期末压轴专题02 几何压轴50练（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 聚焦图形变换与平行线综合应用，通过10类典型题型构建从性质到动态问题的完整训练体系，强化空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|1-10题|多结论选择与实际应用|从平移性质直接应用到面积计算，逐步提升空间转化能力| |轴对称|11-15题|对称性质辨析|围绕对称轴性质展开，强化几何直观与性质判断| |折叠|16-20题|多步骤综合解答|结合矩形折叠，训练动态图形中的角关系推理| |旋转|21-25题|三角板旋转探究|以旋转为载体，培养运动变化中的不变量思想| |平行线|26-50题|多结论/多解/拐点/三角板综合|从性质判定到复杂拐点模型，构建完整平行线知识网络|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题02几何压轴题50练 目录 类型一、利用平移的性质求解 类型二、利用平移解决实际问题.6 类型三、根据成轴对称的特征进行判断 ,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,。,,,,11 类型四、几何图形的折叠综合问题，.15 类型五、几何图形的旋转综合问题 ….27 类型六、平行线的性质与判定多结论问题 ….39 类型七、平行线的性质与判定多解题问题 44 类型八、平行线的性质与判定综合问题… .51 类型九、平行线中的拐点问题… .57 类型十、平行线中的三角板旋转问题…… 69 类型一、利用平移的性质求解 1.(25-26九年级上·山东烟台·期末)如图，ABC经过平移后得到aDEF,下列说法：①AB∥DE;② AD=DE;③∠ACB=∠DFE;④ABC和△DEF的面积相等；⑤四边形ACFD和四边形BCFE的面积相等. 其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(24-25七年级下.四川绵阳期末)如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6,AC=10,BC=8,把三 移至毛角形DEF后，4D=4,CG=,则下列结论：①AC∥DF AE=9;④三角形BDG与三角形CFG的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24：其中正确结论的个数为() 1/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B F A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(24-25七年级下河南洛阳期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm,BC=5cm,AC=3cm ,将ABC沿BC方向平移3cm,得到△DEF,连接AD,则下列结论：①AC∥DF,AC=DF; ②ED⊥AC;③四边形ABFD的周长是18cm.其中结论正确的个数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(24-25七年级下·河南南阳·期末)如图，将ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF,点D落在线段 AC上，BC与DE交于点G,则下列结论：①AD=CF;②AB∥DE;③BC∥EF;④∠B=∠E;⑤ AD=DC=CF;⑥S阳边形4BGD=S因边影GEFc·其中正确的结论个数是() G B E A.3 B.4 C.5 D.6 5.(24-25七年级下·陕西汉中·期末)如图，将周长为12的ABC沿直线BC向右平移n个单位长度，得到 △DEF,DE交AC于点G,连接AD·给出下列结论：①AD∥BE,AD=BE;②若DE⊥AC,则 AB⊥AC;③AG=CG;④若四边形ABFD的周长为24，则n=6.其中，正确的有() G B E 2/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型二、利用平移解决实际问题 6.(25-26九年级上·山东烟台·期末)如图，将长为8cm,宽为4cm的长方形ABCD先向右平移3cm,再向 下平移2cm,得到长方形A'B'C'D',则阴影部分的面积为cm2. D 7.(25-26七年级上·安微安庆期末)把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片 A,B,C,D和一张长方形纸片E,并将它们按图2的方式放入周长为24cm的长方形中，设正方形C的边长 为xcm,正方形D的边长为ycm,则 A B B D 图1 图2 (1)用含x,y的式子表示正方形B的边长为 (2)图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 8.(24-25七年级上·湖北十堰·期末)如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥（桥墩忽略不计）. 己知湖泊长35米，宽20米，桥面的宽度为2米.公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放2条 金鱼.求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 9.(24-25七年级下·黑龙江绥化期末)(1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段 3/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB向右平移，得到线段AB,连接AA,BB,线段AB平移的距离是 1 草坪 草坪 b 路 a 图1 图2 图3 (2)动手操作：如图2，三角形ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都 为1个单位长度)，将三角形ABC平移，使点A平移到图中A的位置，点B的对应点是B,点C的对应点 是G.①画出平移后的三角形A,B,C,; ②线段AC在平移的过程中扫过的面积是 (3)拓展延伸：如图3，在一块长为Q米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽 度处处相同)，直接写出剩下的草坪面积是平方米。 10.(21-22七年级下·河南安阳期末)图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长 度，宽均为5个单位长度) 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到AB',得到封闭图形AABB(阴影部分)： 在图2中，将折线ABC(其中点B叫做折线ABC的一个“折点”)向上平移1个单位长度到折线A'B'C',得 到封闭图形AAB'CCB(阴影部分). 小路 草地 草地 图1 图2 图3 图4 问题解决： ()在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图 形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S、S2,则S,=_平方单位；并比较大小：S,_S2(填 “>“=”或“<”)月 (3)联想与探索：如图4.在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长 方形的长为α，宽为b,请你直接写出空白部分表示的草地的面积是_平方单位.（用含a,b的式子表示） 4/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、根据成轴对称的特征进行判图 11.（24-25七年级下山西晋中.期末)如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”.小明绘制了从 正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线MN是它的对称轴，则下列说法错误的是() 以西格汤伤 D 图1 图2 A.∠A=∠F B.线段BE被直线MN垂直平分 C.∠ABE+∠FEB=I8O D.BC=ED 12.(24-25七年级下·河北邯郸期末)如图，若ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O, 则下列说法中不一定正确的是() A.∠ABC=∠AB'C B.AB∥A'B C.AA'⊥MND.BO=BO 13.(23-24七年级下山西晋中期末)如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线0F是 其对称轴.下列结论不正确的是() 5/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A B D E A.BC=B'C' B.∠D=∠D' C.0F平分∠A0A D.BB'垂直平分OF 14.(24-25八年级上广东惠州期末)如图，ABC和△AB'C'关于直线1对称，下列结论中，错误的是() A.△ABC≌△AB'C B.LBAC'=∠B'AC C.1垂直平分CC D.直线BC和B'C'的交点不在直线I上 15.(24-25八年级上·广西河池·期中)如图，ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下 列结论中错误的是() A.直线AB、AB的交点不一定在MN上B.△AA'P是等腰三角形 C.ABC与△A'B'C'面积相等 D.MN垂直平分AA,CC' 6/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、儿何图形的折叠综合问题 16.(25-26七年级上·上海普陀期末)美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏.如图，将长方形卡 纸ABCD(AB<AD沿折痕BD折叠，点C落在了点C处，BC'交AD于点N. (I)如果∠CBD=20°，那么∠ABC'=_°； (②)点E为线段AN上一点，将三角形ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点A处，如果LCBD=a,请 用c的代数式表示∠CBE; (3)将三角形ABN沿BN折叠，点A落在点A处，当∠DBA2=9°时，求出∠CBD的度数. 17.(25-26七年级上广东梅州期末)阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线. 折叠 OC为折痕 0 A(B) B OA与OB重合 图1 D B B B 图2 图3 图4 (1)如图1，若LA0B=56°，则LB0C=-°； (②)折叠长方形纸片，BC,BD均为折痕，折叠后，点A落在点A,点E落在点E. ①如图2，当点E在BA'上时，求∠CBD的度数； ②如图3，若∠A'BE'=42°，求∠CBD的度数； ③如图4，若LA'CB=30°，∠A'BE'=n°，则DBE的度数为_。（用含n的式子表示）. 18.(25-26七年级上·上海期末)定义：如果有三个角α，B,Y,满足a+B-y=90°，则称Y是a和B的 “差余角”. 7/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B B E 图1 图2 (1)已知∠1=53°，∠2=62°，若∠3是∠1和∠2的“差余角”，则∠3= (2)现有一张正方形纸片ABCD,如图1所示，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合）.连接AE,将 纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B. ①若∠B'EC是∠AEB和LAEB的“差余角”，求∠AEB的度数 ②再将此正方形纸片沿着B'E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C,如图2所示.试 探究点E在变动的过程中是否存在∠AEB,∠AEC',∠B'EC'中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在， 请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由. 19.(25-26七年级上·江苏连云港·期末)【教材再现】(1)教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方 形纸片ABCD沿着EF折叠后，点D,C分别落在点D,C的位置，ED'的延长线交BC于点G, LEFG=68°，求∠1，∠2的大小： E ----------D 2D B G C 图1 【反思探究】(2)小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长 方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系.于是，他又进行了以下探究活动。 ①在(1)的条件下，求图1中∠GFC'的度数； ②将长方形纸带沿着EF折叠成图2，ED交BC边于点G；再将图2中的纸片沿着BF折叠成图3；再将图3 中的纸片沿着EF折叠成图4；再将图4中的纸片沿着BF折叠，FC恰好与FE重叠.则图2中，∠FEG的 度数是多少？ 8/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 图2D 图3 图4 【拓展应用】(3)如图5，一张足够长的长方形纸条，点E,F分别在AD,BC上，∠EFC是一个度数为 x°的锐角.如图6，将纸条折叠，使得FC与FE重合，打开铺平，得到折痕FG;如图7，再将纸条折叠， 使得FC与FG,重合，打开铺平，得到折痕FG2;…如此反复操作.若第5次操作时，所得的∠AGD=175°， 请直接写出x的值. D G G2 图5 图6 图7 20.(25-26七年级上河南南阳·期末)数学活动：折纸中的数学 D D B B 图1 图2 图3 【知识背景】 我们在《图形的初步认识》中学习了角的平分线，可以用折纸的方法作角平分线. 探究仿照下图，通过折纸作角平分线 P P P(R) 如图的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠POM与∠ROM重合，所以 9/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PQM=∠RQM,射线QM是∠PQR的平分线. 【知识初探】 (1)如图1，点P,Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB,CD上的点，连接PQ,将∠APQ和∠BPQ分 别对折，使点A,B都分别落在PQ上的A和B处，点C落在C处，分别得折痕PN,PM,则∠NPM的 度数是 【类比再探】 (2)如图2，将长方形ABCD纸片分别沿直线PN,PM折叠，使点A,B分别落在点A,B处，PA'和PB 不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.若LA'PB'=20°，LAPN=30°，求∠NPM的度数； 【拓展探究】 (3)将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A,B,C分别落在点A,B,C处，PA'和PB 不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若∠A'PB'=a(0°≤α≤60)，请直接写出 ∠NPM的度数（用含a的式子表示）. 类型五、几何图形的旋转综合问题 21.(25-26七年级上·湖南株洲·期末)直角三角形纸板C0E的直角顶点O在直线AB上(OE在0C的右侧). P B A ·BA 0 -B 图① 图② 图③ (1)如图①，当∠A0C=75°时.∠B0E的度数是-； (2)如图②，0F平分∠A0E,，若LC0F=20°，求LB0E的度数. (3)如图③，已知∠B0P=30°，将三角形纸板C0E(未画出)绕直角顶点O旋转，当∠P0E=20°时，直接 写出∠A0C的度数. 22.(25-26七年级上安徽合肥期末)如图1,0为直线AB上一点，将一副直角三角板按如图所示放置（其 中∠C=60°，∠P=45°，∠PO0=90°，∠CD0=90°)，将三角板POQ绕点0以每秒5°的速度按顺时针方向 旋转一周. 10/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D -R A D O 图1 图2 图3 (1)如图2，经过3秒： ①此时，∠AOQ= ②此时OP是否平分∠BOC？请说明理由： (2)若在三角板POQ转动的同时，三角板CD0也绕0点每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3.那 么经过多长时间直线0D平分∠P0Q？请说明理由. 23.(25-26七年级上江苏连云港·期末)【操作拼图】在桌面上，把一副三角板摆成如图1的位置，其中两 直角边AC和DE重合，边AB和DF相交于点O,点C和点E重合，∠A=30°，∠F=45°. A D D ■ C(E) C(E) B C(E) 图1 图2 图3 (1)在上述图形中，LA0D=-· 【问题探究】在图1的基础上，让三角板DEF固定不动，将三角板ABC绕点C(E)顺时针旋转 o(0<a<60). (2)在旋转过程中，以下说法正确的是_·（填对应序号） ①∠ACD=∠BCF;②∠FOH-∠BCF=15°；③LACF+∠BCD=180°；④∠CHB-∠DGC=15 【综合运用】将一副三角板按照图3摆好后，让三角板ABC绕点C(E)以每秒1°的速度逆时针旋转的同时， 三角板DEF也绕点C(E)以每秒3°的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当三角板ABC旋转角度达到90°时， 两三角板停止旋转 (3)设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，当三角板DEF中某一边与AB垂直时，求t的值， 24.（25-26七年级上·四川达州期末)某校七(1)班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用直角三角板 AOB和直角三角板COD按如图1摆放，边OA,OD与直线MN重合，∠AOB=45°，∠C0D=60°，保持 11/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三角板COD不动，将直角三角板A0B绕着点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当OA转到射线ON上时停止 运动，设旋转时间为t秒，尝试完成探究. MA M 0 图1 图2 图3 (1)在图1中，∠B0C的度数为 (2)在直角三角板从开始到OA与0C相交这一运动过程中，请判断∠B0D-∠AOC的值是否为定值，如果是， 求出这个值，如果不是，说明理由； (3)①如图2，当t=18秒时，求∠B0C的度数： ②如图3，在转动过程中，当t为何值时？OB平分由OA,OC,OD其中任意两边组成的角. 25.(25-26七年级上·陕西西安期末)【阅读理解】射线0C是∠A0B内部的一条射线，若∠C0A= -∠BOC 则我们称射线0C是射线OA的伴随线，例如，如图①，∠A0B=60°，∠A0C=∠C0D=∠B0D=20°， 则∠AOC=∠BOC,称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=L4OD,称射线OD是射线 OB的伴随线， B D B B O A 图① 图② 图③ 备用图 【知识运用】 (I)如图②，∠A0B=120°，若射线OM是射线OA的伴随线，则∠A0M=°，若∠A0B的度数是C, 射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是；（用含a的代数式表示》 (2)如图③，∠A0B=180°，射线0C与射线0A重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线0D与射 线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线0D与射线OA重合时，运动停止. ①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠C0D的度数是60°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线OC,OD,OB中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线. 12/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、平行线的性质与判定多结论问题 26.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点， 延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分LFBC,若∠ACB=II0°.则下列结论： ①∠MAB=∠BAD; L4BM=LBAM;③)LNBC=∠BDH;④设∠CBM=Q,则∠BAD=55-&: ∠DBA=55°，其中，正确的有() H A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 27.(25-26八年级上辽宁沈阳期末)如图，己知AB∥CD,EG,EM,FM分别平分 ∠AEF,∠BEF,LEFD,下列结论：①∠EMF=90°；②FM∥GE;③∠EGF与∠BEM互补.其中，正确 结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 28.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)如图，己知AD∥CF,AB1AD于点A,∠1+∠3=180°，则下列结论： ①∠2=∠3；②∠I=∠4；③CD‖EF；④∠B=∠BFE;⑤∠BFC=90°.其中正确的是() A 10D 2 B E A.②③④ B. ①③⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤ 29.(25-26七年级上·吉林长春期末)如图，∠B=110°，∠C=70°，DE平分∠ADC交BC于点E,点F为线 段CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF,则下列结论正确的有 ①LBAD+∠ADC=180°；②AF∥DE;③BC∥AD;④∠DAF=∠F 13/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 30.(25-26七年级上吉林长春期末)如图，AECF,LACF的平分线CB交AE于点B,G是CF上一点， 连结BG,AC∥BG,∠GBE的平分线BD交CF于点D,连结AD.给出下面四个结论： ①∠DBC=90°；②ABC与△ABD的面积相等；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠CAB=a,则 ∠BDF=180°- 2 DF 上述结论中，正确结论的序号有 类型七、平行线的性质与判定多解题问题 31.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，在直线AB上取一点0，向上作一条射线0C,使∠B0C=50 ,将一直角三角板顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中 ∠0MN=30°，将图中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 秒时，边MN所在直线恰好与射线OC平行. M B 32.(25-26七年级上江苏南京期末)如图，AB∥CD,点P,Q分别是AB,CD上的一点，射线PB绕点 P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与QD重合便立即 回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动，若射线PB先转动40秒，射线QC才开始转动， 则射线QC转动秒后，QC与PB平行. 14/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y 一B D Q 33.（25-26七年级上河南新乡·期末)如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中 ∠ACB=LCDE=90°，LABC=30°，∠DCE=45°.三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动， 当AB∥EC时，∠DCB的度数为 B 34.(24-25七年级下·江苏宿迁·期末)将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交 于点G,∠C=∠EFB=90,∠A=60,∠E=45,现将图中的ABC绕点G按每秒30的速度沿逆时针方向旋 转180，在旋转的过程中，ABC恰有一边与DE平行的时间为 B(D) 35.(25-26八年级上陕西西安·期末)将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，AC边重合， ∠BAC=45°，∠DAC=30°，保持三角尺ABC不动（如图2），将三角尺ACD绕着点C顺时针转动90°后停止. 在转动的过程中，当三角尺ACD有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行时，∠ACA'的度数为 图1 图2 15/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、平行线的性质与判定综合问题 36.(25-26七年级上江苏苏州期末)如图，DE与AB相交于点0，且DE∥BC,BM平分∠ABC,且 OM⊥AB. A D E B (1)若∠M0E=24°，求∠MBA的度数； (2)画∠BOD的平分线ON,ON与BM有怎样的位置关系？为什么？ 37.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，∠2=∠B,BE与DF交于点P. B 20 (1)若∠1=52°，求∠C的度数： (②)若∠2+∠D=90°，AB∥CD,试判断BE与DF的位置关系，并说明理由 38.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，点F在线段AB上，点E,G在线段CD上，FG∥AE, ∠1=∠2. F B 了1 H C EGD (1)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； (2)若BC平分∠ABD,∠D=114°，求∠C的度数. 39.(25-26八年级上·河南郑州期末)在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣， 杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能. 16/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 产D 7777777777 图① 图② (①)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的 光线OB,OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出.图中如果∠B0P=42°，∠QOC=68°，请求出∠AB0 和∠DCO的度数； (②)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角 a=18°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=42°，请直接写出EF与FG所成锐角的度数. 40.(25-26八年级上·贵州期末)已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,FG平分∠EFD与 直线AB交于点G. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LEGF=26°，则∠AEF的度数是-· (2)作EM平分LGEF,交FG于点M. 如图2，过点G作GN⊥FG,交直线EF于点N,求证：GN∥EM· 如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP,若2∠CFP=3∠PFG,请写出∠FPM与∠DFG存在的数量 关系，并说明理由. 类型九、平行线中的拐点问题 41.(25-26八年级上·广东河源·期末)如图1，AB∥CD,M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E 17/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B B N D C D 图1 图2 (1)若∠EMB=35°，∠END=65°，则∠MEN的度数是 (2)求证：LMEN=∠END-LEMB. (3)如图2，MQ平分∠EMB,NQ平分∠END,若∠MEN=a,试用含a的代数式表示∠MQN的度数， 42.(25-26八年级上·山东济南期末)己知AB∥CD,点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一 点 C D H B A E B 图1 图2 图3 (I)【基础问题】如图1，试说明：∠AGD=∠A+∠D,(完成下面的填空部分) 证明：过点G作直线MN∥AB, :AB∥CD, :① ∥CD. :MN∥AB, :② =∠AGM. :MN∥CD, .∠D=③ (④ :∠AGD=∠AGM+LDGM=∠A+LD. (②)【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系， 并请用平行线的知识说明理由. (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB,且∠HDF=22°，∠AFC=72°，那么∠H的 度数为 43.(25-26七年级下·河南新乡·期末)如图，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点，P为AB,CD之间的 一点，且始终在直线EF的左侧，连接EP,PF. 18/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C D (1)若∠AEP=40°，∠CFP=70°，则∠EPF= (2)请判断∠AEP,∠CFP,∠EPF之间的数量关系，并说明理由： (3)在AB,CD内部另作一条折线E-Q-F,且点Q在直线EF的右侧.若∠BEP=2∠BEQ, ∠DFP=2∠DFQ,∠EQF=100°，请直接写出∠EPF的度数 44.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，MN∥PQ,直线AB交MN于点A,交P9于点B,点E是线 段AB上一点，C、D分别在射线AN、BQ上，连接CE、DE,∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交于点F. AC ME ME F B DO B DO H 备用图 (I)当CE⊥DE时，∠ACE+∠BDE= 0: (2)∠CED与LCFD的数量关系是 (3)过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于H,将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后的对 应直线为AB',同时，将△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为△DF'H',当 直线AB'首次与直线MN重合时，整个运动停止.在(1)的条件下，若∠CAB=80°，∠EDB=40°，经过t 秒后，直线AB'恰好与△DFH'的边FH'或边DH'平行，请直接写出所有满足条件的t的值， 45.（25-26七年级上海南海口期末)综合与探究 如图，AB∥CD,点P,Q为直线CD,AB上两定点，O°<∠PNQ<180°. 19/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P -D N32 M 30 一B B 图1 图2 ) M B A -B 图3 图4 (1)如图1，当N点在P9左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为_； (2)若PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=110°. ①如图2，点N在PQ左侧时，求∠PMQ的角度； ②如图3，点N在PQ右侧，求∠PMQ的角度： (3)如图4，PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=120°，点N在PQ右侧，若∠CPM与∠AQM的角 平分线交于点M1,∠CPM1与∠AQM,的角平分线交于点M2;依次类推，则∠PM2o26Q=-·(直接写出结 果) 类型十、平行线中的三角板旋转问题 46.(25-26七年级上·重庆期末)如图所示，含30°的直角三角形ABC,点A和点C在两平行线MN、QR上， AD、AE分别为∠BAN、∠BAM的角平分线，F为BC的延长线与AD的交点. M OE C DR B (I)求证：EA⊥AD; (②)试判别∠AED和LCFD的大小关系，并说明理由： (3)当∠ADE=36°时，射线AM和射线CB分别以10°每秒和30°每秒的速度同时顺时针旋转，当射线CB旋 转一周时，全部停止运动，求射线AM和射线CB在旋转过程中平行时对应的时间的值. 47.(25-26八年级上山西晋中期末)【项目化学习玩转三角尺” 20/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利 用三角尺ABC和三角尺DEF进行了操作探究活动.（其中LBAC=∠FDE=90°，∠ACB=60°， LABC=30°，LDEF=∠DFE=45°)请你一起探究，完成以下任务 d. 图1 图2 图3 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺ABC沿BC方向移动，得到△AB,C,王丽发现此时 AB∥AB,她的判断依据是： 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线α平行于边BC所在的 直线b,且点A与点F重合，求∠1的度数 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺DEF,将三角尺ABC绕点C逆时针旋转 180°，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺ABC的边所在直线与EF所在直线平 行时，直接写出满足条件∠FCA的度数。 48.(25-26七年级上·山西运城期末)综合与探究 问题情境： 有一副三角板ABC和DEF,LACB=LEDF=90°，LDEF=∠DFE=45°，LBAC=60°，LABC=30°，点 A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G. 图1 图2 图3 初步探究： (1)如图1，若EF∥AB,则∠CAD的度数为 (2)如图2，若∠BGF=75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由. 深入探究： (3)如图3，AD平分∠BAC,过点E作EH∥BC,交DF的延长线于点H,求∠HEF的度数， 49.(24-25七年级下·江苏扬州期末)如图，直线PQ∥MN,一副直角三角板ABC、△DEF中， 21/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°. D D M -N M 图1 图2 图3 图4 (1)若ADEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM· (②)若ABC,ADEF如图2摆放时，LFDQ=°. (3)若图2中ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PO相交于点G,作∠FGQ和∠GFA的 角平分线GH、FH相交于点H(如图3)，则∠GHF=° (4)若图2中△DEF固定，（如图4）将ABC从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒2°，旋转至AC与 直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间. 50.(25-26七年级上重庆江北期末)如图，己知直线MN∥PQ,三角形纸板ABC中的点A在直线PQ上， 点C在MN的下方，线段BC、AC与直线MN交于点D、G,连接AD. P B M G D D D 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，若∠PAB=55°，∠NDC=20°，则∠ABC的度数为 (2)如图2，点H是射线AP上一点（不包括端点A),当AC平分∠DAQ,DB平分∠MDH时，猜想∠HDA与 ∠ACB的关系，并说明理由； (3)如图3，若∠B=90°，∠PAB=50°，将LCDN绕着点D以每秒1°的速度顺时针方向旋转得∠C'DN',旋转 时间为t秒；同时将△ABD绕着点A以每秒3°的速度逆时针方向旋转得△AB'D',当射线AB'与射线AP首次 重合时，∠CDN和△ABD同时停止转动.在旋转过程中，作∠C'DN'的角平分线DE,作∠BAQ的角平分 线AK,请直接写出当AK∥DE时t的值. 22/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23/23 期末压轴专题02 几何压轴题50练 目录 类型一、利用平移的性质求解 1 类型二、利用平移解决实际问题 6 类型三、根据成轴对称的特征进行判断 11 类型四、几何图形的折叠综合问题 15 类型五、几何图形的旋转综合问题 27 类型六、平行线的性质与判定多结论问题 39 类型七、平行线的性质与判定多解题问题 44 类型八、平行线的性质与判定综合问题 51 类型九、平行线中的拐点问题 57 类型十、平行线中的三角板旋转问题 69 类型一、利用平移的性质求解 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，在三角形中，，把三角形向下平移至三角形后，，，则下列结论：①；②；③；④三角形与三角形的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得①②说法正确，由，，，可得③说法错误，依据平移的性质，平行四边形的判定与性质，可判断④⑤说法正确． 【详解】解：三角形向下平移至三角形， ，， 故①②说法正确； ，， ， 故③说法错误； 与的周长和为， 又三角形向下平移至三角形， 四边形是平行四边形，， ， ， 与的周长和为， 故④说法正确； 三角形向下平移至三角形，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ，即， ， 故⑤说法不正确； 综上，正确结论的个数为个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，连接，则下列结论：，；；四边形的周长是．其中结论正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：将沿方向平移得到， ，，，故正确； ， ， ，故正确； 沿方向平移得到，，，， ，， 四边形的周长，故正确， 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿方向平移一定距离得到，点D落在线段上，与交于点G，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质逐项分析即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：，，，，，故①②③④正确， ∴， ∴，即，故⑥正确； 由已知条件不能说明，故⑤错误； 综上所述，正确的有个， 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可．本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得， ， ∴四边形的周长为， ∴，即沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 类型二、利用平移解决实际问题 6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 7．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 9．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 【答案】（1）3；（2）①见详解；②9；（3） 【分析】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质和网格特点求解即可； （2）①根据平移性质和网格特点可画出图形； ②根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3 ； （2）①如图所示，即为所求作； ②线段在平移过程中扫过的面积． 故答案为：9； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 10．（21-22七年级下·河南安阳·期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析过程； (2)40，=； (3)（ab-a） 【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB； （2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求； （2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2， 则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位； S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位； ∴S1=S2， 故答案为：40，=； （3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度， ∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位． 故答案为：（ab-a）． 类型三、根据成轴对称的特征进行判断 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 12．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键．根据轴对称图形的特征判断即可，成轴对称的两个图形全等，对应角相等，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点连线的垂直平分线； 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，无法判断与的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 13．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 14．（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，和关于直线l对称，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C．l垂直平分 D．直线BC和的交点不在直线l上 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、因为和关于直线l对称，所以，故本选项正确，不符合题意； B、因为和关于直线l对称， 所以 ∴，故本选项正确，不符合题意； C、因为和关于直线l对称，l垂直平分，故本选项正确，不符合题意； D、因为和关于直线l对称，直线BC和的交点一定在直线l上，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 15．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 类型四、几何图形的折叠综合问题 16．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 17．（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 18．（25-26七年级上·上海·期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)25 (2)①；②或 【分析】本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“差余角”的定义是解题的关键． （）根据“差余角”的定义即可求解； （）根据“差余角”的定义即可求解；存在．分三种情况根据“差余角”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“差余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； ②存在． 由折叠可得，，， 设，则， 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，，无解 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“差余角”；当时，为和的“差余角”． 19．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 【答案】（1），（2）①②（3）80 【分析】本题考查折叠的应用，平行线的应用，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，得到，推导出，则； （2）①先求出，推导出，则，即可解答； ②设，得到，推导出，则，进而推导出，，由，得到，求出x的值即可； (3)先求出，，，按此规律，得到，推导出，由，得到，即，求出x的值即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图1， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ②设，如图2， 有 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图3， 有， ∴， 如图4， 有， ∴， 由题意，， 即， 解得 ∴． (3)如图6， 有， 如图7， 有 ∴， 同理可得 ， 按此规律，， 如图8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 20．（25-26七年级上·河南南阳·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】 我们在《图形的初步认识》中学习了角的平分线，可以用折纸的方法作角平分线． 探究仿照下图，通过折纸作角平分线． 如图的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时与重合，所以，射线QM是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，点，分别是长方形纸片的对边，上的点，连接，将和分别对折，使点，都分别落在上的和处，点落在处，分别得折痕，，则的度数是___________． 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点，分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．若，求的度数； 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点，，分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）根据、、即可求解； （3）结合（2）的推理过程即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 类型五、几何图形的旋转综合问题 21．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】（1）根据平角和角的和差计算即可；、 （2）求出，根据即可求出答案； （3）分在内部和在外部两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ （2）解：因为平分， 所以 ． 因为， 所以 ． 所以． 所以． （3）∠AOC的度数为或． 解：当在内部时， 因为， 所以． 因为， 所以．所以． 当在外部时， 因为，， 所以． 因为， 所以．所以． 综上所述，的度数为或 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，为直线上一点，将一副直角三角板按如图所示放置（其中，），将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过3秒； ①此时，__________． ②此时是否平分？请说明理由： (2)若在三角板转动的同时，三角板也绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3．那么经过多长时间直线平分？请说明理由． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析 (2)经过直线平分，理由见解析 【分析】（1）①根据，即可解答； ②求得即可进行判断； （2）分两种情况，即运动到的平分线的位置或运动到的平分线的延长线的位置，分别求解即可． 【详解】（1）①解：根据题意可得； ②解：平分，理由如下： ， ， ， ， ， 平分； （2）解：经过直线平分，理由见解析， 设经过直线平分， 当运动到的平分线的位置时，如图， 由题意可得，， ， 平分， ， 解得； 当运动到的平分线的位置时，如图， 由题意可得，， ， 平分， ， 解得； 三角板绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ， 故不符合题意，舍去， 综上，经过直线平分． 【点睛】本题需要分类讨论，即运动到的平分线的位置或运动到的平分线的延长线的位置． 23．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）【操作拼图】在桌面上，把一副三角板摆成如图1的位置，其中两直角边和重合，边和相交于点，点和点重合，． （1）在上述图形中， ． 【问题探究】在图1的基础上，让三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转． （2）在旋转过程中，以下说法正确的是 ．（填对应序号） ①；②；③；④ 【综合运用】将一副三角板按照图3摆好后，让三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当三角板旋转角度达到时，两三角板停止旋转． （3）设三角板的旋转时间为秒，在旋转过程中，当三角板中某一边与垂直时，求的值． 【答案】（1）；（2）①②③；（3）、、． 【分析】本题主要考查了三角板的特殊角度性质、三角形内角和定理、角度的和差与等量代换、旋转的性质以及分类讨论思想，熟练掌握三角板的角度特征，运用角度的和差关系与等量代换推导角的数量关系，结合旋转速度建立方程，并通过分类讨论解决动态问题是解题的关键． （1）先利用三角板的特殊角度（）推出，进而得到；再结合，通过三角形内角和为计算出的度数． （2）①通过同角的余角相等，证明与相等；②利用对顶角相等和角度代换，推导与的数量关系；③通过角度的和差代换，证明与的和为；④利用三角形外角性质，推导与的差值． （3）分三种情况讨论：、、．结合三角板的旋转速度（每秒，每秒），用角度差表示旋转后的角度关系，建立方程求解的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：； （2）①∵，， ∴，故①正确； ②∵，，，， ∴即 ∴，故②正确； ③∵，， ∴ ，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：①②③； （3）情况1：如图，当时， ∵，， ∴， ∵旋转后角度差， ∴， 解得； 情况：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵旋转后角度差， ∴， 解得， 情况：如图，当时， ∵，， ∴， ∴ ∵旋转后角度差， ∴， 解得， 故的值为、、． 24．（25-26七年级上·四川达州·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用直角三角板和直角三角板按如图1摆放，边，与直线重合，，，保持三角板不动，将直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转，当转到射线上时停止运动，设旋转时间为t秒，尝试完成探究． (1)在图1中，的度数为______； (2)在直角三角板从开始到与相交这一运动过程中，请判断的值是否为定值，如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)①如图2，当秒时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，当t为何值时？平分由，，其中任意两边组成的角． 【答案】(1) (2)是定值，该值为 (3)①；②或18或21秒 【分析】本题考查了角的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （2）根据题意利用平角的定义及角的和差分别表示出和的表达式，再计算即可判断是否为定值； （3）①根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，， ∵直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴， 在直角三角板旋转的过程中，原来，旋转的角度为， ∴现在， ∴． （3）解：①当秒时，， ∴， ∵， ∴； ②（i）如图，当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴； （ii）如图，当平分时， ∴， ∴， ∴； （iii）如图，当平分时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或18或21秒． 25．（25-26七年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） (2)如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 【答案】(1)； (2)①t的值为15或30，理由见解析；②t为12秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了伴随线概念、角的和差运算以及方程思想的应用，熟练掌握伴随线定义，准确分析角之间的数量关系并合理运用方程求解是解题的关键． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线是射线的伴随线， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵射线是射线的伴随线， ∴， ∴ 解得， ∵射线是的平分线， ∴， ∴ ， 故答案为：40，； （2）解：当射线与重合时，（秒）， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， 解得； 若在相遇之后，则， 解得； ∴综上所述，当t的值为15或30时，的度数是． ②相遇之前：如图1， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图2， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 相遇之后：如图3， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图4， 是的伴随线时，则， 即， 解得（舍去）， ∴综上所述，当t为12秒或秒或秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 类型六、平行线的性质与判定多结论问题 26．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤，其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 27．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 28．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 30．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论： ①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、余角的定义以及三角形面积的相关知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据定义和性质判断即可． 【详解】解：的平分线交于点B，的平分线交于点D， ， ， , ，故①正确； 与等底等高， 与的面积相等，故②正确； 与互余的角有，共4个，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 类型七、平行线的性质与判定多解题问题 31．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 32．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 33．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 34．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 35．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 类型八、平行线的性质与判定综合问题 36．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 37．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 38．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 39．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 40．（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 类型九、平行线中的拐点问题 41．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 42．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 43．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 44．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为，10，17.5，32.5，40 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、解一元一次方程， （1）过点E作，根据平行线定理得，再根据平行线的性质得，，进而求解即可； （2）过点F作交于点K，根据平行线定理得，由角平分线的性质设，，再根据平行线的性质求得，，，，进而求得，，，进而求解即可； （3）由（1）得，，求得，再由角平分线求得，求得，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点D顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图，， ∴， 解得， 当旋转到如图所示时，，， 同理得，， 解得， 当，如图所示， ∵，， ∴， 同理得，，即， 解得， 当旋转到如图所示位置时， 同理得，， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，17.5，32.5，40． 45．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 类型十、平行线中的三角板旋转问题 46．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 47．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 48．（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 49．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，一副直角三角板、中，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，________°． (3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线、相交于点H（如图3），则________°． (4)若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4)或或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，旋转的性质. （1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）分三种情况：①，②，③，利用平行线的性质、角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：分以下三种情况： ①如图，当时， ，即， ， ， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ②如图，当时， ∴， ∴， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ③如图，当时，过点作，延长交于，延长交于， ∵，， ∴， ， ， ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； 综上，当线段与的一条边平行时，旋转的时间或或． 50．（25-26七年级上·重庆江北·期末）如图，已知直线，三角形纸板中的点在直线上，点在的下方，线段、与直线交于点、，连接． (1)如图1，若，则的度数为___________； (2)如图2，点是射线上一点（不包括端点），当平分，平分时，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3，若，将绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转得，旋转时间为秒；同时将绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转得，当射线与射线首次重合时，和同时停止转动．在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时的值． 【答案】(1) (2) (3)或90 【分析】（1）过点作，利用平行于同一直线的两条直线互相平行得出，再根据平行线内错角相等的性质，分别求出与的度数，最后将两角相加得到的度数． （2）设、，由得，由此求出，再根据平行线的性质得出，从而根据外角性质推出，最终得出与的关系． （3）先根据初始角度求出，再表示出旋转秒后与的度数，结合角平分线定义得出与的表达式，利用及的平行性质列出角度等式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：如图，过点作． ∵， ∴． ∵平行线内错角相等， ∴， ∴． ∴． （2）解：设，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． （3）解：由（1）得， ∴， 当在直线下方时， ∵，，的角平分线，的角平分线， ∴，， ∴， ∴，解得； 当在直线上方时， ∵，，的角平分线，的角平分线， ∴，， ∴，解得； 综上或90． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $