专题02 相交线与平行线（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 相交线与平行线专题期末试题汇编，覆盖10大高频考点，精选多地区期末真题，注重基础巩固、能力提升与生活应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|对顶角识别、同位角辨别等|结合生活情境（如跳远成绩测量）| |填空|约15题|垂线段最短、角的计算等|设置动态问题（如射线旋转平行）| |解答|约20题|平行线判定证明、角关系探究等|多结论辨析（如平行线性质结论判断）|

专题02 相交线与平行线 10大高频考点概览 考点01利用对顶角相等求角 考点02与余角、补角相关的计算 考点03点到直线的距离与垂线段最短 考点04对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 考点05求证两直线平行 考点06平行线的判定和性质多结论题 考点07平行线的性质在生活中的应用 考点08根据平行线的判定和性质求解 考点09根据平行线的判定和性质证明 考点10根据平行线的判定和性质探究角的关系 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为________． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为___________度． 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线和交于点，射线，在的内部． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，，求的度数（用含的式子表示）． ( 地 城 考点02 与余角、补角相关的计算 ) 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，若，在同侧，且，则下列说法不一定正确的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与∠互补 D．与互补 7．（25-26七年级下·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么___________． 9．（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，点O是直线上一点，在上方从左到右依次作射线，且平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则的补角是，正确的是_________．（填序号） 10．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． ( 地 城 考点0 3 点到直线的距离与垂线段最短 ) 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 14．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点． (1)过点画出的垂线，交直线于点； (2)过点画，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段___________的长． ( 地 城 考点0 4 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 ) 16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 18．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，与______是同位角． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 20．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． ( 地 城 考点0 5 求证两直线平行 ) 21．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 22．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，，试说明． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线被直线所截，交点分别为点O、P，平分，平分，如果 （1）吗？为什么？ （2）吗？为什么？ 解：（1）∵（已知）， （                  ）， （2）平分，平分（已知）， ∴ （ ）． 又∵（已知）， = （          ）    ，     （           ）． 24．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 25．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． ( 地 城 考点0 6 平行 线的判定和性质多结论题 ) 26．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②④ 27．（24-25七年级下·山西大同·期末）将一副直角三角板和按如图所示的方式摆放在两条平行线和之间，点在上，在上，，，．以下四个结论：①；②；③；④．其中，结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 29．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：①若，则；②若与互为余角，则；③如果，则有；④．其中正确的有___________．（填序号即可） 30．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是________． ( 地 城 考点0 7 平行线 的性质在生活中的应用 ) 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 33．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 34．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则____________ ． 35．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． ( 地 城 考点0 8 根据 平行线 的判定和性质求解 ) 36．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，已知，，垂足分别为点，，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 39．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 40．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． ( 地 城 考点0 9 根据 平行线 的判定与性质证明 ) 41．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 42．（23-24七年级下·天津南开·期末）如图．点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，若与互补．过点作，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 43．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图1，在中，已知，，是的平分线，交延长线于点， (1)求证：； (2)如图2，过点作于点，交的延长线于点，试探究与之间的关系； (3)在（2）的条件下，若，，求的度数． 44．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 45．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． (1)__________； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． ( 地 城 考点 10 根据 平行线 判定与性质探究角的关系 ) 46．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 49．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    50．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 题号 1 2 6 7 11 12 16 17 26 27 答案 B B C B A A D D B C 题号 28 31 32 36 37 46 47 答案 D B B B B B A 1．B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了垂直、对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 3．/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 4．50 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算．设，根据题意得出，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， 则， ∴ 即 解得：， 故答案为：50． 5．(1)； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂线定义． （1）根据对顶角相等得，进而利用角的和差即可得解； （2）根据对顶角及邻补角定义得，，进而利用角平分线定义及垂直得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分，， ∴，， ∴． 6．C 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系以及平角定义可得，，从而可得，最后根据，和不一定相等，从而可得不一定等于，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴与互余， 故A正确，不符合题意； ∴， ∴与互余， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴与互补， 故D正确，不符合题意； ∵，和不一定相等， ∴不一定等于， 故C不正确，符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8． 【分析】本题考查了余角、角度和差运算的知识；解题的关键是熟练掌握角度和差运算的性质，从而完成求解．根据余角和角度和差运算的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，， ∴ 故答案为：． 9．①③④ 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，余角与补角的定义，一元一次方程的应用，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 设，根据余角与补角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，并结合一元一次方程，逐一进行分析判断，即可解题． 【详解】解：①， ， 与互为余角， 故①正确； ②设， ， 平分， ， 即根据已有条件推不出， 故②错误； ③设， 则，， ， 故③正确； ④设，若， 则， 解得， ， ， 则的补角是， 故④正确； 综上所述，正确的是①③④； 故答案为：①③④． 10．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，邻补角和余角，角平分线有关的计算，解题的关键是掌握各个角之间的关系． （1）先求出，再根据平分，得出，即可求解； （2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，即． 11．A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是垂线段最短． 故选：A 12．A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 13． C 垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 14．/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点D， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了垂线的做法以及点到直线的距离． （1）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点E，由此可画． （2）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点F，由此可画． （3）根据点到直线距离的定义可得答案． 【详解】（1）解：过点画出的垂线，交直线于点，如图， （2）解：过点画，垂足为点，如图， （3）解：因为， 所以， 所以点到直线的距离是线段的长, 故答案为：． 16．D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 17．D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：与的位置关系是同位角． 故选：D 18． 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与是同位角． 19．内错角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 20．(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 22．见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理与等量代换，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． 首先根据已知条件通过等量代换得到一组内错角相等，再依据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”得出两直线平行． 【详解】解：因为，， 所以， 进而． 23．（1）同位角相等，两直线平行；（2）；角平分线的定义；；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，则可证明，进而证明． 【详解】解：（1）∵（已知）， （同位角相等，两直线平行）； （2）平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 又∵（已知）， （等量代换）    ，     （同位角相等，两直线平行）． 24．90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 26．B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 27．C 【分析】本题主要考查平行线性质（内错角/同位角）、三角板角度特征，熟练掌握“平行线的角关系”和“三角板固定角度（）”是解题关键．利用三角板角度、平行线性质（同位角/内错角相等），逐一分析四个结论的真假． 【详解】解：∵，， ∴ ，①正确． ∵． ∴，②正确． ∵，． ∴ ∴与不平行，③错误． ∵， ∴， ∴ ， ∵,， ∴， ∴．故，④正确． 综上，①②④正确，共个． 故选：． 28．D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合角平分线以及平角的定义进行列式化简得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得，再结合进行分析化简得，结合前面的结论以及进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M． ∴， ∵， ∴， 即， 故①符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 由②得， ∴， 即， 由③得， ∴， 由③得， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 29．①②③④ 【分析】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据平行线的判定定理判断③和④；根据①的结论判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故①正确； ∵与互为余角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， 故④正确； 故答案为：①②③④． 30．①③④ 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 31．B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 32．B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 33．/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 34． 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 35． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 36．B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 37．B 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 38．138 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 39．/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 40．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 41．(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 42．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）由与互补，可得，进而得到，根据平行线的性质即可证明； （2）由可得，结合题意可得，由，得到，，然后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：与互补， ， ， ， ； （2）， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ． 43．(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）角平分线的定义可得，结合平行线的性质即可证明． （2）根据题意可得，进而求得，再结合平行线的性质即可得． （3）根据题意可得，即，根据，可得，进而求得． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 44．(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 45．(1)； (2)证明见解析； (3)或或或或． 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． 46．B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 47．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 48． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 49． 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 50．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 10大高频考点概览 考点01利用对顶角相等求角 考点02与余角、补角相关的计算 考点03点到直线的距离与垂线段最短 考点04对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 考点05求证两直线平行 考点06平行线的判定和性质多结论题 考点07平行线的性质在生活中的应用 考点08根据平行线的判定和性质求解 考点09根据平行线的判定和性质证明 考点10根据平行线的判定和性质探究角的关系 ( 地 城 考点01 利用对顶角相等求角 ) 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为___________度． 【答案】50 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算．设，根据题意得出，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， 则， ∴ 即 解得：， 故答案为：50． 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线和交于点，射线，在的内部． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂线定义． （1）根据对顶角相等得，进而利用角的和差即可得解； （2）根据对顶角及邻补角定义得，，进而利用角平分线定义及垂直得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分，， ∴，， ∴． ( 地 城 考点02 与余角、补角相关的计算 ) 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，若，在同侧，且，则下列说法不一定正确的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与∠互补 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系以及平角定义可得，，从而可得，最后根据，和不一定相等，从而可得不一定等于，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴与互余， 故A正确，不符合题意； ∴， ∴与互余， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴与互补， 故D正确，不符合题意； ∵，和不一定相等， ∴不一定等于， 故C不正确，符合题意； 故选：C． 7．（25-26七年级下·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了余角、角度和差运算的知识；解题的关键是熟练掌握角度和差运算的性质，从而完成求解．根据余角和角度和差运算的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，， ∴ 故答案为：． 9．（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，点O是直线上一点，在上方从左到右依次作射线，且平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则的补角是，正确的是_________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，余角与补角的定义，一元一次方程的应用，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 设，根据余角与补角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，并结合一元一次方程，逐一进行分析判断，即可解题． 【详解】解：①， ， 与互为余角， 故①正确； ②设， ， 平分， ， 即根据已有条件推不出， 故②错误； ③设， 则，， ， 故③正确； ④设，若， 则， 解得， ， ， 则的补角是， 故④正确； 综上所述，正确的是①③④； 故答案为：①③④． 10．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，邻补角和余角，角平分线有关的计算，解题的关键是掌握各个角之间的关系． （1）先求出，再根据平分，得出，即可求解； （2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，即． ( 地 城 考点0 3 点到直线的距离与垂线段最短 ) 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是垂线段最短． 故选：A 12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 【答案】 C 垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 14．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点D， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点． (1)过点画出的垂线，交直线于点； (2)过点画，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段___________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了垂线的做法以及点到直线的距离． （1）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点E，由此可画． （2）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点F，由此可画． （3）根据点到直线距离的定义可得答案． 【详解】（1）解：过点画出的垂线，交直线于点，如图， （2）解：过点画，垂足为点，如图， （3）解：因为， 所以， 所以点到直线的距离是线段的长, 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 ) 16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 17．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：与的位置关系是同位角． 故选：D 18．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，与______是同位角． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与是同位角． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 20．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 5 求证两直线平行 ) 21．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理与等量代换，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． 首先根据已知条件通过等量代换得到一组内错角相等，再依据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”得出两直线平行． 【详解】解：因为，， 所以， 进而． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线被直线所截，交点分别为点O、P，平分，平分，如果 （1）吗？为什么？ （2）吗？为什么？ 解：（1）∵（已知）， （                  ）， （2）平分，平分（已知）， ∴ （ ）． 又∵（已知）， = （          ）    ，     （           ）． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）；角平分线的定义；；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，则可证明，进而证明． 【详解】解：（1）∵（已知）， （同位角相等，两直线平行）； （2）平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 又∵（已知）， （等量代换）    ，     （同位角相等，两直线平行）． 24．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 25．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． ( 地 城 考点0 6 平行 线的判定和性质多结论题 ) 26．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 27．（24-25七年级下·山西大同·期末）将一副直角三角板和按如图所示的方式摆放在两条平行线和之间，点在上，在上，，，．以下四个结论：①；②；③；④．其中，结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线性质（内错角/同位角）、三角板角度特征，熟练掌握“平行线的角关系”和“三角板固定角度（）”是解题关键．利用三角板角度、平行线性质（同位角/内错角相等），逐一分析四个结论的真假． 【详解】解：∵，， ∴ ，①正确． ∵． ∴，②正确． ∵，． ∴ ∴与不平行，③错误． ∵， ∴， ∴ ， ∵,， ∴， ∴．故，④正确． 综上，①②④正确，共个． 故选：． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合角平分线以及平角的定义进行列式化简得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得，再结合进行分析化简得，结合前面的结论以及进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M． ∴， ∵， ∴， 即， 故①符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 由②得， ∴， 即， 由③得， ∴， 由③得， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 29．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：①若，则；②若与互为余角，则；③如果，则有；④．其中正确的有___________．（填序号即可） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据平行线的判定定理判断③和④；根据①的结论判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故①正确； ∵与互为余角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， 故④正确； 故答案为：①②③④． 30．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． ( 地 城 考点0 7 平行线 的性质在生活中的应用 ) 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 32．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 33．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 34．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则____________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． ( 地 城 考点0 8 根据 平行线 的判定和性质求解 ) 36．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 37．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，已知，，垂足分别为点，，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 38．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 40．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 9 根据 平行线 的判定与性质证明 ) 41．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 42．（23-24七年级下·天津南开·期末）如图．点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，若与互补．过点作，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）由与互补，可得，进而得到，根据平行线的性质即可证明； （2）由可得，结合题意可得，由，得到，，然后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：与互补， ， ， ， ； （2）， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ． 43．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图1，在中，已知，，是的平分线，交延长线于点， (1)求证：； (2)如图2，过点作于点，交的延长线于点，试探究与之间的关系； (3)在（2）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）角平分线的定义可得，结合平行线的性质即可证明． （2）根据题意可得，进而求得，再结合平行线的性质即可得． （3）根据题意可得，即，根据，可得，进而求得． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 44．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 45．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． (1)__________； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或或或或． 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． ( 地 城 考点 10 根据 平行线 判定与性质探究角的关系 ) 46．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 48．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 49．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 50．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $