八年级数学下学期期末模拟卷（人教版五四制八下全册：勾股定理+平行四边形+一次函数+一元二次方程）

**基本信息** 覆盖勾股定理、平行四边形、一次函数核心知识，通过《九章算术》古算情境（第7题）、赵爽弦图验证（第21题）及动点综合题（第24题），考查几何直观、推理能力与模型意识，梯度设计适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、勾股数、平行四边形性质|基础概念辨析，如第1题常量变量判断| |填空题|6/18|正方形面积、平行四边形判定、正比例函数|开放探究，如第12题添加平行四边形条件| |解答题|8/72|勾股定理应用、一次函数表达式、动点几何|综合创新，如第21题等面积法验证勾股定理，第24题矩形/平行四边形判定的动点问题，培养运算能力与空间观念|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。 2．请将答案正确填写在答题区域内。 3．测试范围：勾股定理、平行四边形、一次函数、一元二次方程。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位 2．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这个小组有人，则　　 A． B． C． D． 4．的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，　　 A． B．或4 C．或 D．4 7．如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点是三边均不等的三条角平分线的交点，过作，分别交、于、两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．没有实数根 9．小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同； B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟； C．小天出发分钟两人相遇； D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟． 10．对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数” 与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．直线平行于直线，且与轴交于点，此函数的关系式为 ． 12．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 　　人． 13．如图，在中，于点，点在上，连接．若,，，则的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 15．三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 16．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 19．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标． 21．某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？ 22．如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 23．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 24．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。 2．请将答案正确填写在答题区域内。 3．测试范围：勾股定理、平行四边形、一次函数、一元二次方程。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键在于规律“左加右减，上加下减”的认识．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将直线平移得到直线，则移动方法为向下平移4个单位 故选：D． 2．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 3．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这个小组有人，则　　 A． B． C． D． 【分析】若这个小组有人，则每人需送出张，根据全组共送出贺卡56张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若这个小组有人，则每人需送出张， 依题意得：， 故选：． 4．的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得． 【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，　　 A． B．或4 C．或 D．4 【分析】过点作于点，则，利用时间路程速度，可求出点到达点所需时间，当运动时间为时，，利用勾股定理，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：过点作于点，则，如图所示 ． 当运动时间为时， ，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 或， 解得：，， 的值为或． 故选：． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出 ，，，，，，，，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：与的横坐标相同，与的纵坐标相同， ∵， ∴对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， 同理可得：，，，，，， 观察这些点的坐标可得出：的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， 故选：． 8．如图，点是三边均不等的三条角平分线的交点，过作，分别交、于、两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．没有实数根 【分析】先证和全等得，，再证，进而可证和相似，则，同理可证和相似，则，由此即可得出，进而得，然后在对方程的根的判别式的符号进行判断即可得出结论． 【解答】解：是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， 则， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 同理可证：， ， 即， ， 即， ，，， ， ， 关于的方程的根的判别式△， △， 关于的方程没有实数根． 故选：． 9．小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同； B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟； C．小天出发分钟两人相遇； D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想． 由图象可知前5分钟，两人共行驶了米，故两人速度和为米/分钟，再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的倍，即可算出两人开始的速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可． 【详解】A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图轴可知，小东和小天相距的路程不变， 所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同， 此选项不符合题意 B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变 小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完， 小天速度是小东提速前的速度的倍 设小东原速度为v米/分钟,则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟，则 小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟， 故此选项不符合题意； C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变， 此时两人相距2200米， 拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地， 小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇， 小天一共行驶了分钟 故此选项不符合题意； D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟， 小冬最终达到乙地的时间是29分钟， 故此选项不符合题意． 故选：D 10．对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数” 与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将已知条件代入选项中进行分析判断． 【详解】解：①函数与互为“对称函数”， ，， ，互为相反数， 与的图象关于轴对称， 符合题意； ②与是“对称函数”， ， 与互为相反数 ， 符合题意； ③函数与函数互为“对称函数”， ，， 即， 求得：， ， 不符合题意； ④函数向右平移个单位得到函数， ， 即 解得：或， 不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质及其变换运用，要熟练掌握一次函数的基本性质及其平移规律． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．直线平行于直线，且与轴交于点，此函数的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值．根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据与y轴交于点求出b，即可得解． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴， ∴， 又直线与轴交于点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 　　人． 【分析】根据“见面时每两人都握了一次手，所有人共握手10次”，设有个同学参加这次聚会，列出关于的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：根据题意得： ， 解得：（舍去），， 答：这次同学聚会有5人， 故答案为：5． 13．如图，在中，于点，点在上，连接．若,，，则的长为 ． 【答案】2.7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键 求出，，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2.7． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 【详解】解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 15．三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系． 利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：； 故答案为：19 16．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出两点坐标，直线上时的函数值，根据动点P在的内部列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵动点P在的内部， ∴且， ∴； 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法解答即可求解； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18．如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 19．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数表达式为 (2)点的坐标是或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、直线与坐标围成的三角形面积等，灵活运用一次函数图象与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：①点在轴左边；②点在轴右边；设，由的面积为12，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点， 设一次函数的表达式为， 将与点代入表达式得到 ， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：根据题意，分两种情况：①点在轴左边；②点在轴右边； 点在轴左边，如图所示： 的面积为12， 设，其中， ，解得，则； 点在轴右边，如图所示： 的面积为12， 设，其中， ，解得，则， 综上所述，点的坐标是或． 21．某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？ 【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为，则二月份平均日产量为个，三月份平均日产量为个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率； （2）利用四月份平均日产量三月份平均日产量增长率），即可预计出四月份平均日产量． 【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为，则二月份平均日产量为个，三月份平均日产量为个， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），． 答：口罩日产量的月平均增长率为． （2）（个． 答：预计四月份平均日产量为53240个． 22．如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 23．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 【答案】(1)， (2)， (3)①相等，不变，见解析，②， 【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解， （2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解， （3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解， 本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换． 【详解】（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：，， （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：， ， （3）解： ①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 24．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $