河南省百师联盟2026届高三下学期模拟预测数学试题

数 学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知平面向量，均为单位向量，若，则 A．1 B．2 C．4 D．8 3．若，则 A． B． C． D． 4．已知数列满足对任意的，都有．若，则 A．18 B．22 C．24 D．29 5．风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中v为轮毂高度风速，单位：，n为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：，，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 6．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为，被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则 A．1 B．2 C． D． 8．在长方体中，，．现以为球心，以为半径作球，则球的球面与该长方体的表面相交所得到的曲线的长为（参考数据：） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有 A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 10．我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有 （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法正确的有 A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为________． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线的离心率为________． 14．已知数列的前项和为，，且数列的前10项和为550，则________．（参考公式：） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B; （2）若，的面积为，求c． 16．（15分）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 （1）求变量y与x的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求y关于x的经验回归方程； （2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望． 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 17．（15分）如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，的最大值与最小值之和为7． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点． ①若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点； ②在①的条件下，当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 19．（17分）已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根，． ①求实数的取值范围； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案及评分意见 1.B【解析】.B={x|x(x-2)<0}={x0<x<2},∴.CRB=(-∞，0]U[2,十o∞)，∴.A∩(CRB)={-2,-1, 2}.故选B. 2.A【解标】因为(a十2b)a,所以(a+2b)a=三a2+2a·b=0.因为a是单位向量，所以a·b三号 所以|a十b|=√(a+b)=√a2+b2+2a·b=1.故选A. 3A【解折1sin2a=cor(复-2a-cos[2(任-cj]1-2sin(任-a-1-2x合)'=号放选A 4.D【解析】当i=2,j=4时，a4-a2=3×(4-2)=6.因为a4=13,所以13-a2=6,解得a2=7.当i=4,j=7时， a7一a4=3×(7-4)=9.因为a4=13,所以a7-13=9,解得a7=22.所以a2十a7=29.故选D. 5B【解析】将。=32代人方程gn=号go十元得1g0=号g32+六≈1.05，所以=10=10X106≈ 2 1 11.2,即风力等级约为11级.故选B. 6D【解析】设事件A表示“芯片为合格芯片”，事件A表示“芯片为瑕疵芯片”，事件B表示“芯片被标记为合格 品”，事件B表示芯片被标记为暇统品，则P(B)-号，P(B)-号，P(aB)=P(AB)=0所以P(aB)= 1一PAB)=品所以Pa)=P)+PIPB)=×+品×号-器放选D, 7B【解析1如图，因为直线AF的倾斜角为，AB1,所以AB=AF,∠BAF=∠AFz=买 设准线I与x轴交于点E,则坐标原点O是线段EF的中点.因为BE∥OC,所以点C是线段BF的中点，所以 AC⊥BF,所以△ACF是直角三角形，AF为斜边，所以AF是Rt△ACF的外接圆的直径.由题意得|AF|π= 2(2-√2)π，解得|AF|=2(2-√2).过点A作AD⊥x轴于点D,则|ED|=|AB|=|AF|. 在R△ADF中，∠AD-,所以FD=AF1o-号AF 所以力=EF1=|EDI+|DF=|AF1+51AF1=2E1AF1=2+2X2(2-2)=2,即力=2.故i选B, 2 2 8.A【解析】由题意，长方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线长为√32+32+2=√22>√13，所以球O与以C1为 顶点的三个面均有交线因为AB=3,所以在面BCCB1内的交线是以点B为圆心，2为半径，圆心角为的弧， 弧长为2×2=元同理，在面DCCD内的交线长为x,在面A:B:CD,内的交线是以点A:为圆心，3为半径，圆 心角为的弧，弧长为×8-经因为AB,=AD,=V尽+7-区，所以球0与面ABB,A:和面AD,A,无 交线.在面ABCD中，设以点A为圆心，/I3为半径的圆分别交CD,BC于M,N两点，则∠BAN=∠DAM, 数学第1页（共7页）③A 且∠BAN=后所以∠AN=f经-2∠BAN-coe2∠BAN=2au∠AN-1-2x[品 W13 所以∠MAN-吾，所以∠MAN所对的弧长为Y综上，曲线的长为云+x十+-店+ 15 8 故选A m.3m. 9.BC【解析】因为之= 十=一0+0，所以的嘘部为0放A错误 mi mi(3+i) 点P的坐标为 m 3m 10’10 ,因为0<m≤6，所以一0<0，>0，所以点P在第二象限，放B正确 3m、 因为1 3 =-3×(一0)所以点P在直线y=-3x上，故C正确， m (3m 2 因为0<m≤6，所以|z|= W10 10 (10 10m,所以当m=6时，z的值最大，为30， 5,故D错误故 选BC. 10.BCD【解标J因为X~N:(120,36,即A=120,01=6,所以P(X>126)=P(X>41+1)≈1-0,6827≈ 2 0.16<0.5,故A错误.因为Y~N2(126,16),即42=126，o2=4,o号=16，所以E(2Y-1)=2E(Y)-1=22- 1=251,D(2Y-1)=4D(Y)=4o1=64,故B,C正确.P(X<138)=P(X<1+301)≈0.5+0.973≈ 2 0.99865>0.9,故D正确.故选BCD. 11.ACD【解析】当a=0时，f(x)=x2-x,x>0,则f(2)=2,f'(x)=2x一1，所以f'(2)=3,所以曲线y= f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0,故A正确.因为f(x)=x2-(2a十 1Dz十aln,x>0,所以f'e)=2x-(2a+1D+-2-1x-a.当a-号或a≤0时，f'()=0在0， 十∞)上仅有一根，此时函数f(x)不可能有两个极值点，故B错误.若f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=1 a=0,解得a=1,则f'x)=2x-1z-D解f'0)>0,得0<x<名或工>1解f'(x)<0,得2<x<1,所 以两数f)在@，)，1，十∞止均单调道塔，在（合，）小上单调递减，所以当x-时，f✉)服到极大值，为 f侣)-}含+1n合--1n2,枚C正确当a≤1时fx)≥0在1，e]上相成立，当且仅当a-1,= 时，等号成立，所以函数f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e2]上的最小值为f(1)=一2a,符合题意. 当1<a<e2时，当x∈(1，a)时，f'(x)<0,所以函数f(x)在[1，a]上单调递减；当x∈(a,e2)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在[a,e2]上单调递增.所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(a)<f(1)=一2a,不符合题意.当 a≥e2时，f'(x)≤0在[1，e]上恒成立，当且仅当a=e,x=e2时，等号成立，所以函数f(x)在[1，e]上单调递 减，所以f(x)在[1，e2]上的最小值为f(e2)<f(1)=-2a,不符合题意.综上，a≤1，故D正确.故选ACD 12.152 【解析】由题意，得正四棱台的上底面面积S'=42=16,下底面面积S=62=36,高h=2,所以正四棱台的 体积V-号×2X16+16X35+30)-152 13√3【解析】不妨设点A在第一象限，如图.因为点B为AF1的中点，AF2|=|BF1|,所以|AF,|=2|AF2|,所 以|AF1I-|AF2|=|AF2|=2a.因为点B为AF1的中点，坐标原点O为F1F2的中点，BO⊥F1F2,所以 AF,LF,F,所以点A的坐标为c,2a).因为点A在双曲线C上，所以器-1解得y名，所以2-2a,所 数学第2页（共7页）③A 以b2=2a',所以c2=a2十b2=3a2,所以双曲线C的离心率e=C=3. 14.4【解析】因为Sn=nam-n(n-1),所以当n≥2时，Sw-1=(n-1)am-1-(n-1)(n-2), 则am=Sn-Sn-1=nan-n(n-1)-[(n-1)an-1-(n-1)(n-2)], 化简得(n一1)am一(n-1)am-1=2(n-1),即am一am-1=2,所以数列{am}是公差d=2的等差数列， 所以S。=a1十n(n-1D=a1十n2-,所以2S.=2(a1十n-m）=5a1十10X1X21-55=5a,十330. t-1 n=1 6 由题意，得55a1十330=550，解得a1=4. 15.:(1)4c0sAC-4sin Asin C-22c0(A-C)-4sin Asin C 2 =2+2(cos Acos C+sin Asin C)-4sin Asin C =2+2(cos Acos C-sin Asin C)=2+2cos(A+C).…3分 因为A十B+C=π，所以cos(A十C)=-cosB, 所以2+2cos(A+C)=2-2cosB=1,解得cosB=2· 1 …6分 因为0<B<元，所以B=行 …7分 (2)由(1)得B= 3 因为cosC=2 0<C<,所以C-,所以A=-子-香-g …9分 由正弦定理，得b=csin B_Csin3 6 sin C 元 2C。…4.4.4。。4.4.04et+……00+t+………。10分 sin 4 因为A-如-n任+-号×+号×-5. 41 …11分 1 所以△ABC的面积S= 2bcsin A= ×。 2XcX6十2-3叶32………12纷 4 8 题意，得32=3十3，解得c22.……四 …13分 16,解：(1)由已知，得c=号×(14+15+16+17+18)=16， y-号×4+8+16+20+26)=14.8， 所以之(x:-x)2=(14-16)2+(15-16)2+(16-16)2+(17-16)2+(18-16)2=10,…3分 数学第3页（共7页）③A 含.-5 所以r 1240-5义16义14.8≈0.993.……5分 /10×√316.8 因为r≈0.993∈[0.75,1]，说明y与x的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合.…6分 x,y-5y 因为= 1240-5×16×14.8=5.6, (x-x) 10 =1 a=y-6x=14.8-5.6×16=-74.8, 所以y关于x的经验回归方程为y=5.6x一74.8.… …8分 (2)由(1)知，y=5.6x-74.8. 因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据， 所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示.…10分 每日光照时长x/h 14 15 16 17 18 合格采收量y/kg 8 16 20 26 预测值y 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组， 所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数X的所有可能取值为0,1,2.…11分 因为PX=0)=810P(X=1D 5,P(X=2)=CgC3 C号C2 C 所以X的分布列为 X 0 1 2 …14分 P 1 3 3 所以X的数学期里E(X)=0X。+1×号+2×品-日 1051 …15分 17.(1)证明：如图，取BC的中点M,连接DM -D 因为AD∥BC,AB⊥AD,BC=2,AB=AD=1, 所以BD=√2，BM=CM=1,所以四边形ABMD是正方形，所以DM⊥BC,DM=AB=1.…2分 在Rt△DMC中，CD2=DM2+CM2=2, 则在△BCD中，BC2=BD2十CD2,所以BD⊥CD.…3分 因为CF⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CF⊥BD,…4分 因为CF∩CD=C,CF,CDC平面CDF,所以BD⊥平面CDF.…5分 因为BDC平面BDF,所以平面BDF⊥平面CDF.…6分 (2)解：因为AE⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AD. 数学第4页（共7页）③A 又因为AB⊥AD,所以AB,AD,AE两两垂直.……7分 以点A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F(1,2,1), 所以BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),BF=(0,2,1).…10分 x m·BD=0, 一x十y=0, 设平面BDE的法向量为m=(x,y,之)，则 即 m·B龙=0， -x+2z=0. 令x=2,则y=2,之=1，所以m=(2,2,1).…12分 n·BD=0 设平面BDF的法向量为n=(a,b,c),则 即厂a+b=0, n·BF=0,2b+c=0. 令a=1,则b=1,c=-2,所以n=(1,1,-2).…14分 m·n_2×1+2×1+1×(-2)_√6 因为cos(m,n)=mn 3X√6 9, 、所以平面BDE和平面BDF夹角的余弦值为S,: …15分 18.(1)解：由题意，当AB为椭圆C的通径时，AB|的值最小； 当AB为椭圆C的长轴时，AB的值最大，为2a.…1分 把一6代人精圆C的方程，得若-1，结合=6，解程)= a, 2b2 所以|AB|的最小值为 a …2分 [2b2 +2a=7, 由题意，得{a a2=b2+1. a2=4, 解得 b2=3, 。所以椭圆C的标准方程为十1，……………………………5分 (2)①证明：由题意，设直线AB的方程为x=y一1(m≠0)，则直线DE的方程为x=一my-1.…6分 设A(x1,y1),B(x2y2). x=y-1, 由z2y2,消去x,整理得(3m2+4)y2-6my一9=0. 4+3=1, △=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,则y1+y2=3m2+4 6m 由题意，得yw=十y:=3m 23m2+4' 数学第5页（共7页）③A 4 4 所以x=myM一1=一3m十4则M 3m 、3m2+4'3m2+4 …8分 将点M坐标中的m用-1代换，得弦DE的中点N 4m2 3m m 4m2+3’4m2+3 …9分 4 4m2 解一3m十44n+3得m2=1,所以 4 3m2+4 7,所以直线MN的方程为x=一 4 7…10分 3m 3m 当m2≠1时，直线MN的斜率kMw= 3m2+44m2+3 4 4m2=4(m2-1)）' 3m2+44m2+3 3m 7m 所以直线MN的方程为y3m2十44(m2-1[文十3m十4 ,整理得y= 7m 所以直线MN过点（号0 …12分 综上，直线AMv过定点R(兰，0 …13分 ②解：由题意，得△MNF,的面积S=号E,R·ywyw=×(+) 3md+m3 1 m3+ml m+- 33 33 212m4+25m2+122 …14分 12(m+)+25 设m+1 =1,则>2，S=33.t 33 m =2‘122+1=2 1 …15分 12t+ 由对勾函数的性质，得函数y=12+在[2，十©)上单调递增， 所以当：=2，即m=士1时，S取得最大值，为号脚△MNF:面积的最大值为器 此时，两直线l1和12的斜率分别为士1.…………17分 19.(1)解：因为f(x)=mx+xlnx+1,x>0,所以f'(x)=m+lnx+1.… …1分 因为函数y=f'(x)在(0，十∞)上单调递增，解f'(x)=0得x=em-1, 所以当0<x<em-1时，f'(x)<0,当x>em-1时，f'(x)>0.…3分 所以函数f(x)在(0，em-1)上单调递减，在(em-1,十∞)上单调递增.…4分 (2)①解：方程f(x)=e,即mx+xlnx+1=e,x>0, …5分 设g)-兰-1加x一士>0，则方程了)=心有两个根x,即西数8红)的图象与直线y=m有两个不 同的交点…6分 因为g'(x)=x-1De-1+1-e-1)(e-1) ,x>0, 当>0时，>0 所以当0<x<1时，g'(x)<0,当x>1时，g'(x)>0. 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 数学第6页（共7页）③A 所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，也是最小值.……8分 因为g(1)=e-1,当x→0时，g(x)→+∞，当x→十∞时，g(x)→十∞， 所以m>e-1,即实数m的取值范围是(e一1，十∞).…10分 ②证明：由①可知，m=e 1 t-In- x1 则证不等式，na号即+n, 不-nx-12 x12 x,-12 转化为证ln(x1x)<e x12· …12分 x-2x>0,则h'(x)=x-1)(e-x-1) 令x)=g-王-15 令m(x)=e-x-1,则m'(x)=e-1. 因为m'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 所以m(x)在(0，+∞)上单调递增，所以m(x)>m(0)=0, 所以当x>0时，e2-x-1>0. 所以当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0. 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 所以A（云)≥h(1）=6-2-经>0..14分 由①知gx)=g-1nx-1, x>0. 令n(x)=g(x) 8日)≥1，则ma)-a-1De0+-少 x2 令p(x)=e-xe2+x-1,则p'(c)=e-e2+1e2+1. 因为2l,所以2x)=e-e+2c+12e-e+c2+1-c2+1>0, x x 所以p(x)在[1，十∞)上单调递增，所以p(x)≥p(1)=0, 所以当x>1时，n'(x)>0. 所以n(x)单调递增，所以n(x)≥n(1)=0. 所以当>1时8a)>(任) 由0及题意可知，0x<1,所以ga,)-gu,>8() 0<,1且g(x)在0，）上单调递减，所以x 所以0<x1x2<1,所以ln(x1x2)<0.… 16分 所以In(1x)<0<e 所以x1+lnx<m一)， …17分 数学第7页（共7页）③A