专题02 代数式与整式（山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题02 代数式与整式（原卷版） 考点1 整式的混合运算 1．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C．D． 5．（2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 考点2 规律探索问题 1．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    2．（2020·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有 个三角形（用含的代数式表示）． 考点3 列代数式/因式分解 1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 2．（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山西大同·三模）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西晋中·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山西运城·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西大同·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西朔州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西朔州·三模）如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（   ）    A．统计思想 B．分类思想 C．函数思想 D．数形结合思想 9．（2025·山西临汾·一模）在数学实践课上，“智慧小组”将边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个平行四边形．如图所示，通过表示图中几何图形面积的方法进行推导和验证平方差公式，将抽象的数学知识变得直观，这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．统计思想 10．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 11．（2025·山西运城·模拟预测）在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题： 因式分解：． 解：设， 原式． 例题中体现的主要思想方法是（   ） A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 12．（2025·山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊 二、填空题 13．（2025·山西太原·一模）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 14．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵： 第1个点阵对应的等式为； 第2个点阵对应的等式为； 第3个点阵对应的等式为； 第4个点阵对应的等式为；⋯ 请按以上规律写出第n个点阵对应的等式： （用含n的等式表示）． 15．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有 个“”．（用含n的代数式表示） 16．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 17．（2025·山西晋中·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是 个． 18．（2025·山西长治·二模）下图是一组有规律的图案组成的“小鱼”图形，它由若干根火柴棒组成．第1个图案由8根火柴棒组成，第2个图案由14根火柴棒组成，第3个图案由20根火柴棒组成，第4个图案由26根火柴棒组成…依此规律，第n个图案由 根火柴棒组成（用含n的代数式表示）． 19．（2025·山西阳泉·二模）在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为 ． 20．（2025·山西·模拟预测）分解因式： ． 21．（2025·山西晋城·一模）分解因式： ． 22．（2025运城市一模）公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 23．（2025·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      24．（2025·山西大同·一模）计算： ． 25．（2025·山西·模拟预测）若，，则 ． 26．（2025·山西长治·模拟预测）计算的结果为 ． 27．（2025·山西晋中·一模）如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 28．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得 ． 29．（2025·山西·模拟预测）因式分解： ． 30．（2025·山西忻州·二模）分解因式： ． 31．（2025·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 32．（2025·山西大同·二模）若，则的值为 ． 33．（2025·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 三、解答题 34．（2025运城市模拟）计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值．，其中． 35．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 36．（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 37．（2025·山西运城·模拟预测）（1）计算：． （2）化简：． 38．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示：   如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______； A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：； (3)若是的一个因式，则 ． 39．（2025·运城市·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 40．（2025·山西吕梁·一模）（1）计算： （2）化简： 41．（2025·山西太原·三模）计算： (1) (2)已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是 ． 请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值． 42．（2025·山西吕梁·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 妙用平方差公式解决问题 学完平方差公式后，王老师展示了以下例题： 例计算：． 观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算， 为使等式恒成立，需将式子整体再乘2． 解：原式 ． 以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程， 任务： (1)请仿照上述方法计算：； (2)请认真观察，计算：． 43．（2025·山西晋城·一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．” 以下是数学中常见的一个问题： 若，则的最大值是多少？ 设，，则． …… 以下是物理中的一个问题： 物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为和的两个电阻，串联电路的电阻公式为，并联电路的电阻公式为．在某一段电路上测得两个电阻的和为．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？ 任务： (1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分． (2)若，两数的和为定值，则，满足______时，的值最大． (3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可） A．统计思想    B．分类思想    C． 模型思想 (4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______． 44．（2025·山西晋城·三模）计算： (1)； (2)分解因式：． 45．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 46．（2025·山西太原·二模）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现：若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时；还可以看作抛物线与轴有③______个交点时，数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式与整式（解析版） 考点1 整式的混合运算 1．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 2．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．（2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 5．（2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误． 故答案为C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键． 6．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）分别计算绝对值、乘方、加法及负整数指数幂，再计算有理数的乘法与减法即可； （2）分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键． 考点2 规律探索问题 1．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 2．（2020·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有 个三角形（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答． 【详解】解：由图形可知： 第1个图案有3+1=4个三角形， 第2个图案有3×2+ 1=7个三角形， 第3个图案有3×3+ 1=10个三角形， ... 第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形． 故答案为（3n+1）． 【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键． 考点3 列代数式/因式分解 1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 2．（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式除以单项式逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·山西·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，完全平方公式，积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·山西大同·三模）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘以多项式，多项式除以单项式以及平方差公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·山西晋中·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式；根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5．（2025·山西运城·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方运算，合并同类项，根据以上运算法则逐一分析即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B 6．（2025·山西大同·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加法、单项式除以单项式的运算和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式加法法则计算即可判定A；根据单项式除以单项式法则计算即可判定B、C；根据完全平方公式即可判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．（2025·山西朔州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据相关运算法则计算判断，即可解题． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 8．（2025·山西朔州·三模）如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（   ）    A．统计思想 B．分类思想 C．函数思想 D．数形结合思想 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：D． 9．（2025·山西临汾·一模）在数学实践课上，“智慧小组”将边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个平行四边形．如图所示，通过表示图中几何图形面积的方法进行推导和验证平方差公式，将抽象的数学知识变得直观，这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．统计思想 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的推导以及数学思想，根据图形中的等量关系推导出平方差公式，属于数形结合思想．结合图象可以知道前后两个图形的面积相等，即两种不同的面积表示方式，根据面积相等即可推导出平方差公式，属于数形结合的数学思想． 【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出平方差公式，属于数形结合思想． 故选：A． 10．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果． 【详解】解： ， ， 当，时， ， 原式=， 故选；． 11．（2025·山西运城·模拟预测）在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题： 因式分解：． 解：设， 原式． 例题中体现的主要思想方法是（   ） A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 【答案】B 【分析】本题主要考查了分解因式，对解答的过程进行分析，结合相应的思想方法进行判断即可． 【详解】解：根据分解因式的过程可知，把看做一个整体，通过多项式乘以多项式的计算法则先去括号，然后合并同类项后利用完全平方公式分解因式，体现的主要思想方法是整体思想， 故选：B． 12．（2025·山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊 【答案】A 【分析】本题考查了数形结合思想的应用，根据图形中的等量关系推导出因式分解，属于数形结合思想． 【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出，属于数形结合思想． 故选A． 二、填空题 13．（2025·山西太原·一模）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律． 【详解】解：第1个图案有4个正方形，即， 第2个图案有7个正方形，即， 第3个图案有10个正方形，即， …… 以此类推，第个图案有个正方形， 故答案为：． 14．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵： 第1个点阵对应的等式为； 第2个点阵对应的等式为； 第3个点阵对应的等式为； 第4个点阵对应的等式为；⋯ 请按以上规律写出第n个点阵对应的等式： （用含n的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．根据前面的等式的规律得到第n个点阵图中点的个数共有个，它有从1开始的n个连续奇数的和，即可得出结论． 【详解】解：第n个点阵对应的等式：． 故答案为：． 15．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有 个“”．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案找出规律即可． 【详解】 解：第1个图案中有：个， 第2个图案中有：个， 第3个图案中有：个， 第4个图案中有：个， …… ∴第n个图案中有个； 故答案为： 16．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律即可求解． 先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， …… 则第个图形，正三角形的个数为： 故答案为：． 17．（2025·山西晋中·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是 个． 【答案】28 【分析】本题考查了图形类规律题，找出规律是解题的关键． 根据氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷有4个氢原子，， 乙烷有6个氢原子，， 丙烷有8个氢原子， ， 以此类推，则十三烷的分子结构模型中氢原子的个数：， 故答案为：28． 18．（2025·山西长治·二模）下图是一组有规律的图案组成的“小鱼”图形，它由若干根火柴棒组成．第1个图案由8根火柴棒组成，第2个图案由14根火柴棒组成，第3个图案由20根火柴棒组成，第4个图案由26根火柴棒组成…依此规律，第n个图案由 根火柴棒组成（用含n的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意，第1个图案由根火柴棒组成，第2个图案由根火柴棒组成，第3个图案由根火柴棒组成，第4个图案由，依此规律，得到第n个图形中火柴根数为． 本题考查了整式的加减中规律探索，熟练掌握规律探索的基本方法是解题的关键． 【详解】根据题意，得第1个图案由根火柴棒组成，第2个图案由根火柴棒组成，第3个图案由根火柴棒组成，第4个图案由，依此规律， 故第n个图形中火柴根数为． 故答案为：． 19．（2025·山西阳泉·二模）在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式的加减．通过观察分析，得出图中数的规律为：下一行数比同列上一行数大7，右列的数比同行左列的数大1，据此列式即可． 【详解】解：由图可知：这四个数分别为：x，，，， ∴这四个数的和． 故答案为：． 20．（2025·山西·模拟预测）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、分解因式，先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（2025·山西晋城·一模）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，最后根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 22．（2025运城市一模）公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积，计算即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， 这个花坛的面积将增加： ． 故答案为：． 23．（2025·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． 24．（2025·山西大同·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先运用多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．（2025·山西·模拟预测）若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：5． 26．（2025·山西长治·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】 ， 故答案为：2． 27．（2025·山西晋中·一模）如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，掌握平方差公式是解题关键．用矩形的面积减去小正方形的面积列式，再化简即可． 【详解】解：这个舞台的面积为， 故答案为：． 28．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故答案为： 29．（2025·山西·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式以及平方差公式是解题的关键．先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（2025·山西忻州·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 31．（2025·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 32．（2025·山西大同·二模）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值．将整理得，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 33．（2025·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解并作答即可． 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 三、解答题 34．（2025运城市模拟）计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值．，其中． 【答案】(1) (2)，12 【分析】此题考查了实数的混合运算，整式加减混合运算—化简求值，正确掌握实数混合运算的计算法以及整式加减混合运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根的性质化简，再计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后根据非负数的性质，可得，再代入化简后的结果，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， 解得：， 当时，原式． 35．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）把看成整体，先合并，再代入计算即可； （2）把看成整体，先合并，再代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 36．（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据计算解答即可； （2）利用完全平方公式展开，多项式乘以多项式，解答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，完全平方公式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 37．（2025·山西运城·模拟预测）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算乘方和零指数幂，再算乘法和除法，最后算加法即可； （2）先将中括号中的式子展开后合并同类项，最后算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 38．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示：   如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______； A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：； (3)若是的一个因式，则 ． 【答案】(1)B (2)，见解析 (3)11 【分析】（1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想， （2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解， （3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为，即可求解， 本题考查了多项式的除法，解题的关键是：掌握多项式除多项式的运算规则． 【详解】（1）解：根据由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B， （2）解： 故答案为：， （3）解： ∵余式为，， ∴商式的最后一项为，，解得：， 故答案为：． 39．（2025·运城市·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊角三角函数的取值和实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握锐角三角函数以及实数的混合运算法则，分式运算法则即可解题． （1）代入锐角三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可； （2）运用分解因式化简分式，再代入的值即可解题． 【详解】（1）解：原式； 解：原式 ； 当时，原式． 40．（2025·山西吕梁·一模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握实数的混合运算和整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式化简、负整数指数幂，再进行四则运算即可； （2）利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 41．（2025·山西太原·三模）计算： (1) (2)已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是 ． 请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值． 【答案】(1) (2)①和③，化简结果为，多项式A的值为23 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，算术平方根和零指数幂，再进行四则运算即可； （2）由解题步骤可知①一次项系数应为4，③去括号时未变号；根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将整体代入化简后的式子求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①应为，③应为． 故答案为：①和③； ． 当时，原式． 42．（2025·山西吕梁·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 妙用平方差公式解决问题 学完平方差公式后，王老师展示了以下例题： 例计算：． 观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算， 为使等式恒成立，需将式子整体再乘2． 解：原式 ． 以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程， 任务： (1)请仿照上述方法计算：； (2)请认真观察，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）将2转化成后，利用平方差公式和题中的规律计算即可得到结果； （2）首先根据平方差公式计算，然后计算括号内，然后计算有理数的乘法求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 43．（2025·山西晋城·一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．” 以下是数学中常见的一个问题： 若，则的最大值是多少？ 设，，则． …… 以下是物理中的一个问题： 物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为和的两个电阻，串联电路的电阻公式为，并联电路的电阻公式为．在某一段电路上测得两个电阻的和为．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？ 任务： (1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分． (2)若，两数的和为定值，则，满足______时，的值最大． (3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可） A．统计思想    B．分类思想    C． 模型思想 (4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)C (4)3.75 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、有理数混合运算、平方差公式等知识，解题关键是正确理解题意，运用二次函数的性质解题． （1）根据二次函数的性质，即可获得答案； （2）令，两数的和为定值，结合题意，可设，，易得，即可获得答案； （3）根据题意分析即可； （4）结合以上结论可知，当时，取最大值，然后求解即可． 【详解】（1）解：按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分如下： ∵， ∴当时，取最大值，最大值为1； （2）令，两数的和为定值， 设，， 则， ∴当时，取最大值为，此时， ∴若，两数的和为定值，则，满足时，的值最大． 故答案为：； （3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想． 故选：C； （4）由以上结论可知，当时，取最大值， ∴， ∴． 故答案为：3.75． 44．（2025·山西晋城·三模）计算： (1)； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂及括号里的有理数加法运算，再计算有理数乘法运算，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算及分解因式，涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂、有理数乘法运算法则、有理数加减运算法则、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式等知识，熟记相关公式及运算法则是解决问题的关键． 45．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. 46．（2025·山西太原·二模）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 【答案】（1）①，②有两个相等的实数根，③一；（2）：或6；（3）：用配方法求二次函数的顶点坐标 【分析】本题考查完全平方公式，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据给定的等式得出规律求①，根的判别式求②，抛物线与轴的交点个数求③； （2）根据规律列出一元二次方程，求解即可； （3）配方法求二次函数的顶点坐标． 【详解】解：（1）多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为， ∴， ∴可以看成一元二次方程根的情况为有两个相等的实数根，也可以看成抛物线与轴有一个交点； 故答案为：①，②有两个相等的实数根，③一； （2）由题意，可得：， 解得：或； （3）例如：用配方法求二次函数的顶点坐标． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$