专题01 二次根式7高频考点63题（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学下学期

**基本信息** 二次根式专题期末试题汇编，涵盖7个高频考点，精选安徽多地期末真题，注重基础巩固与能力梯度，含规律探究、几何应用等综合题型。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|25|二次根式有意义条件、最简根式判断|基础考点重复考查，适配期末复习| |填空|10|性质化简、同类根式|结合具体数值，强化概念辨析| |解答|28|混合运算、规律探究、化简求值|含裂项求和（如30题）、几何应用（如28题），呼应中考命题趋势|

专题01 二次根式 高频考点概览 考点01二次根式有意义的条件 考点02利用二次根式的性质化简 考点03最简 / 同类二次根式判断 考点04乘除运算 + 分母有理化 考点05加减运算（含裂项求和） 考点06混合运算与规律探究 考点07化简求值（含裂项求和） 考点01 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：， ． 故选：A 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0．根据二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若式子有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数大于等于求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如果式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，正确把握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解这个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数。 解得：， 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了分式有意义，二次根式有意义，求函数自变量的取值范围需考虑分母不为零和被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 即且， 故选：D． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）代数式有意义的条件是______． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数及分式中分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数及分式中分母不为0建立不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴且． 故答案为：且． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如果有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开负数为非负数是解题的关键． 由被开负数为非负数可得不等式，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵使在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故答案为： 考点02 利用二次根式的性质化简 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 10．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了实数的运算，算术平方根，二次根式的化简．根据算术平方根，二次根式的化简以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、二次根式被开方数应该为非负数，无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 11．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查实数的运算，涉及平方、平方根、负号处理及负指数幂等知识点．需逐一计算各选项的结果，判断其符号． 【详解】解：选项A：，结果为正数，不符合题意； 选项B：，结果为正数，不符合题意； 选项C：，结果为正数，不符合题意； 选项D：，结果为负数，符合题意； 故选：D． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，那么化简的结果是（   ）． A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．由可得出，进而可得出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若，则化简的结果是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简等知识点，根据题意得到，，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ ， 故选：B． 15．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）化简：________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 直接运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 【答案】(1)（n为正整数）；证明见解析 (2)1 【知识点】利用二次根式的性质化简、异分母分式加减法 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算， （1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明； （2）利用（2）中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）（n为正整数） 证明：左边， ∵n为正整数， ∴左边右边， ∴猜想成立． （2）原式 ． 18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． 故答案为：小亮； （2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． 故答案为：当时，； （3）， ． 原式． 考点03 最简 / 同类二次根式判断 19．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 20．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并． 将各选项化为最简二次根式即可解答． 【详解】解：， A、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； B、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不可以合并，符合题意； 故选：D． 21．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的化简． 根据最简二次根式的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、无法化简，是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选B． 23．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）以下二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】A、，不能与合并，故该选项不符合题意； B、，能与合并，故该选项符合题意； C、，不能与合并，故该选项不符合题意； D、，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 24．（24-25八年级下·安徽池州·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，需逐项判断即可得到答案． 【详解】解：选项A：，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项B：，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项C：，被开方数 = ，含分母，可化简为，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项D：，被开方数无法分解为平方数或含分母的形式，满足最简二次根式的条件，本选项符合题意； 故选：D． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中，不能再化简的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，二次根式的性质；掌握最简二次根式的概念是关键；判断二次根式能否化简的关键是检查被开方数是否存在平方因子或分母是否需要有理化． 【详解】解：A：，因，其中是平方数，故，可化简，不符合题意； B：，被开方数含有分母含，需有理化，，可化简，不符合题意； C：，因，其中是平方数，故，可化简，不符合题意； D：，是无理数且不含平方因子，无法进一步化简，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 26．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】4 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先将进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴． 故答案为：4． 27．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 【答案】2 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 考点04 乘除运算 + 分母有理化 28．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，为上一点，，，．求的长． 【答案】5 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，利用勾股定理分别计算，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，为上一点，，，， ∴，， ∴. 29．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知 ，，计算：的值． 【答案】14 【知识点】分式的求值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分式的求值， 首先利用分母有理化求出，，然后得到，，然后将分式通分代数求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 30．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：．根据上述规律，解决下列问题： (1)填空：_____，______（n为正整数）； (2)计算：． 【答案】(1)， (2)2025 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是掌握二次根式的分母有理化． （1）分子、分母同乘以即可求，分子、分母同乘以即可求； （2）分别将前面括号里的每项分母有理化，再相加，然后与后面括号的相乘即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：原式 ． 31．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】此题主要考查分母有理化，准确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 32．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一：； 方法二：； (1)化简：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化 【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案； （2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解：由题意可得， ， ． 【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法． 33．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． (2)小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． (3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简. （1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 34．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得 (1)由上述规律，直接化简：______； (2)用含n（且为整数）的式子表示______； (3)利用你发现的规律计算 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】根据二次根式分母有理化的化简方法去化简即可求解； 【详解】（1）； （2）； （3）原式； 【点睛】该题主要考查了二次根式分母有理化，解答的关键是掌握分母有理化的化简方法． 35．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如： 的有理化因式是，的有理化因式是． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如，． 【知识理解】 （1）填空： 的有理化因式是 ； （2）计算：；； 【启发运用】 （3）计算：． 【答案】（）；（），；（）． 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】（）由即可求解； （）分式中分子、分母同时乘以即可得出结论； 分式中分子、分母同时乘以即可得出结论； （）利用分母有理化化为即可； 本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，分母有理化，数字类的规律探索，熟练掌握分母有理数的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴的有理化因式是， 故答案为：； （） ； ； （）原式 ． 考点05 加减运算 （含裂项求和） 36．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可． 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 37．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）计算：__________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 38．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）计算：（－）－（－）． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先化简各式，再合并同类二次根式，即可． 【详解】解： ． 39．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 40．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】原式分别化简各二次根式，然后再合并即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，正确化简各式是解答本题的关键． 41．（2024八年级下·安徽安庆·期末）计算： 【答案】． 【知识点】二次根式的加减运算、负整数指数幂 【分析】根据二次根式的性质，绝对值性质，负整指数幂的法则进行计算，再根据实数加减法则计算即可. 【详解】, 解：原式=， =． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和绝对值的性质，负整指数幂的运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质，绝对值的性质，负整指数幂的运算法则. 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】4 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先算乘方，再算乘法，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】解： 43．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的加减，正确化简是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 考点06 混合运算与规律探究 44．（24-25八年级下·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，先根据二次根式的除法，二次根式的性质进行计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 45．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 46．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】先将每一个二次根式进行化简，然后根据乘法分配律计算乘法，然后计算减法． 本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【详解】解： ． 47．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘除法、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 48．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 49．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握是解题关键． 对于（1），先根据乘法分配律计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可； 对于（2），先根据零指数幂，负整数指数幂计算，同时去掉绝对值，再根据二次根式的加减法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 50．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据前面三个等式中各数字与序号数的关系写出第4个等式； （2）先根据数字变化规律得到为正整数），然后根据二次根式的性质进行证明． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得等式； 故答案为：； （2）解：为正整数，猜想等式可表示为． 证明如下： ． 故答案为：． 51．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】二次根式的混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：根据题目中前4个等式， 可以发现式子的变化特点， 那么第5个等式为； （2）解：猜想的第（n为正整数）个等式为，证明如下： 等式右边为， 因为等式左边为， 所以等式左边等于等式右边， 即． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 52．（24-25八年级下·安徽池州·期末）阅读下面的材料，解决下面的问题． ； ； ； …… (1)填空： （填最后的化简结果）； (2)根据你所发现的规律计算： ． 【答案】(1) (2)44 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子把分式的分母有理化即可； （2）根据题意找出规律进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： ． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 【答案】(1)6， (2) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键． （1）根据题意可得出，，再令求解即可； （2）由（1）可得出，再结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； （2）解：由（1）可知 ． 考点07 化简求值 （含裂项求和） 54．（2024八年级下·安徽池州·期末）当时，______． 【答案】2024 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】将代数式根据完全平方公式化简，再代入，根据二次根式的性质进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据代数式的特点利用完全平方公式化简是解题的关键． 55．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）若为的小数部分，则的值为____． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、无理数整数部分的有关计算 【分析】估算出在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间． 56．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，求的值． 【答案】13 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 57．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）已知x﹣，求x+的值． 【答案】±． 【知识点】已知条件式，化简求值、分式化简求值 【分析】根据完全平方公式、平方根的概念计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的运算，掌握完全平方公式是解题的关键． 58．（2025八年级下·安徽安庆·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】直接利用平方差公式将原式变形，进而代入数据求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题的关键． 59．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知，，求． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了因式分解，代数式的值，二次根式的化简，先将原式因式分解，再代入求值即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 把，代入得， 原式， ， ． 60．（2024八年级下·安徽淮南·期末）先化简，再求值：（m﹣）（m+）﹣m（m﹣6），其中m＝． 【答案】6m﹣3，6﹣3 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的乘除混合运算 【分析】直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则，再将的值代入即可得出答案． 【详解】解：原式＝m2﹣3﹣（m2﹣6m） ＝m2﹣3﹣m2+6m ＝6m﹣3， 当m＝时， 原式＝6﹣3． 【点睛】本题考查了平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则，二次根式的混合运算，掌握以上知识点是解题的关键． 61．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值：，其中： 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分母有理化 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 62．（2024八年级下·安徽池州·期末）小明在解决问题，已知a＝，求2a2﹣8a＋1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝； ∴a﹣2＝﹣； ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a＋4＝3； ∴a2﹣4a＝﹣1； ∴2a2﹣8a＋1＝2（a2﹣4a）＋1＝2×（﹣1）＋1＝﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　　； （2）若a＝，求3a2﹣18a＋5的值． 【答案】（1）﹣；（2）8 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】（1）直接找出分母有理化因式，进而化简得出答案； （2）直接找出分母有理化因式，再将原式变形，进而化简得出答案． 【详解】解：（1）＝＝﹣； 故答案为：﹣； （2）∵a＝＝＝＋3， ∴3a2﹣18a＋5 ＝3（a2﹣6a）＋5 ＝3[（a﹣3）2﹣9]＋5 =3+5=8 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化、整式的化简求值等知识点，利用平方差公式分母有理化是解题的关键． 63．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： 即 ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________． (2)化简． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值： （1）直接分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先求出，据此把所求式子裂项计算即可； （3）先求出∴，进而得到，则，再把所求式子变形为，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 高频考点概览 考点01二次根式有意义的条件 考点02利用二次根式的性质化简 考点03最简 / 同类二次根式判断 考点04乘除运算 + 分母有理化 考点05加减运算（含裂项求和） 考点06混合运算与规律探究 考点07化简求值（含裂项求和） 考点01 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若式子有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如果式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）代数式有意义的条件是______． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如果有意义，则实数的取值范围是______． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 考点02 利用二次根式的性质化简 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 10．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，那么化简的结果是（   ）． A． B．1 C． D． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若，则化简的结果是（    ） A． B．7 C． D． 15．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）化简：________． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为______． 17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 考点03 最简 / 同类二次根式判断 19．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）以下二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·安徽池州·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中，不能再化简的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若与最简二次根式可以合并，则______． 27．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 考点04 乘除运算 + 分母有理化 28．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，为上一点，，，．求的长． 29．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知 ，，计算：的值． 30．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：．根据上述规律，解决下列问题： (1)填空：_____，______（n为正整数）； (2)计算：． 31．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 32．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一：； 方法二：； (1)化简：； (2)计算：． 33．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． (2)小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． (3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 34．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得 (1)由上述规律，直接化简：______； (2)用含n（且为整数）的式子表示______； (3)利用你发现的规律计算 35．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如： 的有理化因式是，的有理化因式是． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如，． 【知识理解】 （1）填空： 的有理化因式是 ； （2）计算：；； 【启发运用】 （3）计算：． 考点05 加减运算 （含裂项求和） 36．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）计算：__________． 38．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）计算：（－）－（－）． 39．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 40．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 41．（2024八年级下·安徽安庆·期末）计算： 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 43．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 考点06 混合运算与规律探究 44．（24-25八年级下·安徽六安·期末）计算：． 45．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 46．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 47．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 48．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算 (1)； (2)． 49．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 50．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 51．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 52．（24-25八年级下·安徽池州·期末）阅读下面的材料，解决下面的问题． ； ； ； …… (1)填空： （填最后的化简结果）； (2)根据你所发现的规律计算： ． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 考点07 化简求值 （含裂项求和） 54．（2024八年级下·安徽池州·期末）当时，______． 55．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）若为的小数部分，则的值为____． 56．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，求的值． 57．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）已知x﹣，求x+的值． 58．（2025八年级下·安徽安庆·期末）已知，，求代数式的值． 59．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知，，求． 60．（2024八年级下·安徽淮南·期末）先化简，再求值：（m﹣）（m+）﹣m（m﹣6），其中m＝． 61．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值：，其中： 62．（2024八年级下·安徽池州·期末）小明在解决问题，已知a＝，求2a2﹣8a＋1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝； ∴a﹣2＝﹣； ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a＋4＝3； ∴a2﹣4a＝﹣1； ∴2a2﹣8a＋1＝2（a2﹣4a）＋1＝2×（﹣1）＋1＝﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　　； （2）若a＝，求3a2﹣18a＋5的值． 63．（23-24八年级·安徽合肥·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： 即 ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________． (2)化简． (3)若，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $