21.3.1 矩形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦矩形的概念、性质、判定及直角三角形斜边上中线性质，通过回顾平行四边形判定方法（性质→逆命题→猜想→证明）导入，以问题驱动建立特殊与一般的知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于结合工人测量矩形门窗对角线的生活实例培养数学眼光，通过性质逆命题探究和严格证明发展推理思维，练习设计（如等边三角形面积计算）强化数学语言应用。助力学生提升推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十一章 四边形 21.3.1 矩形 学习目标 1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系， 体会特殊与一般之间的关系． 2. 探究矩形的性质和证明条件，提高学生的推理能力． 3. 利用矩形的性质定理进行证明和计算． 4. 掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它求线段长 或解决线段的倍分关系问题． 问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 思考：你还有其他的判定方法吗？ A B C D 探索新知 性 质 猜 想 判定定理 逆命题 证明 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？ 同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 注意对角线相等的四边形不一定是矩形. 等腰梯形的两条对角线也相等. 下面我们来一起验证一下： 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°，∴∠C=90°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 数学来源于生活 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 练 习 如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积. A B C D O 提示： （方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC. （方法二）S▱ABCD = 4 S△OAB . 【选自教材第71页 练习 第2题】 探究新知 【思考】至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C （有一个角是直角） A B D C （有二个角是直角） A B D C （有三个角是直角） (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 【猜想2】有三个角是直角的四边形是矩形. 探究新知 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. C B A D 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴ AD//BC， AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 跟踪训练2　(1)如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠BAO=55°，则∠AOD等于 A.110° B.115°　　　　 C.120°　 D.125° √ 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分，∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=55°， ∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°. (2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，且交CB的延长线于点E，求证：∠EAB=∠CAB. 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB. ∴∠OAB=∠OBA. ∵AE∥BD， ∴∠EAB=∠OBA. ∴∠EAB=∠CAB. 练 习 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ） B 2.求证：四个角都相等的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明：由四边形的内角和为360°， 得∠A+∠B+∠C+∠D=360°. ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 【选自教材第71页 练习 第1题】 B 例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (2)求证：EF垂直平分AD. 证明　∵DE=AE，DF=AF， ∴E，F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 反思感悟 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解. 返回 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线相互平分 C 20 返回 【点拨】题图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个． 【答案】C 21 16 解析：A.测量是否有三个角是直角，能判定四边形是矩形，则此项符合题意； B.测量对角线是否相等，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； C.测量两组对边是否分别相等，能判定四边形是平行四边形，但不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； D.测量对角线是否互相垂直，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； 故选：A. 练习2 四边形 中, 、 相交于点O,且 , ,若要使四边形 成为矩形,则可添加的条件是( ) A. B. C. D. 练习6 如图，矩形 中， 、 交于点O，M、N分别为 、 的中点.若 ，则 的长为______. 解析： M、N分别为 、 的中点， ， 四边形 是矩形， ，故答案为16. 练习7 如图，四边形 是矩形，点E和点F在边 上，且 . 求证： . 解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ . $