专题05 随机变量及其分布与成对数据的统计分析（10个考点）（期末真题汇编，福建专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦福建高二期末高频考点，精选89道各地市期末试题，覆盖随机变量分布、统计分析等10大核心模块，融合科技（脑机接口）、生活（购物抽奖）情境，梯度设计凸显数学建模与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选/多选|63题|条件概率（5题）、正态分布（10题）等|多选占比35%，考查概念辨析（如独立事件与互斥事件）| |填空/解答|26题|二项分布均值（8题）、线性回归（12题）|解答题结合实际（工厂生产、电影票房），需建模计算|

专题05 随机变量及其分布与成对数据的统计分析 10个高频考点概览 考点01 条件概率及其性质 考点02 全概率及贝叶斯公式 考点03 离散型随机变量及其分布列性质 考点04 离散型随机变量的均值与方差 考点05 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点06 正态分布 考点07 线性回归方程的概念辨析 考点08 线性回归方程与非线性回归方程 考点09 独立性检验 考点10 概率综合 考点01 条件概率及其性质 1．(24-25高二下·福建百校·期末)从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 2．(24-25高二下·福建三明·期末)（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式进行计算，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，且，所以， 所以，故C错误； 对D：因为 ，故D正确. 故选：ABD 3．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)（多选）已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（   ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【答案】AD 【分析】根据独立事件的概率公式，结合条件概率公式、互斥事件的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为A，B相互独立，所以也互相独立，于是，正确； B：因为，所以，，错误； C：因为A，B是对立事件，所以，于是，错误； D：因为A，B是互斥事件，所以，于是，正确, 故选：AD. 4．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)（多选）一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 【答案】ABD 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高二下·福建厦门·期末)（多选）某人从一座9层大楼的第1层进入电梯，在第层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件“为偶数”，事件“”，事件“为质数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别求出事件A，B，C的样本点，再分别验证各个选项即可. 【详解】易知，已知事件包含的样本点为，则，事件包含的样本点为，则，事件包含的样本点为，， 考察A选项：事件包含的样本点为，所以，A选项错误； 考察B选项：事件包含的样本点为，所以，B选项正确； 考察C选项：事件包含的样本点为， 所以，所以，C选项正确； 考察D选项：事件包含的样本点为，的样本点为， 所以，，所以，D选项正确； 故选:BCD. 6．(24-25高二下·福建莆田·期末)（多选）已知集合，的4个不同三元子集（含有三个元素的子集）组成集合，且满足：①；②中任意两个元素的并集是的真子集，任意三个元素的并集是.任取一个集合，记事件“”，事件“”，则（   ） A．集合中任意两个元素的交集非空 B． C．取到的集合的所有可能结果有4种 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，写出满足题意的集合所有可能情况，进而判断各选项即可. 【详解】设，其中，且， 由题意，满足题意的集合所有可能情况为： ， ，， ，，故C错误； 显然，集合中任意两个元素的交集非空，故A正确； 对于B，，， 则，故BD正确. 故选：ABD. 7．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设甲题答对为事件，乙题答对为事件， 由题意， 所以. 故选：D. 8．(24-25高二下·福建福州福清·期末)从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有种取法。 事件A=“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：共4种取法，故， 事件B=“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1种取法， 故，所以. 故选：C. 9．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)（多选）甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与独立 【答案】ABC 【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断. 【详解】对于A：， 则，A正确； 对于B：， 则，B正确； 对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确； 对于D：，，， 故，故D错误. 故选：ABC. 10．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)从标有的六张卡片中，依次不放回的抽出两张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型求出第一次抽到奇数的概率、第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，再用条件概率公式计算作答. 【详解】事件“抽两张卡片，第一张为奇数”，“抽两张卡片，第二张为奇数”， 则有，所以. 故选：. 考点02 全概率公式与贝叶斯公式 11．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 12．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 13．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 14．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算判断. 【详解】依题意，由全概率公式得， 由条件概率公式得. 故选：D 15．(24-25高二下·福建部分学校教学联盟·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则 ，A错； 由，则，B对； 由，C对； 由，则，D对. 故选：BCD 16．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1-10进行编号，编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在3号座位的概率为_____. 【答案】 【分析】根据题意得到1号学生选择1，2，3号座位的概率，接着利用条件概率求解出，，，再结合全概率公式求解即可. 【详解】设事件分别为1号学生选择1，2，3号座位， 事件为1号学生选择4-10号座位，易知，. 设事件B为3号学生坐在3号座位，所以，，， 所以 . 故答案为： 17．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件＂零件为第台车床加工＂，事件＂零件为次品＂， 则， ，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 18．(24-25高二下·福建百校·期末)已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 考点03 离散型随机变量及其分布列性质 19．(24-25高二下·福建宁德·期末)随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【详解】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 20．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 21．(24-25高二下·福建福州福清·期末)北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【详解】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 考点04 离散型随机变量的均值与方差 22．(24-25高二下·福建厦门·期末)某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【答案】(1) (2)若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）算出，根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品的为事件C， 依题意可得，且互斥， 故， 所以抽取到的产品为一等品的概率． （2）由（1）从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为， 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量，则， ， 设每箱产品销售额为随机变量，一等品定价为元/件， 则， 所以， 依题意，，解得， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件． 23．(24-25高二下·福建三明·期末)在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）的可能值为，计算出概率后得分布列，根据期望公式计算出期望. 【详解】（1）甲选4个专业的方法数是，至少填报3个电子信息类专业方法数为， 所以甲至少填报3个电子信息类专业的概率为 （2）由题意的可能值为， ，，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 . 24．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求相关概率，再由条件概率公式求目标概率； （3）根据题意有的可能值为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，某次抢答中甲得1分的情况有甲抢到题且答对，或乙抢到题且答错， 所以某次抢答中甲得1分的概率为； （2）由题意，某次抢答中乙得1分的情况有甲抢到题且答错，或乙抢到题且答对， 所以某次抢答中乙得1分的概率为， 其中乙抢到题且答对的概率为， 所以某次抢答中，在乙得1分的条件下乙答对这个题的概率为； （3）由题设，的可能值为，且每次甲、乙得1分的概率分别为、， 所以，， 的分布列如下， 2 3 所以. 25．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)（多选）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB，根据概率之和为1得到，且，进而判断AB选项，C，根据期望公式计算即可；D选项，利用方差的性质计算得到，故D错误. 【详解】AB选项，由题意，且， 而，大小不确定，故A正确，B错误； C选项，，故C正确； D选项，由， 所以， 与的大小有关，不一定小于1，故D错误； 故选：AC 26．(24-25高二下·福建宁德·期末)某校高中数学兴趣小组共8人，分布如下：高一年级5人（含2个种子选手），高二年级3人（含1个种子选手）.现从数学兴趣小组的8人中随机抽取4人参加市级奥数选拔赛. (1)设事件为“抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，求事件发生的概率； (2)设随机变量为抽取的4人中种子选手的人数，求的分布列及其数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出对应的概率即可求出分布列，进而求均值即可. 【详解】（1）“抽取的4人中恰有2名是种子选手且这2名选手分别来自两个不同年级”即为高一、高二各选1名种子选手. 则 所以，事件发生的概率为. （2）随机变量的取值为0，1，2，3. ，     ，     ，     ，     所以的分布列为 0 1 2 3 . 27．(24-25高二下·福建龙岩·期末)一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得. 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故选：C. 28．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【详解】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 29．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______. 【答案】 【分析】求出从12个球中任取3个球的方法数，并求出取出的3个球的标号之和能被3整除的方法数，得出的所有可能取值，再求出，，，最后利用数学期望的计算公式求数学期望即可. 【详解】从12个球中任取3个球有种不同的方法， 1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除3余2的有2,5,8,11， 由题意知的所有可能取值为0，1，2， 取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有： ①标号被3整除的球中取3个有； ②标号被3除余数为1的球取3个有； ③标号被3除余数为2的球取3个有； ④标号被3整除和除3余1和除3余2的三类球各取1个有. 则． 取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个有； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个有； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个有. 则. 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有： ①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有， 则， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题以球的抽取为背景考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的数学期望等知识，解题的关键性是分类要不重复不遗漏，考查了学生逻辑思维能力、数据处理能力. 考点05 二项分布与超几何分布的均值与方差 30．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    【答案】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 31．(24-25高二下·福建福州第三中学·期末)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 32．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 33．(24-25高二下·福建福州部分校·)六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． (1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； (2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；② 【分析】（1）根据题意，利用古典概率的计算公式求解； （2）①的所有取值为1，2，3，4，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，求得期望；②由题两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况：第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车，第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车，第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车，分别求出其概率得解. 【详解】（1）记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件， 则， 所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为. （2）①依题意，的所有取值为1，2，3，4， ， 的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望. ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况： （i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车， 其概率； （ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车， 其概率； （iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车， 其概率， 因此所求概率． 34．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【答案】9 【分析】题给条件符合n次独立重复试验的条件，即服从参数为n和的二项分布，根据二项分布公式计算即可. 【详解】已知，则 ，， 又，， 所以是9的倍数，的最小值为9. 故答案为：9. 35．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可； （2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案； （3）对消费金额进行合理分段讨论即可. 【详解】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． （3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 36．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 37．(24-25高二下·福建莆田·期末)袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，其中所含红球的个数为，则（   ） A．1.2 B．1.8 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意可得的所有取值为，进而求出对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题意，的所有取值为， 则，，， 所以. 故选：B. 38．(24-25高二下·福建龙岩·期末)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______. 【答案】 【分析】各次投篮是否投中相互独立，可以看成独立重复试验，利用独立事件概率求法计算得解. 【详解】由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次， 所以其概率为. 故答案为： 39．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)已知随机变量，且，，则______. 【答案】/0.25 【分析】根据二项分布的期望和方差的公式列式求出的值，再根据重伯努利实验的概率公式计算即可. 【详解】因为随机变量，且，， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为： 40．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______． 【答案】5 【分析】根据题意表示从10个班中任选个班，再把10个名额分配到个班中等价于把10个元素分配到个非空集合中，且10个名额随机分给10个班级共有种方法，应用古典概型的概率求法确定最大概率对应的值即可. 【详解】将10个名额和9个隔板排成一排，需要19个位置，选9个位置放置隔板， 所以将10个名额随机分给10个班级得不同分配法共有种不同的分法， 当时，有种分法； 当时，第一步选出两个班级有种，第二步分配名额， 相当于将一个隔板放在10个名额形成的9个空位中，有种， 所以共有种； 当时，第一步选出3个班级有种，第二步分配名额， 用隔板法分给3个班级有种，所以共有种； 照此求解得：时有， 时有， 时有， 时有， 时有， 时有， 时有， 因为，分子越大对应概率越大， 所以当，即时概率最大． 故答案为：5 41．(24-25高二下·福建三明第一中学·月考)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)； (3)的分布列见解析； 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，即可求得； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式即可求得的最小值及相应的值； （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 数学期望为：. 42．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）需要先确定甲得分的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）根据独立重复试验的概率公式计算取不同值的概率，得到分布列和数学期望； （3）分析甲最终获胜的所有情况，分别计算其概率，再求和得到甲最终获胜的概率. 【详解】（1）在一局比赛中，甲得分的可能取值为，，10. 表示甲答错且乙答对的情况.根据独立事件的概率乘法公式，可得. 包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错. 甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得. 表示甲答对且乙答错的情况.根据独立事件概率乘法公式，可得.   的分布列为： 10 则的数学期望为：. （2）因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则 ， .   的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望为：. （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为 ② 两局得10分，一局得分，其概率为 ③ 两局得10分，一局得分，其概率为 ④ 一局得10分，两局得分，其概率为.   综上可得，甲最终获胜的概率为. 43．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 【答案】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 44．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)不能，建议见解析 【分析】（1）利用比例关系即可求出概率. （2）利用二项分布求出的分布列，利用期望公式即可得到答案. （3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67，即可得到判断给出建议. 【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 P 数学期望. （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 考点06 正态分布 45．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 46．(24-25高二下·福建三明·期末)已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】B 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，且， 因为，所以. 所以 ， 因为，所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 47．(24-25高二下·福建莆田·期末)若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 【答案】0.4772 【分析】根据正态分布的对称性和性质进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则. 因为正态曲线关于轴对称，所以. 故答案为：0.4772. 48．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若随机变量，随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，结合已知求出，进而求出及的值. 【详解】由，，得， 由，，得，解得， 所以. 故选：D 49．(24-25高二下·福建福州部分校·)某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 【答案】B 【分析】由正态分布的性质求出的概率，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为. 故选：B. 50．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 51．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【分析】先由对称性得，故，得到关于点成中心对称，C正确，AD错误；同理可得不关于直线对称，B错误. 【详解】服从正态分布，故 由对称性可知， 又，， 故，关于点成中心对称，C正确，AD错误； 又， 故， 不关于直线对称，B错误. 故选：C 52．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为、、，则密码机被破译的概率为 B．若随机变量且，则的最小值为50 C．若随机变量，则 D．若随机变量，若，，则 【答案】BCD 【分析】可求破译密码机的对立事件没破译成功的概率，从而可对A判断；由正态分布的对称性可得，再结合基本不等式，即可求解；利用超几何分布求期望即可求解C；利用二项分布的期望和方差即可求解D. 【详解】A：破译密码机的对立事件为没破译成功，且没破译成功的概率为，则破译密码的概率为，故A错误； B：由且，则， ，当且仅当时取等号， 则，故B正确； C：由随机变量，所以，故C正确； D：由随机变量，则，，解得，，则，故D正确. 故选：BCD. 53．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则________. 【答案】0.3/ 【分析】利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由随机变量服从正态分布，且， 得. 故答案为：0.3 54．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知随机变量，且，则（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.86 D．0.64 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的性质即可求出结果. 【详解】由，可得，. 故选：A. 55．(24-25高二下·福建福州九校·期末)设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 56．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以 ， 所以高二年级学生体能检测合格. 57．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 58．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】正确理解正态分布的概念，即可判断A,B两项，利用正态分布曲线的对称性以及概率分布的特点易推理判断C,D两项. 【详解】由可得，，故A正确；B错误； 对于C，利用正态曲线的对称性可知，， 故，即C正确； 对于D，利用正态曲线的对称性可知，， 而，故，故D错误. 故选：AC. 考点07 线性回归方程的概念辨析 59．(24-25高二下·福建莆田·期末)下列图中，相关系数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】由图可知，AC选项的散点图呈现出一定的下降趋势，两变量为负相关，相关系数小于0， BD选项的散点图呈现出一定的上升趋势，两变量为正相关，相关系数大于0， 而B选项的散点图，散点比较分散，D选项的散点图，散点紧密地聚集在一条直线附近， 因此D选项的相关系数最大. 故选：D. 60．(24-25高二下·福建宁德·期末)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相关系数的意义结合散点图即可求解. 【详解】由图可知都是正线性相关关系，都是负线性相关关系，且相关性更强， 所以. 故选：A 61．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相关系数的含义,判断每个选项里的相关系数的绝对值的大小即可. 【详解】当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关； ，且 越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小， 故 ，因此线性相关最强的是A, 故选：A 62．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)下列说法中正确的是（ ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据样本中心点求得，进而求得预测值判断B；根据正态分布的对称性求解判断C；根据期望和方差的性质判断D． 【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误； 对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，错误； 对于C，随机变量服从正态分布，则， 由，得， 则，C正确； 对于D，由，则，，D错误. 故选：C 63．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)下列说法错误的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．若事件相互独立，，则 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】B 【分析】由正态分布的性质判断A；由独立事件的和事件的概率公式判断B；将样本中心代入回归直线，解出的值，即可判断C；由相关系数的意义判断D. 【详解】解：对于A，因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，故B错误； 对于C，将代入，得，解得，故C正确； 对于D，由相关系数的意义可知越大，两个变量之间的线性相关性越强，故D正确. 故选：B 64．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下一组数据： 1 5 7 13 19 其经验线性回归方程为，则（   ） A．135 B．90 C．67 D．63 【答案】D 【分析】根据条件，利用线性回归方程过样本中心点，即可求解. 【详解】由题知，又经验线性回归方程为， 所以， 故选：D. 65．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 【答案】B 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点这个性质来求解，结合残差为实际值减去预测值，即可作出判断. 【详解】由回归直线方程为必过点，所以， 由于去掉两个样本点和后， 得到新的样本数据的平均数为： 因为新的回归直线的斜率为3，根据必过点， 可得回归直线方程为：，即， 当时，， 在新的经验回归方程下，样本的残差为， 故选：B. 66．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)已知由样本数据得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到的经验回归方程为，则______． 【答案】/ 【分析】先利用经验回归直线经过样本中心点，求得，在增加两个样本点后，分别计算出和，再代入中计算即得. 【详解】将代入，可得， 设增加两个样本点和后，，， 将其代入中，可得. 故答案为：. 67．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出样本中心点即可求解. 【详解】因为， 线性回归直线必经过样本中心点. 故选：B． 考点08 线性回归方程与非线性回归方程 68．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】(1)更适合 (2)，8.1千万件 (3) 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 69．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 (1)根据上表数据，请在坐标系中画出散点图； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；若周六同一时间段车流量是25万辆，预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）? 参考公式：，. 【答案】(1)作图见解析 (2)37 【分析】（1）将表中数据描出即可 （2）求出y关于x的线性回归方程，带入，求解即可. 【详解】（1）散点图如图所示； （2）∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴y关于x的线性回归方程是：； 当时，， 所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37. 70．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 2 4 6 8 1 3 4 5 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则__________ 【答案】/ 【分析】先求出与，将其代入回归方程求出，由求出，即可求出. 【详解】由题意， ， ， ∵，其中斜率， ∴， 由得：， ∴， 故答案为：. 71．(24-25高二下·福建龙岩·期末)（多选）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车购买数量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 则关于的（   ） 参考公式：，，. 参考数值：， A．线性回归系数 B．线性回归系数 C．相关系数 D．相关系数 【答案】BC 【分析】结合数据利用公式计算相关系数和线性回归系数，逐个选项判断即可. 【详解】由表格数据可知，，所以 ， ，所以，所以相关系数，故选项C正确，选项D错误； ，故选项B正确，选项A错误. 故选：BC 72．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 (1)公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； (2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 【答案】(1)， (2)模型②拟合效果更好，11.94万件 【分析】（1）求出变量的均值后，根据经验回归方程中的公式计算即可求出系数，得到回归方程； （2）根据残差平方和选择模型，利用模型的回归方程预测时的销售量即可. 【详解】（1）由题知， 所以， 所以，， 所以模型①的经验回归方程为， 由，两边取自然对数可得，即， 所以，， 所以模型②的经验回归方程为 （2）因为，即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好. 所以当时，， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 73．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)（多选）使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（    ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 【答案】BD 【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断A、B两个选项，再将代入模型二的经验回归方程，即可判断C、D选项. 【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大， 所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数， 所以A错误，B正确； 因为模型二的拟合效果好，预报更准确，根据已知：， ，所以，将代入经验回归方程， 有，所以C错误，D正确. 故选：BD 74．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据. 3 4 5 6 7 3 3 4 5 5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ 参考公式， 【答案】（1）；（2）9（吨标准煤）. 【解析】（1）利用回归直线方程公式计算即可 （2）利用（1）的结论预测生产100吨甲产品的生产能耗，跟70作比较回答即可. 【详解】解：（1）由对应数据，计算得 ， ， 所求的回归方程为 （2），， 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨标准煤）. 【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 考点09 独立性检验 75．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解. 【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A 76．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 【答案】(1) (2)元 (3)有关． 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得答案； （2）由频率分布直方图估计中位数计算方式可得答案； （3）由题可得相关列联表，然后计算对应卡方进行独立性检验即可. 【详解】（1）由直方图知，各矩形面积之和为1， 则，解得； （2）由频率分布直方图知， 前3个矩形面积之和为：； 前4个矩形面积之和为： ， 设中位数为，∴， ∴，∴月消费金额的中位数为百元，即元； （3）故月消费金额超过2000元的大学生人数为人， 由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人， 由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，由条件可以列出列联表： 男生 女生 合计 消费金额不超过2000元 500人 250人 750人 消费金额超过2000元 100人 150人 250人 合计 600人 400人 1000人 提出零假设：月消费金额在2000元以上的大学生与性别无关． 故， 所以在犯错的概率不超过的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关． 77．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后． (1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析车间是否与优等品有关联？（结果精确到0.001） 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 （附，其中，） (2)调查了工厂近10个月的产量（单位：万个）和月销售额（单位：万元），得到以下数据：，，，．并根据散点图认为关于的经验回归方程为，其中，． ①求证：． ②求关于的经验回归方程． 【答案】(1)列联表见解析，能 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据的计算公式即可求解； （2）①展开后逐步化简可以得到； ②，带入求解得，再得，得到答案. 【详解】（1） 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 设：车间与优等品无关. ， 根据小概率值的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为车间与优等品有关联. （2）① ； ②，，，, 则由①知：, ， 经验回归方程. 78．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 l 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 (1)求关于的线性回归方程； (2)该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 附：①，， 在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)表格见解析，不能 【分析】（1）由前5周的票房数据，分别求得，利用回归系数的公式和样本点的坐标，求得，即可得到所求的线性回归方程； （2）根据题意，得出列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论． 【详解】（1）由前5周的票房，可得 ，， 又，， 所以， 则， 故所求的线性回归方程为. （2）由题意，未成年人总数为50，喜欢的有40人，则不喜欢的有10人； 成年人总数为40，不喜欢的有10人，则喜欢的有30人， 可得列联表如下： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 10 40 50 成年人 10 30 40 合计 20 70 90 所以 故依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关． 79．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)某卫视2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假社会劳动与实践活动小组对该市居民发放3000份问卷，调查居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性的人数之比为1:1，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，以频率估计概率. (1)完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系； (2)分别估计该市女性居民与男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率； 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)列联表见解析，有 (2)， 【分析】（1）根据表中数据补全表格，再由公式计算的值，与临界值比较即可得出结果. （2）根据频率估计概率即可. 【详解】（1）依题意补充完整的列联表如下： 女性 男性 合计 满意 120 90 210 不满意 30 60 90 合计 150 150 300 所以， 故有的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系． （2）该市女性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率， 男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率． 80．(24-25高二下·福建部分学校教学联盟·期末)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 (1)依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请试用计算说明； 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率． 【答案】(1)认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，不一样，说明见解析 (2) 【分析】（1）求出观测值，再与临界值比对即可得解. （2）根据给定条件，利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异， 由给定数表经计算得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立， 因此认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异． 所有数据都扩大为原来的10倍后： ． 这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系， 所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样. （2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：， 记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”， 则， ， 所以抽到数学成绩优秀学生的概率 ． 81．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 40 流感暴发后 15 合计 100 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．已知学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响 (2) 【分析】（1）根据题意完成列联表，计算，再与临界值比较进行独立性检验即可. （2）先设出对应事件，再利用全概率公式求解，最后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设流感暴发对请假的同学中发烧的人数无关．完成列联表如下 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 由列联表可得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立； 即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响，此推断犯错误的概率不大于． （2）设事件A表示“请假的学生是女生”，表示“请假的学生是男生”；事件B表示“需要输液治疗”， 依题意得，，， 由全概率公式得， 则 故这名同学是女生的概率为． 82．(24-25高二下·福建三明·期末)（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 B．两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1 C．独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D．用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差 【答案】AC 【分析】根据回归方程的意义判断A的真假；根据线性相关系数的意义判断B的真假；根据独立性检验的意义判断C的真假；根据决定系数的意义判断D的真假. 【详解】根据回归方程的意义可知A正确； 两个变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故B错误； 根据独立性检验的意义，可得C正确； 因为决定系数越大，模型拟合效果越好，故D错误. 故选：AC 83．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)（多选）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的.女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（   ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：， A．40 B．45 C．63 D．70 【答案】BD 【分析】根据题意结合卡方分布的计算公式得到方程进而求解出，从而得到结果. 【详解】设男生人数为n，则男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，所以，， 由题意知，，且n是5的整数倍. 故选：BD. 84．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 (1)求，的值，并以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异? 附：，其中为样本容量. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)，， (2)根据小概率值的独立性检验，国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异. 【分析】（1）补充列联表即可得出，，根据列联表中国产14纳米光刻机的次品频率除以总频率即可估计次品概率； （2）根据给定条件计算出的观测值，结合临界表即可得出结论. 【详解】（1）由题意得，. 样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为， 所以国产14纳米光刻机的次品率约为. （2）零假设：国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异， 根据列联表中的数据，经计算得到： . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异. 85．(24-25高二下·福建厦门·期末)为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【分析】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案. 【详解】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的5倍， 则 ， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 86．(24-25高二下·福建莆田·期末)现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表： 技术类型 任务结果 合计 成功 失败 技术 50 10 60 技术 30 30 60 合计 80 40 120 (1)根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关； (2)已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率. 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关 (2) 【分析】（1）计算出卡方即可得解； （2）根据全概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设：任务结果与技术类型无关， 根据列联表中数据，得， 依据小概率值的独立性检验，推断假设不成立， 即任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. （2）设试验中使用技术时任务结果为成功为事件，试验中使用技术时任务结果为成功为事件， 甲体验的任务结果为成功为事件， 由题意，，，，， 则. 87．(24-25高二下·福建宁德·期末)近年来，宁德市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到352.26万人次，旅游总收入约达到26.7亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.为了探究“五一”期间游客选择我市旅游线路是否受到某款""宣传的影响，一家研究机构随机抽取了100名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据（单位：人）的统计结果： 选择线路的游客 不选择线路的游客 合计 受""宣传影响 40 20 60 未受"宣传影响 10 30 40 合计 50 50 100 (1)试计算的观测值，你有多大的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选择线路有影响？ (2)若从我市全体游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为；如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，求第二次抽到男游客的概率. (3)若已知样本中男游客人数为50人，其中选择线路游客为30人；女游客人数为50人，其中选择线路游客为20人.以样本频率估计总体的概率.若从全体游客中男、女各随机抽取2名，设2名男游客中选择线路人数为，2名女游客中选择线路人数为，令，求的分布列. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，有的把握 (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）由卡方公式计算卡方值，对比临界值即可得解； （2）求得，，，然后根据全概率公式即可求解； （3）的可能值为：0，1，2，求出对应的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，4，再求出对应的概率即可得分布列. 【详解】（1）提出统计假设：受""宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的线路无影响. 根据列联表中数据，，     根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的线路有影响. （2）设表示第次抽到男游客，表示第次抽到女游客，，2. 由题可得，，.     由全概率公式，第二次抽到男游客的概率      . （3）由题知，样本中选择线路的男游客频率为，选择线路的女游客频率为. 又，，， ，，，     的所有可能取值为0，1，2，3，4，     则， ，     ， ， ，     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 88．(24-25高二下·福建龙岩·期末)某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，吸烟者的人数的数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有95%的把握 (2) 【分析】（1）结合列联表数据求出，与临界值比较即可判断； （2）先利用分层抽样求得不吸烟者人，则吸烟者4人，然后求出的取值及对应的概率，最后利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）零假设：患慢性气管炎与吸烟无关， ， 由，而，从而否定原假设， 即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）按分层抽样，不吸烟者人，则吸烟者4人， 所以的可能值为0，1，2，3. 则，， ，， 所以. 考点10 概率综合 89．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【详解】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则 ． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 90．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)①随机变量X的分布列见解析，期望；② (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）①已知答对概率，那么答错概率为，设答对题数为k，得分，依次计算出时的概率，得出随机变量X的分布列，并计算出期望；②已知甲得8分（连对4题）概率，得出答对每题的概率为，进一步计算出至少答对3题的概率. （2）（ⅰ）对，得分n进行递推，得出，计算，得出是以为首项，为公比的等比数列；（ⅱ）由差数列累加求和得： ，判断奇数项和偶数项的单调性，推出的最大值为. 【详解】（1）①已知答对概率，则答错概率.设答对题数为k，得分，故取值为3，4，5，6： 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 P 期望. ②已知甲得8分（答对4题）概率为，得.则其至少答对3题的概率： （2）（ⅰ）证明：对，得分n的递推： 最后一题答错（概率）：之前得分，故含； 最后一题答对（概率）：之前得分，故含. 即. 所以 初始项：，，故. 因此，是以为首项，为公比的等比数列. （ⅱ）由差数列累加求和： ， 偶数项（）: 为负，正数，且随着n增大，正数减小，故为最大值； 奇数项（）：为正，正数，随着n增大，正数减小，趋近于0，故最大值趋近于. 综上，为最大值，计算，即最大值为. 91．(24-25高二下·福建三明·期末)某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）该厂商的说法不可信；（ⅱ）10000 【分析】（1）利用条件概率表示. （2）（ⅰ）结合二项分布的期望和方差公式，判断是否为小概率事件. （ⅱ）根据列式，解不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设事件表示芯片通过测试Ⅰ，则， 设事件表示芯片通过测试Ⅱ，则， 设事件表示芯片通过测试，则. 所以. （2）（ⅰ）若，则. 设抽取的100枚芯片中，合格芯片数为，则，所以,. 当时，， 根据切比雪夫不等式：. 所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信. （ⅱ）因为，所以，. 由切比雪夫不等式：. 因为（当时取等号）. 所以要使，即 . 92．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（   ） A．第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B．第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C．第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D．球第次传出后恰好传给丙的概率为 【答案】ABD 【分析】先求出接到前两次传出的球的情况有共9种，设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出，求出，，再用条件概率公式计算，判断A，B，C.设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，依题意可得，且，构造为公比的等比数列，求出即可判断D. 【详解】由已知接到前两次传出的球的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲）， （丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共9种， 显然第一次由甲传出球后，可能传给乙丙丁中间一个，故传给丙的概率为，故A正确； 设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出， 则，，则，故B正确，C错误； 对于D，不妨设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，易知若第次传出后，球恰好传给丙， 则第次传出后，球不传给丙，而是由其他人传给丙，则，且， 则，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 93．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出; (3)证明： 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可； （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，再根据和数学期望计算化简即可. 【详解】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，； ， ， ， ，    ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 . （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ，                       ， ， . 94．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)如图，在的格子中，数字从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个整数，若为奇数，则将格子中数字1和9的位置互换，3和7的位置交换，其余位置不变；若为偶数，则将格子中数字2和8的位置互换，4和6的位置交换.设电脑随机生成个数字后，格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为，则______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【分析】首先分析出为奇数时，，再根据为偶数，利用二项分布概率公式，结合二项式系数和公式，即可求解. 【详解】由题可知，要使格子中的数字从左到右为降序排列，则生成的个数字中，奇数与偶数的个数均为奇数，则为偶数. 故当为奇数时，. 当为偶数时，设，设电脑随机生成的个数字中，恰有个为奇数，则的所有可能取值为.， 则. 因为，且， 所以，则. 故. 故答案为： 95．(24-25高二下·福建福州外国语学校·期末)现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2，结合相互独立事件的概率公式，分别求出概率，写出分布列； （2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解； （3）利用（2）得到的通项公式裂项相消求和求解即可. 【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2， 根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则 ， 的分布列为： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即，即，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 即的通项公式； （3） ， 所以 得证. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机变量及其分布与成对数据的统计分析 10个高频考点概览 考点01 条件概率及其性质 考点02 全概率及贝叶斯公式 考点03 离散型随机变量及其分布列性质 考点04 离散型随机变量的均值与方差 考点05 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点06 正态分布 考点07 线性回归方程的概念辨析 考点08 线性回归方程与非线性回归方程 考点09 独立性检验 考点10 概率综合 考点01 条件概率及其性质 1．(24-25高二下·福建百校·期末)从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·福建三明·期末)（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)（多选）已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（   ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 4．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)（多选）一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 5．(24-25高二下·福建厦门·期末)（多选）某人从一座9层大楼的第1层进入电梯，在第层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件“为偶数”，事件“”，事件“为质数”，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·福建莆田·期末)（多选）已知集合，的4个不同三元子集（含有三个元素的子集）组成集合，且满足：①；②中任意两个元素的并集是的真子集，任意三个元素的并集是.任取一个集合，记事件“”，事件“”，则（   ） A．集合中任意两个元素的交集非空 B． C．取到的集合的所有可能结果有4种 D． 7．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·福建福州福清·期末)从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)（多选）甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与独立 10．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)从标有的六张卡片中，依次不放回的抽出两张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 考点02 全概率公式与贝叶斯公式 11．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 12．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 13．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 15．(24-25高二下·福建部分学校教学联盟·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 16．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1-10进行编号，编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在3号座位的概率为_____. 17．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A． B． C． D． 18．(24-25高二下·福建百校·期末)已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 考点03 离散型随机变量及其分布列性质 19．(24-25高二下·福建宁德·期末)随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 20．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 21．(24-25高二下·福建福州福清·期末)北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 考点04 离散型随机变量的均值与方差 22．(24-25高二下·福建厦门·期末)某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 23．(24-25高二下·福建三明·期末)在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 24．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 25．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)（多选）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 26．(24-25高二下·福建宁德·期末)某校高中数学兴趣小组共8人，分布如下：高一年级5人（含2个种子选手），高二年级3人（含1个种子选手）.现从数学兴趣小组的8人中随机抽取4人参加市级奥数选拔赛. (1)设事件为“抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，求事件发生的概率； (2)设随机变量为抽取的4人中种子选手的人数，求的分布列及其数学期望. 27．(24-25高二下·福建龙岩·期末)一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______. 考点05 二项分布与超几何分布的均值与方差 30．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    31．(24-25高二下·福建福州第三中学·期末)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 32．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 33．(24-25高二下·福建福州部分校·)六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． (1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； (2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 34．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 35．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 36．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 37．(24-25高二下·福建莆田·期末)袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，其中所含红球的个数为，则（   ） A．1.2 B．1.8 C．2 D．3 38．(24-25高二下·福建龙岩·期末)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______. 39．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)已知随机变量，且，，则______. 40．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______． 41．(24-25高二下·福建三明第一中学·月考)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 42．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 43．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 44．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 考点06 正态分布 45．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 46．(24-25高二下·福建三明·期末)已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．16 47．(24-25高二下·福建莆田·期末)若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 48．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若随机变量，随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 49．(24-25高二下·福建福州部分校·)某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 50．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 51．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 52．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为、、，则密码机被破译的概率为 B．若随机变量且，则的最小值为50 C．若随机变量，则 D．若随机变量，若，，则 53．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则________. 54．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知随机变量，且，则（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.86 D．0.64 55．(24-25高二下·福建福州九校·期末)设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 56．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 57．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 58．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点07 线性回归方程的概念辨析 59．(24-25高二下·福建莆田·期末)下列图中，相关系数最大的是（   ） A． B． C． D． 60．(24-25高二下·福建宁德·期末)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 61．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ） A． B． C． D． 62．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)下列说法中正确的是（ ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 63．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)下列说法错误的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．若事件相互独立，，则 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 64．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下一组数据： 1 5 7 13 19 其经验线性回归方程为，则（   ） A．135 B．90 C．67 D．63 65．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 66．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)已知由样本数据得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到的经验回归方程为，则______． 67．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（    ） A． B． C． D． 考点08 线性回归方程与非线性回归方程 68．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 69．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 (1)根据上表数据，请在坐标系中画出散点图； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；若周六同一时间段车流量是25万辆，预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）? 参考公式：，. 70．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 2 4 6 8 1 3 4 5 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则__________ 71．(24-25高二下·福建龙岩·期末)（多选）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车购买数量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 则关于的（   ） 参考公式：，，. 参考数值：， A．线性回归系数 B．线性回归系数 C．相关系数 D．相关系数 72．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 (1)公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； (2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 73．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)（多选）使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（    ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 74．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据. 3 4 5 6 7 3 3 4 5 5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ 参考公式， 考点09 独立性检验 75．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 76．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 77．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后． (1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析车间是否与优等品有关联？（结果精确到0.001） 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 （附，其中，） (2)调查了工厂近10个月的产量（单位：万个）和月销售额（单位：万元），得到以下数据：，，，．并根据散点图认为关于的经验回归方程为，其中，． ①求证：． ②求关于的经验回归方程． 78．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 l 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 (1)求关于的线性回归方程； (2)该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 附：①，， 在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 79．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)某卫视2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假社会劳动与实践活动小组对该市居民发放3000份问卷，调查居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性的人数之比为1:1，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，以频率估计概率. (1)完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系； (2)分别估计该市女性居民与男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率； 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 80．(24-25高二下·福建部分学校教学联盟·期末)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 (1)依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请试用计算说明； 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率． 81．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 40 流感暴发后 15 合计 100 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．已知学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 82．(24-25高二下·福建三明·期末)（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 B．两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1 C．独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D．用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差 83．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)（多选）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的.女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（   ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：， A．40 B．45 C．63 D．70 84．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 (1)求，的值，并以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异? 附：，其中为样本容量. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 85．(24-25高二下·福建厦门·期末)为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 86．(24-25高二下·福建莆田·期末)现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表： 技术类型 任务结果 合计 成功 失败 技术 50 10 60 技术 30 30 60 合计 80 40 120 (1)根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关； (2)已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率. 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 87．(24-25高二下·福建宁德·期末)近年来，宁德市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到352.26万人次，旅游总收入约达到26.7亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.为了探究“五一”期间游客选择我市旅游线路是否受到某款""宣传的影响，一家研究机构随机抽取了100名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据（单位：人）的统计结果： 选择线路的游客 不选择线路的游客 合计 受""宣传影响 40 20 60 未受"宣传影响 10 30 40 合计 50 50 100 (1)试计算的观测值，你有多大的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选择线路有影响？ (2)若从我市全体游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为；如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，求第二次抽到男游客的概率. (3)若已知样本中男游客人数为50人，其中选择线路游客为30人；女游客人数为50人，其中选择线路游客为20人.以样本频率估计总体的概率.若从全体游客中男、女各随机抽取2名，设2名男游客中选择线路人数为，2名女游客中选择线路人数为，令，求的分布列. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 88．(24-25高二下·福建龙岩·期末)某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，吸烟者的人数的数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 考点10 概率综合 89．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 90．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 91．(24-25高二下·福建三明·期末)某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 92．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（   ） A．第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B．第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C．第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D．球第次传出后恰好传给丙的概率为 93．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出; (3)证明： 94．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)如图，在的格子中，数字从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个整数，若为奇数，则将格子中数字1和9的位置互换，3和7的位置交换，其余位置不变；若为偶数，则将格子中数字2和8的位置互换，4和6的位置交换.设电脑随机生成个数字后，格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为，则______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 95．(24-25高二下·福建福州外国语学校·期末)现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $