专题02 直线与圆，圆锥曲线（9个考点）（期末真题汇编，福建专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集福建多校高二下期末真题，聚焦直线与圆及圆锥曲线9大高频考点，分层考查基础运算与综合应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|约20题|直线与圆位置关系（考点01）、双曲线离心率（考点04）|结合传统乐器“埙”的椭圆结构（考点03），融入数学史蒙日圆问题（考点03）| |填空|约5题|抛物线准线（考点05）、椭圆与双曲线焦点关系（考点04）|设置动态几何轨迹问题（考点04正方体表面动点轨迹）| |解答|约15题|圆锥曲线面积计算（考点06）、定点证明（考点07）|综合考查存在性探究（考点09）与跨知识模块应用（考点08定直线问题），贴合高考命题趋势|

专题02 直线与圆，圆锥曲线 9个高频考点概览 考点01 直线与圆的位置关系 考点02 直线与圆中的最值 考点03 椭圆方程及性质 考点04 双曲线方程及性质 考点05 抛物线方程及性质 考点06 圆锥曲线中的面积，距离 考点07 圆锥曲线中的定点问题 考点08 圆锥曲线的定直线问题 考点09 圆锥曲线中的存在性问题 考点01 直线与圆的位置关系 1．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)（多选）已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（   ） A．若圆C关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D．若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【分析】由直线过圆心计算判断A；求出最短弦长判断B；整理曲线方程，结合圆系方程判断C；由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D求解判断D. 【详解】依题意，直线过定点， 圆，即的圆心，半径， 对于A，由圆关于直线对称，得直线过圆心，则，A错误； 对于B，圆心到直线的距离的最大值为， 直线被圆心所截弦长的最小值为，B正确； 对于C，，直线，曲线的方程为， 因此曲线是过直线与圆的交点的曲线方程，C正确； 对于D，线段的垂直平分线，若四点共圆，设此圆的圆心为， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，因此直线的方程为， 而点在直线上，则，解得， 于是直线的斜率为，即，D错误. 故选：BC 2．(24-25高二下·福建厦门·期末)若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切可得出的值. 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 3．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 4．(24-25高二下·福建三明·期末)已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果. （2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【详解】（1）由题知，设点， 则，所以， 即，整理得， 所以曲线C的标准方程为． （2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：， 与C的交点坐标为，，此时弦长等于，符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：， 设曲线C的圆心到直线l的距离为d， 由（1）知曲线C的圆心为， 所以， 因为曲线C截l所得弦长等于， 所以，解得． 所以，解得． 所以直线l的方程为：． 综上，直线l的方程为：或． 5．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到两圆位置关系，从而得到不等式，解出即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，则有， 即，解得，又，所以. 故选：C. 考点02 直线与圆中的最值 6．(24-25高二下·福建福州仓山区福建师范大学附属中学·期末)设实数x，y满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则表示经过原点的直线，求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值． 【详解】解：设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率． 所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值． 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切， 此时的斜率就是其倾斜角的正切值． 易得，，可由勾股定理求得， 于是可得到，即为的最大值． 故选：． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键． 7．(24-25高二下·福建福州仓山区福建师范大学附属中学·期末)已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 8．(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期末)已知，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线与都过定点且，可得交点的轨迹是圆（除去一点），又点满足，求得点在另一个圆上，存在点满足，即两圆有公共点即可，由此得解. 【详解】因为直线过定点，直线过定点，且， 所以直线与的交点的轨迹是以，为直径端点的圆，除去， 所以点的轨迹方程为：， 设其圆心为，半径， 若点满足，设，可得， 化简整理得，，设其圆心为，半径， 由题存在点满足，即圆与圆有公共点即可， 由于点的轨迹为圆除去点， 所以得，即， 所以. 故选：C. 考点03 椭圆方程及性质 9．(24-25高二下·福建龙岩·期末)中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁．有一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.已知半椭圆和半圆组成的曲线C如图所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点．当点M的坐标为时，的面积最大，则该半椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点距离可得，即可根据与平行的直线且与半圆相切于点时，到直线的距离最大，即可根据求解. 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中，， 要使的面积最大，当与AG平行的直线且与半圆相切于点时， M到直线AG的距离最大，此时， 即，∴，解得， 所以半椭圆的方程为 故选：C 10．(24-25高二下·福建南平·期末)已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程，采用三角代换，利用点到直线的距离公式表示出点到直线：的距离，结合辅助角公式即可求得答案. 【详解】由，可得其参数方程为（为参数）， 可设，点到直线：的距离为， 则有，其中，， 故当时，，取得最小值， 此时，， 即当的坐标为时，有最小值为. 故选：B. 11．(24-25高二下·福建宁德·期末)加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（   ） A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为 C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14 【答案】D 【分析】由椭圆的性质，结合矩形的面积公式及基本不等式的应用求解． 