专题02 相交线与平行线（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 相交线与平行线专题期末试题汇编，覆盖10大高频考点，精选多地区期末真题，注重基础巩固、能力提升与生活应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|对顶角识别、同位角辨别等|结合生活情境（如跳远成绩测量）| |填空|约15题|垂线段最短、角的计算等|设置动态问题（如射线旋转平行）| |解答|约20题|平行线判定证明、角关系探究等|多结论辨析（如平行线性质结论判断）|

专题02 相交线与平行线 10大高频考点概览 考点01利用对顶角相等求角 考点02与余角、补角相关的计算 考点03点到直线的距离与垂线段最短 考点04 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 考点05 求证两直线平行 考点06 平行线的判定和性质多结论题 考点07 平行线的性质在生活中的应用 考点08 根据平行线的判定和性质求解 考点09 根据平行线的判定和性质证明 考点10 根据平行线的判定和性质探究角的关系 ( 地 城 考点01 利用对顶角相等求角 ) 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线、、相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）如图所示，直线相交于点，则的度数为___________． 【答案】/110度 【分析】本题考查了对顶角、平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据对顶角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴． 故答案为： ． 4．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． ( 地 城 考点02 与余角、补角相关的计算 ) 6．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图所示，，垂足为O，是过点O的一条直线，则下列关于与的关系一定成立的是（　　） A．不相等 B．相等 C．互补 D．互余 【答案】D 【分析】本题考查了角度的运算，余角和补角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 计算与的和，根据定义判断即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴， 由余角的定义，可知与互余， 故选： D． 7．（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图，O为直线上一点，平分，以下结论：①与互为余角；②若，则；③；④平分．其中结论正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论②正确； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， 无法推出，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②③． 8．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知的余角是，的补角是，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义及度分秒的计算，解题的关键是根据余角和补角的定义分别求出和的度数，再进行大小比较． 【详解】解： ∵；． ． 故答案为：． 9．（25-26六年级上·上海·期末）已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______． 【答案】70 【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义； 【详解】解：设的度数为，则的度数为，根据补角的定义，的补角为；根据余角的定义，的余角为， 由题意列方程： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 解得： 则 故答案为：70. 10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可； （2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：因为点O为直线上一点， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以； （2）由（1）知， 因为与互余， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． ( 地 城 考点0 3 点到直线的距离与垂线段最短 ) 11．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 13．（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是___________，依据是___________． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 14．（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 15．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 ) 16．（25-26七年级上·重庆江北·期末）下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，对选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； B、根据同位角的概念可知，图中和不是同位角，故选项符合题意； C、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； D、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意． 17．（25-26七年级上·江苏·寒假作业）图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 【答案】B 【分析】此题考查了同位角、同旁内角、内错角、对顶角等知识．根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线和直线被直线所截的同位角． 故选：B． 18．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 19．（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键．根据同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：与构成同旁内角的角有，，，共3个， 故答案为：3． 20．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，写出图中的一对同旁内角__________________ ． 【答案】与 【分析】本题考查了同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． 【详解】解：在之间的右侧的与是同旁内角， 故答案为：与． ( 地 城 考点0 5 求证两直线平行 ) 21．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 22．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）已知：如图，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的定义得到，由已知，利用等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 23．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 24．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：． （2）如图②，在四边形中，． ①若，则的度数为 ； ②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答） 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②补全图形见解析；，理由见解析 【分析】（1）根据垂直定义得到，在直角三角形中利用两个三角形全等判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证； （2）①由四边形内角和为及已知角代值求解即可得到答案；②根据题意补全图形，由四边形内角和及角平分线定义可得，再由等量代换可得，由平行线的判定定理即可得证． 【详解】解：（1），， ． ， ，即． 又， ； （2）①在四边形中，， ，， ； 故答案为：； ②补全图形，如图所示： ， 理由如下： 在四边形中，，， ． 平分，平分， ， 在中，，则． ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、四边形内角和、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的判定定理等知识，熟记相关几何性质与判定，数形结合是解决问题的关键． 25．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． ( 地 城 考点0 6 平行 线的判定和性质多结论题 ) 26．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 27．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由及，得，从而可判定③；由，得；由及平分，得，再结合，求得，可判定①；由及求得的度数即可判定②；根据现有条件无法判断④；最后可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴ ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴； ∵， 但无法得出， ∴无法得到 因而无法判断④正确； 综上，正确的有②③． 故选：C． 28．（24-25七年级下·四川德阳·期末）在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知，，（），则下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据，，得出即判断①，进而根据，即可判断②，延长交于点，根据平行线的性质即可判断③，根据当时，，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故②正确； 如图，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时， ∴ ∴平分，故④正确， 故选：D． 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 30．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，，连接，点是之间一点，点分别在上，连接，点在直线上，连接，恰好平分，，下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论序号是___________（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的选项①②， 故答案为：①②． ( 地 城 考点0 7 平行线 的性质在生活中的应用 ) 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 32．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 33．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 34．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为_____． 【答案】125°/125度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图：过点C作，过点D作，根据得出，再根据平行线的性质求出的度数，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． ( 地 城 考点0 8 根据 平行线 的判定和性质求解 ) 36．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如题图所示，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 37．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 38．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，则__________°． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定证明，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：38． 39．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，再证明，得到，进而根据角的和差关系即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（25-26七年级上·江苏南京·期末）在四边形中，，E为边上一点，交于点F． (1)用无刻度的直尺与圆规作；（保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作一个角等于已知角以及平行线的判定进行解答即可； （2）根据四边形的内角和是进行计算即可． 【详解】（1）解：用无刻度的直尺与圆规作EF； 做法：①连接，以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N， ②以点E为圆心，以为半径画弧交于点P， ③以点P为圆心，以为半径画弧与以点E为圆心，为半径的弧交于点Q， ④连接并延长交于点F， 就是要求作的线段； （2）解：在四边形中， ∵， ∵， ∴． ( 地 城 考点0 9 根据 平行线 的判定与性质证明 ) 41．（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 42．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，得到，则可证明，再证明，得到，则可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 44．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 45．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． ( 地 城 考点 10 根据 平行线 判定与性质探究角的关系 ) 46．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 47．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 48．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 49．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则__________； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为__________．（用含的式子表示） 【答案】 /90度 【分析】本题考查的是平行线的性质． （1）由，利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据即可求出结论； （2）利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据由等量代换得，再由（2）即可得到的度数． 【详解】解：（1）， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 50．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 题号 1 2 6 7 11 12 16 17 26 27 答案 D D D C A A B B B C 题号 28 31 32 36 37 46 47 答案 D B B D B B B 1．D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 2．D 【分析】本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．/110度 【分析】本题考查了对顶角、平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据对顶角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴． 故答案为： ． 4．25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 5．(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． 6．D 【分析】本题考查了角度的运算，余角和补角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 计算与的和，根据定义判断即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴， 由余角的定义，可知与互余， 故选： D． 7．C 【分析】根据角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论②正确； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， 无法推出，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②③． 8． 【分析】本题考查了余角和补角的定义及度分秒的计算，解题的关键是根据余角和补角的定义分别求出和的度数，再进行大小比较． 【详解】解： ∵；． ． 故答案为：． 9．70 【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义； 【详解】解：设的度数为，则的度数为，根据补角的定义，的补角为；根据余角的定义，的余角为， 由题意列方程： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 解得： 则 故答案为：70. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可； （2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：因为点O为直线上一点， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以； （2）由（1）知， 因为与互余， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 11．A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 12．A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 13． 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 14． 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 15．（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 16．B 【分析】根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，对选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； B、根据同位角的概念可知，图中和不是同位角，故选项符合题意； C、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； D、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意． 17．B 【分析】此题考查了同位角、同旁内角、内错角、对顶角等知识．根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线和直线被直线所截的同位角． 故选：B． 18．，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 19．3 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键．根据同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：与构成同旁内角的角有，，，共3个， 故答案为：3． 20．与 【分析】本题考查了同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． 【详解】解：在之间的右侧的与是同旁内角， 故答案为：与． 21．90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 22．见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的定义得到，由已知，利用等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 23．见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 24．（1）证明见解析；（2）①；②补全图形见解析；，理由见解析 【分析】（1）根据垂直定义得到，在直角三角形中利用两个三角形全等判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证； （2）①由四边形内角和为及已知角代值求解即可得到答案；②根据题意补全图形，由四边形内角和及角平分线定义可得，再由等量代换可得，由平行线的判定定理即可得证． 【详解】解：（1），， ． ， ，即． 又， ； （2）①在四边形中，， ，， ； 故答案为：； ②补全图形，如图所示： ， 理由如下： 在四边形中，，， ． 平分，平分， ， 在中，，则． ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、四边形内角和、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的判定定理等知识，熟记相关几何性质与判定，数形结合是解决问题的关键． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 26．B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 27．C 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由及，得，从而可判定③；由，得；由及平分，得，再结合，求得，可判定①；由及求得的度数即可判定②；根据现有条件无法判断④；最后可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴ ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴； ∵， 但无法得出， ∴无法得到 因而无法判断④正确； 综上，正确的有②③． 故选：C． 28．D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据，，得出即判断①，进而根据，即可判断②，延长交于点，根据平行线的性质即可判断③，根据当时，，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故②正确； 如图，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时， ∴ ∴平分，故④正确， 故选：D． 29．①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 30．①②/②① 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的选项①②， 故答案为：①②． 31．B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 32．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 33．20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 34．125°/125度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图：过点C作，过点D作，根据得出，再根据平行线的性质求出的度数，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 35． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 36．D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 37．B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 38． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定证明，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：38． 39． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，再证明，得到，进而根据角的和差关系即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 40．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作一个角等于已知角以及平行线的判定进行解答即可； （2）根据四边形的内角和是进行计算即可． 【详解】（1）解：用无刻度的直尺与圆规作EF； 做法：①连接，以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N， ②以点E为圆心，以为半径画弧交于点P， ③以点P为圆心，以为半径画弧与以点E为圆心，为半径的弧交于点Q， ④连接并延长交于点F， 就是要求作的线段； （2）解：在四边形中， ∵， ∵， ∴． 41．2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 42．，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，得到，则可证明，再证明，得到，则可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 44．(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 45．(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 46．B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 47．B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 48． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 49． /90度 【分析】本题考查的是平行线的性质． （1）由，利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据即可求出结论； （2）利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据由等量代换得，再由（2）即可得到的度数． 【详解】解：（1）， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 50．(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 相交线与平行线 ☆10大高频考点概览 考点01利用对顶角相等求角 考点02与余角、补角相关的计算 考点03点到直线的距离与垂线段最短 考点04对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 考点05求证两直线平行 考点06平行线的判定和性质多结论题 考点07平行线的性质在生活中的应用 考点08根据平行线的判定和性质求解 考点09根据平行线的判定和性质证明 考点10根据平行线的判定和性质探究角的关系 1.(25-26七年级上山西临汾期末)下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是() A 2 B C D 2.(25-26七年级上江苏宿迁期末)如图，直线AB、CD、EF相交于点O,CD1EF,若∠I=36°，则 ∠2等于() 1/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.26° B.36° C.44° D.54 3.(23-24七年级下·吉林期末)如图所示，直线AB,CD,EF相交于点0，∠1=∠2=35°，则∠3的度数 为 B 4.(25-26七年级上山西太原期末)如图，AB,CD交于点O,OM⊥AB于点O.若∠COB=65°，则 ∠DOM=o M 5.(25-26七年级上广东广州期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O,∠AOE=50°， ∠BOD=30° D ∠AOC= (1)则 (2)若OF平分∠AOD,求∠EOF的度数. 目目 考点02 与余角、补角相关的计算 6. (25-26七年级上·湖南湘潭·期末)如图所示，AB⊥CD,垂足为O,EF是过点O的一条直线，则下 2/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 列关于∠1与∠2的关系一定成立的是() C E B A.不相等 B.相等 C.互补 D.互余 7.(25-26七年级上河南漯河期末)如图，0为直线AB上一点，0C平分∠40E,∠D0E=90°，以下结 论：①∠A0D与∠B0E互为余角；②若∠BOE=58°，则∠COE=61°；③LBOE=2LCOD;④OD平分 ∠AOC.其中结论正确的是() D A B A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 8.(25-26七年级上山东德州期末)已知∠a的余角是22°40，∠B的补角是112°40，则∠α一∠B (填“>”，“<”或“=”)· 2 9.(25-26六年级上上海期末)已知∠1的度数是∠2度数的3，且∠2的补角比∠1的余角的3倍大15°， 则∠1=° 10.(25-26七年级上安徽马鞍山期末)如图，已知点O为直线AB上一点，∠B0C=100°， ∠COD=90°，OM平分∠AOC. B D (1)求∠MOD的度数： (2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠POD的度数， 3/16 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点03 点到直线的距离与垂线段最短 11. (2425九年级上广西南宁·开学考试)数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂 线段最短”来解释的现象是() 起 B A.测量跳远成绩 线 月 B.木板上弹墨线 C.弯曲河道改直 D.两钉子固定木条 12.(24-25七年级下·湖北咸宁·期末)跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离.下图是某同 学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是() 220cm 215cm+ 210cm 205cm 200cm 立定跳远起跳线 77 A.200cm B.205cm C.210cm D.220cm 13.(25-26七年级上北京昌平·期末)如图，某条公路可视为直线1，从公路外一点P向公路前进，三条 路线PA,PB,PC中最短的是 依据是 D B C 14.(25-26七年级上北京延庆期末)如图，点P是直线1外一点，点A、B、C、D在直线1上， PC⊥I于点C,在线段PA、PB、PC、PD中，最短的线段是 ,测量点P到直线的距离是 4/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cm(精确到0.lcm). A B C D 15.(25-26七年级上·江苏宿迁·期末)(1)如图，点A、B、C都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成 画图.过点C画直线AB的垂线CD,并标出直线CD所经过的格点D及垂足E,连接线段BC; (2)线段的长就是点C到直线AB的距离： (3)比较大小：CECB(填“>”“<”或“=”). B 希点04 对页角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 16.(25-26七年级上重庆江北期末)下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是() 17.(25-26七年级上江苏·寒假作业)图中的∠1和∠2的位置关系是() B A.对顶角 B.同位角 C.同旁内角 D.内错角 5/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(25-26七年级上·福建厦门期末)如图，∠1和∠2是直线，被直线所截形成的_角：∠3和∠4是 直线_，_被直线所截形成的_角. D C 2 2人4 B 19.(24-25七年级下·陕西西安·期末)图中与∠1构成同旁内角的角有 个 E 20.(2425七年级上四川乐山期末)如图，写出图中的一对同旁内角 B D A E 点05 求证两直线平行 21.(25-26七年级上上海浦东新期末)如图，已知AB⊥BC,BC⊥CD,∠I=∠2，求证：BE∥CF. 请完成下列证明过程： A B E C2—D 证明：，AB⊥BC,BC⊥CD(已知) :.∠ABC=∠BCD=。() 又，∠1=∠2（已知） :.∠ABC-∠I=--_(等式的性质) 即∠EBC= ∴_∥_（内错角相等，两直线平行) 22.(24-25七年级下·山东枣庄阶段检测)己知：如图，CE平分∠ACD,∠I=∠2，求证：AB∥CD, 6/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B D 23.(24-25七年级下·云南临沧期末)如图，∠A+∠EFB=180°，∠A与∠ECD互为补角.求证： AB∥CD E B 24.(23-24七年级下江苏南通期末)(1)如图①，AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E, F,CE=BF.求证：AE=DF (2)如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90° ①若∠B=60°，则∠D的度数为： ②分别作BE平分∠ABC,DF平分∠ADC交AD,BC于点E,F,请判断BE与DF的位置关系，并说 明理由.（请补全图形后再作答） B 图① 图② 25.(24-25七年级下·湖北武汉·期末)如图，直线AB与CD被直线EF所截，分别交于点P、O,且 OA、OB分别平分∠C0E和∠D0E,I+∠2=90°. E B 2 7/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AB∥CD: (2)若2：∠3=1：4，求∠AOE的度数 点06 平行线的判定和性质多结论题 26.(24-25七年级下·广东河源期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG 过点F作FG⊥EH于点G,且∠AFG=2LD,则下列结论：①LD=30°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD 平分∠HFB；④FH平分∠GFD.其中正确结论的序号是() A.①②③ B.①② C.①③ D.②④ 27.(2425七年级下四川南充期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,过点F作FG⊥EH 于点G,且∠AFG=2∠D,FE平分∠AFG,则下列结论：①∠D=45°；②2∠D+∠EHC=90°，③ FD⊥FG:④FH平分∠GFD.其中正确结论的是() F A B E A.①② B.③④ C.②③ D.①②③④ 28.(2425七年级下·四川德阳期末)在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为 主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知 1∥h∠4CD=60°，1=a°0<a<45),则下列结 论：OBC1DE,②AB∥ED,®2=(45+a)°，④当a=15时，4C平分∠MAB.其中正确的结论个 数是() 8/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 29.(25-26七年级上吉林长春期末)如图，AB∥CD,直线1与AB、CD分别交于点E、F,FM平分 ∠CFE交直线AB于点M,FN平分∠DFE交直线AB于点N.给出下面四个结论：①LCFE=LBEF；② MF⊥NF;③∠CFM+∠BNF=180°；④∠CFE+2∠ENF=180°；上述结论中，正确结论的序号有一 NB D 30.(23-24七年级下·陕西安康期末)如图，AB∥CD,连接AC,点P是AB,CD之间一点，点E,F分别 在AB,CD上，连接PF,PE,点H,G在直线AC上，连接PH,PG,PG恰好平分∠EPF, ∠A+∠AHP=180 ,下列结论：① CDPH,②∠BEP+LDFP=2 ZEPG ZFPH=ZGPH ③ ,其中所有 正确的结论序号是 (填序号). D B 点07 平行线的性质在生活中的应用 31.(2425七年级下·安徽合肥期末)如图，体育场C既在教学楼A的南偏东30°方向上，又在礼堂B的 南偏西50°方向上，则∠ACB的度数是() 9/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 北 B A.60° B.80° C.90° D.100° 32.(2223八年级上贵州遵义阶段检测)某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.如图是某 品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中AB,CD都与地面I平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°，AM 与CB平行，则∠MAC的度数为() A.1149 B.66° C.60° D.16° 33.(25-26七年级上江苏南京期末)如图，AB∥CD,点P,Q分别是AB,CD上的一点，射线PB绕 点P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与Q0重合便立 即回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动，若射线PB先转动40秒，射线QC才开始 转动，则射线C转动_秒后，QC与PB平行. A —B D 34.(2425七年级下·山东日照·期末)如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与DF垂直，当发光 的灯管AB恰好与EF平行时，∠BAC=110°，∠ACD=105°，则∠CDF的度数为一· 10/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 35.(2425七年级下·山东威海期末)台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方， 对于保护眼晴健康具有重要意义.图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图.底座MN位于水平位置， 支架AB为固定支撑杆，可通过旋转支架BC,OC调节灯光照射方向，已知灯体顶角 ∠DOE=48,∠DOE的平分线OP始终与OC垂直.将BCOC分别绕点B、C旋转，若旋转后 ∠ABC=156°，∠OCB=76° OD ON∠0gN ，请你求出此时与水平方向的夹角 的度数 0 B M A 图1 图2 点08 根据平行线的判定和性质求解 36.(25-26八年级上广东梅州期末)如题图所示，已知∠1=∠2，∠ABC=120°，则∠C的度数为 () B 了2 D C A.70° B.50° C.55° D.60 37.(25-26八年级上河南郑州期末)如图，直线 ∥1，∠MAB=126°，∠NBA=86°，则∠1+∠2的度 数为() 11/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 的 A.30° B.32° C.36° D.40° 38.(25-26七年级上重庆期末)如图，己知∠1=∠2，∠3=38°，则∠B= A E 2 1 3 B C D 39.(25-26七年级上山西吕梁期末)如图，己知∠AGF=∠ABC,BF∥ED,∠2=135°，BF1AC, 则∠AFG=。 40.(25-26七年级上江苏南京期末)在四边形ABCD中，AD‖BC,E为AB边上一点，EF‖AD交DC 于点F A D E B (1)用无刻度的直尺与圆规作EF；(保留作图痕迹) (2)连接CE,若∠A=140°，∠D=100°，∠ECD=48°，求∠AEC的度数. 点09 根据平行线的判定与性质证明 41.(25-26八年级上全国期末)小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题.如图，已知EF⊥AB, CD⊥AB,G是边AC上一点（不与点A,C重合）· 12/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小方说：“如果还知道∠CDG=∠BFE,那么能得到∠AGD=∠ACB.” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB,可得到∠CDG=∠BFE.” 小明说：“∠AGD一定大于∠ACB.” 小杰说：“如果连接GF,那么GF一定平行于AB.” 他们4个人中，有一个人的说法是正确的. 42.(25-26八年级上河南驻马店期末)如图，B,C,E三点在同一直线上，A,F,E三点在同一直线上， ∠1=∠2=∠E.若∠3=∠4，则AB与CD平行吗？请说明理由. 4 E 43.(25-26八年级上山东青岛期末)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，E、F 分别是边AB、AC上的点，且EF∥AD. D E Bh 2C (1)求证：∠1=∠2： (2)若∠3=55°，求∠BAC的度数. 44.(25-26八年级上河北保定期末)如图，点E是AC上一点，CD∥AB,∠DCB=70°，∠CBF=20°， ∠EFB=130° 13/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E ∠ABC= (1) (②)求证：直线EF∥CD: (3)若∠CEF=60°，求∠ACB的度数， 45.(24-25七年级下·湖南长沙期末)己知： ∠AOB=a(0°<a<90 ,一块直角三角板CDE中， ∠CED=90°，∠DCE=60°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线 MN∥OB交OA边于点M,且点M在点D的左侧. A D M D M D ◇E -B -R F 图1 图2 图3 (1)如图1，若CE∥OA,∠NDE=44,则a=」 (2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F, ①如图2，当DF∥OA,且∠OMN=120°时，试说明：CE∥OA, ②如图3，当CE∥OA保持不变时，试求出LOFD与a之间的数量关系. 点10 根据平行线判定与性质探究角的关系 46,(25-26七年级上江苏苏州期末)如图，BCD,4=写∠CDE,2=写<4BE,则 ∠DEB.∠DFB为() 14/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 47.(25-26七年级上·重庆期末)如图，已知AB∥CD,点G在射线BA的上方且满足 ∠EBG:∠ABG=2:3,点H在射线BG的反向延长线上，满足∠DCH:∠FCH=3:2,若∠E=a,则∠F与 ∠H的数量关系是() G D A.∠F=∠H B.5∠H-3∠F=3a C.3∠F-2∠H=a D.2∠F+3∠H=360°+ 48.(25-26七年级上江苏南京期末)如图，直线a∥b,点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线 间一点，那么∠1+∠2+∠3等于 a 49.(2425七年级下安徽安庆期末)如图，己知直线AB∥CD∥EF,∠PO的顶点O在CD上，两边 分别与AB、EF相交于点P,点Q,射线OC始终在∠POQ的内部. A E 42 (1)若∠P00=90°，则∠1+∠2= (2)若∠P00的度数为a,且0°<a<180°，则∠3与∠4的数量关系为， (用含的式子表 示) 50.(25-26七年级上海南海口期末)综合与探究 15/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，AB∥CD,点P,O为直线CD,AB上两定点，0°<∠PNO<I80°， C D D M 3入 A -B 图1 图2 M2026 …M<M 图3 图4 (1)如图1，当N点在P9左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为_： (2②)若PM平分∠CPN,QM平分∠AON,∠PNg=110°. ①如图2，点N在P№左侧时，求∠PM0的角度： ②如图3，点N在P右侧，求∠PM0的角度： 3)如图4，PM平分LCPN,QM平分∠AON,∠PN0=120°，点N在PP右侧，若∠CPM与∠AQM的角 M.2CPM与10M的角平分线交于点M,依次类推，则 ∠PM2026Q= 平分线交于点， 。·(直接写出 结果) 16/16