 12．（25-26高一下·四川成都·期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 13．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 14．（多选）（25-26高一下·浙江·期中）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆锥的外接球体积是 C．圆锥的内切球半径为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得；D展开共线时最短； 【详解】根据题意可得底面半径和母线的长分别为， 所以侧面积为，底面积为， 所以圆锥的表面积为，故A对； 设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。 由于圆锥的高，底面半径， 所以，代入得 ， 所以，故B正确； 圆锥的体积，， ，故C错误； 由，E为线段上的动点，得， 又，所以为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 所以为等边三角形，则， 则, 因为, , 则，故D正确 15．（25-26高一下·安徽安庆·期中）棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 【答案】 【详解】如图所示，由正八面体对称性可知底面为正方形，正方形的对角线交点. 底面正方形的边长为，其对角线，故中心到顶点的距离为. 在正四棱锥中，侧棱长. 由勾股定理得棱锥的高. 同理，在正四棱锥中，棱锥的高. 因此点到顶点的距离. 综上，点到所有顶点的距离均为，即外接球半径. 代入球的体积公式得. 16．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形，在这个图形中由几何法求得球半径，再计算表面积. 【详解】如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过， 由已知，，， 设， 若在线段上，则， ，即，解得， 所以与重合， 若在延长线上，则， 则有，同样解得，即与重合， 所以球半径为， 表面积为 17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________． 【答案】 【分析】把四面体放置在一个长方体中，得到四面体的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】把四面体放置在一个如图所示的长方体中， 可得四面体的外接球即为该长方体的外接球， 设长方体的长、宽、高分别为，且外接球的半径为 因为， 可得，三式相加，可得，即， 所以，所以， 所以四面体外接球的表面积为. 18．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 【答案】 【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 19．（25-26高一下·广西河池·月考）如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 【答案】 【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】， 则. 20.（2026·广东江门·一模）已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 【答案】8 【分析】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球，再求解内切球的半径得到正方体的棱长，最后计算体积. 【详解】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大， 则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球， 设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥侧面积为，解得. 如图，在圆锥轴截面中，，则， 所以， 所以圆锥内切球半径，即正方体外接球半径为. 设正方体的棱长为，则，解得， 所以正方体的体积为. 21.（2026·江苏南京·模拟预测）三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成的角为，则.现已知在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】作出图形，，，平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要求三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来求解即可. 【详解】过点作，平面，连接. 因为平面，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以即为平面与平面所成的角的平面角. 因为，， 所以. 在中，. . 所以， 当且仅当时，等号成立. 故当时，三棱锥体积最大，为16. 2 学科网（北京）股份有限公司 $