【详解】已知椭圆，则，，， 结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为， 对于A，椭圆M的离心率为，正确； 对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确； 对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确； 对于D，G的长为m，宽为n，则，则， 当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误． 故选：D 12．(24-25高二下·福建宁德·期末)过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 13．(24-25高二下·福建厦门第十中学·期末)已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，， 根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则， 因为，可得， 结合，所以， 则，， 由余弦定理可得， 即，即 故椭圆离心率 故选：C. 14．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为 ， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 考点04 双曲线方程及性质 15．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 16．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 17．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)已知双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线的实轴长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先利用渐近线的性质结合给定条件得到，，再代入中得到，进而求出实轴长即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，即，而焦距为10，故， 而，代入可得，解得， 则，得到双曲线的实轴长为，故B正确. 故选：B 18．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，由易知，根据线面角的定义可得点坐标满足双曲线方程，进而可得结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，所以，， 故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点）， 过点作于点，易知面， 即，所以，即， 化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线， 故选：C. 19．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先确定四边形为矩形，然后点，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案. 【详解】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    20．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 【答案】ABD 【分析】A选项，C是圆心为原点，半径为的圆；B选项，根据双曲线方程的特征进行判断；C选项，为焦点在轴上的椭圆，并求出离心率；D选项，C上的点到焦点的最短距离为. 【详解】A选项，时，，故C是圆心为原点，半径为的圆，A正确； B选项，若，当时，为焦点在轴上的双曲线， 当时，为焦点在轴上的双曲线，故B正确； C选项，若，则为焦点在轴上的椭圆， C的离心率为，C错误； D选项，若，，则为焦点在轴上的椭圆， 且焦点为，C上的点到焦点的最短距离为，D正确. 故选：ABD. 21．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的一个交点的纵坐标为，则的离心率为_____. 【答案】 【分析】由交点的纵坐标可得其横坐标的平方，结合圆的性质可得，再利用两点间距离公式计算即可得与、有关齐次式，结合离心率定义计算即可得解. 【详解】由的纵坐标为，则，即， 由点在以为直径的圆上，故， 即有，化简得， 即，又，故， 即. 故答案为：. 22．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出用表示，在中，根据余弦定理可得找到的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，，解得，，如图： 在中，根据余弦定理可得， 整理得，即， 设，，则有，， 所以，即有，所以， 所以， 设，则，且， 所以，因为在上单调递减， 所以，所以. 故答案为： 23．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可得，，再由离心率可得，在中，，，由即可得出答案. 【详解】如图，由题意可得， 因为为的中点，，所以, 所以，， 双曲线：（，）的离心率为2，， 故在中，，， . 故答案为： 24．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为______． 【答案】8 【分析】设位于第一象限，由焦半径公式得到方程，求出，得到，从而求出三角形面积. 【详解】不妨设位于第一象限，则，解得， 故，所以的面积为. 故答案为：8 考点05 抛物线方程及其性质 25．(24-25高二下·福建福州九校·期末)已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为______． 【答案】 【分析】利用两圆方程相减后求出公共弦方程，再结合抛物线的性质求解即可； 【详解】两圆的公共弦方程为， 所以，所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 26．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)（多选）已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（    ） A． B．直线过抛物线的焦点 C．当为等腰三角形时，或 D．过点且与抛物线相切的直线平分 【答案】ABD 【分析】根据准线方程可得A正确，利用斜率相等可得B正确，结合等腰三角形的情况可得C错误，求出切线的斜率，根据两条直线斜率的关系得出倾斜角的关系，从而可得D正确. 【详解】因为准线方程为，所以，A正确； 抛物线的焦点为，设，则,直线， 由，可得，，即, 当时，，即，此时直线过抛物线的焦点； 当时，直线的斜率分别为， 则， 所以直线过抛物线的焦点，B正确； 由抛物线定义可知, 当时，则在的中垂线上，则，即， 解得（设）或，此时,C不正确； 设过点的切线方程为， 联立，得， 易知，令，可得； 直线的斜率即为直线的斜率，即. 设直线过点的切线的倾斜角分别为， 则， 而，即， 因为点在第一象限，所以，所以； 因为直线的斜率为0，所以过点且与抛物线相切的直线平分. 故选：ABD    27．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程得韦达定理，通过抛物线定义将条件转化为，联立韦达定理求解，再利用余弦定理得垂直关系，根据斜率关系设出直线，进而联立抛物线方程求出坐标，再利用数量积求，最后利用同角三角函数关系可求出正弦值. 【详解】由抛物线的方程，则其焦点， 直线l过点且斜率为，其方程为， 联立直线与抛物线方程消得，设交点， 则，, 由抛物线定义可得，代入条件， 得，结合解得，满足， 可得； 设，设，由， 则由余弦定理得， 故，则， 则，即， 联立直线与抛物线方程消得， 则，解得， 即，又， 则， 则， 所以， 则. 故选：C. 考点06 圆锥曲线中的面积，距离 28．(24-25高二下·福建福州第三中学·期末)已知双曲线的一条渐近线为，且过点． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）相切，理由见解析 【分析】（1）由题列出方程组，解方程组即可； （2）（i）设直线的方程为，，，与双曲线联立得到，利用和的面积的比，可解从而得到直线方程； （ii）根据题意可得直线的方程，根据圆心到直线的距离即可判断位置关系. 【详解】（1）设双曲线方程为，则，解得 所以的方程为． （2）（i）的右焦点为），设直线的方程为，，， 与方程联立可得：， 则由  ，得， 因为和的面积的比值为2，所以， 所以，所以， 所以， 解得，满足，所以， 所以直线的方程为：或． （ii）依题意得，则直线的斜率， 直线的方程为，即． 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以直线与圆相切． 29．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【详解】（1）解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. （2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 30．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． (1)求椭圆E和的方程； (2)若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为，的方程为； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出得椭圆的方程，再求出的方程. （2）设出、的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论． 【详解】（1）设椭圆的方程为，由离心率，得， 由以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，得， 解得，椭圆的方程为：，， 由轴，得，所以的方程为：. （2）由在圆上得，设，， 则，同理， 若，则，即， 因此， 由得， 因为， 所以， 于是，即，无解， 所以不存在k使.    31．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)已知椭圆C:的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于M，N两点，点，，若的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或者. 【分析】（1）代入其所过的点，再根据离心率得到方程组，解出即可； （2）根据面积公式求出，再设直线上，根据距离公式求出值，最后联立方程即可求出点坐标，最后得到直线方程. 【详解】（1）由题意得，则椭圆方程. （2），，则， 则，， 则 ， 设在直线上， 则或， 当时，， 联立有， 即， 因为， 故与相离. 当时，， 联立， 化简得，即，解得, 即或者，因为， 故或者， 即或者. 32．(24-25高二下·福建福州期末)如图，已知圆的半径为，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，    (1)求点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹交于点，， （i）若三角形的面积为，求直线的方程； （ii）探究轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之积为定值．若存在，求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，为长轴的椭圆，即可求解； （2）（i）根据条件设，，联立直线与椭圆方程得到，从而有，再利用，即可求解；（ii）假设存在满足题意，从而得，再利用（i）中结果，可得，从而得到，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆， 又，得到，所以， 由题可知点的轨迹的方程为. （2）（i）由（1）知，，易知直线的斜率不为，设直线，， 由，消得到， 则，由韦达定理知， 所以，整理得到， 解得或（舍去），所以， 故直线的方程为或.    （ii）假设存在满足题意， 则， 所以， 即为定值，所以，解得， 当时，，当时，. 【点睛】方法点晴：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 考点07 圆锥曲线中的定点问题 33．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； (3)若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； （3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案. 【详解】（1）由焦点在直线上，令，解得， 由过点，则，解得， 所以椭圆的方程为 （2） 当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. （3） 由（1）可知，所以圆，又，所以， （i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，， 则，消去可得， 则（*），且， 可得，解得，不满足（*），不合题意； （ii）若直线不垂直于轴， 则设的方程：，，， 则，消去可得， 由，则，， 可得. 因为，则，即， ,∴ 所以直线方程为：， 所以直线过定点. 34．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，. (1)求的方程； (2)若. （i）证明：l恒过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. （2）（i）设直线，与椭圆方程联立，利用向量垂直的坐标表示，结合韦达定理计算推理；（ii）结合（i）的结论求出三角形的面积的函数关系，再求出最大值. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）依题意，直线的斜率存在，设直线， 由，消去得， 则，即， ，而， 由，得，即， 整理得， 则，而， 于是，解得，且满足， 所以直线过定点. （ii）面积 ，令，则， 因此，函数在内单调递增， ，，当且仅当时等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：求解椭圆中三角形面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等表示出三角形面积，再进行求解即可.有时也需要将三角形分割成小三角形，由小三角形的面积和表示出大三角形面积. 35．(23-24高二上·福建福州八县（、区）一中·期末)已知点，是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹曲线为； (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线交曲线于两点，交直线于．过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设动点，由已知条件结合椭圆定义可知点的轨迹为以为左右焦点，长轴长为4的椭圆，列出方程求出，从而可求得曲线的方程； （2）方法一：设出直线方程和两点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得出，，再表示出直线，的方程，则可表示出点的坐标，从而可求出线段中点M的坐标；方法二：设直线l方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得出，，再表示出直线，的方程，则可表示出点的坐标，从而可求出线段中点M的坐标. 【详解】（1）设动点， 因为线段的垂直平分线交于点, 所以, 所以， 因为， 所以由椭圆定义可知点的轨迹为以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 设动点的轨迹曲线的方程 ， 则， 故动点的轨迹曲线的方程； （2）方法一：直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线l交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， ， 所以线段CD中点M的坐标为. 方法二：直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线l交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， 同理可得， ， 所以线段CD中点M的坐标为. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简后根据根与系数的关系，再结合题意求解，考查计算能力和逻辑推理能力，属于较难题. 36．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．    (1)求椭圆C的方程； (2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①恒过定点；②. 【分析】（1）根据已知焦点三角形周长，由椭圆定义及其离心率求椭圆参数即可得方程； （2）①设直线AD为且，，，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合A，B，共线有，整理化简求参数m，即可确定定点；②由直线AD所过定点，结合并将韦达公式代入化简，应用基本不等式求面积最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题的周长，可得， 又，则，，故椭圆的方程为． （2）①由题，设直线AD为且，，，， 联立方程可得：，化简可得： ， 所以，， 因为A，B，共线，则有，化简可得， 即，化简可得恒成立． ∴，即直线AD的方程为恒过定点． ②设直线AD恒过定点记为， 由上，可得， 所以，· ， 令，则， 当且仅当，即时，取等号． ∴面积的最大值为． 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线AD为且，利用椭圆方程，应用韦达定理及已知条件求出参数m为关键. 考点08 圆锥曲线中的定直线问题 37．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； （2） ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 38．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即 ，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 39．(24-25高二下·福建龙岩·期末)折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸． 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点． 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记点的轨迹为曲线．    (1)求曲线的标准方程； (2)设直线l：与曲线交于两点． ①若直线过点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，为坐标平面上的动点，直线斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理． 【答案】(1) (2)①；②点N是在定直线上． 【分析】（1）以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，由，即可求解； （2）①由直线过焦点可得直线l：，联立椭圆方程，由弦长公式及点到线的距离公式，求出面积列出等式求解即可；②设点，设点、， 由直线l过定点，得到AB的方程为，联立椭圆方程，由，列出等式求解即可. 【详解】（1）以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 设为椭圆上一点，由题意可知且， 则曲线是以为左右焦点，长轴长，焦距的椭圆， 其中，，，所以曲线的标准方程为． （2）（2）①由（1）知，直线l：过， 可得：，即，    所以由直线l：与曲线的标准方程联立方程组， 消去y得，． 设两交点，，则有，， 所以， 又椭圆左焦点到直线l：的距离为， 所以， 解得或（舍去），即; （2）②解：设点，设点、，      因为直线l过定点，所以直线的方程为， 联立 消去y得，． ∴，，，，， 因为直线斜率的倒数成等差数列，即， 所以，，即， 将，代入上述等式可得， 当时点N在l上，显然满足 当时，， 整理可得， 可得， 即， 即对任意的恒成立， 所以，，解得或． 由于的斜率不为0，所以，故； 所以点是在定直线上． 【点睛】关键点点睛：②点，设点、，由， 化简得到对任意的恒成立. 考点09 圆锥曲线中的存在性问题 40．(24-25高二下·福建莆田莆田第一中学·期末)在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线. (1)求的标准方程； (2)若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件列式化简即可求解轨迹方程. （2）（i）直线的斜率不存在时，显然O、P、Q三点共线；直线斜率存在时，设、，利用点差法求出及，从而可得，即可证明.（ii）由题意设直线和直线的方程为和，联立直线与双曲线方程，韦达定理，求得点P的坐标，同理求出点Q的坐标，利用点到直线距离分别求出这两点到渐近线的距离，从而，利用不等式性质求解范围即可. 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. （2）（i）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为， ①直线的斜率不存在时，P、Q都在x轴上，O、P、Q三点共线. ②直线斜率存在时，则可设方程为，、，. 由得， 所以，,，所以， 同理，因为，所以，所以，所以O、P、Q三点共线. 综上，O、P、Q三点共线. （ii）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆，圆锥曲线 9个高频考点概览 考点01 直线与圆的位置关系 考点02 直线与圆中的最值 考点03 椭圆方程及性质 考点04 双曲线方程及性质 考点05 抛物线方程及性质 考点06 圆锥曲线中的面积，距离 考点07 圆锥曲线中的定点问题 考点08 圆锥曲线的定直线问题 考点09 圆锥曲线中的存在性问题 考点01 直线与圆的位置关系 1．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)（多选）已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（   ） A．若圆C关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D．若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 2．(24-25高二下·福建厦门·期末)若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．(24-25高二下·福建三明·期末)已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 5．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点02 直线与圆中的最值 6．(24-25高二下·福建福州仓山区福建师范大学附属中学·期末)设实数x，y满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·福建福州仓山区福建师范大学附属中学·期末)已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 8．(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期末)已知，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点03 椭圆方程及性质 9．(24-25高二下·福建龙岩·期末)中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁．有一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.已知半椭圆和半圆组成的曲线C如图所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点．当点M的坐标为时，的面积最大，则该半椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·福建南平·期末)已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高二下·福建宁德·期末)加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（   ） A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为 C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14 12．(24-25高二下·福建宁德·期末)过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高二下·福建厦门第十中学·期末)已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点04 双曲线方程及性质 15．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 17．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)已知双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线的实轴长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 18．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 19．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 20．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 21．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的一个交点的纵坐标为，则的离心率为_____. 22．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是______. 23．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末)已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______. 24．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为______． 考点05 抛物线方程及其性质 25．(24-25高二下·福建福州九校·期末)已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为______． 26．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)（多选）已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（    ） A． B．直线过抛物线的焦点 C．当为等腰三角形时，或 D．过点且与抛物线相切的直线平分 27．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点06 圆锥曲线中的面积，距离 28．(24-25高二下·福建福州第三中学·期末)已知双曲线的一条渐近线为，且过点． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 29．(24-25高二下·福建泉州四校联盟·期末)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 30．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． (1)求椭圆E和的方程； (2)若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 31．(24-25高二下·福建仙游县华侨中学·期末)已知椭圆C:的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于M，N两点，点，，若的面积为4，求直线的方程. 32．(24-25高二下·福建福州期末)如图，已知圆的半径为，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，    (1)求点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹交于点，， （i）若三角形的面积为，求直线的方程； （ii）探究轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之积为定值．若存在，求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由． 考点07 圆锥曲线中的定点问题 33．(24-25高二下·福建三明第二中学·期末)已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； (3)若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 34．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学、仙游第一中学·期末)已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，. (1)求的方程； (2)若. （i）证明：l恒过定点； （ii）求面积的最大值. 35．(23-24高二上·福建福州八县（、区）一中·期末)已知点，是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹曲线为； (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线交曲线于两点，交直线于．过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点M的坐标． 36．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．    (1)求椭圆C的方程； (2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求面积的最大值． 考点08 圆锥曲线中的定直线问题 37．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 38．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 39．(24-25高二下·福建龙岩·期末)折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸． 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点． 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记点的轨迹为曲线．    (1)求曲线的标准方程； (2)设直线l：与曲线交于两点． ①若直线过点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，为坐标平面上的动点，直线斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理． 考点09 圆锥曲线中的存在性问题 40．(24-25高二下·福建莆田莆田第一中学·期末)在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线. (1)求的标准方程； (2)若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $