专题04 计数原理（9个考点）（期末真题汇编，福建专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇编福建多地高二期末真题，聚焦计数原理9大高频考点，涵盖地图着色、无人机群呈现等实际应用情境，梯度覆盖基础计算与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|25题|分类加法与分步乘法、排列组合计算等|结合春节观影、社区宣讲等生活情境，如地图着色问题考查分步乘法| |填空|8题|相邻不相邻问题、特殊位置优先等|区域染色、身高排序等情境，如矩形区域染色考查分类讨论| |解答|6题|二项式系数最值、赋值法求系数和|综合考查定理应用，如多问设计递进式能力要求|

专题04 计数原理 9高频考点概览 考点01 分类加法与分步乘法综合 考点02 排列数与组合数的计算 考点03 相邻问题与不相邻问题 考点04 特殊元素特殊位置优先 考点05 分组分配问题 考点06 求特定项的二次项系数 考点07 二项式系数与系数的最值问题 考点8 赋值法求部分项系数和 考点9 二项式定理综合 考点01 分类加法与分步乘法综合 1．(24-25高二下·福建百校·期末)在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 2．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 3．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 4．(24-25高二下·福建福州福清·期末)春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 5．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（    ） A．81 B．64 C．24 D．12 6．(24-25高二下·福建福州外国语学校·期末)某无人机爱好者在年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有__________种.    考点02 排列数与组合数的计算 7．(24-25高二下·福建福州福清·期末)计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 考点03 相邻问题与相邻问题 8．(24-25高二上·福建宁德·期末)（多选）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 9．(24-25高二上·福建莆田第十五中学·期末)（多选）现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（    ） A．男生必须排在一起的坐法有576种 B．女生互不相邻的坐法有1440种 C．男女生相间的坐法有72种 D．男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 考点04 特殊元素特殊位置优先 10．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期末)某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排人，则不同的方案数为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 12．(24-25高二下·福建福州部分校·)身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法. 13．(24-25高二下·福建厦门·期末)从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有______种．（用数字作答） 14．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 考点05 分组分配问题 15．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ） A．360种 B．180种 C．720种 D．450种 16．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 17．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（   ） A．20 B．24 C．32 D．36 18．(24-25高二下·福建三明·期末)《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种. 19．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（   ） A．35种 B．105种 C．210种 D．231种 考点06 求特定项的二项式系数 20．(24-25高二上·福建宁德·期末)若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 21．(24-25高二下·福建百校·期末)（多选）关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有4项 22．(24-25高二下·福建三明·期末)的展开式中的系数是______（用数字作答）. 23．(24-25高二下·福建厦门·期末)若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 考点7 二项式系数与系数最值 24．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（   ） A．15 B．10 C．9 D．8 25．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)设是一个正整数，且.若的展开式中，第项和第项的系数之积为120，且是使得该项取得系数最大的项的序号，则和分别是（    ） A． B． C． D． 考点8 赋值法求部分项系数和 26．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知. (1)求的值. (2)求的值； 27．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 28．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 29．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知. (1)求该二项展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 30．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)设，且为整数. (1)求； (2)证明：； (3)求 31．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)（多选）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 32．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)若，则（   ） A．1 B． C．129 D． 33．(24-25高二上·福建莆田第十五中学·期末)（1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 34．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 35．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点9 二项式定理综合 36．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)（多选）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 37．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)（多选）已知的二项式系数和为64，则（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 38．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)（多选）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共7项 B．所有项的系数之和为2187 C．项系数为280 D．所有项的二项式系数之和为128 39．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．不存在常数项 B．二项式系数和为1 C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 计数原理 9高频考点概览 考点01 分类加法与分步乘法综合 考点02 排列数与组合数的计算 考点03 相邻问题与不相邻问题 考点04 特殊元素特殊位置优先 考点05 分组分配问题 考点06 求特定项的二次项系数 考点07 二项式系数与系数的最值问题 考点8 赋值法求部分项系数和 考点9 二项式定理综合 考点01 分类加法与分步乘法综合 1．(24-25高二下·福建百校·期末)在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 【答案】D 【分析】先涂3区域，然后涂1区域，然后涂5区域，进而分若1和5区域同色与不同色两种情况求解即可. 【详解】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法， 然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为； 若1和5区不同色，一共的涂法种数为 . 故一共的涂色总数为. 故选：D. 2．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 3．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 【答案】192 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 4．(24-25高二下·福建福州福清·期末)春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 【答案】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解． 【详解】易知每个人都有种选法，故不同的选法有种． 故答案为：． 5．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（    ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往， 则每人有4种选法，所以3个好朋友的选法共有种， 故选：B. 6．(24-25高二下·福建福州外国语学校·期末)某无人机爱好者在年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有__________种.    【答案】 【分析】先给区域选，再给区域选，再分区域和区域无人机颜色相同和不同两种情况讨论，利用分类、分步计数原理和组合，即可求解. 【详解】先给区域选，有种选法，再给区域选，有种， ① 若区域和区域无人机颜色相同，且区域和区域无人机颜色相同，则区域有种选法， 若区域和区域无人机颜色相同，且区域和区域无人机颜色不相同，则有种选法，区域有种选法， 所以区域和区域无人机颜色相同时，共有种， ② 若区域和区域无人机颜色不相同，且区域和区域无人机颜色相同， 则区域有种，区域有种选法， 若区域和区域无人机颜色不相同，且区域和区域无人机颜色不相同， 则区域有种，和区域只有种选法， 所以区域和区域无人机颜色不相同时，共有种， 因此，不同的呈现方式共有种， 故答案为：. 考点02 排列数与组合数的计算 7．(24-25高二下·福建福州福清·期末)计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 【答案】B 【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【详解】. 故选：B 考点03 相邻问题与相邻问题 8．(24-25高二上·福建宁德·期末)（多选）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 【答案】ACD 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有 种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有 种，故D正确； 故选：ACD 9．(24-25高二上·福建莆田第十五中学·期末)（多选）现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（    ） A．男生必须排在一起的坐法有576种 B．女生互不相邻的坐法有1440种 C．男女生相间的坐法有72种 D．男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 【答案】ABD 【分析】相邻问题利用捆绑法，即可判断A、D；不相邻问题利用插空法，即可判断B；确定男、女的顺序，按照分步乘法计数原理判断C. 【详解】对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列， 再排4个男生的内部顺序，共有种结果，故A正确； 对于B：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生， 共有种结果，故B正确； 对于C：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有种排法，故C错误； 对于D：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有种， 再排他们内部的顺序，有种结果， 根据分步计数原理，共有种结果，故D正确． 故选：ABD 考点04 特殊元素特殊位置优先 10．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期末)某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排人，则不同的方案数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先安排甲部门，再将剩余人分配到三个部门，结合分步乘法计算原理可得解. 【详解】名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门， 甲部门必须安排 人有种， 剩余个人分配到乙、丙、丁三个部门有种， 故由分步乘法计数原理得， 故选：A. 11．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】C 【分析】应用分类计数，及排列组合数求不相邻和元素位置有限制问题的排列方法数. 【详解】将5个位置从左到右编号为，则甲只能站中的一个位置， 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 综上，共有种. 故选：C 12．(24-25高二下·福建福州部分校·)身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法. 【答案】6 【分析】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，然后列举所有的排列方法即可. 【详解】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，则排成的五位数有12543，13542，14532，23541，24531与34521这6个数． 故答案为：6 13．(24-25高二下·福建厦门·期末)从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有______种．（用数字作答） 【答案】18 【分析】分为甲同学不被选中和甲同学被选中两种情形分析即可. 【详解】若甲同学不被选中，则共有种； 若甲同学被选中，则共有种； 所以安排方案共有18种． 故答案为：18. 14．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 【答案】D 【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果， 共有6种结果； 将4名女医生分配到，，三个地方，分为211三组， 可能的结果有种， 所以满足题意的有种结果. 故选：D 考点05 分组分配问题 15．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ） A．360种 B．180种 C．720种 D．450种 【答案】D 【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案. 【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案； 方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案. 所以共有（种）不同的安排方案. 故选：D. 16．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 17．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（   ） A．20 B．24 C．32 D．36 【答案】B 【分析】由题意可知将4人分为1，1，2三组共计种分法，分好的组去三个社区，总共种分法；假设A必须去甲社区，则有两种分法:①三人去乙、丙两个社区或②三人去甲、乙、丙社区；所以总的安排方式为：. 【详解】A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区，每个社区至少有1名学生 可将4人分为1，1，2三组，共有种分法. 总分法为 令学生A必须去甲社区，则有两种分法:三人去乙、丙两个社区或三人去甲、乙、丙社区,则共有： 学生A不能去甲社区的不同安排方式为： 故选:B. 18．(24-25高二下·福建三明·期末)《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种. 【答案】150 【分析】把5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，再安排给3人，由此计算可得. 【详解】5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为：， 再安排给3人，总方法数为， 故答案为：150. 19．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（   ） A．35种 B．105种 C．210种 D．231种 【答案】B 【分析】由题意7名男性取3名，3名女性取2名构成一组，余下其它5人构成另一组，应用组合数求不同分组数. 【详解】由题意，7名男性取3名，3名女性取2名构成一组，余下其它5人构成另一组， 所以不同分组方法有种. 故选：B 考点06 求特定项的二项式系数 20．(24-25高二上·福建宁德·期末)若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得，结合二项式定理，即可求解． 【详解】由题意， ， 则. 故选：A. 21．(24-25高二下·福建百校·期末)（多选）关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有4项 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ACD. 22．(24-25高二下·福建三明·期末)的展开式中的系数是______（用数字作答）. 【答案】-60 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是-60. 23．(24-25高二下·福建厦门·期末)若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求解的系数即可. 【详解】二项式系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D． 考点7 二项式系数与系数最值 24．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（   ） A．15 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】展开式共有9项，所以. 【详解】的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项， 展开式共有9项，所以. 故选：D 25．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)设是一个正整数，且.若的展开式中，第项和第项的系数之积为120，且是使得该项取得系数最大的项的序号，则和分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一验证选项是否同时满足 和 是最大系数的序号. 【详解】的通项公式为：； 其中，第 项的系数是 ，第 项的系数，由题意得； 在二项式展开式中，系数 的最大值出现在： 如果 是偶数，最大值在 处；如果 是奇数，最大值在 和 处. 题目中 是使得系数最大的项的序号，因此： 如果 是偶数，，即 ； 如果 是奇数， 或 ，即 或 . 对于 A： 是偶数，最大系数在 （即 ）， 但 才是最大的（因为 ，），所以 应为 4（对应 ）， 因此 不是最大系数的序号，故A错误； 对于B： 是偶数，最大系数在 （即 ），满足 是最大系数的序号， 计算 ，故B正确； 对于 C： 是奇数，最大系数在 或 （即 ，）， 所以 才是最大系数的序号（对应 ），故C错误； 对于D： 是奇数，最大系数在 （即 ），满足 是最大系数的序号， 计算 ，故D错误. 故选：B 考点8 赋值法求部分项系数和 26．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知. (1)求的值. (2)求的值； 【答案】(1)80 (2)242 【分析】（1）法一：写出的展开式，得到； 法二：写出通项公式，得到，得到答案； （2）法一：赋值法得到，，求出答案； 法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案. 【详解】（1）法一：由二项式定理，得 ，则. 法二：由通项公式，得， 令得，，则. （2）法一：因为， 所以令，得， 令，得 则. 法二：由二项式定理，得 因为 所以，，，，， 所以. 27．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 28．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 29．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知. (1)求该二项展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解. （2）利用赋值法分别令和即可求解. 【详解】（1）由二项式通项公式可得：， 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项， 所以， 综上：二项式系数最大项为. （2）由题可得令，则， 令，则， 所以. 30．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)设，且为整数. (1)求； (2)证明：； (3)求 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据赋值法可求各系数之和； （2）根据多项式展开式的对称性可证； （3）令，可得，结合（1）中即可求. 【详解】（1）令，则， 所以. （2）由多项式的对称性知， 展开后，是的系数，是的系数， 由对称性的得，故得证. （3）由（1）知， 令，则， 两式相加得， ， 31．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)（多选）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由，可判断A；利用展开式的通项求出，可判断B；令求出，再对二项式两边求导，令即可判断C；当时，可判断D． 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故B正确； 因为，令，可得， 令， 有， 令，可得， 所以，故C错误； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确. 故选：BD． 32．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)若，则（   ） A．1 B． C．129 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令可得， 令可得， 即， 故选：B 33．(24-25高二上·福建莆田第十五中学·期末)（1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 【答案】（1）240；（2）第3项；（3） 【分析】（1）求出的展开式的通项公式可得答案； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时只有中间一项的二项式系数最大，利用展开式的通项可得答案；            （3）分别令、可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为， 令，得. 故常数项为； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大， 故的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，；            （3）在中， 令，得; 令，得， 所以. 34．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可. 【详解】将代入得，解得，A正确； 由二项式定理可知展开式的通项为， 令得，所以，B错误； 将代入得， 即，C正确； 将代入得， 即①， 将代入得， 即②， ①+②得，所以， ①-②得，所以， 所以，D正确； 故选：ACD 35．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项. 【详解】令. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的展开式通项为， 令，可得，则，B对； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，， 所以，，D错. 故选：BC. 考点9 二项式定理综合 36．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)（多选）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 【答案】BC 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数判断A；求出第3项和第4项的二项式系数判断B；求出所有项的二项式系数和判断C；利用赋值法求出所有项的系数和判断D. 【详解】对于A，展开式的通项公式，则的系数为，A错误； 对于B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，B正确； 对于C，展开式的所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得展开式的所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 37．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)（多选）已知的二项式系数和为64，则（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D正确. 故选：ACD. 38．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)（多选）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共7项 B．所有项的系数之和为2187 C．项系数为280 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】BCD 【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假. 【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误； 选项B：令，则所有项的系数和为，故B正确； 选项C：展开式的项为，故C正确； 选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BCD 39．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．不存在常数项 B．二项式系数和为1 C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128 【答案】AC 【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得. 【详解】因为展开式的通项公式为， 对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确； 对B，二项式系数和为，故B错误； 对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确； 对D，令，得所有项的系数和为，故D错误； 故选：AC. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $