1.1线段的比 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“比例线段”核心内容，涵盖比例基本性质、两条线段的比、成比例线段及黄金分割，通过“逐点导讲练→课堂小结→作业提升”流程，从比例式与等积式互化切入，逐步延伸到线段比计算、成比例线段判断及黄金分割应用，构建递进式学习支架。 其亮点在于融合一题多解（如参数法与消元法解比例）、分类讨论（如黄金分割点位置讨论）及实际应用（比例尺、人体雕像设计），培养学生运算能力与推理意识。通过具体实例（如乐器弦长黄金分割计算），帮助学生用数学眼光观察现实，提升解题与应用能力，为教师提供系统教学资源与多样化例题支持。

1.1 比例线段 第一章 图形的相似 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 比例的基本性质 两条线段的比 成比例的线段 黄金分割 知识点 比例的基本性质 知1－讲 1 1. 如果＝，那么称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项. a，b，c，d 成比例也可记作 a ∶ b=c ∶ d. 2. 比例的基本性质：如果 ＝，那么 ad=bc. 即比例式中两外项 之积等于两内项之积 . 感悟新知 知1－讲 注意 (1)比例的基本性质的逆命题也成立，即如果 ad=bc(a，b，c，d 都不为零)，那么 ＝. (2)特别地，如果 ＝或 b2=，那么 b 叫作 a 和 d 的比例中项 . 注意 感悟新知 知1－讲 3. 比例的其他性质(拓展点) (1)(更比性质)如果 ＝，那么= 或=. (2)(反比性质)如果 ＝，那 =. (3)(合比性质)如果 ＝，那么 = . (4)(分比性质)如果 ＝，那么 = . (5)(等比性质)如果 ＝=…=(b+d+…+n≠ 0)，那么= . 感悟新知 知1－讲 特别提醒 =为比例式，ad=bc为等积式，由比例式得等积式是唯一的，而由等积式得比例式是不唯一的，只要写出的比例式的两内项之积等于两外项之积且与原等式相同即可. 感悟新知 知1－讲 特别解读 如果=，那么等式两边同时加上 1 或减去 1，得 = . 感悟新知 知1－练 [母题 教材 P4 练习 T1]已知四个实数a，b，c，d成比例，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于( ) A. 1 B. 10 C. D. 解题秘方：紧扣“比例的定义”列比例式求解. 例1 感悟新知 知1－练 解：由题意得＝ . 因为a＝2，b＝4，c＝5，所以＝.解得d＝10. 答案：B 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. 已知 3， 4， 5， x 成比例，则 x 的值为_______. 知1－练 [一题多解]] 已知＝＝(xyz ≠ 0)，则 ＝_______. 解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或参数法求解. 例2 感悟新知 知1－练 解：方法一 由＝，得y＝. 由＝，得z＝2x. 由题意知x ≠ 0，故原式＝＝＝. 方法二 设＝＝＝k，∴ x＝2k，y＝3k，z＝4k. 易知k ≠ 0，故原式＝＝＝. 感悟新知 知1－练 教你一招 利用比例的基本性质求代数式的值的方法： 1. 消元法，即用含有同一个字母的代数式表示其他的字母，然后代入求值； 2. 参数法，即当条件中出现多个比值相等时，根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入代数式求值. 感悟新知 知1－练 感悟新知 2-1.若 = = (a b c ≠ 0)， 则= _______． 知1－练 感悟新知 2-2. 已知=，求的值． 解法一：因为=，所以+1=.所以=-1=. 解法二：因为=，所以4(x+y)=9y， 即4x=5y.所以=. 知识点 两条线段的比 知2－讲 2 1. 两条线段的比：一般地，如果两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB 与A′B′的比，记作= . 如果的比值为k，那么上述式子也可写成=k，或AB=k·A′B′. 感悟新知 知2－讲 注意 两条线段的比具有顺序性，若表示线段AB 与线段CD 的比，则必须把表示线段AB 长度的数写在比号前面或分数线上面(比的前项)，表示线段CD 长度的数写在比号后面或分数线下面(比的后项)，并化为最简整数比. 感悟新知 2. 比例尺：在地图或工程图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，比例尺也是两条线段的比的一种. 知2－讲 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 两条线段的比是指它们的长度的比，因此两条线段的比是一个正数，与长度单位的选择无关，但在求比值时两条线段一定要选用同一长度单位. 2. 两条线段的比与数的比一样，都表示两个量之间的倍分关系. 感悟新知 知2－练 [一题多解] 若a=0.6 m，b=90 cm，则a∶b=______. 解题秘方：求两条线段的比，当给出的线段的长度单位不同时，必须先统一长度单位，再求线段的比. 例3 解：方法一 a ∶ b=0.6 ∶ 0.9=2 ∶ 3. 方法二 a ∶ b=60 ∶ 90=2 ∶ 3. 将cm 化成m 将m 化成cm 2 ∶ 3 感悟新知 知2－练 3-1. 已知a=0.2 dm，b=4 cm，则a ∶b=_______， b ∶a=______ . 1∶2 2∶1 感悟新知 某市的两个旅游景区之间的距离为105 km，在一张比例尺为1∶2 000 000 的地图上，它们之间的距离大约相当于 ( ) A. 一根火柴的长度 B. 一根粉笔的长度 C. 一支铅笔的长度 D. 一根筷子的长度 解题秘方：根据“图上距离∶实际距离= 比例尺”列方程求解. 例4 知2－练 感悟新知 知2－练 解：105 km=10 500 000 cm. 设图上距离为x cm，则x ∶ 10 500 000=1 ∶ 2 000000，解得x=5.25.所以它们之间的图上距离为5.25cm，约为一根火柴的长度. 答案：A 感悟新知 知2－练 感悟新知 4-1. 已知在比例尺为1∶4 000 000的地图上，量得上海市和杭州市两地的距离是4.5 cm，那么上海市到杭州市的实际距离是_______km. 180 知3－讲 知识点 成比例的线段 3 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例的线段. 例如，已知四条线段a，b，c，d，若=，则a，b，c，d 是成比例的线段. 感悟新知 知3－讲 注意 (1)通常情况下，四条线段a，b，c，d 的长度单位应该一 致，但有时为了方便，也可使a 与b 的长度单位一致，c 与d 的长度单位一致. 如a=1 m，b=2 m，c=20 cm，d= 40 cm，则有=. (2)成比例的线段是有顺序的，如若a，b，c，d 是成比例的线段，则a ∶b=c ∶ d 或=，不能随意更改位置，若写成a ∶ b=d ∶ c 就是错误的. 感悟新知 知3－讲 特别解读 线段对应成比例： 类似地，若 == ，则称线段AB，BC,AC 与线段A′B′，B′C′，A′C′对应成比例. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P7 练习T1]已知a，b，c，d 是成比例的线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，则d=______cm． 解题秘方：先根据成比例的线段的定义写出比例式，然后将已知线段的长度代入比例式，得到关于待求线段长的方程，解方程即可求解. 例5 感悟新知 知3－练 答案：4 解：由a，b，c，d 是成比例的线段，可得=. 将a=3 cm， b=2 cm，c=6 cm 代入=中，得= ，所以d=4 cm. 感悟新知 知3－练 感悟新知 5 - 1 . 若a ，b ，c ，d是成比例的线段，其中b = 4 cm， c =3 cm，d=2cm，则a=______ . 6cm 知3－练 [母题 教材P5 例4]下列长度的各组线段中，能构成成比例的线段的是( ) A. 3 cm，7 cm，6 cm，9 cm B. 2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C. 3 cm，9 cm，18 cm，6 cm D. 2 cm，1 cm，3 cm，4 cm 例6 感悟新知 知3－练 思路导引： 感悟新知 知3－练 解：选项A 中，将四条线段的长度按从小到大的顺序排列为3 cm，6 cm，7 cm，9 cm，因为≠，所以不能构成成比例的线段；选项B 中，0.6 dm=6 cm，将四条线段的长度按从小到大的顺序排列为2 cm，5 cm，6 cm，8 cm，因为 ≠，所以不能构成成比例的线段； 感悟新知 知3－练 答案：C 选项C 中，将四条线段的长度按从小到大的顺序排列为 3 cm，6 cm，9 cm，18 cm，因为=，所以能构成成比例的线段；选项D 中，将四条线段的长度按从小到大的顺序排列为1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，因为≠，所以不能构成成比例的线段. 感悟新知 知3－练 感悟新知 6-1.下列线段是成比例的线段吗？请说明理由. (1)a=2 cm，b=1 cm，c=6 cm，d=3 cm. 解：是成比例的线段.理由如下： 因为a∶b=2∶1，c∶d=6∶3=2∶1， 所以a∶b=c∶d，所以a，b，c，d是成比例的线段. 知3－练 感悟新知 (2)a =15 cm ，b =12 cm，c=4 cm，d=5 cm. 解：是成比例的线段.理由如下： 因为a∶d=15∶5=3∶1，b∶c=12∶4=3∶1， 所以a∶d=b∶c，所以a，d，b，c是成比例的线段. 知4－讲 知识点 黄金分割 4 如图1.1-1， 线段AB 上的一点C 将线段AB 分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC 的比等于较长线段AC 与原线段AB 的比，那么称线段AB 被点C 黄金分割， 感悟新知 知4－讲 点C 叫作线段AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段AB 的比叫作黄金分割比，比值为，它约等于0.618. 则 有： = = ≈ 0.618，即AC2=AB·BC. 感悟新知 知4－讲 特别解读 如图1.1-2，线段AB有两个黄金分割点C 和D，其中点D 靠近点A，则有 = ，点C靠近点B，则有= ，并且AD=BC，AC=BD. 感悟新知 知4－练 感悟新知 [母题 教材P7 练习T3]如图1.1-3，已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB 为边作正方形ABCD，取AD 的中点E，连接EB，延长DA 到F，使EF=EB，以线段AF 为边，作正方形AFGH，那么点H 是线段AB 的黄金分割点吗？请说明理由. 例7 知4－练 感悟新知 解题秘方：设AB=AD=x，根据题意和勾股定理 求出BE 的长，然后求出AH ∶ AB 的值判断即可. 解：点H 是线段AB 的黄金分割点. 理由如下： 设AB=AD=x，因为E 是AD 的中点，所以AE= x. 在Rt △ ABE 中，由勾股定理，得BE= = =x，所以EF=x，所以AH=AF=x- x=x. 所以 == .所以点H 是线段AB 的黄金分割点. 知4－练 感悟新知 7-1. 如图，已知AB=2，C 是AB 的黄金分割点，点D 在AB 上，且AD2=BD·AB． 知4－练 感悟新知 (1)求CD 的长； 解：因为AD2=BD·AB， 所以易知D是AB的黄金分割点，且AD>BD. 所以AD=AB=-1，同理可得BC=-1， 所以CD=AD+BC-AB=-1+-1-2=2-4. 知4－练 感悟新知 (2)求证：C 是AD 的黄金分割点. 解：证明：由(1)知AD=-1，CD=2-4， 所以AC=AD-CD=-1-(2-4)=3-. 所以==，所以C是AD的黄金分割点. 知4－练 [中考·达州 ] 如图 1.1-4，乐器上的一根弦 AB=80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点 C，D 之间的距离为_____________cm(结果保留根号). 例8 (80 -160) 感悟新知 知4－练 解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割比进行计算即可 . 解：因为点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，AB=80 cm，所以 AC=AB=(40 -40)cm. 因为点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，AB=80 cm，所以 DB= AB=(40-40)cm. 所以 CD=AC+BDAB=(80 -160)cm. 感悟新知 知4－练 感悟新知 8-1.[期末·湘潭岳塘区 ] 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子，如图，点 P 是 AB 的黄金分割点(AP>PB)，如果 AB的长约为 8 cm，那么BP 的长约为_______ cm(结果保留根号). (12-4) 线段的比 比例线段 比例的基本性质 成比例的线段 两条线段的比 成比例的线段 黄金分割 课堂小结 [新考法 分类讨论法]已知 a，b，c 满足=== k，则 k 的值为(　　) A．2 B．0 或 2 C．-1 D．2 或 -1 例9 解题秘方：根据等比性质成立的前提条件，对各分母之和是否为 0 进行讨论是解决本题的关键 . 题型 利用分类讨论法解等比中求比值问题 1 综合应用创新 解：分两种情况： ①当 a+b+c=0 时，b+c=-a，则 k= = =-1； ②当 a+b+c ≠ 0 时，则 k= =2. 综上所述，k 的值为 2 或 -1. 答案：D 综合应用创新 特别提醒 运用等比性质的前提条件是各个分母的和不能等于零 . 如果题目中没有此条件，在运用等比性质之前应分类讨论，否则将会出现漏解的情况 . 综合应用创新 已知线段 AB=10 cm，点 C 是 AB 的黄金分割点，求 AC 与BC 的长 . 例10 解题秘方：紧扣黄金分割的定义，根据黄金分割点的位置不同进行分类讨论计算线段长 . 题型 利用分类讨论法求黄金分割的线段长 2 综合应用创新 解：因为点 C 是 AB 的黄金分割点， 所以分 AC>BC 和 AC<BC 两种情况讨论 . ①当 AC>BC 时，有 = . 又因为 AB=10 cm，所以 AC=10×=(5 -5)cm. 所以 BC=AB-AC=(15-5)cm. 综合应用创新 ②当 AC<BC 时，有=. 又因为 AB=10 cm，所以 BC=10× =(5 -5)cm. 所以 AC=AB-BC=(15-5)cm.综上，当 AC 的长为(5 -5)cm 时，BC 的长为(15-5)cm； 当 AC 的长为(15-5)cm 时，BC 的长为(5-5)cm. 综合应用创新 误区警示 本题出错的主要原因是已知点 C 是 AB 的黄金分割点，便误认为一定是 AC>BC，导致解答过程不完整 . 综合应用创新 已知三条线段的长度分别是 4 cm，8 cm，5 cm，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例的线段 例11 错解：设另一条线段的长度是 x cm.由成比例的线段的定义，得 4 ∶ 8= 5 ∶ x，解得 x =10.所以另一条线段的长度为 10 cm. 易错点 判断四条线段是不是成比例的线段时易忽略顺序出现漏解 1 综合应用创新 正解：设另一条线段的长度为 x cm，由题意，得 ①当 4，5，8，x 为成比例的线段时，4 ∶ 5=8 ∶ x，解得 x= 10；②当 4，5，x，8 为成比例的线段时，4 ∶ 5= x ∶ 8，解得 x= ；③当 x，4，5，8 为成比例的线段时，x ∶ 4=5 ∶ 8，解得 x=.所以所求线段的长度为 10 cm 或cm 或cm． 综合应用创新 诊误区： 当四条线段成比例时，比例中各项有一定的顺序，不同的顺序会产生不同的结果，需分类讨论计算出结果 . 综合应用创新 考法 利用比例的基本性质求代数式的值 1 [一题多解中考·郴州]若=，则的值为_______． 例12 试题评析：本题考查比例的性质，既可以用分比性质，也可以用比例的基本性质求解. 中考风向标 解：方法一 因为 =，所以 =，即=. 方法二 由比例的基本性质，得2(x+y)=3x，即x=2y. 所以=. 答案： 中考风向标 考法 利用黄金分割的有关概念计算 2 [中考·衡阳] 在设计人体雕像时，使雕像上部 (腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于 下部与全部的高度比，可以增加视觉美感， 如图1.1-5，按此比例设计一座高度为2 m 的 雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m. 参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈1.732， 5 ≈ 2.236)( ) A. 0.73 m B. 1.24 m C. 1.37 m D. 1.42 m 例13 中考风向标 试题评析：本题考查黄金分割，利用黄金分割比进行计算即可. 答案：B 解：设雕像的下部高为x m.由题意得= . 所以x=-1 ≈ 1.24.即该雕像的下部设计高度约是1.24 m. 中考风向标 1. [期中·长沙开福区] 下列各组的四条线段a，b，c，d 是成比例的线段的是(　　) A．a=4，b=3，c=5，d= B．a=1，b=2，c=3，d=4 C．a= ，b=3，c=2，d= D．a=2，b= ，c=2 ，d= D 综合素养训练 2. 已知线段a=4，b=16，且=，那么线段c=( ) A. 10 B. 8 C. -8 D. ±8 B 综合素养训练 3.[中考· 南充] 已知===2， 则的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 D 综合素养训练 4. [期末·常德鼎城区]《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全 球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关. 如图，点B 为AC 的黄金分割点(BC>AB)，已知哪吒在剧中的身高AC设定为 80cm，则其头部的长度AB 是(　　) A.(40 -40)cm B.(80-20 )cm C.(120-40 )cm D.(80 -80)cm C 综合素养训练 5. [中考·成都] 若=3，则 =_______. 4 综合素养训练 6. 已知= ==2，且b+d+f ≠ 0，若a+c+e=10，则b+d+f＝________ ． 5 综合素养训练 7. [中考•娄底] 湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1 ∶ 6 700 000 表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09 cm，则我国南北的实际距离大约是________km(结果精确到1 km). 5500 综合素养训练 8.[一题多解] 已知==，且a+b+c=20，求2a+b-c 的值. 解法一：设===k(k≠0)，则a=5k，b=7k，c=8k. 因为a+b+c=20，所以5k+7k+8k=20，解得k=1. 所以a=5，b=7，c=8.所以2a+b-c=2×5+7-8=9. 综合素养训练 解法二：因为==，所以b=a，c=a. 因为a+b+c=20，所以a+a+a=20，解得a=5. 所以b=a=7，c=a=8.所以2a+b-c=2×5+7-8=9. 综合素养训练 9. 设a，b，c 是△ ABC 的三条边长， 且==，试判断△ ABC 的形状，并说明理由． 综合素养训练 解：△ABC是等边三角形.理由如下： 因为a，b，c是△ABC的三条边长，所以a+b+c≠0. 因为==，所以====0. 所以a-b=0，b-c=0，c-a=0，所以a=b=c. 所以△ABC是等边三角形. 综合素养训练 10. [新视角 操作探究题]若一个矩形的短边与长边的比值为 (黄金分割比)，我们把这样的 矩形叫作黄金矩形． (1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD 为一边作正方形AEFD. 综合素养训练 解：如图，在AB，DC边上分别截取AE=AD，DF=AD，连接EF，则四边形AEFD为所求作的正方形. 综合素养训练 (2)探究：(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由. 综合素养训练 解：四边形EBCF是黄金矩形.证明如下： 易知四边形EBCF是矩形.不妨设AB=a(a>0)，则AD=a. 因为四边形AEFD为正方形，所以EF=AD=AE=a， 所以EB=a-a=a.所以=. 所以矩形EBCF是黄金矩形. 综合素养训练 (3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要证明). 解：在黄金矩形中，以黄金矩形的短边为一边在矩形内作一个正方形，则在该矩形内又得到一个新矩形，且这个新矩形也是黄金矩形. 综合素养训练 $