八年级数学下学期期末模拟卷（人教版五四制八下全册：勾股定理+平行四边形+一次函数+一元二次方程）

**基本信息** 覆盖勾股定理、平行四边形、一次函数核心知识，通过《九章算术》古算情境（第7题）、赵爽弦图验证（第21题）及动点综合题（第24题），考查几何直观、推理能力与模型意识，梯度设计适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、勾股数、平行四边形性质|基础概念辨析，如第1题常量变量判断| |填空题|6/18|正方形面积、平行四边形判定、正比例函数|开放探究，如第12题添加平行四边形条件| |解答题|8/72|勾股定理应用、一次函数表达式、动点几何|综合创新，如第21题等面积法验证勾股定理，第24题矩形/平行四边形判定的动点问题，培养运算能力与空间观念|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：勾股定理、平行四边形、一次函数。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 2．下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（    ） A．3 B．6 C．4 D．12 5．已知的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 6．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 9．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 10．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ． 12．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 13．若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 14．矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为 ． 15．已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 16．如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，的平分线交于点D，若，． (1)求的长； (2)过点D作，垂足为E，求的长． 18．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 19．已知一次函数的图象经过，两点．求该一次函数的表达式． 20．如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 21．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 22．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_____； ②当时，_____； ③当时，_____； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； (3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； (4)进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是_____． 23．如图，在平行四边形中，，经过中点O，分别交于点M，N，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 24．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：勾股定理、平行四边形、一次函数。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【答案】B 【详解】解：A、是自变量，故A选项错误，不符合题意； B、是常量，故B选项正确，符合题意； C、是因变量，故C选项错误，不符合题意； D、是常量，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.是二次函数，此项不符合题意； B.是常数函数，此项不符合题意； C.是一次函数，此项符合题意； D.是反比例函数，此项不符合题意． 故选：C． 3．下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 4．已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（    ） A．3 B．6 C．4 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴ ． 故选：A． 5．已知的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：把点代入，得：， ∴； 故选A． 6．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 8．如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 【答案】A 【详解】解：∵的中点分别为点M，N， ∴， ∵米， ∴米， 故选：A． 9．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 10．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ． 【答案】8 根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 12．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 13．若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 【答案】0 熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵y关于x的函数是正比例函数， ∴, 故答案为：0． 14．矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为 ． 【答案】16 【详解】解：根据题意，如图所示： ，， 过点作于，如图所示： 在矩形中，， 在中，，，，则， 矩形的面积为， 故答案为：16． 15．已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 【答案】25 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵将直线向下平移5个单位后得到直线，将直线向下平移5个单位后得到直线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：25． 16．如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，的平分线交于点D，若，． (1)求的长； (2)过点D作，垂足为E，求的长． 【答案】(1)8 (2)3 （1）勾股定理进行求解即可； （2）根据角平分线的性质结合等积法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵的平分线交于点D，，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 18．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 19．已知一次函数的图象经过，两点．求该一次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过，两点， ，解得， 该一次函数的表达式为． 20．如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) （1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论． （2）先证明，再证明，可得到． 【详解】（1）证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 21．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 22．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_____； ②当时，_____； ③当时，_____； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； (3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； (4)进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)；，； (2)见解析 (3)①函数图象关于轴对称；②当时，有最小值．（答案不唯一）； (4) （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）根据图象即可求得； （4）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：；，； （2）函数的图象，如图所示： （3）由图象可知： ①函数图象关于轴对称； ②当时，有最小值．（答案不唯一）； （4）若关于的方程无解，则函数图象与直线没有交点，则的取值范围是． 故答案为：． 23．如图，在平行四边形中，，经过中点O，分别交于点M，N，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． （2）利用直角三角形的性质结合勾股定理求得、和的长，再利用矩形的性质求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．证明四边形是矩形是解题的关键． 24．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意可知，，，则，根据矩形的性质列方程，求出t的值即可； （2）由题意可知，，，则，根据平行四边形的性质列方程，求出t的值即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，由勾股定理求得，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，结合（2）的结果可知，，即四边形不能成菱形． 【详解】（1）解：设运动的时间为 由题意可知，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是矩形； （2）解：由题意可知，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形； （3）解：四边形不能成菱形，理由如下： 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，， 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 由（2）可知，当时，四边形是平行四边形； 此时， ， 四边形不能成菱形． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $