21.3.1矩形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形　 　21.3.1　矩　形 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.(重点) 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.(难点) 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.(重点) 课堂引入 回顾一下平行四边形及其边、角、对角线都有哪些性质. 问题1　如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？ 提示　我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，会得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示. 问题2　因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本等)的四个角度数和对角线的长度，并记录测量结果. 根据测量结果证明以下猜想. (1)猜想1：矩形的四个角都是直角； 材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 活动1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. A B C D O 观察猜想 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 下面我们来一起验证一下： 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°，∴∠C=90°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 知识梳理 1.矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫作 ，矩形也就是长方形. 2.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： (1)矩形的四个角都是 ； (2)矩形的对角线 . 几何语言： 如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 直角 矩形 直角 相等 例1　下列选项中，矩形具有的性质是 A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 √ 归纳总结 矩形的性质 矩形的对角线相等. 符号语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. C B A D O 探究新知 【思考】矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ A B D C 矩形是轴对称图形. 它有两条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线. 跟踪训练2　(1)如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠BAO=55°，则∠AOD等于 A.110° B.115°　　　　 C.120°　 D.125° √ 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分，∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=55°， ∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°. (2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，且交CB的延长线于点E，求证：∠EAB=∠CAB. 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB. ∴∠OAB=∠OBA. ∵AE∥BD， ∴∠EAB=∠OBA. ∴∠EAB=∠CAB. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证：BO= AC. A B C O D 证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD. ∵OA = OC，OD = OB， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD，∴BO= BD= AC. 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4， 则 AB 的长为 （ ） A. 8　　　B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2 A 1.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是 A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 课堂练习 √ 2.如图，直线EF∥MN，PQ分别交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 √ 课堂练习 D 返回 1．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是(　　) A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 A 20 归纳总结 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定. 四边形 有三个角是直角 矩形 对角线互相平分且相等 矩形 平行 四边形 对角线相等 矩形 有一个角是直角 矩形 解析： , , 四边形 是平行四边形, , 四边形 是矩形.故B选项符合题意, 由 无法判断平行四边形 是矩形.故A选项不符合题意, 由 无法判断平行四边形 是矩形.故C选项不符合题意, 由 无法判断平行四边形 是矩形.故D选项不符合题意, 故选：B. 练习3 在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形.如图，已知书架是平行四边形，对角线 ， 相交于点O，下列验证方法错误的是( ) A. B. C. D. 练习5 如图，四边形 是平行四边形，C是EF边上一点，点B在 FE的延长线上，且 ， .求证：四边形 是矩形. 证明： 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是平行四边形； EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是矩形 练习6 如图，在 中， 于点E， 于点F，求证：四边形 是矩形. 证明： EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 为矩形. $