专题03 导数及其应用（11个考点）（期末真题汇编，福建专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 导数专题期末试题汇编，涵盖11个高频考点，精选福建多校期末真题，基础题与综合题梯度分布，适配高二导数教学与期末备考。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|约30题|导数概念（如可导函数定义应用）、切线方程（如曲线切线平行问题）|基础题考查概念辨析，多选题增强思维严谨性| |填空|约15题|导数运算（如复合函数求导）、极值点求参数（如三次函数极值点问题）|注重知识点直接应用，部分题结合数学史素材| |解答|约40题|不等式恒成立（如含参不等式证明）、零点问题（如双零点证明）|综合题融合多考点，如导数与函数性质、不等式证明结合，匹配高考命题趋势|

专题03 导数及其应用 11个高频考点概览 考点01 导数的概念 考点02 切线方程 考点03 导数的运算 考点04 由函数的单调性求参数 考点05 由函数的单调性比较大小或解不等式 考点06 由函数的极值极值点求参数 考点07 函数的极值最值综合 考点08 三次函数的性质 考点09 导数证明不等式恒成立问题 考点10 函数的零点问题 考点11 导数的综合性题型 考点01 导数的概念 1．(24-25高二下·福建百校·期末)已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 2．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 3．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)已知是定义在上的可导函数，若，则___________． 4．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)已知函数在处的导数为-2，则________. 考点02 切线方程 5．(24-25高二下·福建百校·期末)（多选）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 7．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是_________．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 8．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____． 9．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)已知函数. (1)若，求； (2)若在处的切线与直线垂直，求a. 10．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)已知直线是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D．2 考点03 导数的运算 11．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 12．(24-25高二下·福建福州福清·期末)设函数，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 14．(24-25高二下·福建莆田·期末)若，则（   ） A． B． C．1 D．2 15．(24-25高二下·福建宁德·期末)下列求导运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知函数，若趋近于0时，则趋近于（   ） A． B． C． D． 17．(24-25高二下·福建龙岩·期末)设函数，若，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)函数的导数（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高二下·福建莆田莆田第十中学·期中)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 考点04 由函数的单调性求参数 20．(24-25高二下·福建宁德·期末)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点05 由函数的单调性比较大小或解不等式 24．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)设函数 (1)试判断函数的奇偶性并加以证明； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 25．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)设则（   ） A． B． C． D． 26．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 27．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)，且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 考点06 由函数的极值极值点求参数 29．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 30．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)若是函数极值点，则______. 31．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 32．(24-25高二下·福建百校·期末)若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 34．(24-25高二下·福建莆田·期末)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若为的极小值点，求的值. 35．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点07 函数的极值最值综合 36．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)关于的方程有实根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 37．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 38．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 39．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高二下·福建福州部分学校教学联盟·期末)设函数则以下说法正确的是（ ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增，在上单调递减 C．有三个零点 D．存在使得 41．(24-25高二下·福建百校·期末)已知函数在取得极值为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求函数在区间上的值域. 42．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 43．(24-25高二下·福建福州福清·期末)设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 44．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．，都有 C．函数有两个零点 D．函数在区间（-1，0）上单调递减 45．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)已知函数在处取得极值 (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 46．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知函数，若当时，恒成立，则实数的最小值为____________. 48．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知直线与曲线相切，则的最大值为________. 考点08 三次函数的性质 49．(24-25高二下·福建福州福清·期末)（多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．的对称中心是 C．当时， D．当时， 50．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)（多选）已知函数，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D．已知函数无最小值，则a的取值范围是 51．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．关于对称 B．的极小值点为 C．有三个零点 D．直线是曲线的一条切线 52．(24-25高二下·福建宁德·期末)（多选）设，下列结论中正确的是（   ） A．在处的切线斜率为9 B．有极大值，没有极小值 C．若，则 D．与有相同的极大值 53．(24-25高二下·福建龙岩·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．有两个极值点 C．有一个零点 D．点是曲线的对称中心 54．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)（多选）已知函数的导函数为，则（   ） A．一定是偶函数 B．一定有极值 C．一定存在递增区间 D．对任意确定的，恒存在，使得 考点09 导数与不等式恒成立问题 55．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 56．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 57．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 58．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)已知函数. (1)若，求函数在x=1处的切线方程 (2)若在上单调递增，求a的取值范围; (3)若，证明：当时，.（参考数据：） 59．(24-25高二下·福建三明·期末)已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 60．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的最大值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 61．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围； (3)证明：当时，． 62．(24-25高二下·福建厦门·期末)设函数，若，则的取值范围为______． 63．(24-25高二下·福建莆田·期末)已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 64．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)设函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，. 65．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 66．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______． 考点10 函数的零点问题 67．(24-25高二下·福建百校·期末)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，，且，证明：. 68．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)已知函数 (1)若，求证：在R上单调递增； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)求证：在上有且只有1个解． 69．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个解，求的范围； (3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 70．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知：函数 (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围. 71．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______. 72．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 73．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 74．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________． 考点11 导数的综合性题型 75．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)（多选）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 76．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)已知函数． (1)若，求在的值域； (2)证明：存在唯一的极值点，且； (3)若恒成立，证明：，其中为的极值点． 77．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 78．(24-25高二下·福建三明·期末)已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为______. 79．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)设，若存在，且，使得，证明：. 80．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知函数，， (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 81．(24-25高二下·福建宁德·期末)记，为的导函数.若对，，则称函数为上的“凹函数”. (1)请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由； (2)设函数. （i）若为上的凹函数，求实数的取值范围； （ii）若在上有极值，求的最小整数值. （参考数据：，，，，） 82．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，证明：； (3)已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点的实数的值组成的集合为，求证：. 83．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)（多选）已知函数有两个零点，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 84．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 85．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)（多选）关于函数，下列判断正确的是（   ） A．是的切线方程且平行于x轴 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得成立 D．对两个不相等的正实数，若，则 86．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 87．(24-25高二下·福建福州外国语学校·期末)（多选）设函数，若，且，则（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．当时， 88．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； (3)证明：.（参考数据：） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 11个高频考点概览 考点01 导数的概念 考点02 切线方程 考点03 导数的运算 考点04 由函数的单调性求参数 考点05 由函数的单调性比较大小或解不等式 考点06 由函数的极值极值点求参数 考点07 函数的极值最值综合 考点08 三次函数的性质 考点09 导数证明不等式恒成立问题 考点10 函数的零点问题 考点11 导数的综合性题型 考点01 导数的概念 1．(24-25高二下·福建百校·期末)已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可. 【详解】由，得，可得. 故选：D. 2．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据导数的定义，对式子变形，求出答案. 【详解】由题意知：，即， 故选：A． 3．(24-25高二下·福建泉州十校·期末)已知是定义在上的可导函数，若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用导数定义的极限表达式代入计算可得结果. 【详解】由导数定义可知. 故答案为： 4．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)已知函数在处的导数为-2，则________. 【答案】-2 【分析】根据题意，由极限的性质可得的值，结合导数的定义分析可得答案． 【详解】根据题意，由极限的性质可得＝， 又由函数f（x）在x＝x0处的导数为-2，即＝-2，故＝-2. 故答案为：-2 【点睛】本题考查函数导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题． 考点02 切线方程 5．(24-25高二下·福建百校·期末)（多选）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解. 【详解】设切点. 因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或. 故选：AD. 6．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 【答案】 【分析】设出切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，则，故切线方程，即. 【详解】设切线与函数的切点为， 故，所以在处的导数值为， 所以，又因为切点在函数上，即 所以切点为，所以切线方程，即 故答案为： 7．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是_________．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意可知为奇函数，且存在，使得，取基本函数分析判断即可. 【详解】因为函数的导函数为偶函数，所以为奇函数， 所以满足此条件， 因为的图象与直线相切， 所以存在，使得， 若，则， 此时取，则，，满足条件， 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 8．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【分析】先求，进而得，由函数在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故答案为：. 9．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)已知函数. (1)若，求； (2)若在处的切线与直线垂直，求a. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据导数的运算来求得正确答案. （2）根据斜率的关系列方程，化简求得的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 由题意知，，即， 所以，所以或. 10．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)已知直线是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为， 于是且，所以. 故选：B 考点03 导数的运算 11．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AB 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 12．(24-25高二下·福建福州福清·期末)设函数，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导，得到，求出答案. 【详解】，，解得. 故选：B 13．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B 14．(24-25高二下·福建莆田·期末)若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先对函数求导，再代值计算即可. 【详解】由，得，则. 故选：A. 15．(24-25高二下·福建宁德·期末)下列求导运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数运算法则即可求解. 【详解】，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：C. 16．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知函数，若趋近于0时，则趋近于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数定义可得答案. 【详解】由题意，则，所以 可得 . 故选：A. 17．(24-25高二下·福建龙岩·期末)设函数，若，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用导数即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，解得. 故选：D. 18．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)函数的导数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据诱导公式、函数的求导法则和商的求导公式可得所求. 【详解】， 所以， 故选：B 19．(24-25高二下·福建莆田莆田第十中学·期中)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】解：令， 所以 即 所以， 故选：D 考点04 由函数的单调性求参数 20．(24-25高二下·福建宁德·期末)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意在上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】由题意在上恒成立，即恒成立， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，解得，故所求为. 故选：C. 21．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意在上成立，分离参数后，在上恒成立，根据题意求的最小值，求解即可. 【详解】由题意在上成立，因为时，， 则在上恒成立． 因为函数在上单调递减，所以当时，取得最小值， 所以，即实数的取值范围是． 故选：B. 22．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据在区间上小于等于零恒成立建立不等式求解即可. 【详解】 因为函数在区间上是减函数，所以， 即在区间恒成立， 所以， 因为在区间上单调递增， 所以， 即，. 故选：B 23．(24-25高二下·福建漳州平和广兆中学·期末)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反函数的定义，求出函数，变形给定不等式并构造函数，利用导数及函数的单调性求出的范围. 【详解】依题意，，则， 当时，不等式 ，令， 于是对任意，恒成立，即函数在上单调递增， 则，， 而当，当且仅当时取等号，则， 所以实数k的取值范围为. 故选：D 考点05 由函数的单调性比较大小或解不等式 24．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)设函数 (1)试判断函数的奇偶性并加以证明； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断奇偶性，再利用定义法证明即可； （2）利用导数或初等函数证明函数单调性，再利用奇偶性单调性解不等式，恒成立，转化为对任意的恒成立，分情况讨论即可. 【详解】（1）易知函数是奇函数， 的定义域为R ， 又， 是定义在R在的奇函数， （2）， 易知，，则恒成立， 所以在R为增函数 ； 因为函数为上的奇函数，且为增函数， ，   ，即对任意的恒成立， ①当时，则有，对任意的恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 25．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 又，即，可得， ，所以， 综上. 故选：B. 26．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后放缩得单调性后可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 由三角函数线可得当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增，，， 即，故D正确. 故选：D 27．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的奇偶性，由奇偶性得，接着利用导数工具二次求导研究函数在上单调性，由单调性即可判断的大小关系. 【详解】因为， 所以函数定义域为，， 所以函数为偶函数，故， 当时，， 所以， 因为，所以， 所以在单调递增，故即， 所以在单调递增，又， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：比较函数值大小问题通常通过研究函数的奇偶性和单调性来分析，故本题先求出函数的奇偶性，接着利用导数工具研究函数在上单调性，进而由函数奇偶性和单调性即可判断的大小关系. 28．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)，且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】设对原不等式进行变形得到，令函数，不等式等价为，即在上单调递减.再利用导数结合单调递减充要条件，得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】设（且），原不等式可变形为： ，整理得，即”， 令函数，，则上述不等式等价于， 即在上单调递减； 又，则在上恒成立， 因（），故等价于. 令，，则， 因且时，故，即在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 考点06 由函数的极值极值点求参数 29．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 30．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)若是函数极值点，则______. 【答案】2 【分析】对已知函数变形后求导，根据是极值点，得到，解关于的方程即可. 【详解】已知， 求导得：. 因为是极值点， 所以，解得. 当时，， ， 当时，，当时，， 所以是极值点，符合题意. 所以. 故答案为：2. 31．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则， 解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； （2）由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 32．(24-25高二下·福建百校·期末)若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 33．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，判断出原点不在曲线上，设出切点，得到导数几何意义得到方程，求出，切点坐标为，从而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性； （3）由（2）得，当时有极小值，求出极小值，，令，，求出得到的单调性，结合特殊点函数值，求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 由于，故原点不在曲线上， 设过原点的直线与曲线相切于点. 则切线斜率，即， 解得，切点坐标为， 所以切线斜率，故所求切线方程为. （2）的定义域为，， ①当时，，可得在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增. （3）由（2）得，当时有极小值， 且的极小值.即. 令，，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 34．(24-25高二下·福建莆田·期末)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若为的极小值点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意可得，即可求得的值，再进行检验即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，则， 因为为的极小值点， 所以，即， 此时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点，满足题意，故. 35．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 考点07 函数的极值最值综合 36．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)关于的方程有实根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，，则， 检验：当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的最小值为. 故选：B 37．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与，分别切于点，根据导数的几何意义，可得斜率，化简计算，可得，设，利用导数可得的单调区间和极值，分析即可得答案. 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 38．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 39．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，判断函数的单调性、极值，作出的图象，由，得或，结合图象得解. 【详解】由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，，， 作出的图象，如图，    令，得， 或， 当时，仅存在唯一的满足；因此，必须有两个根， 结合的图象，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 40．(24-25高二下·福建福州部分学校教学联盟·期末)设函数则以下说法正确的是（ ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增，在上单调递减 C．有三个零点 D．存在使得 【答案】C 【分析】对A，判断关系可得；对B，讨论当或时，对函数求导以及二阶导可知结果；对C，转化为曲线与的图象交点个数，利用图象可得；对D，讨论范围求导即可. 【详解】函数的定义域为， 对A，，所以除了处，故A错误； 对B，， 当或时，令，，令， 所以，令，则，令，则 又或，所以函数在单调递减，在单调递增， 即在单调递减，在单调递增，且， 所以在恒成立， 所以在单调递增，且， 可以判断在单调递增，所以B错误； 对C，令，则， 作出曲线与的图象：    所以可知曲线与共有3个交点（由B选项可知，，函数无零点），故C正确； 对D，当时，；当时，； 当时，； 当时，，由B选项可知：在单调递增，且，所以D错误. 故选：C 41．(24-25高二下·福建百校·期末)已知函数在取得极值为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）求导得，求得函数的单调区间，分和和三种情况可求解. 【详解】（1）由，有， 解得，，故，. （2）由（1）有，， 令有或，可得函数的减区间为，增区间为，， 又由，，令可得或3， ①当时，，，函数在区间上的值域为. ②当时，，，函数在区间上的值域为. ③当时，，，函数在区间上的值域为. 综上所述：当时，函数在区间上的值域为； 当时，函数在区间上的值域为； 当时，函数在区间上的值域为. 42．(24-25高二下·福建福州福清·期末)已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 43．(24-25高二下·福建福州福清·期末)设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【分析】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【详解】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C 44．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．，都有 C．函数有两个零点 D．函数在区间（-1，0）上单调递减 【答案】AD 【分析】设，则，得到，可判定A正确；利用导数求得函数单调性，得出函数的值域，可判定B不正确；令，求得函数的零点格式，可判定C错误；当时，求得恒成立，可判定D正确. 【详解】对于A中，设，则， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则，所以A正确； 对于B中，当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，也是上最小值， 所以，函数在满足， 又因为函数为奇函数，图象关于原点对称，且， 所以函数的值域为，所以B不正确； 对于C中，当时，，令时，可得； 当时，，令时，可得； 又因为函数是定义在上的奇函数，可得， 综上可得，函数有三个零点，所以C错误； 对于D中，当时，函数，可得， 所以函数在区间上单调递减，所以D正确. 故选：AD. 45．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)已知函数在处取得极值 (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出，再结合，则可求得，再经检验即可求解； （2）由（1）可求出在区间上的单调性，从而可求解. 【详解】（1）函数的导数为： 由题意，，代入得：，解得， 经检验，符合题意； 故的值为. （2）当时，，导数为： 令，解得，（舍去）， 当，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取到极小值也是最小值； 又，，从而可求最大值为， 故最大值为，最小值为. 46．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 47．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知函数，若当时，恒成立，则实数的最小值为____________. 【答案】/ 【分析】根据题意恒成立等价于恒成立，设，利用导数求出，再设，则在上单调递增，且，从而可求解. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 即在时恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，设，则在上单调递增， 且，要使时，恒成立， 则恒成立，即，所以实数的最小值为. 故答案为：. 48．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知直线与曲线相切，则的最大值为________. 【答案】 【分析】设直线与曲线相切于点，分析可得，设，，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， ，，. 又，， . 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当时，. 故答案为：. 考点08 三次函数的性质 49．(24-25高二下·福建福州福清·期末)（多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．的对称中心是 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，得到为的极小值点，A正确；B选项，，B错误；C选项，当时，，结合A中函数单调性知，故C正确；D选项，求出，结合A中函数单调性求出值域. 【详解】A选项，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故为的极小值点，A正确； B选项，，故不是奇函数， 不是函数的对称中心，B错误； C选项，当时，，由A知，所以在上单调递增， 所以，C正确； D选项，当时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以，D错误. 故选：AC 50．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)（多选）已知函数，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D．已知函数无最小值，则a的取值范围是 【答案】AD 【分析】求出导数计算判断A；求出切线方程判断B；结合三次函数性质求出方程有2个根时的，再验证判断C；作出函数图象及直线，数形结合判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，A正确； 对于B，，曲线在点处的切线方程为，B错误； 对于C，当或时，；当时，， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，方程， 当，即时，直线与曲线有两个交点，即方程有两个根， 当时，，解得，，则， 当时，，解得，，不符合题意， 因此方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于，C错误； 对于D，作出函数的图象与直线， 由图知，当时，函数有最小值；当时，函数有最小值， 当时，函数没有最小值，因此a的取值范围是，D正确. 故选：AD 51．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．关于对称 B．的极小值点为 C．有三个零点 D．直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【分析】利用中心对称的定义计算可判断A，利用导函数求得函数的单调性，即可得函数的极小值点、极值，从而可判断BC，利用导数求曲线的切线方程可判断D. 【详解】对于A，，则，所以函数关于对称，故A正确； 对于B，， 所以时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增. 所以，在处取得极小值， 故的极小值点为，故B错误； 对于C，由上分析可知，在处取得极大值，极小值， 所以的图象与轴有三个交点，即有三个零点，故C正确； 对于D，令，解得， 所以斜率为的切线过切点，则切线方程为即，故D正确. 故选：ACD. 52．(24-25高二下·福建宁德·期末)（多选）设，下列结论中正确的是（   ） A．在处的切线斜率为9 B．有极大值，没有极小值 C．若，则 D．与有相同的极大值 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，结合导数的几何意义、极值、单调性判断ABC；借助图象平移变换判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，在处的切线斜率为，A正确； 对于B，当或时，；当时，， 函数在处取得极大值，在处取得极小值，B错误； 对于C，由选项B知，函数在上单调递增，当时，，，C正确； 对于D，函数的图象可视为函数的图象右移1个单位而得， 因此与有相同的极大值，D正确. 故选：ACD. 53．(24-25高二下·福建龙岩·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．有两个极值点 C．有一个零点 D．点是曲线的对称中心 【答案】ACD 【分析】求导后由，即可分析单调性和极值点，根据零点存在性定理判断ABC，利用函数对称性的定义可判断D. 【详解】由得，，所以在上单调递增， 故由极值点的概念可知，函数没有极值点，故A正确，B错误； 因为在上单调递增，且，， 所以由零点存在性定理可知只有一个零点，此零点位于内，故C正确； ，所以曲线关于中心对称，故D正确. 故选：ACD 54．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)（多选）已知函数的导函数为，则（   ） A．一定是偶函数 B．一定有极值 C．一定存在递增区间 D．对任意确定的，恒存在，使得 【答案】ACD 【分析】求出导函数，利用偶函数的定义判断A，当时，，没有极值判断B，分和求的单调区间判断C，结合正弦函数的值域将的值域即在上的值域，根据据绝对值函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，由得，定义域为关于原点对称， 且，所以一定是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，在上单调递增，没有极值，故B错误； 对于C，当时，，在上单调递增， 当时，得或， 则在和上单调递增，综上，一定存在递增区间，故C正确； 对于D，因为，所以的值域即在上的值域， 而在上必有大于0的最大值，记该最大值为，则， 即对任意确定的，恒存在，使得，故D正确. 故选：ACD 考点09 导数与不等式恒成立问题 55．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 56．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）当时，，求出函数定义域，利用导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）①由在区间上不单调，可得在上有正有负，即在内有解，即得参数的范围；②先求得，利用①的结论及可推得，计算证明，即得，再由即可证得. 【详解】（1）当时，，函数定义域为． 求导得．由，可得或；由，可得， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）①对求导得：，． 因为在区间上不单调，所以在上有正有负， 即在内有解．由于，所以，即a的取值范围是． ②由， 由①知，，， 则． 因为，故． 又，则，故得． 57．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】由已知不等式变形得出，分、、三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出的取值范围. 【详解】因为，，不等式， 令，求导得，当且仅当取等号，在上递增， 当时，，恒成立，则； 当时，，由，得或，此时或； 当时，，由恒成立，的取值集合为， 则，此时则，因此正实数t的取值范围是或， 所以的最大值为. 故选：C. 58．(24-25高二下·福建厦门、泉州五校·期末)已知函数. (1)若，求函数在x=1处的切线方程 (2)若在上单调递增，求a的取值范围; (3)若，证明：当时，.（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，需计算函数值和导数值，然后即可写出切线方程； （2）由在上单调递增，即恒成立，等价于，令，利用导数求函数最值即可； （3）构造辅助函数，通过分析其导数及极值证明不等式成立. 【详解】（1），，， ，， 所以切线方程为. （2）由题意可知，对任意的，，则， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，，解得， 因此，实数a的取值范围是. （3）证明：因为，先证明，即可证得原不等式成立， 构造函数，其中，则， ，令，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递减， 故当时，， 当时，，此时函数单调递增，则， 故对任意的，，即， 因为，故对任意的，则，即. 59．(24-25高二下·福建三明·期末)已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)极大值为：；无极小值. (2)2 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】（1）当时，，. 所以，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. （2）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则 ，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 60．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的最大值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)增区间为；减区间为 (2) (3) 【分析】（1）求导，令，得导函数的零点，从而确定函数单调性得单调区间； （2）分别讨论当，，时函数在上的单调性从而最大值； （3）将不等式恒成立转化为即在恒成立，构造函数，分别验证函数在，，成立的情况，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数，易知函数的定义域为R， 则，令，得，   当变化时，的变化情况如下表所示： + 0 增 极大值    减 故函数的增区间为；减区间为； （2）①当时，即时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即时，函数在区间上单调递增函数，在区间上单调递减， 则； ③当时，即时，函数在区间[1，2]上单调递减，； 综上所述：； （3）（解法一）当时，若恒成立，即在恒成立（*）                ①当时，，符合题意； ②当时，因为有意义，则， 当时，，符合题意， 当时，， 令，则， 则在区间上单调递减，在区间单调递增， 所以， 依题意要使（*）成立只需，解得 ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去   由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是. （解法二）当时，若恒成立，即在恒成立（*）                ①当时，，符合题意        ②当时，因为有意义，则；                当时，，符合题意， 当时，依题意只需证明（*） 令，则， 则在区间上单调递减，在区间单调递增， 由（*）可知，，即； ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去； 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 （解法三）当时，若恒成立，即在恒成立，    ①当时，恒有，符合题意     ②当时，则，当时，，，符合题意， 当时，依题意只需证明（*） 令，则 则在区间上单调递减，在区间单调递增， 故，即；       ③当时，则， 令，则，即与恒成立矛盾，舍去； 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 61．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，并得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，分和两种情况，求出函数定义域，先求出时，不满足要求，当时，参变分离，构造函数，结合特殊点函数值，得到不等式，求出的取值范围； （3）解法一：在（2）基础上，得到的单调性，求出最值，从而得到，设，显然单调递减，根据得，所以，综上，当时，； 解法二：变形为，设，求导，构造函数，再求导，结合特殊点函数值，得到，所以当时，； 解法三：先得到当时，，欲证，即证①， 设，求导，得到其单调性，，所以①式成立，所以当时，． 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， ①当时，的定义域为， 因为利均为增函数，所以在区间单调递增， 当时，，所以，当时，，不符题意． 当时，，所以，当时，，不符题意． ②当时，的定义域为， 若是增函数，则恒成立，即， 设，则， 当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即， 设，易知为增函数，因为，所以， 综上，的取值范围是． （3）解法一：由（2）可知，当时，存在， 使得，即， 且当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 要证，即证，即证， 设，显然单调递减， 又， 则， 所以，即，即， 综上，当时，． 解法二：要证，即证， 设，则， 设，显然单调递减，且， 则有时，，当时，， 所以在在单调递增，在单调递减； 所以， 又，所以， 所以当时，． 解法三：设，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 当时，，欲证， 只需证：当时，， 即证①， 设，则， 令，解得， 设， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即． 故令得，令得， 所以在在单调递减，在单调递增； 其中， 所以，所以①式成立，所以当时，． 62．(24-25高二下·福建厦门·期末)设函数，若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】变形给定不等式，再构造函数与，求出它们的最值即可得解. 【详解】函数定义域为， 不等式， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，； 设，则，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 于是，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 63．(24-25高二下·福建莆田·期末)已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为时，恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由对恒成立， 即对恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，即为恒成立， 设，，则， 设，， 则， 所以函数在上单调递减，则， 即，所以函数在上单调递减， 而时，，且时，， 则时，， 所以时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 64．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)设函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数单调性与函数导数之间的关系，求出函数导数，讨论参数范围对导数正负的影响，判断函数单调区间. （2）根据函数导数证明不等式的方法，构造函数，求出函数单调性，判断函数的最小值，说明不等式成立. 【详解】（1）由题意得， 当时，在R上恒成立，函数在R上单调递增； 当时，令，解得， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 综上所述，当时， 在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知在上成立，令，即在恒成立. 则，令，则， 当时，，即，且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，则的最小值为， 因为，所以，即在上，则， 可得在上单调递增，在处取得最小值， 最小值，即在上， 可知当时，在恒成立，所以. 65．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由恒成立可得，即，代入并令，求导计算最值可得结果. 【详解】令，可得或，由题意可知，，得， 将代入，可得， 令，求导得，令，解得，. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，时，取得极小值，即的最小值为. 故选：B. 66．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变换得到，设得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】，即， ，设，恒成立，函数单调递增，故， 故，设，，故， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故，故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想，变换得到是解题的关键. 考点10 函数的零点问题 67．(24-25高二下·福建百校·期末)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导函数，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）结合（1）分，，三种情况求解可得实数a的取值范围； （3）由（1）可知，可得，只需证，需证，令，利用换元法证明即可. 【详解】（1）由， ①当时，有，函数单调递增； ②当时，令，有，可得函数的减区间为，增区间为. （2）①当时，由，符合题意. ②当时，由，不合题意. ③当，若，有，可得， 由上知，若，则实数a的取值范围为. （3）由（1）知，当时，函数单调递增，最多只有一个零点，可得， 又由，，有， 要证：，只需要证， 只需要证：，只需要证：， 只需要证：， 令，上述不等式可化为， 只需证：， 令，有， 令，有， 可得函数单调递增，有， 可得函数单调递增，有（当且仅当时取等号）， 可得不等式成立，由上知. 68．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)已知函数 (1)若，求证：在R上单调递增； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)求证：在上有且只有1个解． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1），二次求导得到其单调性，得到结论； （2）参变分离得到在上恒成立，构造函数，得到单调性，并求出最小值，从而得到； （3）定义不动点和稳定点，证明若为定义域内的严格增函数，则“是的不动点”是“是的稳定点”的充要条件，求导得到在R上单调递增，令，，二次求导，得到其单调性，结合零点存在性定理得到有且只有一个解，故有且只有1个解，证毕 【详解】（1）， ，令，故， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以在R上单调递增； （2）由题意得在上恒成立， 故在上恒成立， 令， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，， 故在上恒成立， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，所以； （3）设满足的值为的不动点， 满足的值为的稳定点， 下面证明，若为定义域内的严格增函数，则“是的不动点”是“是的稳定点”的充要条件， 充分性，因为是的不动点，故，则， 故是的稳定点，充分性成立， 必要性，设是的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故是的不动点”，必要性成立，证毕； ，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，故恒成立， 故在R上单调递增， 令得，令，， 则，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得，即， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，， ，故存在唯一的，使得， 故有唯一的零点，即有唯一的不动点， 故在上有唯一的稳定点，有且只有1个解，证毕 69．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个解，求的范围； (3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）由（1）知，当时，函数单调，不合要求；当时，结合函数单调性及走势，只需的最小值为，求出的范围； （3）由导函数几何意义得到，，参变分离得到在上恒成立，令，求导，得到函数单调性，求出，故，得到答案. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 此时不可能有两个解，舍去； 当时，在单调递减，在单调递增， 故的最小值为， 且当趋向于0时，趋向于，且趋向于时，趋向于， 要想有两个解，需满足，即，解得， 的范围为； （3），依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令，， 当时，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 70．(24-25高二下·福建宁德·期末)已知：函数 (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为2，最小值为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负得出函数单调性进而得出最值； （2）解法一：根据函数的零点个数结合导数正负得出单调性及极值即可列式得出参数范围；解法二：参数分离后构造函数得出函数极值进而得出参数范围. 【详解】（1）由，得，     解得，     ，故舍去 当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减；     ，，；     在区间上的最大值为2，最小值为. （2）解法一：在上有三个零点， 则时，解得，     当时，，当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，     的极大值为，极小值为；     当时，，当时，； 要使在上有三个零点，则     .     解法二：在上有三个零点， 即在上有三个解，     设 则时，解得，， 当时，，当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，     的极大值为，极小值为；     当时，，当时，； 要使在上有三个零点，则. 71．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】将变为，令，则有一个根，然后按照和分类讨论，当时，分离参数，转化为和有一个交点，设，利用导数研究的单调性，数形结合求出的范围，即可得解. 【详解】， 令，易知是单调递增函数， 则有一个根，当时，等式，不符合题意， 故，等式转化为有两个根，即和有一个交点. 设，函数定义域为， 求得， 故当时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增. 又时，时， 故的图象如下，    由图可得，的取值范围为. 故答案为： 72．(24-25高二下·福建闽东教科联盟·期末)已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求在处的切线方程即可； （2）解法一：由，得，进而构造函数，利用导数分析其单调性，进而求解即可； 解法二：由，得，令，，进而结合导数分析的单调性，进而结合特殊值进行比较求解即可； （3）转化问题为证明，构造函数，结合导数分析单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，得， 则， 故的图象在点处的切线方程为. （2）解法一：由，得， 令， 则， 令，显然在上单调递增， 且，故， 当时，，则，即在上单调递减； 当时，，则，即在上单调递增. 因为， 所以，从而的零点个数为2， 即的零点个数为2. 解法二：由，得，， 令，， 则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 显然函数在上单调递减， 因为，所以， 又，所以， 故的零点个数为2. （3）证明：要证，需证， 令，则， 令， 则， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，则，即在上单调递减， 当时，，则，即在上单调递增， 从而，证毕. 73．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）（i）结合（1）中的结论，即可求解；（ii）结合（1）中的结论可得的极大值为，然后分，与讨论，即可得到结果. 【详解】（1）函数的定义域为 ， ①当时，恒成立，在上单调递减 ②当时，令，得（舍去） x + 0 - 递增 极大值 递减 的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）由（1）知 （ii）由（1）知的极大值为， ， 当即时，，则无零点； 当即时，，则有1个零点： 当即时，， ，， 令，，，在上单调递减， ，， 有2个零点； 综上所述：当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 74．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题可判断1是的零点，且另两个零点关于对称，则所求可化为求出的值域，利用导数即可求解. 【详解】显然，设， 则 ， 所以1是的零点，且另两个零点关于对称， 所以， 则， 令， 则，所以在单调递减， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 考点11 导数的综合性题型 75．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)（多选）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图：    观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 76．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)已知函数． (1)若，求在的值域； (2)证明：存在唯一的极值点，且； (3)若恒成立，证明：，其中为的极值点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点，求导后分当时和讨论，当时，分别构造，求导分析单调性和极值，利用零点存在定理分析可得答案； （3）由（2）可知恒成立，则，采用分析法证明令，构造函数，求导分析单调性和最值可证明. 【详解】（1）当时，， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 又，所以在的值域为； （2）当时，由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点， 满足；    下面讨论的情形： 当时，，所以， 所以在单调递增，无极值点． 当时，， 设恒成立，所以在单调递增， 令得即， 则有，即． 又设，易知在单调递增， ， 令，设，， 当时，单调递减，所以，即， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的， 使得即， 当时，即，当时，即， 故是函数唯一的极值点且为极小值点． 综上所述，存在唯一的极小值点，且； （3）由（2）可知在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为， 又因为即，所以， 从而有，若恒成立，则， 令，则，要证，由（2）知，， 所以只需证，即证即． 设在单调递减， 所以， 令，则，令， 因为，仅当时，“=”成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，递增，，即， 所以， 所以，所以在单调递增，所以， 即， 所以成立． 77．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【详解】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 78．(24-25高二下·福建三明·期末)已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出最大值与最小值，根据最大、最小值的关系求的取值范围. 【详解】因为，所以. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，且. 所以当时，. 由 . 故答案为： 79．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)设，若存在，且，使得，证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导函数求出函数的单调性，进而求解极值； （2）利用分离参数法转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性求出最值，进而求解即可； （3）设，转化问题为证明，设，，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【详解】（1）当时，，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，无极大值. （2）由，则，即对于恒成立， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即实数的取值范围为. （3）由，， 不妨设， 由，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 因为，所以，即， 所以得证. 80．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知函数，， (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得，讨论的符号即可得解； （2）思路一：同构法，即通过换元得，则，首先求得的范围，进一步可得的范围；思路二：直接由恒成立，求得分类讨论函数单调性，得最小值大于或等于0即可求解的范围； （3）令，分析知，故只需结合导数证明即可. 【详解】（1）因为，所以. 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）（方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则. 令，则，在上单调递增. 因为，所以由，得. 由，得. 令，则， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. . ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不是恒成立的. ②当时，，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为函数在上单调递增（因为），且， 所以当时，恒成立. （3）设，则由（2）知. 因为，所以. 因为， 所以. 令，则. 要证，只要证， 即证，即证. 令，，则. 令. 因为，所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 因为，所以成立，故. 第（3）问中关于证明，可用下面方法： 欲证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以. 因为，所以，故. 81．(24-25高二下·福建宁德·期末)记，为的导函数.若对，，则称函数为上的“凹函数”. (1)请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由； (2)设函数. （i）若为上的凹函数，求实数的取值范围； （ii）若在上有极值，求的最小整数值. （参考数据：，，，，） 【答案】(1)是凹函数，理由见解析 (2)（i）；（ii）2 【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）（i）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，应用最小值解可得的取值范围. （ii）根据题意，转化为在上有解，令，利用导数求得，由零点存在定理知，，求得，即可求解. 【详解】（1）在定义域上是凹函数.     理由如下： ，定义域，     ，，     ，， 在定义域上是凹函数. （2）（i）由，得，，     由于函数为上的凹函数，故， 即，     令，则，     当时，；故在上单调递增， 故，     故，所以，     故的取值范围为；     （ii）由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解，     令，，， 令，则，， ，在上单调递增，     ，， 故存在，使得， 即在上单调递减，在上单调递增，     又，，，故存在，使得，且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，     由于，， 故，， 又， ， 由零点存在定理知，.     设，因为在上单调递减，且 ，，故. 因为，则 又，的最小值为2. 82．(24-25高二下·福建龙岩·期末)已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，证明：； (3)已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点的实数的值组成的集合为，求证：. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解单调区间. （2）设，利用导数研究函数单调性，由即可证明. （3）法一：设，令，，利用零点存在性定理得存在使，令，求导函数后按照和分类讨论研究函数的单调性，进一步判断在区间内至多有一个零点即可； 法二：由已知得，设，多次求导研究函数的单调性，进一步判断在区间内至多有一个零点即可. 【详解】（1）. 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为. （2）设，则 令，， 由于，所以， 从而， 即，则在上单调递增. 所以，即. ∵，且在上单调递增，∴，即. （3）法一：设， 令，，设， 则， ， 所以，即存在使， 所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点. 令， 以下证明，当，对任意，函数在区间上至多有一个零点. 易知. ①当时，，此时函数在区间内单调递减， 所以，函数在区间内至多有一个零点； ②当时，关于的方程，即有两个不同的实数根， 分别记为，，不妨设，可得. 易知，函数在区间和内单调递减，在区间内单调递增. 所以函数的极小值. . 而，又，所以. 所以在区间内至多有一个零点，得证. 法二：由已知得，设，， ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. ， 当时，，即，即在上单调递减， 当无限趋向于0且时，无限趋向于正无穷大； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 当时，直线与曲线有唯一公共点. 83．(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)（多选）已知函数有两个零点，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据导函数与零点之间的关系，判断函数有两个零点时，求参数的范围，根据函数两个零点，构造方程，换元构造函数，求出函数单调性，判断不等式的正误，分别判断各选项正误. 【详解】由题意得， 当时，在R上恒成立，函数在R上单调递增，不存在两个零点； 当时，令，解得， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 若存在两个零点，则，即，化简得， 因为，所以，解得，所以A正确； 由题意得，得， 作商得，不妨设，则，令，因为，所以，变形得， 则，解得，可得， 令，则， 由可知，在上单调递增，有， 所以，即，所以B正确； 由B可知，， 令，则， 由可知，在上单调递减，有， 所以，即，所以C错误； 由A可知，函数有两个零点时，，在上单调递减， 则，所以在上单调递减，所以D正确. 故选：ABD. 84．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间； ②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解； （法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2）解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 85．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期末)（多选）关于函数，下列判断正确的是（   ） A．是的切线方程且平行于x轴 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得成立 D．对两个不相等的正实数，若，则 【答案】ABD 【分析】根据导数的几何意义可判断；利用导数判断的单调性，结合可判断；分离参数得，令，求导得，令，求导分析得单调性及最值可得，继而可得的单调性，继而即可判断；根据极值点偏移的求法可判断. 【详解】，则， 对于：在处的切线斜率为， 所以是的切线方程且平行于x轴，故正确； 对于：， 则， 所以函数在上单调递减， 且， 所以函数有且只有1个零点，故正确； 对于：若，可得， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k，使得成立，故错误； 对于：令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，所以， 令，由，得， 则，当时，成立， 对任意两个正实数，且，若， 则，所以，故正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题是高考数学中的热点和难点，通常作为压轴题出现，这类题通常考查学生的逻辑推理能力和函数与方程思想，以下是三种常见的解法： （1）构造法：构造函数，通过判断其在时的符号来确定与的大小关系；代换，结合，得到与的大小关系；再利用函数的单调性解决问题. （2）利用对称性：找到函数的极值点，构造对称函数，分析的单调性，利用其对称性来证明极值点偏移。 （3）增量法：令，，通过比较与的大小来证明极值点偏移；再利用函数单调性和对称性进行推导. 86．(24-25高二下·福建部分优质高中·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围； （3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以 ，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 87．(24-25高二下·福建福州外国语学校·期末)（多选）设函数，若，且，则（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．当时， 【答案】BCD 【分析】利用导数探讨函数的性质，由已知结合三次函数的图象特征逐项求解判断. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意； 当时，由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误； 对于B，由A选项知，，，B正确； 对于C，依题意，，则， 由，得，整理得， 则，当且仅当时取等号，解得，C正确； 对于D，由C选项知，且， 由，得，则，即，， 令函数，求导得， 当时，；当时，，在上递减，在上递增， 因此，则，即，D正确. 故选：BCD 88．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； (3)证明：.（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程； （2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值； （3）依题意，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）， ， 在处的切线为. （2）， ，则，所以， 在上单调递减， 时，， 因为对任意恒成立，所以， 则，的最大值为. （3）设， ， 在上单调递增， ， ，使， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， . 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $