福建省漳州艺术实验学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

漳州艺术实验学校 漳州艺术实验学校2024-2025学年(下)期末考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级： 姓名： 座号： 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2． 请将答案正确填写在答题卡上（选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔填写） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 2.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数的绝对值应接近于(    ) A. B. C. D. 3.函数在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 4.设，且，则(    ) A. B. C. D. 5.若，，，则(    ) A. B. C. D. 6.函数的单调递减区间为(    ) A. B. C. D. 7.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 8.正四面体的棱长为，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是(    ) A. 变量，之间呈负相关关系 B. 可以预测当时， C. D. 该回归直线必过点 10.如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(    ) A. 在上是增函数； B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极小值． 11.如图，在直角梯形中，，，，是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图，则(    ) A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数在处的导数为，则______． 13.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 14.如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为若该质点共移动次，则它位于数字          处的可能性最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据． 请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； 已知该厂技改前，吨甲产品的生产能耗为吨标准煤．试根据求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ 参考公式：，． 16.本小题分 已知函数，记的导数为若曲线在点处的切线斜率为，且时有极值， Ⅰ求函数的解析式； Ⅱ求函数在上的最大值和最小值． 17.本小题5分 某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果两项均不达标的苹果为三级果． 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于毫米 直径不小于毫米 合计 着色度低于 着色度不低于 合计 根据以上数据，判断是否有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关 该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取个苹果，再从中随机抽取个，求抽到二级果个数的概率分布列和数学期望． 附： ，其中． 18.本小题分 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，请用空间向量的知识解答下列问题： 求与平面所成角的大小 设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求的值若不存在，说明理由． 19.本小题分 设函数，为的导数．     讨论函数的最值；     若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第二学期期末试卷参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ， ． 故选D． 2.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数的绝对值应接近于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查相关系数的意义，是基础题． 相关系数越接近于，相关程度越高． 【解答】 根据相关系数的性质可知，相关系数越接近于，相关程度越高． 故选： 3.函数在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义及直线的点斜式方程，属于基础题． 对函数求导，求得函数在处的斜率，根据点斜式方程求出切线即可． 【解答】 解：由题意得， 则，即函数在点处的切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为，即． 故选D． 4.设，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ，解得． 故选：． 根据向量垂直关系得到方程，求出答案． 本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，是基础题． 5.若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算 先求出  的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可 【解答】 解：由已知， 故选C 6.函数的单调递减区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 由得，由即可求得函数的单调递减区间． 【解答】 解：的定义域为， ， 由得：， 函数的单调递减区间为． 故选：． 7.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查投影向量计算问题，属于基础题． 先求出向量在向量上的投影向量的长度，再求向量在向量上的投影向量即可． 【解答】 解：向量，， 则向量在向量上的投影向量的长度为： ，， 所以向量在向量上的投影向量为： ． 故选：． 8.正四面体的棱长为，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是(    ) A. 变量，之间呈负相关关系 B. 可以预测当时， C. D. 该回归直线必过点 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题． 根据线性回归方程及相关知识依次判断各选项即可． 【解答】 解：对于：根据的正负即可判断正负相关关系， 线性回归方程为，，所以是负相关关系，A正确； 对于，当时，代入可得，B正确； 对于：根据表中数据：， 可得， 即，解得：，C错误； 对于：回归直线一定过样本中心点，即过点，D正确． 故选ABD． 10.如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(    ) A. 在上是增函数； B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极小值． 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了利用导函数的图象研究函数的单调性、极值等性质，属于基础题． 由导函数的图象可得：                          单减  极小  单增  极大  单减  极小 单增 利用表格即可判断出． 【解答】 解：由导函数的图象可得：                          单减  极小  单增  极大  单减  极小 单增 由表格可知：在区间上单调递减，因此不正确； 是的极小值点，正确； 在区间上是减函数，在区间上是增函数，正确； 时取得极大值，因此不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选BC． 11.如图，在直角梯形中，，，，是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图，则(    ) A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】AD  【解析】解：如图：连接交于点， 由题意，四边形为边长为的正方形， 所以，，，， 在下图中，，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， ，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则， ，即，故A正确； 由，为中点，，为的中点， 得为的外接圆圆心，为的外接圆圆心， 为三棱锥的外接球球心， 外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的体积为，故B错误； ，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得， 所以平面的一个法向量为， 又， 则点到平面的距离为，故C错误； 由，， 则异面直线与所成角的余弦值为：，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数在处的导数为，则______． 【答案】  【解析】解：根据题意，函数在处的导数为，即， 而， 故答案为： 根据题意，由导数的定义可得，即可得答案． 本题考查导数的几何意义，涉及极限的计算，属于基础题． 13.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】-7 14.如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为若该质点共移动次，则它位于数字          处的可能性最大． 【答案】  【解析】解：设质点向右移动的次数为  ，则  服从二项分布，即  ， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即  ， 由二项分布的概率公式可得  ， 设  最大，则  ， 由  可得  ， 即  ， 化简可得  ，解得  ， 由  可得  ， 即  ， 化简可得  ，解得  ， 即  ，且  ，则  时，  最大， 则质点最终的位置为  ． 故答案为：  四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据． 请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； 已知该厂技改前，吨甲产品的生产能耗为吨标准煤．试根据求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ 参考公式：，． 【答案】解：由对应数据，计算得，， ， ， 所求的回归方程为． 取，得， 预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤．  【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 由已知数据可得与的值，则线性回归方程可求； 在中求得的回归方程中，取求得即可． 16.本小题分 已知函数，记的导数为若曲线在点处的切线斜率为，且时有极值， Ⅰ求函数的解析式； Ⅱ求函数在上的最大值和最小值． 【答案】解：Ⅰ由题意得：， 所以，， 解得，，经检验，满足题意， 所以；           Ⅱ由Ⅰ知，令，解得或， 当时，，在是增函数， 当时，，在是减函数， 所以的极大值为，又，， 所以在上的最大值为，最小值为．   【解析】本题考查了考查导数的几何意义，考查利用导数研究闭区间上函数的最值 ，考查学生的计算能力，属于基础题． Ⅰ求导可得的解析式，根据导数的几何意义，可得，又在处有极值，所以，即可求得，的值，即可得答案； Ⅱ由Ⅰ可得的解析式，令，解得或，讨论在，上的单调性，即可求得的极值，检验边界值，即可得答案． 17.本小题分 某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果两项均不达标的苹果为三级果． 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于毫米 直径不小于毫米 合计 着色度低于 着色度不低于 合计 根据以上数据，判断是否有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关 该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取个苹果，再从中随机抽取个，求抽到二级果个数的概率分布列和数学期望． 附： ，其中． 【答案】解：由于， 所以有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关． 对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取个， 则一级果个，二级果个，三级果个． 由题意，二级果的个数的可能值为，，，， 则，， ，． 所以的分布列为： 所以的数学期望．  【解析】本题考查了独立性检验和分布列及数学期望的知识，属于中档题． 根据题意计算即可得到答案． 根据题意求出概率，算出分布列及期望，最后即可得到答案． 18.本小题分 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，请用空间向量的知识解答下列问题： 求与平面所成角的大小 设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求的值若不存在，说明理由． 【答案】解：因为，，，平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 如图， 以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设与平面所成角为， 则是平面的一个法向量， 所以，， 所以， 即与平面所成角的大小为； 假设存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 由知，，，， 设是平面的法向量， 则 取， 设，其中， 则， 连接，因为平面，平面，平面平面， 故AC， 则取与同向的单位向量， 设是平面的法向量， 则 取， 则， 解得或，即或， 故在侧棱上存在点且当或时，使得平面与平面夹角的余弦值为．  【解析】本题考查直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，属于较难题． 证出平面，以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，根据是平面的一个法向量，利用，，即可求出结果； 求出平面的法向量，连接，根据平面，求出平面的法向量，利用，，即可求出结果． 19.本小题分 设函数，为的导数．     讨论函数的最值；     若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】解：由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，即为最大值且最大值为， 无最小值． 综上所述，当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． 当时，，代入，得 得， 因为，所以，所以， 所以 令，则 由知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 而 所以在上存在唯一零点，且． 故在上也存在唯一零点且为， 当时，；当时，， 所以在上， 由，得， 所以，所以， 由于式等价于， 所以整数的最大值为．  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及函数的最值，考查利用导数研究恒成立问题，属于难题． 求出，对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； 将不等式转化为，恒成立，令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $