期末压轴专题01 代数压轴50练（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 以50道代数压轴题构建“方法-知识-素养”三维训练体系，聚焦整式运算、方程与不等式综合应用，通过类型化训练培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式运算|1-22题|等积法、整体代入、换元法、新定义迁移|从多项式乘法到幂运算，结合几何直观与规律探究，构建“数-形-规律”认知链| |方程与不等式|23-50题|参数分类讨论、实际问题建模|从特殊方程组解法到含参问题，衔接不等式组解集分析，形成“解法-应用-综合”递进逻辑|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题01代数压轴题50练 目录 类型一、多项式乘多项式与图形面积 类型二、多项式乘法中的规律性问题 ….5 类型三、幂的运算与逆运算……… 8 类型四、整式乘法中的化简求值问题 10 类型五、乘法公式与几何图形….12 类型六、整式乘法中的新定义型问题… 18 类型七、二元一次方程组的特殊解法。 23 类型八、已知二元一次方程组的解的情况求参数...，.... 30 类型九、二元一次方程组中的新定义型问题，，… 32 类型十、由不等式组解集的情况求参数。 38 类型十一、不等式组和方程组结合的问题 40 类型十二、不等式组中的新定义型问题· 名 类型十三、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 48 类型一、多项式乘多项式与图形面积 1.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，将6张长为α，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中， 大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为S,左下角长方形的面积为S2,当 AB的长变化时，2S与S的差始终不变，则a与b的数量关系为() A b D S a S2 6 B a A.a=2b B.a=3b C.2a=3b D.3a=2b 2.(25-26八年级上河南南阳·期末)现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要 用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为3x+2y、2x+y的长方形（不重叠、无缝隙）.下列判断正确的是() 丙 A.甲种纸片剩4张 B.丙种纸片缺4张 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.乙种纸片缺1张 D.甲种和乙种纸片都不够 3.(25-26八年级上北京密云期末)已知a>6,若正方形M的边长为a-4),其面积记为SM,长方形N 的长为a-2),宽为(a-6),其面积记为Sw,则SM与Sw的大小关系为() M N a-6 a-2 a-4 A.Sw-Sy =2 B.SM=SN C.SM-Sw=2 D.SM-S=4 4.(25-26七年级上·福建福州·期末)用三个同(1)图的长方形和两个同(2)图的长方形用两种方式去覆 盖一个大的长方形ABCD,当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时， =() S. S B (1) (2) (3) (4) A. 2 B. 3 3 2 C.3 4 4 D. 3 类型二、多项式乘法中的规律性问题 5.(25-26八年级上河南信阳期末)我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三 角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角， 计算(a+b)°的展开式中，含项的系数是() 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (a+b)°= 1…1 (a+b)'= a+b……11 (a+b)2= a2+2ab+b2…121 (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3.…1331 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…14641 A.15 B.10 C.9 D.6 6.(25-26八年级上四川资阳·期末)观察下列各式，寻找规律.已知x≠1，计算： (x-1)1+x)=x2-1,(x-1)1+x+x2)=x3-1, (x-101+x+x2+x3)=x4-1,(x-1)1+x+x2+x3+x4)=x3-1,… 则1+3+32+33+…+30的个位数字是() A.4 B.3 C.1 D.0 7.(24-25七年级下·安徽安庆·期末)在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑” 如：记空k=1+2+3++a++n,2(x+=(x++(+2到++x+小.已知： 空[x+(x-+]=+4红+b,则a+6的值是（) A.16 B.-16 C.20 D.-20 8.(25-26八年级上·山东济宁·期末)如图所示，用“杨辉三角”可以解释(a+b)”(n=1,23,4)的展开式（按a的 次数由大到小的顺序.b反之)的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1,2,1，恰好对应着 (a+b)的展开式a2+2ab+b2中各项的系数：第4行的4个数1,3,3,1，恰好对应着(a+b的展开式 a3+3ab+3ab2+b3中各项的系数.当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立.则(2x-1的展开式中含 x的系数() 1 …(a+b) …(a+b)2 …(a+b)3 1…(a+b)4 A.-80 B.40 C.80 D.-40 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、幂的运算与逆运算 9.(23-24八年级上·广东湛江·期末)(1)已知2=6,2"=3，求2.4的值. (2)已知10"=5,10”=2,10P=4,求103m+2m-P的值 10.(23-24七年级下，江苏南京·期末)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向 运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： 2025 ×42026= (2)己知a=2°，b=36,c=73,请把a,b,c用<”连接起来： (3)若4=2,4=3，求430+26-1的值： 11.(24-25八年级上山东德州期末)计算： (1)已知2=m,3“=n,试用含m,n的代数式表示72“； (2)己知2=m,2=n,试用含m,n的代数式表示83a+2b; (3)已知2020=a,2020'=b,2020°=c,试将20202016x+2018-208:用含a、b、c的代数式表示出来. 类型四、整式乘法中的化简求值问题 12.(25-26八年级上山西长治期末)先化简，再求值：[a+2b)2+(a-2b)(2b+d)-2a(2a-b)]÷2a,其中 a,b满足a-1+(b+3)2=0 13.(25-26八年级上福建泉州期末)先化简，再求值：[(x+(x-川-(x-2门÷2y,其中 x=2025,y=-1. 14.(25-26八年级上福建漳州期末)先化简，再求值：[（a+b2+(a-2b)(a+2b)-2a2÷2b,其中 a=1,b=-2. 类型五、乘法公式与几何图形 15.(25-26八年级上·湖南长沙期末)图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系.在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同 的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式 (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式： 利用图2，可以得到等式： 利用图3，可以得到等式： k a a e b 图1 图2 图3 图4 (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式 (3)结合用(2)中你得到的等式解决问题：若实数a,b,C满足a+2b+3c=6,a2+4b2+9c2=30,求 2ab+3ac+6hc的值； 16.(25-26八年级上·山东日照·期末)小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如 下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个a×a、b×b的小正方形以及a×b的小长方形硬纸片. b-a 图1 图2 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：(a+b)=a2+2ab+b2. (1)请你帮小明完成拼图设计； (2)应用上述公式解决如下问题： ①已知a+b=3,a2+b2=5,求ab的值； ②若(x-5)2+(1-x)2=10,则(x-5)(1-x)= 【实践2】小红将b×b的小正方形中裁剪掉一个边长为α的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2). (3)上述操作能验证的公式是； 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)计算： ---k1-2} 17.（25-26八年级上·广东广州期末)数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以 帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： a b b a 6 E F B 图1 图2 图3 (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式： (②)用4个全等的长和宽分别为α，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接 写出这三个代数式(a+b)2,（a-b)2,ab之间的等量关系： (3)若2m+3n=5,mn=1,求2m-3n的值； (4如图3，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为m,nm>n,若m+n=6,mn=3,E是AB的中 点，求阴影部分面积的和. 18.(25-26八年级上湖北荆门·期末)阅读以下解法： “若y满足(40-y)y-20)=50,求(40-y)2+(y-20)2的值”.解：设40-y=a,y-20=b,则 a+b=(40-y+y-20)=20,ab=(40-y)(y-20=50,则a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×50=300,即 (40-y)2+(y-20)2=300. 解决以下问题： (1)若x满足(30-x)x-22)=2,则(30-x)2+(x-22)2=; (2)若x满足(2x+3)2+(2x-1)2=76,求2(2x+32x-1的值： (3)如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=4,E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x,分别以FC,CE为 边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,若长方形CEPF的面积为22，求图中阴影部分的 面积. 6/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G H E B M 类型六、整式乘法中的新定义型问题 19.(25-26七年级上河北沧州期末)定义一种新运算：对任意有理数a,b都有a⊕b=2a-3b.例如： 1©2=2×1-3×2=-4. (1)求-2⊕3的值. (2)化简并求值：x+3a)⊕(x-2b),其中a,b互为相反数，x是最大的负整数. (3)已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含xX2项，求a的值 20.（25-26八年级上·湖北荆门期末)已知a,b是实数，定义关于“△”的一种运算如下： aab=(a+b)2-(a-b)2. (1)化简：aab=-: (2)若a△b=-20,a+b=4,求下列式子的值： ①a2+b2; ②a-b; (3)若(2025-mam-2026)=-24,求(2025-m)2+(m-2026)2的值. 21.(25-26八年级上·河南焦作·期末)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这 个正整数为和谐数”.例如：8=32-12,16=52-32,24=72-52，则8,16,24都是“和谐数”. 7/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”.（填“是”或“不是”) (②)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k-1和2k+1,其中k是正整数，那么“和谐数” 都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明 (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD,其边长为99， 求阴影部分的面积， 22.(24-25八年级上江西上饶期末)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的 多项式x2-2x+3,由于x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时， 多项式x2-2x+3的值是相等的.例如，当x-1=±1，即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3；当x-1=±2， 即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6.于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当x-t取任意一对 互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称.例如x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-4x+5关于x=对称； (②)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=5对称，求b的值； (3)若整式(x2-10x+25)(x2+6x+9关于x=m对称，求m的值. 类型七、二元一次方程组的特殊解法 23.(25-26七年级上·广西贵港期末)【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一 x+y-1=0① 次方程组的方法叫“整体代入法”.例：解方程组 6(x+y)-y=3② 解：将方程①移项，得x+y=1③. 把方程③代入②，得6×1-y=3. 解得y=3. 把y=3代入③，得x+3=1. 解得x=-2 ·原方程组的解为 x=-2 y=3· 上面的解法中，将x+y看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想. 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1) x-y-3=0① 2(x-y)+5x=1② 3x+4y-5=0 ① (23x+4y-2-2x=-3② 3 24.（24-25七年级下·辽宁大连·期末)阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题 17x+18y=16① 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算.例如，解下面的方程组： (20x+21y=192时，可以 采用以下方法.解：②-①得，3x+3y=3,所以x+y=1③，将③×17，得17x+17y=17④，①-④，得 x=2 y=-1,从而可得x=2,所以原方程组的解为 y=-1 2023x+2025y=2021① (①)请你用上述方法解方程组 2017x+2019y=2015② (a+1)x+(a+3)y=a-1 (2)猜测关于x、y的方程组 (b+x+(b+3y=6-ia≠b)的解，并说明理由。 (a-1)+2(b+2)=6 25.(25-26七年级上湖南株洲期末)阅读探索：解方程组 2(a-1+(b+2=6 x+2y=6 x=2 解：设a-1=x,b+2=y原方程组可以化为 解得 2x+y=6 y=2' a-1=2 a=3 即： b+2=2b=0 【此种解方程组的方法叫换元法.】 9-1+26+2=10 b 、4(5 (1)运用上述方法解方程组 ,解：设=x,=y； （x-2)+3(y+1=6 (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 2(x-2)+y+1=2 (3)能力运用：已知关于x,y的方程组 8+=C的解为二6 ax+bay=cz =7'求关于mn的方程组 ∫a,(m-2+h(n+3)=9的解. a2m-2)+b2n+3=c2 3(2x+y)-2(x-2y)=26 26.(25-26八年级上江西景德镇期末)数学方法：解方程组： 2(2x+川+3x-2列=13，若设2+y=m, 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 [3m-2n=26 1m=8 x=3 x-2y=n,则原方程组可化为 解方程组得 n=-'所以 2x+y=8 x-2y=-1' 解方程组得 2m+3n=13' y=2' 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法 ax+by=11 ()直接填空：已知关于x,y的二元一次方程组 6r+ay=25的解为 x=5 y=-1 那么关于m、的二元一次方 程组 a(m+n)+b(m-n)=11 b(m+mj+a(m-m=25的解为： {x+y_x-y=2.5 (②)知识迁移：请用这种方法解方程组 2 2 2(x+y)+x-y=6.5 x=6 (3)拓展应用：己知关于x,y的二元一次方程组 [a,x+by=G的解为 ax+bay=c, 3求关于x,y的二元一次方 程组 2ax+3b,y=5C的解. 2a2x+3b2y=5c2 类型八、已知二元一次方程组的解的情况求参数 3x-y=4k-5 27.(25-26七年级上·安徽合肥期末)若方程组 -x+3y=-2k+7的解满足x+y=2026,求k的值. 3x-y=5 2x+3y=-4 28.（24-25七年级下·全国·期末)已知关于x、y的方程组 4x+5y=-22和{-y=8有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)(-a)°的值. 29.(24-25七年级下江苏连云港·期末)己知关于x,y的方程组 x+2y=3 x-2y+mx=-5 (1)请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解. (2)若该方程组的解也满足方程x+y=2,求m的值， x-y=2m+1 30.(24-25七年级下山东淄博期末)若关于x,y的方程组 x+2y=3m· (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x>3,y<1,求m的整数解. 10/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型九、二元一次方程组中的新定义型问题 31.(25-26八年级上辽宁本溪期末)定义：对于任意实数x,y,规定新的一种运算规则：x*y=ax+by xxy=ax-by (1)当x=1,y=2时，x*y=0,x※y=4,求a,b的值： x※y=5m (2)若关于x,y的方程组 x*y=4-m1 (m为常数)的解也满足关于x,y的方程3x*y+2x※y=3,求m 的值。 32.(25-26七年级上湖南株洲期末)对于任意有理数a、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d). 我们规定：(a,b)⑧(c,d)=ac-bd.例如：(-2,6)⑧(1,3)=-2×1-6×3=-20. 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对(2,4)⑧(5,6)= (2)若有理数对(-3，x)⑧(2,4)=10，则x= (3)当满足等式(2，y-2)⑧(x-y,-3)=3中的x和y都是正整数时，求正整数xy的值. 33.(25-26七年级上福建莆田期末)定义：关于x,y的二元一次方程axr+by=c(其中a,b,c互不相等)中 的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by=c“变更方程”为cx+by=a. (1)方程3x+2y=4的“变更方程”为 (2)方程2x+3y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为； (3)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它的“变更方程”组成的 方程组的解恰好是关于x、y的二元一次方程mx+y=p的一个解，求代数式2m-n)-(m-p)+3n+2026的 值. 34.(24-25六年级下·上海闵行·期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by,x⑧y=ar-by,其 中a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b. 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4· (1)a= ，b= (2)若x*y+x⑧2y=6,求x+y的值； x*y=2m-4 (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=4,求m的值； x☒y=8m (4)若关于x,y的方程组 (a x*by=c a2x⑧b2y=c2 的解为 x=6 y=15’ 则关于x,y的方程组 11/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3a,(2x-*56,(x+2)=G的解为】 3a2（2x-y)⑧5b2（x+2y)=c2 类型十、由不等式组解集的情况求参数 35.(25-26八年级上山东济南期末)关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则m的取值范围为 x<a-1 36.(25-26八年级上四川成都期末)关于x的不等式组 x≥2 无解，则a的取值范围是 2x-a≤1， 37.(24-25七年级下·贵州安顺期末)若关于x的不等式组 x+2 无解，则a的取值范围是 ->1 3 5(x-1)>5 38.(25-26八年级下·全国·期末)若关于x的不等式组 的解集是x>a,则a的取值范围是 a-x<0 类型十一、不等式组和方程组结合的问题 39.(24-25七年级下·重庆·期末)已知关于x、y的方程组 5x+y=m+1 x-3y=2m 的解满足-1<x+y<1,则符合条 件的所有整数m的取值之和为 2x+3y=a-1 40.(24-25七年级下·河南周口期末)已知关于x,y的二元一次方程组 x-2y=2a+3若x+5y=3, 则a= ;若该方程组的解满足-4<3x+y<4,则a的取值范围是 · [4-2(x-1)≥3-x 41.(23-24七年级下江西新余期末)若关于x的不等式 有且只有3个整数解，且关于x, 9x-a>0 y方程 ax-4y=0 x+2y=6的解为整数，则满足条件的整数a的值为 x-3y=4-t, 42.(24-25七年级下·福建龙岩·期末)已知关于x,y的方程组 其中-3≤1≤1，给出下列结论： x+y=3t. x=1 ① y=-1 是方程组的解：②若x-y=3,则1=-2；③若M=2x-y-1.则M的最小值为-3；④若y≥-1 ,则1≤x≤3；其中正确的有 ·(填写正确答案的序号) 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型十二、不等式组中的新定义型问题 43.(24-25七年级下·江苏盐城期末)定义x,y的新运算：x※y=ax+by-3(a,b为常数).已知 2※1=-2，(-10※2=4. (1)求3※6)的值： 4m-2)※(2m+3>6 (2)若m满足 求整数m的值， 2m+3※(4m-2)<6 44.(24-25八年级上·全国·期末)定义新运算为：对于任意实数a、b都有a©b=(a-b)b-1,等式右边都 是通常的加法、减法、乘法运算，比如1田2=(1-2)×2-1=-3. (1)求3⊕4的值 (2)若x⊕2<5，求x的取值范围. x⊕1≤2 3)若不等式组 2x⊕3>a 恰有三个整数解，求实数a的取值范围. 45.(24-25七年级下湖南长沙.期末)定义运算：f(x,y)=ax+by,已知f(3,2)=7,∫(4,3)=10. (1)直接写出：a=-,b=-: (2)若关于x的不等式组 f(-x-3,2+x≥0 f(2x,x-t<0 无解，求1的取值范围； ③)若fmr+3n,2m-之3m+4n的解集为x≤兮，求不等式：mr-2m,3n-m>-m+n的解集」 46.(24-25七年级下·江苏泰州期末)定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解， 那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不 是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”. ()根据上述定义，判断不等式组 x>2 x>4 是不等式组 的 (填序号①“相容不等式组”或②“相斥不 x<3 x>5 等式组”)； x>2x>a-1 (2)若关于x的不等式组 x<3是 的“相斥不等式组”，求a的范围： x<a+l 13/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1 x21. 是 x>-a+1 x21.8, 2“的“相容不等式组”，且 (s4和 x>-a+1 (3)若关于x的不等式组 2“的整数解相同，求 x≤4 x<2a+1 x<2a+1 a的范围. 类型十三、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 47.(25-26九年级上·山东泰安期末)泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积 达5万亩，2025年产值达4亿元.今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知 每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种 每箱均装樱桃10斤). ()问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ (2)若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元.现水果商购进两种樱桃共180箱，在销 售过程中每箱均有10%的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200 元，则该水果店应如何设计购进方案？ 48.（25-26八年级上山东济南·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们 喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽 车的进价共计115万元：4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元. (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），求该公司共有 哪几种购买方案？ 49.(25-26八年级上山东济南期末)为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区 公共区域，升级改造现有照明系统，已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路 灯比1盏B种路灯的费用多20元. (1)求A、B两种路灯的单价： (②)该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 50.(25-26八年级上·河南周口·期末)某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价 比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元. (1)若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号手机的进价各是多少元？ 14/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在(1)的基础上，商场决定再次购进A、B两种型号的手机共40部，设购进A型号手机α部，总利润 为W元，要求这40部手机全部售完后总利润不低于15600元，则α的取值范围是多少？ 15/15 期末压轴专题01 代数压轴题50练 目录 类型一、多项式乘多项式与图形面积 2 类型二、多项式乘法中的规律性问题 5 类型三、幂的运算与逆运算 8 类型四、整式乘法中的化简求值问题 10 类型五、乘法公式与几何图形 12 类型六、整式乘法中的新定义型问题 18 类型七、二元一次方程组的特殊解法 23 类型八、已知二元一次方程组的解的情况求参数 30 类型九、二元一次方程组中的新定义型问题 32 类型十、由不等式组解集的情况求参数 38 类型十一、不等式组和方程组结合的问题 40 类型十二、不等式组中的新定义型问题 43 类型十三、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 48 类型一、多项式乘多项式与图形面积 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，利用多项式乘以多项式的法则求出长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：， 故需用6张甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别为、的长方形， ∵甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张， ∴乙种纸片缺1张； 故选C． 3．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 类型二、多项式乘法中的规律性问题 5．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 6．（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 8．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 类型三、幂的运算与逆运算 9．（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查幂的运算法则． （1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答； （2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴原式； （2）∵，，， 原式． 10．（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 11．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： (1)已知，试用含m，n的代数式表示； (2)已知，试用含m，n的代数式表示； (3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 类型四、整式乘法中的化简求值问题 12．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2026 【分析】此题考查了整式的混合运算和代数式的求值．利用平方差公式和完全平方公式展开括号内部分，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 14．（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 类型五、乘法公式与几何图形 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 16．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 17．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 18．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 类型六、整式乘法中的新定义型问题 19．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 20．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 21．（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 22．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 类型七、二元一次方程组的特殊解法 23．（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 24．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 25．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 26．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 类型八、已知二元一次方程组的解的情况求参数 27．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 29．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 30．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 类型九、二元一次方程组中的新定义型问题 31．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 32．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【答案】(1)34 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解一元一次方程，二元一次方程． （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出，再解方程即可； （3）根据法则得出，再根据x和y都是正整数，求出正整数的值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：34； （2）解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：； （3）解：由， 得， 整理得，即， 和y都是正整数， 或或或． 33．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 34．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 类型十、由不等式组解集的情况求参数 35．（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 36．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 38．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 类型十一、不等式组和方程组结合的问题 39．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 40．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的二元一次方程组，若，则___________；若该方程组的解满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由得：，再由，可求出a的值；由得：，再由该方程组的解满足，可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴； 由得：， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：；． 41．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 42．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号） 【答案】①③④ 【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误； ③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3， ∴M随t的增大而增大， ∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确； ④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0， ∴0≤t≤1， ∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确； 故答案为：①③④． 类型十二、不等式组中的新定义型问题 43．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）定义，的新运算：(，为常数)．已知，． (1)求的值； (2)若满足，求整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，根据新运算的定义得出关于、的二元一次方程组是解题的关键． （1）根据新运算的定义结合，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据新运算的定义代入数据即可得出结论； （2）根据新运算得出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴解得： ∴， ∴. （2）由题意得， 解得：. ∴整数的值为，. 44．（24-25八年级上·全国·期末）定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）利用新运算的规则直接进行计算即可; （2）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得； （3）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 45．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 46．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 类型十三、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 47．（25-26九年级上·山东泰安·期末）泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积达5万亩，2025年产值达4亿元．今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种每箱均装樱桃10斤）． (1)问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ (2)若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元．现水果商购进两种樱桃共180箱，在销售过程中每箱均有的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200元，则该水果店应如何设计购进方案？ 【答案】(1)“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元 (2)水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设水果商至少购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意，得 ，         解得， 答：“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元； （2）解：设水果商购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意，得 化简，得， 解得， ∴且m为整数， 答：水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱． 48．（25-26八年级上·山东济南·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为10万元 (2)共有两种购买方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车5辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组） （1）设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，根据“3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆.，由题意可得，解得，再求出符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意可得， 解得， 答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆.， 由题意可得， 解得， ∵，m和n均为正整数， ∴是正偶数，，则， 当时，； 当时，； 当m为1、3、5、6时，n不为正整数或不符合两种汽车均购买的条件，舍去， ∴或， 答：共有两种购买方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车5辆． 49．（25-26八年级上·山东济南·期末）为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元． (1)求A、B两种路灯的单价； (2)该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 【答案】(1)A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元 (2)最多购买2盏 B种路灯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元，根据题意列方程组求解即可． （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，得到，再解不等式结合实际求解即可． 【详解】（1）设 A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元， 根据题意得 ， 解得， 答：A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元； （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，则有 , 解得： ∵m为非负整数， ∴m最大为 2， 答：最多购买 2 盏 B 种路灯． 50．（25-26八年级上·河南周口·期末）某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． (1)若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号手机的进价各是多少元？ (2)在（1）的基础上，商场决定再次购进A、B两种型号的手机共40部，设购进A型号手机a部，总利润为W元，要求这40部手机全部售完后总利润不低于15600元，则a的取值范围是多少？ 【答案】(1)A型号手机进价2000元，B型号手机进价1500元 (2) 【分析】（1）设A型号的手机每部进价是x元、B型号的手机每部进价是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出W与a之间的函数关系式，根据40部手机全部售完后总利润不低于15600元，列不等式求出a的范围，再结合，且，即可得出ａ的范围． 本题考查了列二元一次方程组解应用题，和不等式的实际应用问题．根据题意正确地列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型号的手机每部进价是x元、B型号的手机每部进价是y元，根据题意得： ， 解得． 答：A型号的手机每部进价是2000元、B型号的手机每部进价是1500元． （2）解：由题意得， ， ∵， ∴， 解得：， 又∵，且， ∴． ∴a的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $