专题01 空间向量运算及其应用（8个考点）（期末真题汇编，福建专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦空间向量8大高频考点，汇编福建多地高二期末真题，梯度覆盖基础运算至综合应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约25题|空间向量运算、基本定理、坐标运算、平行垂直证明|结合斜三棱柱、正方体等模型，如第4题四棱柱向量关系判断，体现空间想象| |填空|约6题|坐标运算、投影向量、对称点|机器人手臂向量合成（第8题），联系实际应用| |解答|约15题|距离、线面角、二面角、存在性问题|综合题如第42题折叠问题，融合线面角与二面角存在性探究，契合高考命题趋势|

专题01 空间向量运算及其应用 8个高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量坐标运算 考点04 空间向量证明平行垂直 考点05 空间向量求距离 考点06 空间向量求线面角 考点07 空间向量求二面角 考点08 空间向量存在性与范围/综合性题型 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设 ，则用表示为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．(24-25高二下·福建宁德·期末)在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)（多选）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 考点02 空间向量的基本定理 5．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)若是空间的一组基底，且向量，则可以与构成空间的另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·福建龙岩·期末)如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 考点03 空间向量的坐标运算 8．(24-25高二下·福建莆田·期末)下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则______. 9．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知向量，，若与共线，则实数值为（   ） A． B．6 C．3 D． 10．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知，，，若，则的值为______. 11．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 13．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)设，且⊥，则（    ） A．8 B．-8 C．5 D．-5 考点04 空间向量证明平行垂直 14．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 15．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 16．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)（多选）如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为 17．(24-25高二下·福建福州九校·期末)（多选）在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 18．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， 考点05 空间向量求距离 19．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为________ 20．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（    ） A． B．4 C． D． 21．(24-25高二下·福建莆田·期末)如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求点到平面的距离. 22．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面与平面垂直 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的体积为 23．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 24．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)（多选）如图（1），在直角梯形中，，，，E是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图（2），则（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值为 25．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 26．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 27．(24-25高二下·福建漳州漳浦县龙湖中学·期末)（多选）如图，在正四棱柱中，M是的中点，，则（    ） A． B．平面 C．二面角的余弦值为 D．到平面的距离为 考点06 空间向量求线面角 28．(24-25高二下·福建宁德·期末)如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为线段，上的点，且满足. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 29．(24-25高二下·福建福州九校·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且M是的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 30．(24-25高二上·福建厦门第十中学·期末)如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.    (1)求证：； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 31．(24-25高二下·福建漳州漳浦县龙湖中学·期末)如图，在三棱台中，平面ABC，，． (1)求三棱台的体积； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 考点07 空间向量求二面角 32．(24-25高二下·福建漳州漳浦县龙湖中学·期末)如图，四棱锥，平面，且，，，是边长为2的正三角形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点E，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由． 33．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)如图，在四棱锥中，底面 ，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 34．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)如图，在四棱锥中，平面， 分别为和的中点．    (1)求二面角的余弦值； (2)设点在上，且．判断四点是否共面，说明理由． 35．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知正方形ABCD，沿BD将折起到的位置（如图），G为的重心. (1)在BC边上找一点E，使得平面PCD，并求出的值. (2)在（1）的条件下，设. ①证明：平面平面BCD. ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. 36．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 37．(24-25高二下·福建厦门·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求平面与平面夹角的余弦值． 38．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 39．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. (1)证明：平面ABCD. (2)若，求二面角的余弦值. 40．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)如图，四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，分别为，的中点，平面交于点.    (1)证明：； (2)设. （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）求. 41．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 考点08 空间向量存在性与范围/综合性题型 42．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 43．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. (1)证明：平面； (2)设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且 平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求. 44．(24-25高二上·福建厦门·期末)如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 45．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题： (1)求与平面所成角的大小； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 46．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)（多选）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为．在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与不重合），．则下列结论中正确的是（   ） A．线段长度的取值范围是 B．存在点使得平面 C．存在点使得 D．存在点使得与平面所成角的正弦值为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量运算及其应用 8个高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量坐标运算 考点04 空间向量证明平行垂直 考点05 空间向量求距离 考点06 空间向量求线面角 考点07 空间向量求二面角 考点08 空间向量存在性与范围/综合性题型 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设 ，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 2．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 3．(24-25高二下·福建宁德·期末)在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 4．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)（多选）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 考点02 空间向量的基本定理 5．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)若是空间的一组基底，且向量，则可以与构成空间的另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面，如果线性无关就符合题意. 【详解】对于A，由，则与共面，即不能与构成空间的另一组基底，故A错误； 对于B，由，则与共面，即不能与构成空间的另一组基底，故B错误； 对于C，假设存在，使得， 而与不共面，故不存在，使得，即与不共面，故C正确； 对于D，由选项A，知，故与共面，即不能与构成空间的另一组基底，故D错误. 故选：C. 6．(24-25高二下·福建龙岩·期末)如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 7．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解. 【详解】由四点共面，所以，即， 故选：C. 考点03 空间向量的坐标运算 8．(24-25高二下·福建莆田·期末)下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则______. 【答案】 【分析】根据向量的模的坐标公式即可求出结果. 【详解】由题意可知，. 所以. 故答案为：. 9．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知向量，，若与共线，则实数值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共线列式求出即可. 【详解】由向量，共线，得，解得， 所以. 故选：B 10．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 11．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 12．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】，则方向的单位向量为， 向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 13．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)设，且⊥，则（    ） A．8 B．-8 C．5 D．-5 【答案】D 【分析】根据向量垂直关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：D 考点04 空间向量证明平行垂直 14．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质，结合直线方向向量和平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 15．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量数量积证得，再利用线面垂直的性质与判定定义即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系得平面的一个法向量，再设，根据垂直关系得值，最后利用体积公式即可. 【详解】（1）由题意知， 因为， 所以，又平面，又平面， 所以，又平面，且， 所以平面，又平面，所以. （2）因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以.    16．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)（多选）如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为 【答案】BD 【分析】A选项，由推出平面，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出，，得到线面垂直，进而当Q为的中点时，，此时平面，故B正确；C选项，假设体积为定值，得到平面，求出平面的法向量，证明出平面不成立，C错误；D选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值. 【详解】对于A，若，因为平面，平面， 所以平面，矛盾，故A错误． 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 因为， ， 故，， 故，， 因为，平面， 故平面，当Q为的中点时，， 此时平面，故B正确． 对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 故，故与不垂直， 故平面不成立，故C错误； 对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD， 由于为等边三角形， 则，，所以为所求二面角的平面角， 不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为， 故，， 由余弦定理可得， 二面角的余弦值为，故D正确． 故选：BD 17．(24-25高二下·福建福州九校·期末)（多选）在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间向量判断空间直线、平面的位置关系的方法，可判断A，B；判断为异面直线，可判断C；根据空间直线和平面的垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，可判断D. 【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则, 则, 则， 故，即， 而平面，故平面，A正确； 由于，且没有倍数关系， 即两向量不共线，故不平行，B错误； 由于平面，平面，, 故为异面直线，则，，，四点不共面，C错误； 由于平面， 故平面，又平面，故平面平面，D正确， 故选：AD 18．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 考点05 空间向量求距离 19．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为________ 【答案】 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 20．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求出向量，再计算与夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 21．(24-25高二下·福建莆田·期末)如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明即可证明，，，四点共面； （2）建立空间直接坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）连接， 因为，分别为棱，的中点，所以， 在长方体中，，所以， 所以，，，四点共面. （2）以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 则点到平面的距离. 22．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面与平面垂直 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的体积为 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明得到，进而得到夹角度数判断A，分别求出平面与平面的法向量，得到它们法向量相等，进而得到面面平行判断B，利用点到平面的距离公式判断C，由正方体的性质得到面，再结合三棱锥体积公式求解出体积，最后判断D即可. 【详解】如图，连接，，以为原点，建立空间直角坐标系，    因为正方体的棱长为2，所以，， ，，则，， 可得，即， 则异面直线与所成角为，故A错误； 对于B，如图，连接， 由题意得，，则， 由上问得，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，解得，，故， 设面的法向量为，则，可得， 令，解得，，故， 则，可得平面与平面平行，故B错误； 对于C，由已知得，且，则， 设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故C正确； 对于D，由正方体性质得面， 由三棱锥体积公式得，故D正确. 故选：CD 23．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 24．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)（多选）如图（1），在直角梯形中，，，，E是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图（2），则（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】AD 【分析】对于A，由面面垂直的性质可得平面，计算相关边长，利用边的关系可证；对于B，由题可知三棱锥是由两个直角三角形组成，且以为公共斜边，则为外接球直径，然后计算外接球体积可判断；对于C，根据等体积法可求；对于D，运用异面直线夹角的定义，设中点为F，则就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理的推论即可求其余弦值. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以, ，，， ，，，又， ，即，故A正确； ，三棱锥是由两个直角三角形组成， 且以为公共斜边，故三棱锥的外接球半径， 体积，故B错误； 平面,, ，，， 又，， 点到平面的距离为，， 即点到平面的距离为，故C错误； 设中点为F，连接， 分别为中点，， 即就是异面直线与所成角或其补角， 在中，， ，故D正确； 故选：AD. 25．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3). 【分析】（1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. （3）解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 26．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理得出，再利用平面，证，最后根据线面垂直的判定定理即可证明平面；’ （2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 所以，，因为，所以； 在中，，，，所以， 所以，即； 因为平面，平面，所以； 又平面，平面，，所以平面. （2） 由（1）可知、、两两垂直， 建立如图所示分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，，所以， 设到平面的距离为，则. 27．(24-25高二下·福建漳州漳浦县龙湖中学·期末)（多选）如图，在正四棱柱中，M是的中点，，则（    ） A． B．平面 C．二面角的余弦值为 D．到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，，则， 所以不垂直，故A错误； 对于B，，所以， 所以，是平面的一个法向量，即平面，故B正确； 对于C，易知平面的一个法向量， 而， 所以二面角的余弦值为，故C正确； 对于D，到平面的距离，故D正确. 故选：BCD. 考点06 空间向量求线面角 28．(24-25高二下·福建宁德·期末)如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为线段，上的点，且满足. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）思路一：过点作交于点，连结，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；思路二：建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，故只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）解法一：过点作交于点，连结,     , ，，     ，，     ，， ，且，     四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面，     解法二：如图，以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，       则，，，，.     ，， 设平面的法向量为 ， 取，得，， 则是平面的一个法向量.     ， ，     平面，    平面， （2）解法一：如图，以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，     设直线与平面所成角为，平面的法向量为，   则，，，.     ，，， ， 取，得，， 则是平面的一个法向量.     ， 故直线与平面所成角的正弦值为， 解法二：由（1）可得：，， 平面的一个法向量为，     设直线与平面所成角为，                  故直线与平面所成角的正弦值为. 29．(24-25高二下·福建福州九校·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且M是的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面垂直、矩形的性质得、，即得平面，再由线面垂直、等腰三角形性质得、，最后根据线面垂直的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值，进而求其余弦值. 【详解】（1）∵平面，平面， ∴，又四边形是矩形，则， ∵，、平面， ∴平面，平面PAD， ∴， 又M是PD的中点，，则， 而，、平面， 所以平面； （2）由题易知：两两互相垂直， 以A为空间坐标系的原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，故， 设平面MBC法向量为，则， 即，令，，则，即， 而，则， 设MA与平面MBC所成角为，则， 所以. 30．(24-25高二上·福建厦门第十中学·期末)如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.    (1)求证：； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果. 【详解】（1）    证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，，， ，， 则， 所以，即； （2）由（1）可得，，设平面的法向量为 则，解得，取，则 所以平面的一个法向量为， 又因为， 设AB与平面所成角为， 所以， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 31．(24-25高二下·福建漳州漳浦县龙湖中学·期末)如图，在三棱台中，平面ABC，，． (1)求三棱台的体积； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解． （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证． （3）利用线面角的定义求解． 【详解】（1）在三棱台中，平面，平面，则， 在直角梯形中，由，得， 而，则，， 所以 ． （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面． （3）连接， 由（2）知，平面，则与平面所成角即为， 在中，，，， 则，即与平面所成角的正弦值为． 考点07 空间向量求二面角 32．(24-25高二下·福建漳州漳浦县龙湖中学·期末)如图，四棱锥，平面，且，，，是边长为2的正三角形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点E，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)存在，点与点重合. 【分析】（1）取中点为，连结.由已知可得出，，进而可得出四边形为平行四边形，所以.进而根据线面平行的判定定理，即可得出； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.写出各点的坐标，求出平面的法向量.由已知可得即为平面的一个法向量.然后根据向量法，即可求出结果； （3） .然后表示出，根据向量法求出线面角.令，整理即可得出的值. 【详解】（1）如图1，取中点为，连结. 因为是中点，所以. 因为，所以，所以. 因为是边长为2的正三角形，是中点， 所以，所以，所以. 则在四边形中，有，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，平面，平面，所以平面. （2） 由已知平面，平面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图2建立空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，，，. 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得， 所以，是平面的一个法向量. 因为平面，所以即为平面的一个法向量. 因为， 所以，平面与平面夹角的余弦值为. （3）存在，当点与点重合时，满足条件. 设 . 由（2）知，，所以， 所以. 又是平面的一个法向量， 则 . 令，整理可得，， 解得或（舍去）. 所以，，即当点与点重合时，满足条件. 33．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)如图，在四棱锥中，底面 ，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，即得为平面的一个法向量，根据条件建系，求出相关点和相关向量的坐标，由证得即可； （2）利用（1）的相关结论，运用空间向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1） 因为底面，底面，所以 ， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 因为棱的中点，则得， 因，，由，可得， 又平面，所以平面； （2）由（1）易得，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又平面的法向量， 因， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 34．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)如图，在四棱锥中，平面， 分别为和的中点．    (1)求二面角的余弦值； (2)设点在上，且．判断四点是否共面，说明理由． 【答案】(1)； (2)共面，理由见解析. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，并标注相关点的坐标，求出平面、平面的法向量，再由向量法求二面角的余弦值； （2）根据（1）及已知得，应用向量法得在平面内，即可得结论. 【详解】（1）由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，又分别为和的中点，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 易知平面的一个法向量为， 二面角的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为； （2）由（1），，则， 可得，则， 因为平面的一个法向量为，而， 又点在平面内，故在平面内，即四点共面. 35．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知正方形ABCD，沿BD将折起到的位置（如图），G为的重心. (1)在BC边上找一点E，使得平面PCD，并求出的值. (2)在（1）的条件下，设. ①证明：平面平面BCD. ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. 【答案】(1)当平面PCD时， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）取PD的中点F，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）①取BD的中点O，根据线面垂直可证平面PBD，进而可得面面垂直；②建系标点，分别求平面PGC与平面PDE的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）当平面PCD时，. 证明如下：取PD的中点F，连接BF，CF，GE. 因为G为的重心，所以，所以. 因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. （2）①证明：取BD的中点O，连接PO，CO，FO，则，. 因为，，所以. 因为，，平面，所以平面FOC. 因为平面FOC，所以. 因为，，平面，所以平面PBD. 因为平面BCD，所以平面平面BCD. ②由①知，直线OB，OC，OP两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设正方形ABCD的边长为6， 则，，，，，. 连接PE，DE，可得，. 设平面PDE的法向量为， 则令，得. 平面PGC的一个法向量为. 设平面PGC与平面PDE所成的角为， 则， 所以平面PGC与平面PDE所成角的余弦值为. 36．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记的中点为，连结，易得，，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解； （2）设，利用空间向量结合直线与平面所成角的正弦值为求出k值，再利用空间向量求解. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 则，， 设平面的一个法向量为 则，所以， 令，则， 设平面的一个法向量为 则，所以， 令，则， 所以 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （2）依题意，设，则， 又由（1）得平面的一个法向量为 记直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（1）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 37．(24-25高二下·福建厦门·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （3）思路一：建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解；思路二：由（2）知平面，故可将问题转换为与平面所成角的正弦值，由等体积法即可求解. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． （2）因为底面是边长为2的菱形，所以，且既是的中点，也是的中点， 又，所以， 连接，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，所以． 又平面，所以平面． （3）解法一：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，则有， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，所以平面平面， 即在底面的射影在上，所以， 易知，所以，，， 由（2）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 取，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，，，， 由（2）知平面，则平面与平面夹角的余弦值即为与平面所成角的正弦值， 易知，所以， 因为平面平面，所以平面平面， 所以在底面的射影在上， 所以到底面的距离为， 设到底面的距离为，由可知，，解得， 所以与平面所成角的正弦值为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 38．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 39．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. (1)证明：平面ABCD. (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD； 因为平面，所以. 因为，与相交，平面. 所以平面. （2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 40．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)如图，四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，分别为，的中点，平面交于点.    (1)证明：； (2)设. （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）令，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解；（ii）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）连接，由正方形，得，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 由，分别为，的中点，得， 所以.    （2）（i）令，连接，由，得，， 由（1）知直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得， 显然平面的法向量为，设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （ii）设，则，， 于是，，解得， 所以. 41．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 考点08 空间向量存在性与范围/综合性题型 42．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 43．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. (1)证明：平面； (2)设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且 平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠图形的性质结合勾股定理逆定理得和，即可证得平面； （2）以点为坐标原点，、为轴和轴建立空间直角坐标系，由∥据题意得，进而得再求出平面的一个法向量的坐标，由直线与平面所成角的条件列式求出即可得点M的位置，从而，，，再利用棱锥的体积公式结合等体积法即可得解. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，即， 因为，所以，即， 又平面，所以平面； （2）因为,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以 以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 因为，所以,所以， 设平面的法向量为， 则 即 令得,所以， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. 由，得,即(三等分点)， 又平面，所以，所以(三等分点)， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以即(四等分点)， 所以 又 所以. 44．(24-25高二上·福建厦门·期末)如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到； （ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围. 【详解】（1）因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为． 45．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题： (1)求与平面所成角的大小； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案； （2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或，设，进而根据求出答案. 【详解】（1）因为，，，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面， 取的中点，连接， 因为是等边三角形， 所以⊥， 又平面⊥平面，两平面交线为， 平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则 ， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 故两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以， 平面的法向量为， 设与平面所成角的大小为，则， 因为，所以； （2）设平面的法向量为， 则， 令得，则， 连接， 因为平面，平面平面 ，所以， 不妨设，则，， 设，则，即， 故， 设，则，即， 故， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 故， 化简得，两边平方得， ，化简得， 解得或， 设，则，设， 则，解得， 故， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 46．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)（多选）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为．在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与不重合），．则下列结论中正确的是（   ） A．线段长度的取值范围是 B．存在点使得平面 C．存在点使得 D．存在点使得与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【分析】由题意作出，(为中点)，建立空间坐标系，利用空间得量逐一判断即可. 【详解】取中点，过点在平面内作于， 过点在平面内作于，下面证明点即点. 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，故平面，即， 同理可证平面平面， 则，，依题意，点即点. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间坐标系： 设，则，， 所以， 所以，则， 则，， 对于A，因为， 所以， 又因，则， 所以，故A正确； 对于B，因为， 则平面的一个法向量为， 又因为， 令，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，由于，， 令， 得，因为，此方程无解， 所以不存在点使得，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 设与平面所成角为，因， 则， 令，即，解得，与矛盾， 所以不存在点使得与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：涉及求空间角和距离时，利用空间向量求解，能使问题简单化. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $