专题01 整式的乘除（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 整式的乘除专题期末试题汇编，覆盖15大高频考点，精选广东、河南等多地期末真题，注重基础巩固与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|幂的运算、科学计数法、完全平方式参数问题|结合天问二号探测距离（科学计数法）、苔花孢蒴直径（负指数幂）| |填空|约15题|幂的逆运算、零指数幂综合计算|融入杨辉三角规律探究、多项式乘法不含某项求参数| |解答|约5题|整式化简求值、乘法公式几何应用、新定义运算|设置长方形草坪面积计算（整式乘除与图形）、自定义新运算（如a☆b=a²-b）|

专题01 整式的乘除 12大高频考点概览 考点01幂的运算 考点02幂的逆运算 考点03零指数幂 负整数指数幂的综合计算 考点04幂的混合运算 考点05科学计数法 考点06已知多项式乘积中不含某项求字母的值 考点07整式乘除的混合运算 考点08整式乘法的混合运算--化简求值 考点09通过对完全平方式变形求值 考点10多项式乘法中的规律性问题 考点11单项式乘多项式 多项式乘多项式与图形面积 考点12乘法公式中的几何图形应用 ( 地 城 考点01 幂的运算 ) 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．先计算乘方，再利用同底数幂相乘法则计算乘积． 【详解】解：原式， ， 故答案为． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期末）________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． ( 地 城 考点02 幂的逆运算 ) 6．（24-25七年级下·全国·期末）已知，，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确掌握相应的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选B． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）已知，，则___________． 【答案】/0.08 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则并灵活运用是解答的关键．根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·期末）若，，则的值等于____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，根据求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 10．（23-24七年级下·江西吉安·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，乘方，除法法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的乘法和乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 3 零指数幂 负整数指数幂的综合计算 ) 11．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）计算的结果是（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查负整数指数幂． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：． 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法运算、负整数指数幂运算及零指数幂运算，根据同类项、同底数幂的乘法运算、负整数指数幂运算及零指数幂运算逐项验证即可得到答案，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于和不是同类项，不能合并，计算结果错误，不符合题意； B、，计算结果错误，不符合题意； C、，计算结果正确，符合题意； D、，计算结果错误，不符合题意； 故选：C． 13．（23-24七年级下·全国·期末）计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、积的乘方的逆用、有理数的乘方与加减法．先计算负整数指数幂与零指数幂、积的乘方的逆用，再计算有理数的乘方与加减法即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】分别根据负整数指数幂、绝对值以及零指数幂的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算． 本题主要考查了实数的综合运算，涉及负整数指数幂、绝对值以及零指数幂的运算．熟练掌握负整数指数幂（，为正整数）、绝对值的性质以及零指数幂（）的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． ( 地 城 考点0 4 幂的混合运算 ) 16．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是幂的运算，零次幂，负整数指数幂的含义； （1）先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，除法运算，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 19．（23-24七年级下·广东茂名·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算： （1）先化简乘方、零次幂、负整数指数幂，再运算加减，即可作答． （2）先计算同底数幂相乘，积的乘方，再合并，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整数幂的混合计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ( 地 城 考点0 5 科学计数法 ) 21．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性．我国某物理研究组已研制出直径为米的碳纳米管，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示较小数的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，确定与的值即可求解． 【详解】解：左边起第一个不为零的数字为，它前面共有个，且满足， ． 22．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备．其中铅（）二维金属厚度约为，将数据0.00000000075用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法形式为，其中，为整数，对于小数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数，由此问题可求解． 【详解】解：数据0.00000000075用科学记数法表示为； 故选B． 23．（24-25七年级下·广西百色·期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队的研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米．其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：A． 24．（24-25七年级下·山东济宁·期末）石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为负整数时，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数）． 根据科学记数法表示小于1的正数的形式，确定后，数出原数0.00000000034中左起第一个非零数字（3）前的0的个数，即可得到的值． 【详解】解：，所以的值为． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． ( 地 城 考点0 6 已知多项式乘法中不含某项求字母的值 ) 26．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 27．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算结果中不含的一次项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可得到答案． 【详解】解：，且的计算结果中不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 29．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知 展开后，不含 和 的项，则 ___________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将展开，然后根据展开后不含和的项，得出关于、的方程，求解、的值，最后代入计算结果． 本题主要考查了多项式乘多项式以及代数式求值，同时涉及了方程的思想．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，能准确根据不含某一项得出对应系数为的方程是解题的关键． 【详解】解： ∵展开后不含和的项， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 30．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． ( 地 城 考点0 7 整式的混合运算 ) 31．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，先利用完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 33．（24-25七年级下·广东河源·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式、平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 34．（24-25七年级下·河北保定·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算完全平方公式，多项式的乘法，再计算加减即可； （2）先计算完全平方公式，再计算加减，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2） 35．（25-26七年级下·山东济南·期末）化简求值：；其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入得： 原式 ． ( 地 城 考点0 8 整式乘法混合运算--化简求值 ) 36．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，28 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，，然后将、代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 37．（24-25七年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 38．（24-25七年级下·广东清远·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的乘法运算，再合并同类项，最后计算单项式除以单项式，得到化简的结果，再把，，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 39．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键． 先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时， 原式． 40．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】，5 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，非负性，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将括号内的式子利用平方差及完全平方公式展开再合并同类项，然后计算除法，根据绝对值及偶次方的非负性求得a，b的值后代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； ，，， ，， ，， 原式． ( 地 城 考点 09 通过对完全平方公式变形求值 ) 41．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的结构特征． 根据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知和，要求的值，利用完全平方公式的变形关系，结合已知条件直接计算． 【详解】解：， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 43．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，，则的值为_____． 【答案】21 【分析】本题考查完全平方式的变形，灵活运用所学知识是关键．根据，即可求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为21． 44．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若满足，则________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键． 根据完全平方公式得出 ，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 又， ， ， 故答案为：． 45．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）利用完全平方公式，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算求解：； （2）利用完全平方公式的变形计算求解：． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． （2）， ． ， ． ( 地 城 考点 10 多项式乘法中的规律性问题 ) 46．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4， … 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（   ） A．1 B．5 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，多项式乘法规律探究，解题的关键是根据所给杨辉三角系数间的关系得出展开后系数．利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系求解即可． 【详解】解：展开后系数分别是1，5，10，10，5，1， 所以展开后的第四项的系数为10， 故选：D． 47．（25-26七年级下·福建漳州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 48．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得：__________． 【答案】63 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【详解】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 49．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_______．    【答案】 【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【详解】解：依题意，根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第四项， ∴展开式中含项的系数是：， 故答案为： 50．（24-25七年级下·四川成都·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 【答案】(1) ， (2)； (3) 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ ( 地 城 考点 11 单项式乘多项式 多项式乘多项式与图形面积 ) 51．（24-25七年级下·河南周口·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：， 故选：D． 52．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 53．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【答案】19 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于19张． 故答案为：19． 54．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 55．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． ( 地 城 考点 12 乘法公式中几何图形应用 ) 56．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．28 B．24 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为22． 故选：C 57．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，分别表示出图甲、图乙阴影部分的面积，再结合两个图形中阴影部分的面积相等即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 58．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则______． 【答案】45 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 59．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，且，， ， 解得． 故的值为； （2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 故阴影部分的面积为． 60．（25-26七年级下·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除 题号 1 2 6 11 12 21 22 23 26 27 答案 C D B A C C B A B A 题号 41 42 46 47 51 52 56 57 答案 C A D D D A C C 1．C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 3． 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．先计算乘方，再利用同底数幂相乘法则计算乘积． 【详解】解：原式， ， 故答案为． 4． 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 5． 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 6．B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确掌握相应的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选B． 7．/0.08 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则并灵活运用是解答的关键．根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 8． 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，根据求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 10．(1)20 (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，乘方，除法法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的乘法和乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 11．A 【分析】本题考查负整数指数幂． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：． 12．C 【分析】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法运算、负整数指数幂运算及零指数幂运算，根据同类项、同底数幂的乘法运算、负整数指数幂运算及零指数幂运算逐项验证即可得到答案，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于和不是同类项，不能合并，计算结果错误，不符合题意； B、，计算结果错误，不符合题意； C、，计算结果正确，符合题意； D、，计算结果错误，不符合题意； 故选：C． 13．/ 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、积的乘方的逆用、有理数的乘方与加减法．先计算负整数指数幂与零指数幂、积的乘方的逆用，再计算有理数的乘方与加减法即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 14． 【分析】分别根据负整数指数幂、绝对值以及零指数幂的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算． 本题主要考查了实数的综合运算，涉及负整数指数幂、绝对值以及零指数幂的运算．熟练掌握负整数指数幂（，为正整数）、绝对值的性质以及零指数幂（）的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 15． 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是幂的运算，零次幂，负整数指数幂的含义； （1）先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，除法运算，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 17．(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．，6 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 19．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算： （1）先化简乘方、零次幂、负整数指数幂，再运算加减，即可作答． （2）先计算同底数幂相乘，积的乘方，再合并，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整数幂的混合计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示较小数的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，确定与的值即可求解． 【详解】解：左边起第一个不为零的数字为，它前面共有个，且满足， ． 22．B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法形式为，其中，为整数，对于小数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数，由此问题可求解． 【详解】解：数据0.00000000075用科学记数法表示为； 故选B． 23．A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：A． 24． 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为负整数时，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数）． 根据科学记数法表示小于1的正数的形式，确定后，数出原数0.00000000034中左起第一个非零数字（3）前的0的个数，即可得到的值． 【详解】解：，所以的值为． 故答案为：． 25． 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． 26．B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 27．A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28． 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可得到答案． 【详解】解：，且的计算结果中不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 29． 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将展开，然后根据展开后不含和的项，得出关于、的方程，求解、的值，最后代入计算结果． 本题主要考查了多项式乘多项式以及代数式求值，同时涉及了方程的思想．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，能准确根据不含某一项得出对应系数为的方程是解题的关键． 【详解】解： ∵展开后不含和的项， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 30．(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 31．(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．． 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，先利用完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 33． 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式、平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 34．(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算完全平方公式，多项式的乘法，再计算加减即可； （2）先计算完全平方公式，再计算加减，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2） 35．， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入得： 原式 ． 36．，28 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，，然后将、代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 37．， 【分析】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 38．， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的乘法运算，再合并同类项，最后计算单项式除以单项式，得到化简的结果，再把，，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 39．； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键． 先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时， 原式． 40．，5 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，非负性，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将括号内的式子利用平方差及完全平方公式展开再合并同类项，然后计算除法，根据绝对值及偶次方的非负性求得a，b的值后代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； ，，， ，， ，， 原式． 41．C 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的结构特征． 根据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 42．A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知和，要求的值，利用完全平方公式的变形关系，结合已知条件直接计算． 【详解】解：， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 43．21 【分析】本题考查完全平方式的变形，灵活运用所学知识是关键．根据，即可求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为21． 44． 【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键． 根据完全平方公式得出 ，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 又， ， ， 故答案为：． 45．(1)40 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算求解：； （2）利用完全平方公式的变形计算求解：． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． （2）， ． ， ． 46．D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，多项式乘法规律探究，解题的关键是根据所给杨辉三角系数间的关系得出展开后系数．利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系求解即可． 【详解】解：展开后系数分别是1，5，10，10，5，1， 所以展开后的第四项的系数为10， 故选：D． 47．D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 48．63 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【详解】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 49． 【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【详解】解：依题意，根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第四项， ∴展开式中含项的系数是：， 故答案为： 50．(1) ， (2)； (3) 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 51．D 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：， 故选：D． 52．A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 53．19 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于19张． 故答案为：19． 54．/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 55．(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． 56．C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为22． 故选：C 57．C 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，分别表示出图甲、图乙阴影部分的面积，再结合两个图形中阴影部分的面积相等即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 58．45 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 59．(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，且，， ， 解得． 故的值为； （2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 故阴影部分的面积为． 60．（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除 12大高频考点概览 考点01幂的运算 考点02幂的逆运算 考点03零指数幂 负整数指数幂的综合计算 考点04幂的混合运算 考点05科学计数法 考点06已知多项式乘积中不含某项求字母的值 考点07整式乘除的混合运算 考点08整式乘法的混合运算--化简求值 考点09通过对完全平方式变形求值 考点10多项式乘法中的规律性问题 考点11单项式乘多项式 多项式乘多项式与图形面积 考点12乘法公式中的几何图形应用 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）计算：___________． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期末）________． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）计算的结果是______． ( 地 城 考点02 幂的逆运算 ) 6．（24-25七年级下·全国·期末）已知，，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）已知，，则___________． 8．（23-24七年级下·全国·期末）若，，则的值等于____． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 10．（23-24七年级下·江西吉安·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． ( 地 城 考点0 3 零指数幂 负整数指数幂的综合计算 ) 11．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）计算的结果是（    ） A． B．8 C． D．6 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·全国·期末）计算：________． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 15．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）计算：． ( 地 城 考点0 4 幂的混合运算 ) 16．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（23-24七年级下·广东茂名·期末）计算： (1)； (2)． 20．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) ． ( 地 城 考点0 5 科学计数法 ) 21．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性．我国某物理研究组已研制出直径为米的碳纳米管，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备．其中铅（）二维金属厚度约为，将数据0.00000000075用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·广西百色·期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队的研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米．其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·山东济宁·期末）石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为________． 25．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． ( 地 城 考点0 6 已知多项式乘法中不含某项求字母的值 ) 26．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算结果中不含的一次项，则______． 29．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知 展开后，不含 和 的项，则 ___________． 30．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． ( 地 城 考点0 7 整式的混合运算 ) 31．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2) 32．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算：． 33．（24-25七年级下·广东河源·期末）计算： 34．（24-25七年级下·河北保定·期末）计算 (1)； (2)． 35．（25-26七年级下·山东济南·期末）化简求值：；其中，． ( 地 城 考点0 8 整式乘法混合运算--化简求值 ) 36．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）先化简，再求值：，其中，． 37．（24-25七年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 38．（24-25七年级下·广东清远·期末）先化简，再求值：，其中，． 39．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 40．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足． ( 地 城 考点 09 通过对完全平方公式变形求值 ) 41．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，，则的值为_____． 44．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若满足，则________． 45．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）利用完全平方公式，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值： (2)若，求的值． ( 地 城 考点 10 多项式乘法中的规律性问题 ) 46．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4， … 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（   ） A．1 B．5 C．6 D．10 47．（25-26七年级下·福建漳州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 48．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得：__________． 49．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_______．    50．（24-25七年级下·四川成都·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． ( 地 城 考点 11 单项式乘多项式 多项式乘多项式与图形面积 ) 51．（24-25七年级下·河南周口·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 53．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 54．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 55．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ ( 地 城 考点 12 乘法公式中几何图形应用 ) 56．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．28 B．24 C．22 D．18 57．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 58．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则______． 59．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 60．（25-26七年级下·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $