精品解析：福建省漳州艺术实验学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

漳州艺术实验学校2024-2025学年（下）期末考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上（选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔填写） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用基本函数的导数，求得，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 故选：D. 2. 如果两个变量之间的线性相关程度很高,则其相关系数r的绝对值应接近于(　　) A. 0.5 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】分析：相关系数越应接近于1，相关程度很高． 详解：相关系数越应接近于1，相关程度很高．故选D 点睛：关系数越应接近于1，相关程度很高．关系数越应接近于0，则认为无相关性． 3. 函数在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先根据导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. 详解：由题得 所以切线方程为.故答案为D. 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 4. 设，且⊥，则（ ） A. 8 B. -8 C. 5 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直关系得到方程，求出答案. 详解】由题意得，解得. 故选：D 5. 若，，，则（ ） A. -11 B. 3 C. 4 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可 【详解】由已知，， ， ∴. 故选：C． 6. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】向量，， 则向量在向量上的投影向量为： ； 故选：D 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为. 【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体， 所以其体积为. 设正四面体内切球半径为， 则，得. 如图，取的中点为，则 . 显然，当的长度最小时，取得最小值. 设正四面体内切球的球心为，可求得. 因为球心到点的距离， 所以球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） 6 10 12 6 5 3 2 A. 变量，之间呈负相关关系 B. 可以预测当时， C D. 该回归直线必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线性回归方程的值可判断A正确；将代入线性回归方程可判断B正确，由样本中心过线性回归方程可判断C错，D正确 【详解】由可知，则变量，之间呈负相关关系，A正确； 当时，代入可得，故B正确； ，由样本中心必过线性回归方程可得： ，解得，故样本中心为，C错，D正确. 故选：ABD 10. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A. 在上是增函数； B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极小值． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得：                          单调递减  极小值  单调递增  极大值  单调递减  极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 11. 如图（1），在直角梯形中，，，，E是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图（2），则（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由面面垂直的性质可得平面，计算相关边长，利用边的关系可证；对于B，由题可知三棱锥是由两个直角三角形组成，且以为公共斜边，则为外接球直径，然后计算外接球体积可判断；对于C，根据等体积法可求；对于D，运用异面直线夹角的定义，设中点为F，则就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理的推论即可求其余弦值. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以, ，，， ，，，又， ，即，故A正确； ，三棱锥是由两个直角三角形组成， 且以为公共斜边，故三棱锥的外接球半径， 体积，故B错误； 平面,, ，，， 又，， 点到平面的距离为，， 即点到平面的距离为，故C错误； 设中点为F，连接， 分别为中点，， 即就是异面直线与所成角或其补角， 在中，， ，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处的导数为-2，则________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意，由极限的性质可得的值，结合导数的定义分析可得答案． 【详解】根据题意，由极限的性质可得＝， 又由函数f（x）在x＝x0处的导数为-2，即＝-2，故＝-2. 故答案为：-2 【点睛】本题考查函数导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题． 13. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，结合直线方向向量和平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据. 3 4 5 6 7 3 3 4 5 5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ 参考公式， 【答案】（1）；（2）9（吨标准煤）. 【解析】 【分析】 （1）利用回归直线方程公式计算即可 （2）利用（1）的结论预测生产100吨甲产品的生产能耗，跟70作比较回答即可. 【详解】解：（1）由对应数据，计算得 ， ， 所求的回归方程为 （2），， 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨标准煤）. 【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 16. 已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值， （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值为1，最小值为﹣3． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求导可得f′（x）的解析式，根据导数的几何意义，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2处有极值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，讨论f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的单调性，即可求得f（x）的极值，检验边界值，即可得答案. 【详解】（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2+2ax+b， 所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0， 解得a＝﹣3，b＝0， 所以f（x）＝x3﹣3x2+1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2， 当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数， 所以f（x）的极大值为f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3， 所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3． 17. 某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 10 15 25 着色度不低于90% 15 60 75 合计 25 75 100 （1）根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望． 附： 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ，其中． 【答案】（1）有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知表格中的数据，由的计算公式求出，再结合临界值表即可求解； （2）由分层抽样可得一级果6个，二级果3个，三级果1个，从而根据离散型随机变量分布列的求解步骤及期望公式即可求解. 【小问1详解】 解：由于， 所以有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； 【小问2详解】 解：对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个，则一级果6个，二级果3个，三级果1个. 由题意，二级果的个数X的可能值为0，1，2，3， 则， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望． 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求与平面所成角的大小； （2）设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案； （2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或，设，进而根据求出答案. 【小问1详解】 因为，，，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面， 取的中点，连接， 因为是等边三角形， 所以⊥， 又平面⊥平面，两平面交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 故两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以， 平面的法向量为， 设与平面所成角的大小为，则， 因为，所以； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则， 令得，则， 连接， 因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 设，则，即， 故， 设，则，即， 故， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 故， 化简得，两边平方得， ，化简得， 解得或， 设，则，设， 则，解得， 故， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 19. 设函数，为的导数． （1）讨论函数的最值； （2）若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【小问1详解】 由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． 【小问2详解】 当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州艺术实验学校2024-2025学年（下）期末考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上（选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔填写） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个变量之间的线性相关程度很高,则其相关系数r的绝对值应接近于(　　) A. 0.5 B. 2 C. 0 D. 1 3. 函数在点处的切线方程为 A. B. C. D. 4. 设，且⊥，则（ ） A. 8 B. -8 C. 5 D. -5 5. 若，，，则（ ） A. -11 B. 3 C. 4 D. 15 6. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） 6 10 12 6 5 3 2 A. 变量，之间呈负相关关系 B. 可以预测当时， C. D. 该回归直线必过点 10. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A. 在上是增函数； B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极小值． 11. 如图（1），在直角梯形中，，，，E是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图（2），则（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点到平面距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处的导数为-2，则________. 13. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 14. 如图，一个质点在外力作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据. 3 4 5 6 7 3 3 4 5 5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ 参考公式， 16. 已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值， （Ⅰ）求函数f（x）解析式； （Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值． 17. 某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 10 15 25 着色度不低于90% 15 60 75 合计 25 75 100 （1）根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望． 附： 0050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ，其中． 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求与平面所成角的大小； （2）设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 设函数，为的导数． （1）讨论函数的最值； （2）若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $