专题07 （特殊）平行四边形期末压轴5高频题型60题（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形期末压轴，以5类高频题型为载体，系统整合证明计算、折叠变换、动点探究、多结论判断及最值模型的解题方法，构建从性质应用到综合创新的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明+计算|13小题|先证特殊四边形（菱形/平行四边形），再用性质求边长/面积/角度|以平行四边形性质为基础，递进至菱形判定与对角线计算| |折叠问题|15小题|矩形折叠用坐标方程，菱形（正方形）折叠证全等|结合图形变换与几何性质，强化空间观念与推理能力| |动点综合|11小题|单/双动点探究平行/垂直/等腰/面积定值，用参数表示动态关系|以静制动，通过方程思想实现几何直观与代数运算结合| |多结论选择|11小题|正方形背景下4-5个结论判断，聚焦易错点辨析|综合正方形性质、全等判定及图形变换，培养批判性思维| |最值问题|10小题|应用将军饮马、垂线段最短模型，转化线段和差|基于几何性质构建最值模型，发展模型意识与应用能力|

专题07 （特殊）平行四边形期末压轴5高频题型 题型1 证明 + 计算：先证特殊四边形，再求边长 / 面积 / 角度 题型2 折叠问题：矩形折叠求坐标、菱形（正方形）折叠证全等 题型3 动点综合：单 / 双动点，探究平行 / 垂直 / 等腰 / 面积定值 题型4 多结论选择：正方形背景下 4–5 个结论判断（易错） 题型5 最值问题：将军饮马、垂线段最短。 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 证明 + 计算（共13小题） 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 5．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求四边形的面积． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 9．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 11．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 12．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 13．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，，，，求的长． 题型二 折叠问题（共15小题） 14．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，将矩形纸片放入以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结，将纸片沿折叠，使得点C落在边上点处，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________． 16．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 17．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为___． 18．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，平面直角坐标系中，．四边形为矩形，将四边形沿折叠，点B的对应点为点D，连接交y轴于点M，则点M坐标为________． 19．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如下图，在平面直角坐标系中，有一矩形，其中，若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是________． 20．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，点为边上一点．将矩形沿折叠，若点的对应点落在边上，则此时点的坐标为_____ 21．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为__________． 22．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______． 23．（24-25八年级下·江西上饶·期末）已知点，，，连接得到矩形，点在边上，将边沿折叠，点的对应点为．若点到矩形较长两对边的距离之比为，则点的横坐标为___________． 24．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 25．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 26．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 27．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F． 【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得． 【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长． 28．（24-25八年级下·福建泉州·期末）实践探究： 主题 特殊四边形的几何变换 素 材 用两张全等的直角三角形的纸片，把它们的一条直角边重合在一起（如图1）已知，，．由全等可知，，，所以四边形是平行四边形． 实 践 探 究 平移 ①如图2，把沿平移得到，点在线段上，经过的顶点C，与交于点E，与交于点F． 任务一  求证：四边形是矩形； 对折 ②如图3，将沿直线对折，点B的对应点刚好落在线段上．     任务二  求证：四边形是菱形； ③如图4，若点M、N分别是、的中点，将沿直线对折，点B的对应点为． 任务三  求证：点在同一直线上； 旋转 ④如图5，绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点H． 任务四  求线段的长． 题型三 动点综合（共11小题） 29．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 30．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 31．（22-23八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 32．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． (1)求线段的长 （用含的代数式表示）． (2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 34．（23-24八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 35．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在梯形中，，E是上的一点，且，，，，．点P是线段边上一动点（包括B、C两点），设的长是x． (1)当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形． (2)当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形． (3)P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形． 37．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)直接写出边的长为________cm； (2)当四边形是矩形时，求t的值； (3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 38．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 39．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． (1)的长为______，的长为______； (2)连接，若将的面积分为两部分，求t的值； (3)若为等腰三角形，求t的值； (4)在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 题型四 多结论选择（共11小题） 40．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中， 对角线交于点O， E为上一点，， ， 垂足分别为F、G， 连接， 与交于点 H， 在下列结论中： ①； ②；③；④是等腰直角三角形；⑤，正确结论个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 41．（24-25九年级下·海南海口·期中）在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 42．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接，有下列4个结论①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，，对角线与交于点O，于点G，E为平面内一动点，且，F为中点，连接，．有下列说法：①；②取中点P，连接，则；③当四边形为正方形时，；④在点E运动过程中，的最小值为．其中正确的序号有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 44．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 45．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形，E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点D的对应点是点G，点C的对应点H在边上，与交于点M，连接．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在正方形中，点E为中点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接交于点G，延长交于点H，连接并延长交于点I，连接．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 47．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 48．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法： ①； ②、分别是、的角平分线； ③当时，的面积最小 其中正确说法的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 49．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．与的面积之和 50．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．    其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 最值问题（共10小题） 51．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是学校操场旁的一块空地，设计人员在规划绿叶用地时，过点作交于点，且平分，过点作交于点，交于点，线段上有一动点，过点作，交于点．若与之间距离为，，连接、，学校计划在点处安装一个摄像头，则摄像头分别到点、的距离之和的最小值是（   ）m． A．35 B． C． D． 52．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 53．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 54．（24-25八年级下·福建福州·期末）在矩形中，，，点为矩形内部的一点，，连接，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则长度的最大值是______． 55．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 56．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，，，则这两点间的距离可用下列公式计算：，例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下：，，．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如：，，．根据上述材料，完成下列题目： (1)已知，，则________； (2)如图①，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①________； ②连接，．求证：． (3)如图②，是的中线，若，，求周长的最大值． 57．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 58．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 59．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 60．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，O是矩形的对角线的中点，E为边的中点，连接．若，，求的周长； 【问题解决】 （2）如图2，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点E、F，，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点G，在点G处设计一个凉亭．连接，交于点H，在H处设计一口水井．老李想在H与D之间铺一条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，请求出长度的最小值． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07 (特殊)平行四边形期末压轴5高频题型 题型归纳·内容导航 题型1证明+计算：先证特殊四边形，再求边长/面积/角度 题型2折叠问题：矩形折叠求坐标、菱形（正方形）折叠证全等 题型3动点综合：单/双动点，探究平行/垂直/等腰/面积定值 题型4多结论选择：正方形背景下4-5个结论判断（易错） 题型5最值问题：将军饮马、垂线段最短。 题型通关·靶向提分 题型一证明+计算（共13小题） 1.(25-26八年级上云南昆明期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相 交于点E,与BC相交于点F,连接AF,CE. E B (1)求证：四边形AFCE是菱形： (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 【详解】(1)证明：EF是AC的垂直平分线， A0=C0,∠A0E=LC0F=90°； :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, :∠EA0=∠FC0, 在△A0E和aCOF中， ∠AOE=∠COF=90° OA=OC ∠EAO=∠FCO 1/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AOE≌△COF(ASA), E0=F0, 四边形AFCE是平行四边形， AC⊥EF, :四边形AFCE是菱形； (2)解：：四边形AFCE是菱形， :AF FC=CE=AE, :四边形AFCE的周长是40， .AF=FC=CE=AE=10, 设AC=2a、EF=2b, 则有2a+2b=28,0A=0C=a,0E=0F=b, .a+b=14, 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2=AE2, .a2+b2=102, (a+b)2=a2+b2+2ab, .102+2ab=142, 整理可得：ab=48, 1 .S菱形HrCE= AC.EF =x 4ab=2ab=96 2 2.(24-25八年级下·云南昆明期末)如图，ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、0分别是AC、 BC的中点，连接DO并延长至点E,，使得EO=DO,连接BD、BE、CE. B (1)求证：四边形DBEC是菱形； (2)若ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积. 【详解】(1)证明：：点0O是BC的中点， 0B=0C. :E0=D0, 2/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形DBEC是平行四边形. :△ABC是直角三角形，点D是AC的中点， :BD CD. ·四边形DBEC是菱形. (2)解：设AB=x,BC=y. :△ABC的周长为30，AB+BC=17, ∴.x+y=17,AC=13. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2 x2+y2=169 x+y=17 y=60 :点D、O分别是AC、BC的中点， .AB=20D :DE=20D, .AB=DE=x· 1 1 S边Dc三BC·DE=y=，X60=30 2 21 2 答：四边形DBEC的面积为30. 3.(23-24八年级下.安徽准南期末)如图，在。ABCD中，点E,F分别是AD,BC的中点，连接BE, DE. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形 (2)若BE平分∠ABC,AB=6,求ABCD的周长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC. :点E,F分别是AD,BC的中点， AE=DE=AD,BF=CF=BC. 3/105 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DE BF. 又：DE∥BF, :.四边形BEDF是平行四边形： (2)解：：BE平分∠ABC, ∠ABE=LEBC, 又：AD∥BC, ∴∠AEB=LEBC, .∠ABE=LAEB, .AE AB=6, .AD=2AE=12, 口ABCD的周长为2×(6+12)=36 4.(23-24八年级下·上海徐汇期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，点E 是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连结CF, B D (1)求证：四边形ADCF是菱形： (2)如果AC=6,四边形ADCF的面积是30，求AB的长， 【详解】(1)证明：：点E是AD的中点， .AE DE, :AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE, :∠AEF=∠DEB, :.△AEF≌△DEB(AAS), :AF =BD, :∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线， .AD=DB=CD=-BC, .AF DC, 4/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AF∥BC, :四边形ADCF是平行四边形， AD=DC, ADCF是菱形； (2)解：连结DF, 由(1)知AF=BD :AF∥BC :四边形ABDF是平行四边形， :AB DF, 1 S0cr=五4C,DF，即 ×6×DF=30, DF=10, .AB=DF=10 5.(23-24八年级下.湖南娄底·开学考试)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的 点，且LABE=∠CDF. 】 (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)连接CE,若CE平分∠DCB,DF⊥BC,DF=4,DE=5,求平行四边形ABCD的周长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， .AD /BC,AD BC,ZA=ZDCF,AB=CD, :∠ABE=LCDF, :△ABE≌△CDF(ASA), :AE=CF, :AD -AE BC CF,DE BF, DEI‖BF, 5/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形BEDF是平行四边形； (2)解：：四边形BEDF是平行四边形， :BF DE, :四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AD=BC,AD∥BC, ∠DEC=∠ECB, :CE平分∠DCB, .∠DCE=∠ECB, :ZDEC ZDCE, :DE =CD=5, :BF=DE =5, ·DF⊥BC, CF=VDC2-DF2=V52-42=3, :BC=BF+FC=5+3=8, :平行四边形ABCD的周长=2(BC+CD)=2×(8+5)=26. 6. (25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在梯形ABFE中，AE∥BF,AE=BF,若点C为BF的中 点，连接AC,BE交于点D. A D B (1)求证：四边形ACFE是平行四边形： (2)若ABC是等边三角形，且AE=3,求EF的长， 【详解】(1)解：：点C为BF的中点， .CF=1BF, 2 AE= w. :CF=AE, 又：AE∥BF, .四边形ACFE是平行四边形； 6/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：由(1)得，四边形ACFE是平行四边形， .AE CF=3,AC=EF, :点C为BF的中点， .BC=CF=3, :ABC是等边三角形， .AC=BC=3, .EF=AC=3. 7.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,AD的中点，点G,H 在对角线4C上，且AG=CH=}4C. 4 B (1)判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论： (2)若AF=5,AG=3,求四边形GEHF的面积. 【详解】(1)解：平行四边形： 证明：在菱形ABCD中，AD∥BC,AD=BC, ∠CAF=∠ACE, :点E,F分别是BC,AD的中点， CE=I BC,AF=IAD, 2 .AF =CE, 在△AGF和△CHE中， AG=CH ∠CAF=∠ACE, AF=CE ∴△AGF≌aCHE(SAS), GF=HE,∠AGF=∠CHE, :∠FGH=180°-∠AGF,∠EHG=180°-∠CHE, 7/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠FGH=∠EHG, GF∥HE, .四边形GEHF为平行四边形 (2)解：连接BD,交AC于点O, :在菱形ABCD中，AC⊥BD,AO=AC, B<----- ∠A0D=90°， :4G=24C, 4 :4G=0G=A0=3,即G为40中点， 同理可得OH=3, .GH=0G+0H=3+3=6, :F为AD中点， .GF OD, ∠AGF=∠A0D=90°，即GF⊥AC, 在Rt△AGF中，GF=VAF2-AG2=V25-9=4, .S.pom =GFGH=x4x6=12, 2 2 :四边形GEHF为平行四边形， SGEHF=2S△FGH=2×12=24. 8.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在矩形ABCD中，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD ,BC,BD于E,F,O (1)求证：四边形EBFD是菱形： 8/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=4,AD=8,求菱形EBFD的边长. 【详解】(1)证明：连接BE,DF, :四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∠EDO=∠FBO,∠DE0=∠BFO, 由题意知：EF垂直平分BD, EF⊥BD, B0=D0, 在△BFO和△DEO中， ∠EDO=∠FBO ∠DEO=∠BFO, OD=OB △BFO≌△DEO(AAS), :BF DE, :四边形EBFD是平行四边形， EF⊥BD, :四边形EBFD是菱形； (2)解：由(1)可得，BF=BE=ED,∠A=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2, AB=4,AD=8, .AE=AD-DE AD-BE =8-BE 42+(8-BE)2=BE2, 解得BE=5, 菱形EBFD的边长为5 9.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，且BE=DE· 9/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=10,AC=12,求四边形ABCD的面积. 【详解】(1)解：连接BD与AC交于点O, D B C :平行四边形ABCD, OB=OD-BD:0A-0C-4C BE=DE,OE=OE, △BOE≌△DOE(SSS), ∠BOE=LDOE, :∠B0E+∠D0E=180°， ∴∠B0E=∠D0E=90°， 即AC⊥BD, 平行四边形ABCD是菱形； (2)解：：AB=10,AC=12,平行四边形ABCD是菱形， :0A=0C=AC=6, 2 0B=0D=BD=VAB-0P=V102-6=8,即BD=16, 菱形A8CD的面积是)4C-BD-×12x16=96。 10.(25-26八年级上上海浦东新·期末)如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点0，过点0作 EF⊥BD,分别交AD、BC于点E、F,连接BE、DF, D F (1)求证：四边形BEDF是菱形； 10/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=6,AD=8,LABD=90°，求菱形BEDF的面积. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .OB=OD,AD‖BC, ∴∠ED0=∠FB0. :EF⊥BD, .∠E0D=∠F0B=90°. [∠EDO=∠FBO 在△EOD和△F0B中， OD=OB ∠EOD=∠FOB △EOD=△FOB(ASA), 0E=0F. 又0B=0D, 四边形BEDF是平行四边形. :EF⊥BD, :平行四边形BEDF是菱形： (2)解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=6,AD=8, 由勾股定理得BD=VAD2-AB2=V⑧2-62=2√万. :四边形BEDF是菱形， .BE DE,BO= BD 2 ·∠EBD=∠EDB. :∠ABD=90°， .∠EBD+∠ABE=90°，∠BAD+∠EDB=90°， ∴∠ABE=∠BAD, AE=BE=DE,即E是AD的中点， BE=DE=AD =4 2 在RtABOE中，BE=4,BO=√7， :OE=VBE2-BO2=V16-7=3, .EF=20E=2x3=6, 11/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .S菱形BEDF= 2xBDxEF-2x27x6-67. 11.(25-26八年级上吉林长春期末)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足 分别为E、F,且AE=CF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AE=5,EB=12,EF=2,则四边形ABCD的周长是 【详解】(1)证明：AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AED=∠CFB=90°， 在RtAADE和Rt△CBF中， AD=BC AE=CF Rt△ADE≌Rt△CBF (HL, .∠ADE=∠CBF, :ADI BC, 又：AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形： (2)解：：EB=12,EF=2, BF=BE+EF=12+2=14, :RtAADE≌RtACBF, .DE=BF=14, 在Rt△ABE中， AB=VAE2+BE2=V52+122=√25+144=V69=13, 在RtAADE中，AD=√AE2+DE2=V52+142=√25+196=√22I, 四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=213+V221=26+2V221. 12.(24-25八年级下山东日照期末)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F, DF=FB,AFI∥DC. 12/105 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：四边形AFCD为平行四边形： (2)若∠EFB=90°，BF=3,EF=1,求BC的长. 【详解】(1)证明：：DB,CE交于点F,DF=FB, F是DB的中点， :E是AB的中点， .EF∥AD, .CF∥AD, :AF∥CD, :四边形AFCD是平行四边形 (2)解：F是DB的中点，E是AB的中点，EF=1, :AD=2EF =2, :四边形AFCD是平行四边形， .CF=AD=2, :∠CFB=∠EFB=90°，BF=3, :BC=VCF2+BF2=V22+32=V3, BC的长是V13 13.(24-25九年级下湖南长沙.期中)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点， AE=CF. D B (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当BE⊥EF时，BE=8,BF=10,AC=12,求AE的长. 13/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图，连接BD,交AC于点0， A D E B :四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD, AE=CF, ..0A-AE=OC-CF OE=OF, :.BD,EF互相平分， :四边形BEDF是平行四边形， (2)解：BE⊥EF,BE=8,BF=10, EF=BF2-BE2=6, :AC=12, ∴AE+CF=AC-EF=6, AE CF, .AE= 2*6=3 题型二折叠问题（共15小题） 14.(24-25八年级下河南驻马店·期末)如图，将矩形纸片ABCD放入以BC所在直线为x轴，BC边上一 点O为坐标原点的直角坐标系中，连结OD,将纸片ABCD沿OD折叠，使得点C落在AB边上点C处，若 AB=5,BC=3,则点C的坐标为() c.(劉 【答案】B 14/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=3, .AD=3,CD=C'D=5, RtAADC'中，AC'=VC'D2-AD2=4, .BC'=5-4=1, 设B0=x,则C0=C0=3-x, Rt△BOC中，BO2+BC2=C'O2, x2+12=(3-x)2, 解得x=3 4 C0=3-4=5 33 又：点C在x轴上， 点C的坐标为信0） 故选：B 15. (24-25八年级下广西钦州期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC0的边C0,OA分别在x轴、 y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边CO上的点F处.若OA=8,CF=4,则 点F的坐标是 B E C F 【答案】(-6,0) 【详解】解：设0F=x,则C0=CF+OF=4+x, :四边形ABCO是矩形， .AB=0C=4+x,LA0F=90°， 由折叠得AF=AB=4+x, :在Rt△A0F中，AO2+FO2=AF2, 82+x2=(4+x2, 解得x=6, 15/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0F=6, F(-6,0). 故答案为：（6,0) 16.(24-25八年级下.重庆九龙坡期末)如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且过原点，连接0C,将 △OBC沿OC翻折，点B的对应点B恰好落在边AD上.若点B的坐标为3,4)，则点C的坐标为 VA B 【答案】（-5,10) 【详解】解：：点B的坐标为3,4)， AB'=4,A0=3, 在Rt△A0B'中，OB'=√AB2+OA2=5, :将△OBC沿OC翻折，点B的对应点B恰好落在边AD上， .OB=OB=5,CB=CB', .AB=OB+OA=5+3=8, 在矩形ABCD中，∠D=90°，CD=AB=8,, 设CB=CB′=x,则DB'=AD-AB′=x-4, :在Rt△B0C中，CD2+DB2=CB2, 82+(x-4)2=x2, 解得x=10, CB=10, “点C的坐标为(-5,10) 17.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，将长方形ABC0放置于平面直角坐标系中，点0与原点重合， 16/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点A,C分别在y轴和x轴上，点B(8,4),连接BO,并将△ABO沿BO翻折至长方形ABCO所在平面，点 A的对称点为点E,则点E的坐标为· B D C E 【答案】 【详解】解：过点E作EF⊥x轴于点F, B D C B8,4, A0=BC=4,AB=0C=8, :在长方形ABC0中，AB∥OC, .∠AB0=∠COB, :由折叠有∠AB0=∠EB0, ∠BOD=∠DB0, :BD =OD, 设OD=x,则CD=0C-0D=8-x,BD=x, :在长方形ABC0中，∠BC0=90°， :在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2, 即42+(8-x2=x2, 解得x=5, 17/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.OD=BD=5, 由折叠可得0E=OA=4,EB=AB=8 DE=BE-BD=8-5=3, S.ooOD.EFS.o=E DE. 2 2 、 OD·EF=OEDE, 1 即X5EF=x4x3, 2 EF=12 :EF⊥x轴， 在Rt△OEF中， 点E的坐标为 1612 5-5 1612 故答案为： 5-5 18. (24-25八年级下.河北秦皇岛期末)如图，平面直角坐标系中，A(2,0)、C(0,4).四边形0ABC为矩 形，将四边形OABC沿AC折叠，点B的对应点为点D,连接AD交y轴于点M,则点M坐标为 【答案】0 2 【详解】解：：四边形OABC为矩形， .OC∥AB, ·LBAC=LACM, “折叠， ∠BAC=LDAC, ∠ACM=∠DAC, .AM =CM, 18/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :A2,0、C(0,4), .OA=2,0C=4, 设0M=x,则：AM=CM=4-x, 在Rt△A0M中，OA2+OM2=AM2, 22+x2=(4-x2, 解得：x=3 21 .OM= ÷点M坐标为0,3 2 故答案为： 2 19.（24-25八年级下·安徽宣城期末)如下图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD,其中 A(0,0),B(4,0),D0,2),若将ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是 E D C (4) B 【答案】 1216 55 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，连接AE,BE,作EF⊥AB于点F,折叠得到AE=AB,AG垂直 平分BE,等积法求出BG的长，进而求出BE的长，设AF=x,勾股定理列出方程求出x的值，进而求出 EF的长，即可得出结果. 【详解】解：连接AE,BE,作EF⊥AB于点F, (4) B :A0,0,B4,0,D0,2, 19/105 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=4,AD=2, :矩形ABCD, .∠ABC=90°，BC=AD=2, AC=AB'+BC2=25, 折叠， ∴AE=AB=4,AG垂直平分BE, 2C-CG 4×2=2√5BG, _4V5 .BG=- BE=8 5 设AF=x,则：BF=4-x, 由勾股定理，得：EF2=AE2-AF?=BE2-BF2, 4-x2= 85 5 -(4-x)2, 解得：x=2 AF=12 EF=VAE2 -AF=16 :E216 (55月 1216 故答案为： (5’5 20. (24-25八年级下河南濮阳·期末)如图，矩形A0CD中，点C在x轴上，点D的坐标为5,4)，点E为 边DC上一点.将矩形AOCD沿AE折叠，若点D的对应点F落在边OC上，则此时点E的坐标为 y 20/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 5,2 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，并用勾股定理求出EC的长。 根据折叠的性质得到AD=AF=5,所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=3,然后设CE=x,则 EF=DE=4-x,CF=2,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标， 【详解】解：：四边形AOCD为矩形，D的坐标为5,4， AD=0C=5,DC=A0=4, :矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， :AD=AF=5,DE=EF, 在RtAAOF中，OF=√AF2-A02=3, FC=5-3=2, 设EC=x, 则DE=EF=4-x, 在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2, 即(4-x)2=x2+22, 解得：X=2 甲C的长为号 点E的坐标为5，)山 故答案为： 21. (24-25八年级下江苏连云港期中)如图，菱形ABCD的边长为1，∠B=120°，将菱形折叠使点A,C 都落在对角线AC上点G处，折痕分别为EF,MN,则阴影部分的周长为 D B 【答案】3 【详解】解：设MN交AC于点L, 21/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 由折叠得GM=CM,GN=CN,∠CLM=∠GLM=x180=90°， .∠CLN=LCLM=90°， :四边形ABCD是边长为1的菱形，∠B=120°， .AB=CB CD=AD=1,AB CD,ADI CB, ∠BCA=∠BAC=∠DCA,∠BAD=∠BCD=180°-∠B=60°， 在aCLN和aCLM中， ∠CLN=∠CLM CL=CL ∠NCL=∠MCL :△CLN和≌aCLM(ASA), .CN=CM, .GM=CM =GN=CN, :四边形CMGN是菱形， :CN=CM,∠NCM=60°， .△CMN是等边三角形， 同理，四边形AEGF是菱形，△AEF是等边三角形， ∴.GM ICNI‖ED,GE‖AF I MD, :四边形DMGE是平行四边形， :DM=GE AE, EF AF,MN=CN, :DM +DE AE+DE AD=1,EF+BF=AF+BF=AB=1,BN +MN=BN +CN CB=1, :DM DE +EF BF BN M N =1+1+1=3, 阴影部分的周长为3， 故答案为：3. 22.(25-26八年级上江苏无锡·月考)数学实验课上，小聪将菱形纸片ABCD沿EF折叠，其中点E、F分 22/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 别在边AB、CD上.当点B落在AD上的点B处且B,E⊥AD时，恰有AB,=BE,则∠DAB=°， 此时DF C D -------C B A E 【答案】 45 √2-1 2 【详解】解： B,E⊥AD,AB,=BE,由折叠可知B,E=BE, :AB =B E, .∠DAB=∠BEA=45°. 故答案为：45°. 延长EB,CD相交于点P, 设AB,=BE=a, BE⊥AD, .AE=AB+BE'=a'+a=2a, :将菱形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在AD上的点B处， :BE B E =a, :AB=AE+BE=v2a+a=(2+1a, :四边形ABCD是菱形 :AD=CD=AB=(2+1a,PC//AB, ∴B,D=AD-AB,=(N2+1a-a=V2a,∠PDB,=∠A=45°，LP=LAEB,=45°， BP⊥AD, :B,P=B D=2a, .PD-YBD+BPE=a)+(Va)=2a. 同时可得PE=B,E+B,P=a+V2a=(V2+la, 23/105 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PC∥AB, ∠PFE=∠BEF, :将菱形纸片ABCD沿EF折叠， .∠PEF=∠BEF, ZPEF ZPFE, :PF=PE =(2+1)a, :.DF=PF-PD=(2+1)a-2a=(2-1)a, :.CF=CD-DF=(2+1)a-(2-1)a=2a, DF_(5-a2-1 CF 2a 2 B 23.(24-25八年级下江西上饶期末)已知点A0,5),B(8,0,C(8,5),连接AC,BC得到矩形A0BC, 点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A.若点A到矩形较长两对边的距离之比为1：4， 则点的横坐标为 【答案】3或26或102 【详解】：A0,5),B(8,0),C(8,5), .BC=0A=5,0B=AC=8. 分两种情况： (1)当点A在矩形A0BC的内部时，过点作OB的垂线交OB于点F,交AC于点E,如图1所示： 24/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 ①当A'E:A'F=1:4时， A'E +A'F=BC=5, A'E=1,A'F=4. 由折叠的性质得0A'=OA=5, 在Rt△0A'F中，由勾股定理得OF=V5-4=3, :点A的横坐标为3。 ②当A'E:A'F=4:1时， 同理可得0F=V52-12=2√6 :点A的横坐标为2√6 (2)当点在矩形AOBC的外部时，此时点A在第四象限，过点作OB的垂线交OB于点F,交AC于 点E，如图2所示： y E D :A'F:A'E=1:4,则A'F:EF=1:3, B 图2 -rac- 3 3 由折叠的性质得0A'=OA=5, 在Rt△OA'F中，由勾股定理得OF 5- 102 3 ·点4的横坐标为10V2 P 综上所述：点1的横坐标为3或26或0v2 25/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为3或26或102 24.(25-26八年级下广东广州期中)如图，已知正方形ABCD,AB=6,E为BC的中点，连接DE,把 △CDE沿DE折叠得到AC'DE,连结EC'交AB于点F. ● B C (1)求证：△ADF≌aC'DF; (2)求AF,BF的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .DC=AD,∠C=∠A=90°， :把aCDE沿DE折叠得到aC'DE, .DC'=DC,∠DC'E=∠DCF=∠C=90°， ∠A=LDCF,AD=DC', 在RtAADF和RtaC'DF中， (DF=DF DA=DC :RtAADF≌RtaC'DF(HL; (2)解：：四边形ABCD是正方形， :BC=AB=6, :△ADF≌aC'DF, .AF=C'F, 设AF=C'F=x,则BF=AB-AF=6-x :E为BC中点， BE=EC=CE=-BC=3, 则EF=x+3, 在Rt△BEF中， 26/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF2+BE2=FE2, .(6-x)2+32=(x+3)2, 解得x=2, AF=2,BF=6-2=4. 25.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，将ADE沿AE翻折 至△AD'E,延长ED'交BC于点F. D F (1)求证：BF=D'F; (2)若AB=15,DE=10,则BF的长是 【详解】(1)证明：连接AF,如图， D D ⊙ :四边形ABCD是正方形， AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=90°， 由折叠的性质可知，AD=AD',∠AD'E=∠D=90°， .∠AD'℉=180°-90°=90°=LB, AB AD, :AD'=AB, 在RI ABF和Rt△AD'F中， (AB=AD AF=AF .Rt△ABF≌Rt△AD'F(HL), :.BF=D'F: (2)解：AB=15,DE=10, 27/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD=AB=15,D'E=10, ∴CE=CD-DE=15-10=5, 设D'F=x,则BF=x, .CF=CB-BF=15-x,EF=ED'+D'F =10+x, 在RtAECF中，EC2+CF2=EF2, 52+15-x)2=(10+x)2, 解得x=3, BF=3. 26.(25-26八年级上四川成都期中)已知：如图，在边长10的正方形ABCD中，点E在边BC上，BE= 3CE,将△DCE沿DE折叠至△DFE,延长EF交AB于点G,连接DG. B C (1)求∠GDE的度数： (2)求AG的长度. 【答案】(1)45° (2)6 【详解】(1)解：由折叠得∠CDE=∠FDE,DC=DF, :四边形ABCD是正方形， ∠C=∠DFE=90°=∠DFG,AD=CD=DF, .在RtaADG和RtAFDG中， DG=DG AD=FD .Rt△ADG≌Rt△FDG(HL), ∠DAG=∠FDG, 又：∠FDE=∠CDE ∴.∠ADC=2∠FDE+2∠FDG=90°， 28/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠FDE+∠FDG=45°， ∴.∠GDE=45°. (2)解：：RIAADG≌RtFDG, 设AG=FG=x,GB=10-x, BE =3CE CB=CE+BE=4CE=10 .CE GE ]+x 在Rt△GBE中，GB2+BE2=GE2 0-+贷=写+ 100+x2-20x+ 225_25+x+5x 4 4 .x=6, AG=6. 27.(23-24八年级下广西南宁期中)如图，在正方形ABCD中，过点A引射线AH,交边CD于点H(点 H与点D不重合)·通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E,延长EG交CD于 F D A D G B--- C(H) Bi----- 图1 图2 【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得FG=FD· 【探究】如图2，当点H为边CD上任意点时，猜想FG与FD之间的数量关系，并说明理由. 【应用】在图2中，当AB=5,BE=4时，利用【探究】中的结论，求FG的长. 【详解】解：探究：猜想FG=FD, 理由如下：如图，连接AF, 29/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D F G 四边形ABCD是正方形， E AB=AD,∠B=∠D=90°， 由折叠的性质可得AB=AG,∠B=∠AGE=90°， AG=AD,∠AGF=90°， 在RtAADF和Rt△AGF中， AG=AD AF=AF' :Rt△ADF≌Rta△AGF(HL), ·FG=FD; 应用：设FG=FD=x, :AB=5,BE=4, :CD=BC=AB=5,BE=GE=4, :EF=GE+GF=4+x,CF=CD-FD=5-x,CE=BC-BE=5-4=1, 在RtAECF中，由勾股定理得CE2+CF2=EF2, :12+5-x)2=(4+x)2, 解得多 5 .FG= 9 28.(24-25八年级下福建泉州期末)实践探究： 主题 特殊四边形的几何变换 30/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用两张全等的直角三角形的纸片，把它们的一条直角边重合在一起（如图1）己知 ∠BAC=∠ACD=90°，AB=CD=3,AC=4,由全等可知，BC=AD,AB=CD,所以四边形 素 ADCB是平行四边形. 材 B 图1 ①如图2，把ABC沿AD平移得到△A'B'C',点在线段AD上，B'C'经过△ACD的顶点C, AC与AB交于点E,CD与A'C'交于点F. B C 平 E 移 A A》 D 图2 实 任务一求证：四边形EA'FC是矩形： 践 探 究 ②如图3，将△BMA沿直线AM对折，点B的对应点B刚好落在线段AD上. B M 对 折 B' 图3 任务二求证：四边形BAB'M是菱形； 31/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③如图4，若点M、N分别是BC、AD的中点，将△BMA沿直线AM对折，点B的对应点 为B. M B--- D 图4 任务三求证：点C、B'、N在同一直线上； ④如图5，ABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点C恰好落在边AD上时，点B的对 应点为点B,B'C与边AC交于点H. B B 旋 转 图5 任务四求线段AH的长. 【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析；任务四： 【详解】解：任务一： C B A A 图2 在ADCB中，AD∥BC,AB∥CD, :ABC沿AD平移得到△A'B'C', 32/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ACIA'C',A'B'∥CD, ·四边形EAFC是平行四边形， :∠ACD=90°， :四边形EAFC是矩形. 任务二： M B- B 图3 在口ADCB中，AB∥CD, ∠BMA=∠MAB', :△BMA沿直线AM对折得到△B'MA, AB=AB',BM=B'M,∠BAM=∠MAB', ∠BMA=∠BAM, :AB BM, .AB=BM B'M =AB', :.四边形BAB'M是菱形. 任务三 如图4，连接CN,CB, B----- M B N 图4 :M,N分别是BC,AD的中点， :MC=BC,AN=三AD, 2 .MC =AN, :MC∥AN, .四边形ANCM是平行四边形， .AM∥CN, 33/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由对折可知，∠BMA=∠AMB',MB=MB=BC=MC, .∠MB'C=∠MCB', :∠BMA+∠AMB'=∠MB'C+∠MCB', .∠BMA=∠MCB', .AM CB', “点C、B、N在同一直线上. 任务四： 在Rt△ABC,BC=VAB2+AC2=5, 夕 B C 图5 .B'C'=BC=5 :BC∥AD, :ZBCA=ZCAC'. 由旋转可知∠BCA=LB'C'A, ∠CAC'=LB'CA, .AH =C'H, :∠B'C'A+∠B'=∠BAH+CAC'=90°， ∠B'=∠B'AH, AH =BH=B'C= 题型三动点综合（共11小题） 29.(24-25八年级下.广东广州期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm, AD=24cm,BC=30cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 34/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A P》 D B (1)从运动开始，求使PQ∥CD需经过多少时间？ (2)连接DQ,是否存在△DCQ为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)6s; 2)当1= s时，△DCD为等腰三角形。 3s或4s或 【详解】(1)解：设运动的时间是s, :AP tcm Co=3tcm, .PD =(24-t)cm ADI‖BC, :当PQ∥DC时，四边形PQCD是平行四边形， .PD=CO, 即3t=24-1, 解得：t=6s, 从运动开始，使PQ∥CD需经过6s; (2)解：当1=10 25 或4s或二s时，△DCQ为等腰三角形， 9 如下图所示，过点 D作DN⊥BC, 则∠DNC=∠DNB=90°， .·AD‖BC,∠B=90°， .∠A=∠B=90°， ·四边形ABND是矩形， :DN AB =8cm AD BN 24cm, .CN =BC-BN =6cm, 在Rt△DNC中，DC=√DN2+CN2=V82+62=10, :△DCQ是等腰三角形， 35/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当DC=CQ时，31=10， 解得：1=10 9 A P-> D 如下图所示， 当DC=DQ时， :DN1⊥BC, :cw=0N=c0, 2 1 6=2×3, 解得：t=4: A P》 D 当DQ=CQ时， C2=3t,CN=6, :ON =Co-CN =(3t-6 cm .QD=VDW2+QW2=V82+(3t-62, V82+(3t-62=3, 整理得：36t=100, 25 解得：t= 9 综上所述，当1= 3s或4s或25 s时，△DCQ为等腰三角形 9 30.(25-26八年级上吉林长春期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点O为对角线AC的中 点，动点P从点A出发，沿A→B→C向终点C运动.连结OB,当点P不与点B重合时，作点P关于 OB的对称点E,顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形OPBE. 36/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)0B= (2)求证：△0PB≌△0EB; (3)当四边形OPBE的面积为20时，求出此时OP的长. (4)在点P运动过程中，当四边形OPBE是菱形时，请直接写出此时BP的值. 【详解】(1)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°， .AB=6,BC=8, AC=AB2+BC2=10, :点O为对角线AC的中点， :OB=14C=5, 故答案为：5 (2)证明：“点P关于OB的对称点为点E, .OB垂直平分EP, :OE OP,BE BP, :0B=0B, △OPB≌△OEB(SSS; (3)解：△0PB≌a0EB, S.OPB S.OEB :四边形0PBE的面积为20， S.0mm=2x20=10, :点O为对角线AC的中点， 1 ×6×8=12,0A=0C=5, 当点P在AB边上时，过点O作OF⊥AB,如图， 37/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B :0A=0B, BF三AB=3 0F=V0B2-BF2=4, S.oPB=10, 20F×BP=10,即5BPx4=10, BP=5, :PF BP-BF =2, 0P=V0F2+FP2=2V5; 当点P在BC边上时，过点O作OG⊥BC于点G, D G :0C=0B, :BG=1BC=4, .0G=V0B2-BG2=3, S0PB=10, 5OG×BP=10,即5BP×3=10, 2 ·BP=20 38/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PG=BP-BG= 3 OP=V0G+GP=1 3 综上所述，( P的长为25或145 3 (4)解：设BP=BE=OE=x, 如图，当点P在AB边上时，设OE,BC交于点N, D A :四边形OPBE是菱形， OE∥AB,BP=BE=OE, :AB⊥BC, ∴OE⊥BC, 由(2)得：BN=4,ON=3, 在Rt△BEN中，BE2=BN2+EN2, x2=42+(x-3)2, 解得：x= 25 6 即aP名 当点P在BC边上时，延长OE交AB于点M, D M :四边形OPBE是菱形， 39/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OE∥AB,BP=BE=OE, :AB⊥BC, OE⊥AB, 由(2)得：BM=3,0M=4, 在RtABEM中，BE2=BM2+EM2, x2=32+(x-4)2, 解得：=25 8 25 即BP= 综上所述， 8P的值为2空或25 6 8 31. (22-23八年级下广东肇庆期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5√3，∠C=30°.点D从点 C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t s(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF. B (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)四边形AEFD能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由， 【详解】(1)证明：设点D、E运动的时间是1秒(1>0)， :点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动， .CD=2t, :点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动， :AE=t, :在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，， .DF=-CD=t, 2 .AE DF, 40/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :LB=90°， AB⊥BC, :DF⊥BC, AE∥DF, :四边形AEFD是平行四边形： (2)解：四边形AEFD能够成为菱形；理由如下： :在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5√5，∠C=30°， AB=。AC, 21 BC=3AB, AB=BC=5. AC=2AB=10, .AD=AC-DC=10-21, :由(1)知四边形AEFD为平行四边形， .若使。AEFD为菱形，则儒AE=AD, .t=10-2t, 解得1=10 0时，四边形AEFD为菱形： 当t= 3 (3)解：当1=或4时，ADEF为直角三角形，理由如下： 2 根据题意，分三种情况讨论： ①当∠EDF=90°时，如图1所示： D E B 图1 :∠EDF=∠DFC=90°， DE∥BC, LADE=LC,∠B=∠AED, 41/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠B=90°，∠C=30°， ∴∠AED=90°，∠ADE=30°， 在Rt△AED中，AD=2AE, 即10-2t=2t, 解得一子 ②当∠EFD=90°时， DF⊥BC, ·此种情况不存在； ③当∠FED=90°时，如图2所示： E 图2 由(1)知四边形AEFD是平行四边形， ∴∠DFE=∠A=60°，AD=EF,AE=DF, :DE⊥EF, ∠EDF=30°， F加. 1 AD=二AE, 2 10-21=2 1 解得t=4; 综上所述，当1=乏或4时，DEF为直角三角形。 32.（23-24八年级下湖南衡阳期末)如图①.在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=9, BC=I2,CD=5,点P从点A出发，沿射线AD以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发，沿CB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，点P也随之停止 运动.设点Q运动时间为t秒. 42/105 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 力 图① 图② (1)求线段PD的长（用含t的代数式表示）. (2)当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值. (B)如图②，若点E为BC边上一点，且BE=5,当△PBE是以BE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值. 9-31(0≤t<3) 【答案】(1)PD= 3-9(3≤t≤6) 9 (2)t=2或t=9 5 )当△PBE是以BE为腰的等腰三角形时，t的值为1或子或 33 【详解】(1)解：点P运动到D点时，共用了9÷3=3s,0总共运动了12÷2=6s, ·当0≤1<3时，PD=AD-AP=9-31, 当3≤t≤6时，PD=AP-AD=3t-9, 9-3(0≤t<3) 综上，PD= 3t-9(3≤t≤6 (2)若四边形PDCQ为平行四边形，则PD=CQ, 9-310≤t<3 由(2)得，PD= 31-9(3≤1≤6)' 根据题意得，CQ=2t, 当9-31=21时，解得：1= 当3t-9=2t时，解得：t=9, 综上，当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，1=？或1=9. 5 (3)过点D作DG⊥BC于点G, .∠DGB=90°， G 43/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD∥BC,∠A=90°， ·LB=∠A=90°， ·∠B=∠A=∠DGB=90°， . 四边形ABGD是矩形， AD=BG=9,AB=DG, :CG=BC-BG=12-9=3, :CD=5, :AB=DG=VCD2-CG2=V52-32=4, 当BP=BE=5时， 则AP=√BP2-AB2=V√52-42=3， ·31=3, 解得：t=1, 当PE=BE=5,如图所示，过点P作PM⊥BE, A P D 则四边形ABMP是矩形， PM AB=4,BM AP=3t, ·ME=BE-BM=5-3t, 在RtAPME中，根据勾股定理得PM2+ME2=PE2,即42+(5-3)2=52， 解将：1号或 综上，当△PBE是以BE为腰的等腰三角形时，t的值为1或或 33 33.(23-24八年级下.山东青岛期末)如图，在▣ABCD中，CD=8cm,BC=16cm,∠A=60°， BD⊥AB,过点D作DE⊥BC,垂足为E,动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动 点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P, Q运动的时间为s0<1<8). 44/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P-D E 备用图 (1)当PQ∥CD时，求t的值： (2)连接BP,设四边形BPDE的面积为Scm),求S与t之间的函数关系式： (3)当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值. 【答案】哈 (2)S=4V3t+24W3(0<t<8) (3)2或6 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, 当PQ∥CD时，四边形DPQC是平行四边形， ∴PD=CQ, .2t=16-41, 8 3 (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， :∠BCD=∠A=60°， :DE⊥BC, ∠DEC=90°， .∠CDE=30°， CE=2CD=2×8=4, 2 DE=V82-42=4V5, PD∥BC, .S=DE(DP+BE)=×4V3x(2t+16-4)=43+243(0<1<8): 2 2 (3)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, 45/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠A+∠ADC=180°， ∠ADC=120°， 如图2，当点P的对称点在线段CD上时， D :LAD0=LQDC=60°， E 图2 :LQDC=LBCD=60°， ∴△CDQ是等边三角形， ∴.CD=Cg=8, 8=16-41, t=2: 如图3，当点P的对称点在线段CD的延长线上时， D A P ∠CDA=120°， E 图3 ∠PDP'=60°， :点P的对称点在线段CD的延长线上， ∠CD0=∠PDP=30°， :∠BCD=LCDQ+LCQD, ∴∠CDQ=∠CQD=30°， ∴.CD=CQ=8, .BQ=16+8=24, .41=24, t=6, 综上，t的值是2或6. 46/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.(23-24八年级下.安徽六安阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=16cm,点P与点Q 同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停 止，点P,Q的速度都是1cm/s,连接P2,AQ,CP,设点P,Q的运动时间为s. (1)求当t为何值时，四边形CDPQ是正方形： (2)求当t为何值时，AC⊥PQ; (3)当四边形AQCP的面积为8OCm时，求矩形ABCD的周长与四边形AQCP的周长的比值. 【答案】(1)当t=8s时，四边形CDPQ是正方形： (2)当t=6s时AC⊥PQ: ag 【详解】(1)解：：在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=16cm, .BC AD =16cm,AB CD =8cm, 设经过s后四边形CDPQ是正方形，则BQ=DP=tcm,AP=CQ=(16-cm, 在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC, 当DP=CQ=CD=8时，四边形CDPQ是正方形， 1=16-1=8,解得t=8, .当t=8s时，四边形CDPQ是正方形； (2)解：：PA=CQ,AP∥CQ, 四边形AQCP为平行四边形， 当AC⊥PQ时，四边形AQCP为菱形， :A0=0C, :AQ=V82+2, V82+12=16-1,解得t=6, .当t=6s时AC⊥PQ; (3)解：：四边形AQCP为平行四边形， 47/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形AQCP的面积为QC·AB=80,即816-)=80，解得t=6, ÷B0=6,A0=C0=10, :.四边形AQCP的周长=4×10=40cm, .矩形ABCD的周长=2×8+16)=48cm, :矩形ABCD的周长与四边形4QCP的周长的比值为48- 405 35.(24-25八年级下.云南红河·期末)已知四边形ABCD是边长为9cm的正方形，P,Q是正方形边上的两 个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D →C方向运动.设点P运动的时间为t(0<1<9), B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点P在AB边上，四边形APCQ为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在BC边上，AP=BQ时，求t的值： (3)点P在运动过程中，是否存在四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)t=3 (2)t=6 3)存在，t=6 【详解】(1)解：当点P在AB边上，则有AP=2cm,DQ=tcm,所以CQ=CD-D0=(9-tcm, 在正方形ABCD中，AB∥CD, :.当AP=CQ时，四边形APCQ为平行四边形， 21=9-t, 解得：t=3, :当t=3时，四边形APCQ为平行四边形： (2)解：：四边形ABCD是正方形， 48/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·.AB=BC,∠ABP=∠BCQ=90°， AP BO, ·.RtAABPS≌Rt△BCO(HL), :BP=CO, :点P在BC边上， .BP =(2t-9)cm,Co =CD-DO=(9-t)cm, 21-9=9-t, 解得：t=6; (3)解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在AB边上，则有AP=2cm,DQ=tcm,所以CQ=CD-DQ=(9-tcm,此时四边形 APCQ是梯形， 9 :四边形APC0的面积为221+9-)x9=2+9列， :四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半， 9 2×9×9=2（t+9), 解得：1=0（不符合题意，舍去）； 当点P在BC边上，即9<1<9，则有BP=(21-9cm,D0=1cm,如图， B 备用图 :四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半， :△ADQ与△ABP的面积之和也为正方形ABCD的面积的一半， 2x9.1+ x9:21-917×9x9 2 解得：t=6; 综上所述：当t=6时，四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半， 36.(24-25八年级下.甘肃天水期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E是BC上的一点，且CE=8, 49/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC=12,CD=4√5，∠C=30°，∠B=60°.点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长 是x A D B P E C (1)当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形. (2)当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形. (3P在BC上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形. 【详解】(1)分别过A、D作AM⊥BC于M,DN⊥CB于N D B PM E :AD∥BC, .∠AMN=∠MAD=∠MND=90° .四边形AMND是矩形， :CD=4V5,∠C=30°， :DN=CD=25,CN=V4V3}-(23)=6, EN=CE-CN=8-6=2, DE=VEN2+DN2=4, :四边形AMND是矩形， :AM DN=23,AD=MN, ∠B=60°， .∠BAM=30°，AB=2BM, 又：AB2=BM2+AM2, AB=4,BM=2, :BE=BC-CE=12-8=4, .ME =BE -BM =2, MN=ME+NE =2+2=4,AE=AM2+ME2=4, 50/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当P与M点重合时，点P,A,D,E为顶点的四边形为直角梯形，x=BP=BM=2; 当P与N点重合时，点P,A,D,E为顶点的四边形为直角梯形，x=BP=BN=12-6=6, 综上所述x=2或6时，点P,A,D,E为顶点的四边形为直角梯形： (2)解：若以点P,A,D,E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE=4, 可有两种情况： ①当点P在点E左侧时，x=PB=BE-PE=4-4=0, ②当点P在点E右侧时，可有x=BP=BE+PE=4+4=8. :.当x的值为0或8时，以点P,A,D,E为顶点的四边形为平行四边形 (3)点P在BC边上运动的过程中，以P,A,D,E为顶点的四边形能构成菱形. 由(2)可知： ①当点P在点E左侧时，x=O,AD=DE,平行四边形APED是菱形， ②当点P在点E右侧时，可有x=8,AD=AE,平行四边形AEPD是菱形. 综上所述，点P在BC边上运动的过程中，以P,A,D,E为顶点的四边形能构成菱形， 37.(24-25八年级下.吉林白山期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，AB=12cm, CD=15cm,AD=6cm.点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以 2cm/秒的速度向点D运动.规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动.设点Q运动的时 间为t秒， A→P DQ←— 备用图 (1)直接写出边BC的长为 cm; (2)当四边形APQD是矩形时，求t的值： (3)在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P,Q运动过程中，当PQ=BC时，直接写出t的值. 【答案】(1)3√5： (2)t=5; 倒的值为35或3或5 2 (4)t的值为4或6. 51/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：过点B作BH⊥CD于点H, :∠A=90°，AB∥CD, .∠D=90°， :四边形ABHD是矩形， .BH AD =6cm,DH AB =12cm, :CH=15-12=3cm, 在Rt△BCH中，BC=VBH2+CH2=V62+32=3V5cm· 故答案为：3√5. D (2)解：AP=tcm,CQ=2tcm,DQ=(15-2t)cm, 当四边形APQD是矩形时，AP=DQ, .1=15-2t, 解得t=5; B D 9 (3)解：当BQ=BC时， :BH⊥CD, ..OH=CH =3cm, ∴.CQ=6cm, 当C0=BC=3V5cm时，1=35 ； 当BQ=CQ时，BQ=CQ=21cm,OH=(2t-3)cm, 在Rt△BHQ中，BH2+QH2=BQ2, 52/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 62+(21-32=(212, 都得受 综上所述，当△BCQ是等腰三角形，1的值为3或35或15， 2 H (4)当BP=CQ时，如图， AB CD :四边形BCQP是平行四边形 此时，PQ=BC 由BP=CQ可列方程12-t=2t 解得1=4： B D Q 当BP<CQ时，如图， 过点P作PG⊥CD于点G, :AB I CD, PG⊥AB, :BH⊥CD, :四边形PBHG是矩形， .PG=BH,∠PGQ=∠BHC=90°，BP=GH=(I2-t)cm, 若PQ=BC,则R1aPGQ≌RtABHC(HL), ∴.QG=CH=3cm, .QG+GH+CH=CO, .3+(12-)+3=2t, 53/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得t=6; 力 B 综上所述，当PQ=BC时，t的值为4或6. 38.(25-26八年级上吉林长春期末)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=8, DC=3,BC=I2.动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，点Q从点D出发，以每 秒2个单位的速度沿射线DA运动，点P和点Q同时出发，当点P运动到点C时，点Q也停止运动，设点P的 运动时间为t(秒)(t>0)· A D p 图1 图2 (1)AB=」 (2)当点P运动到AB的垂直平分线上时，求t的值. (3)当以点A,点B,点P,点Q为顶点的四边形是平行四边形时，求的值 (4)如图2，作点P关于直线BQ的对称点P,则当点P落在直线AB上时，直接写出t的值. 【答案】(1)5 21=25 Γ8 1=8或1- 41=3或1= 13 2 2 【详解】(1)解：如图，过点A作AE⊥BC,则AE∥DC, A D AD∥EC,∠C=90°， B PE :AD=EC=8,AE=DC=3, :BC=12, ÷BE=BC-EC=12-8=4, 54/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·AB=VAE2+BE2=V32+42=5 (2)解：如图，同(1)，过点A作AE1BC,则BE=4,AE=3, D 点P在AB的垂直平分线上， B C :PA=PB =t,PE=t-4, :在Rt△PAE中，PA2=PE2+AE2, 则=(t-42+9, 化简得81=25，解得1=2 (3)解：：点Q沿射线DA运动， :40=21-8, :四边形ABPQ是平行四边形，BP=t, :.AO=BP, :1=|2t-8, 当Q点未到达A点时，即t=21-8,解得t=8; 当0点过4点后，即1=-21-小=-21+8，解待1 故1=8或1=3 8 (4)解：如图，当P在AB上时： BP 根据对称的性质，可知∠PBQ=∠PBQ, :AQ∥BP, ∠AQB=∠PBQ, 、∠AQB=∠P'BQ, ·AB=AQ=5, :AQ=8-21, 55/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .8-2t=5, 解得1= 如图，当P在AB延长线上时： A D 蓉方 E--- 此时，点Q己过A点，延长CB于点E, 根据对称的性质，可知∠PBQ=∠P'BQ, :∠EBP'=∠ABP, ∠PBQ-∠ABP=∠P'BQ-∠EBP', ∠QBE=∠QBA, :DA∥CB, ∠QBE=∠AQB ∠AQB=∠QBA, :AB=AO=5, “AQ=21-8, 21-8=5, 部药1：碧 故1或1= 2 39.(25-26八年级上·吉林长春.期末)如图，四边形ABDE中，AE∥BD,AB⊥BD,AB=12,AE=15 ，点C在边BD上，四边形ACDE为平行四边形，AC=13,动点P从点B出发，沿BD以每秒3个单位长 度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒 备用图 (1)DE的长为一，BD的长为 56/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接AP,若AC将△ABP的面积分为1：2两部分，求t的值； (3)若△EPD为等腰三角形，求t的值： (4)在点P运动过程中，作点D关于直线EP的对称点M,当直线PM与ABC的一边平行或共线时，直接 写出t的值. 【答案】(1)13,20 a5 写9 7 41或或5 【详解】(1)解：：四边形ACDE为平行四边形，AC=13,AE=15, .DE=AC=13,CD=AE=15; AB⊥BD,AB=12, .∠ABC=90°， BC=VAC2-AB2=V132-122=5, ∴BD=BC+CD=20; 故答案为：13,20； (2)解：如图， B 由题意得BP=3t, :BC=5, .CP=31-5, :AC将△ABP的面积分为1：2两部分，即S。4Bc:SACp=1:2或S4Cp:S。4Bc=1:2,且S。4Bc,S4Cp等高， =2, CP :CP=10或CP=2' 5 57/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 .3t-5=10或3t-5= 2’ 1=5或1= 2 t的值为5或 (3)解：如图，过点E作EG⊥BD,连接PE, E B :四边形ACDE为平行四边形， .AEI川BD, AB⊥BD,EG⊥BD, :AB=EG=12(平行线间距离处处相等)， :DE=13,∠EGD=90°， DG=DE2-EG2=5, 由(1)知BD=20,由(2)知BP=31, DP=20-31, :△EPD为等腰三角形， ∴.分DE=DP,DE=EP,DP=EP三种情况， 当DE=DP时，则13=20-31，解得1=3 当DE=EP时， :EG⊥BD,DG=5, PG=DG=5,即DP=10,则10=20-31，解得1= 39 当DP=EP时，则EP=DP=20-3t, DG=5, PG=DP-DG=20-31-5=15-31, 在RtAPGE中，EP2=PG2+EG, 58/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即(20-3)2=(15-3)2+122， 31 解得t= 30 棕上，当△0为等经三角形，的为安号或号 (4)解：：点B,C,D在同一条直线上，点M与点D关于直线EP对称， 如图，当PM,BC共线时，则EP⊥BD, E B C 同理(3)得PD=5, .BP=BD-DP=15, t=15÷3=5; 如图，当PM‖AC时，连接ME, AM F 由对称的性质得ME=DE=13,DP=PM=20-3t, :PEPE, .△APEADPE(SSS, .∠PME=∠PDE, PMIAC,DE AC, .PMI DE, ∠PDE+∠MPD=180°， ∠PME+∠MPD=180°， :EM IDP, 59/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “点M在AE上，即四边形MPDE是平行四边形， :PM PD, .四边形MPDE是菱形， ∴DP=DE=13,即20-3t=13, 7 解得t=3 如图，当PM‖AC时，设PM,AE交于点N, M B PC :AEI‖BD,AB|PM, 四边形ABPN是平行四边形， :LABP=90°， 四边形ABPN是矩形， PN=AB=12,AN=BP=3t,∠ANP=90°， ∴.∠MNE=90°， 由对称的性质得PM=DP=20-3t,ME=DE=13, .MN=PM-PN=20-31-12=8-31,NE=AE-AN=15-3t, 在RtAMNE中，ME2=NE2+MW2,即132=(15-32+(8-32， 整理得312-231+20=0， 2、23 20 t=- 3 3， :2_23,+52920529 t+ 三 3 36 336 36 .1 23=± 6 60/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得1=1或=9 (此时，点P,点D,点M重合，舍去)， 综上，当直线PM与ABC的一边平行或共线时，t的值为1或 或5. 3 题型四多结论选择（共11小题） 40.(24-25八年级下·安微合肥期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为CD上 一点，BF⊥AE,CG⊥BF,垂足分别为F、G,连接OG、OF,A0与BF交于点H,在下列结论中： ①∠ACG=∠CAE;②0D=0F+BG;③AE=BF;④△G0F是等腰直角三角形：⑤HG2+HF2=2HO ,正确结论个数是() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【详解】解：：BF⊥AE,CG⊥BF, .LAFH=LCGH=90°，又LAHF=LCHG, ∴90°-∠AHF=90°-∠CHG, ∠HAF=∠GCH,即∠ACG=∠CAE,故①正确； :四边形ABCD是正方形， .AC⊥BD,AB=BC=AD,0A=0B=OC=OD,∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，∠AOB=∠BC0=45° :∠CBG+∠BCG=∠ABF+∠CBG=90°， ∠ABF=LBCG, 在△ABF和△BCG中， I∠ABF=∠BCG ∠AFB=∠BGC, AB=BC △ABF≌△BCG(AAS), 61/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AF=BG,BF=CG 在△AF0中，：OA<0F+AF, 0D<0F+BG,故②错误： 在Rt△ABF中，AB>BF,在RtAADE中，AE>AD, :AE>BF，故③错误： :LABF+L0BF=∠BCG+∠0CG=45°，LABF=LBCG, ∴.∠OBF=∠OCG :OB=OC,BF=CG, .△0BF≌a0CG(SAS), FO=GO,ZOFB =Z0GC, :∠0GF+∠0GC=90°， ∴∠0GC+∠0FB=90°，则LG0F=90°， 故△GOF为等腰直角三角形，故④正确： 设GC交BD于点I,连接HⅢ，如图所示， :△GOF为等腰直角三角形， .∠FG0=∠GF0=45°，又∠HG1=90°， .∠HF0=∠IG0=45°， 在△FOH和aGOI中， ∠HFO=∠IGO FO=GO ∠FOA=∠GOB=90°-∠GOH aFOH≌aG0I(ASA, H0=I0,G1=HF.又∠A0B=90°， 62/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “HOI为等腰直角三角形， ∴.HI2=H02+102=2H02, 在RtoHG1中，由勾股定理可得HG+GI2=HⅢ2， 即HG2+HF2=H2=2H02,故⑤正确： 综上，正确的序号为①④⑤，有3个正确， 故选：B 41.(24-25九年级下·海南海口.期中)在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF=CE, 连接DF、DE、EF,EF交对角线BD于点N,M为EF的中点，连接MC,下列结论：①aDEF为等腰直 角三角形；②∠FDB=∠FEC;③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF=2,则MC=√2；其中结论正确 的有() M B A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：在正方形ABCD中，AD=CD,∠A=∠DCB=∠ADC=∠DCE=90°； AF CE, .△DAF≌ADCE(SAS), .DF=DE,∠ADF=∠CDE, .∠FDE=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°， ∴：△DEF为等腰直角三角形： 故①正确： :△DEF为等腰直角三角形， ∠DEP=45°； 在正方形ABCD中，∠ADB=45°： 设∠FDB=Q,则∠CDE=∠ADF=∠ADB-∠FDB=45°-a, ∠DEC=90°-∠CDE=45°+a, ∴.∠FEC=∠DEC-LDEP=45°+a-45°=a, 63/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠FDB=∠FEC, 故②正确； 如图，连接DM,BM, :∠FDE=∠ABE=90°，且M是斜边EF的中点， ∴DM=号ER,BM=EF, 2 .DM =BM 在正方形ABCD中，CD=CB, ∴.CM是线段BD的垂直平分线： 故③正确： B G 取BE的中点G,连接MG, :M是EF的中点， MG是△BEF的中位线， .MG=5BF=1,MG∥BF, ∠MGC=90°； :直线MC是BD的垂直平分线，且CB=CD,∠BCD=90°， :∠MCG=∠BCD=45°， .∠GMC=∠MCG=45°， .MG=CG=1, 由勾股定理即得MC=√MG2+CG2=√2， 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D 42.(23-24八年级下山东日照期末)如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠ADB的平分线交AB边于 64/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点E,点F在BC边上，BF=AE,连接AF分别交DE和BD于点G,H,动点P在DE上，PQ⊥BD于点 Q,连接PH,有下列4个结论①AF⊥DE:②AE+AD=BD;③AE=GH:④PH+P吧的最小值是5.其 2 中正确结论的个数是() D G A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， DA=AB,∠DAE=∠ABF. 又：BF=AE, .△DAE≌△4BF(SAS, ∠ADE=∠BAF. :LADE+LAEG=90°， ∴∠BAF+LAEG=90°， ∴∠AGE=90°，即AF⊥DE,故①正确： :∠ADB的平分线交AB边于点E, .∠ADG=∠HDG, 又：DG=DG,∠AGD=∠HGD=90°， △ADG≌△IDG(ASA), :AD HD, ∠DAH=∠DHA. :∠BHF=∠DHA, ∴∠BHF=∠DAH, :AD∥BC, ∠BFH=∠DAH, .∠BHF=∠BFH, 65/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BF BH, AE BH. BD=BH+DH=AE+AD,故②正确； 如图：连接EH, G B F C DE=DE,∠ADE=∠HDE,AD=HD, :.△ADE≌HDE(SAS), :AE=HE, :AF⊥DE, ∴△HEG是直角三角形，即EH>HG, ·AE>GH,故③错误， 如图，过点P作PM⊥AD于点M,过点H作HN⊥AD于点N. NM E G :∠ADB的平分线交AB边于点E, :PM=PO, PH+PQ=PH+PM≥HN, .PH+PQ的最小值为HN的长. :∠NDH=45°， ∴△NDH为等腰直角三角形. DH=AD=1, HN = DH- 2 2 66/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PH+P的最小值是 ,故④正确， 2 故正确的有①②④共3个. 故选C 43.(23-24八年级下山东济南期末)如图，在正方形ABCD中，AD=4,对角线AC与BD交于点O, OG⊥AB于点G,E为平面内一动点，且∠AEB=90°，F为AE中点，连接GF,OF·有下列说法：① ∠AFG=90°；②取AG中点P,连接PF,则∠FPG=2LFAB;③当四边形AOBE为正方形时，SAFGO=2; ④在点E运动过程中，OF的最小值为√5-1.其中正确的序号有() B D A.①② B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD为正方形，对角线AC与BD交于点O, 0A=0B, :OG⊥AB, .:AG=BG, :F为AE中点， FG为△ABE的中位线， ∴FG∥EB, ∠AEB=90°， .∠AFG=90°，则①正确： 如图， 67/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B D :点P为AG中点，∠AFG=90°， .AP=PF, ∠PAF=LPFA, ∠FPG=∠PAF+∠PFA=2∠FAB,则②正确： :四边形ABCD为正方形， .AB=AD=4, AG=AB=GO, .0G=AG=2, 连接EG,过点F作FH⊥EG交于点H,如图， D :四边形AOBE为正方形， .点E、点G和点O三点共线，∠EGA=90°， .FH∥AG, EF FH AE AG :F为AE中点， :.FH=LAG=1, 2 0G×HE=×2x1=1,则③错误； 2 2 连接OP,如图， 68/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点P为AG中点，∠AFG=90°， 1 PG=PF-4G=1. 则0P=VPG2+0G2=5, 那么，0F≥0P-PF=√5-1， ∴OF的最小值为√5-1，则④正确： 故选：B 44.(23-24八年级下.湖北省直辖县级单位期末)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接 AE交CD于F,作∠AEG=∠AEB,EG交CD的延长线于G,连接AG,当CE=BC=4时，作FH⊥AG于 H,连接DH,则：①点F是CD的中点；②AH=√10；③∠ADH=45°；④DH=1.其中正确的结论有() B C A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，CE=BC, CE=AD,AD∥BC, ∠CEF=∠DAF,LECF=∠ADF=90°， △CEF≌aDAF(ASA), EF=AF,CF=DF,即点F是CD的中点：①正确； 过点A作AJ上EG于点J,如图所示： 69/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H G D :四边形ABCD是正方形， F B E .AD=AB, :∠AEG=∠AEB, .AJ=AB, :AJ=AD 在Rt△AGJ与Rt△AGD中， AG=AG AJ=AD’ .RtAAGJ≌Rt△AGD(HL), :JG=GD, 在Rt△ABE与Rt△AJE中， (AE=AE AJ=AB :RtAABE≌RtA AJE(HL), 2.EJ=BE, 延长AD交EG于点M,作HQ⊥AD,HP⊥CD, :△AGJ≌△AGD,AD∥BC, ·LAMG=2LCEF，∠JAM=2LGAM, ·在△AJM中，2(LCEF+LGAM)=90°， ∠CEF+∠GAM=45°. :AD∥BC, ÷∠CEF=∠DAF, :∠CEF+∠GAM=∠DAF+∠GAM=∠HAF=45°， :AH=HF,即△AHF是等腰直角三角形， .CE=BC=4, 70/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=4,BE=8, AE=V42+82=4V5, 4F-74E-25 H54r=0,②正确： :在△AHQ与△FHP中， ∠PFH=90°-LFGH=∠HAQ, AH=HF, .△AHQ≌△FHP, .HO=HP, HQ⊥AD,HP⊥CD, :HD是∠ADG的平分线， .∠ADH=45°；③正确： 在等腰Rt△HDP与等腰Rt△HQD中， PD-HO-OD-HD .PF-DF+PD-DF+HD-A0 2 4D-40+DO-DFHHDDF+HD 2 “四边形ABCD是正方形，CE=BC=4,△CEF≌△DAF, .DF=CF=2,AD=AB=BC=4, .4=2+√2HD, DH=√2，④错误， 综上，①②③正确， 故选：A 45.(23-24八年级下.湖北武汉期末)如图，正方形ABCD,E,F分别在AD,BC边上，将正方形沿EF折 叠，点D的对应点是点G,点C的对应点H在AB边上，HG与AD交于点M,连接CM·下列结论：① EF=CH;②∠BFH=∠MEG;③∠MCH=45°；④BH+DM=HM. 其中正确的个数是() 71/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=LB=LBCD=∠D=90°， 过点E作EN⊥BC于N,则DENC为矩形， G ④ E H 7 人32 B .LENF=∠B=90°，EN=CD=BC, 由轴对称可知，EF⊥CH,则∠2+∠3=∠1+∠3=90°， .∠1=∠2， .△ENF≌aCBH(ASA), ∴∠EFC=∠CHB,EF=CH,故①正确； 由轴对称可知，∠D=∠G=90°，LGHF=∠DCF=90°， 则∠GEM+∠4=90°=∠6+∠7=∠7+∠HFB=∠5+∠6， .∠6=LHFB, 又：∠4=∠5， ∠GEM=∠6=∠HFB,故②正确： 延长GE交CD于R,EF与CM交于点T,连接RT,TH, 由轴对称可知，DE=GE,LD=LG=90°，LDET=LGET, 又：∠DER=∠GEM, .△DER≌△GEM(ASA), 72/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EM=ER,LDER=LGEM,则∠TER=∠TEM, 又：ET=ET, .△TER≌aTEM(SAS), .TR=TM,∠ETR=∠ETM,则∠ETR=∠ETM=∠CTF 由轴对称可知，点C与点H关于EF对称，则LCTF=LHTF,TC=TH, G M④ E 10 6 H 7 P 人3 .∠ETD=∠ETM=∠CTF=∠HTF 又：∠MTH+∠CTF+∠HTF=180°， ∴MTH+∠ETR+∠ETM=180°，即R,T,H在同一直线上， 则MC=RH, 过点H作HW⊥CD交CD与W,可知，HW=CD,∠RWH=∠D=90°， .RtADMC≌Rt&WRH(HL), ∠8=∠9， 又：∠9+∠10=90°， ∠8+∠10=90°， :.MC⊥RH,则aCTH为等腰直角三角形， :∠MCH=45°，故③正确： G M④ E S D 6 ---- H W 8 63 2 B F 73/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 延长AD使得DQ=BH, B 又：∠CDQ=∠B=90°，DC=CB, △CDQ≌aCBH(SAS), .CQ=CH,∠DCQ=∠BCH, :∠DCH+∠BCH=90°， ∴.∠DCH+∠DCQ=∠QCH=90°， 由上可知，∠MCH=45°， ∴.∠MCQ=∠MCH=45°， 又：MC=MC, .aMCQ≌△MCH(SAS), ∴.MQ=MH, 而MQ=DM+DQ=DM+BH, .DM+BH=MH,故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D. 46.(23-24八年级下四川宜宾期末)如图，在正方形ABCD中，点E为AD中点，将△ABE沿BE翻折， 使点A落在点F处，连接AF交BE于点G,延长AF交DC于点H,连接DG并延长交AB于点I,连接DF 以下结论：①∠AFD=90°；②△ADH≌△BAE;③DG平分∠EGF;④BI=2AI.其中正确的有() B H A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 【答案】D 74/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：由折叠的性质得AE=EF, ∴∠FAE=∠EFA, :点E为AD中点， :AE EF DE, ∠EDF=∠EFD, .∠EDF+∠EFD+∠FAE+∠EFA=180°，即2(LEFA+∠EFD)=180°， ∴∠AFD=90°；①正确； :四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB,∠BAD=∠ADH=90°， 由折叠的性质得BE是线段AF的垂直平分线， ∠AGB=90°， .∠ABE=90°-∠BAG=∠DAH, :△ADH2△BAE(ASA),②正确； 在△ADF和△BAG中，AD=AB,∠AFD=∠AGB=90°，∠DAF=∠ABG, △DAF≌△4BG(AAS), .DF=AG,∠AFD=LBGA=90 :BE是线段AF的垂直平分线， :GF=AG, .GF=DF, :∠AFD=90°， :△DFG是等腰直角三角形， ∠DGF=45°， .∠DGE=90°-∠DGF=45°， DG平分∠EGF;③正确； 作IM⊥AG,IN⊥BG,垂足分别为M、N, 75/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D H :∠DGE=∠DGF=45°， .∠1GM=∠1GN=45°=∠GIM=∠GIW, 四边形MGN是正方形， :IM IN 设正方形ABCD的边长为6a, ÷AE=AD=3a,BE=√AB2+AE2=35a, :S。e-)4BxAE=BBX4G, 2 AG=6a-3a_65 5 35a BG-VAR-AG-125 a, AG·IM 1 1 BG·N 2 2 S△4@=4L SABGI BI B=,即B1=2A,④正确， 故选：D. 47.(23-24八年级下江苏无锡期末)如图，在正方形ABCD中，AB=3,E为CD上一动点，AE交BD于 F,过F作FH⊥AE交BC于点H,过H作HG⊥BD于G,连结AH,在以下四个结论中：①AF=HE; ②∠HHE=45°：®FG=3y5,④FH=2.其中正确的结论有() 2 76/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E G B H A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 【答案】B 【分析】连接FC,延长HF交AD于点L,证明△ADF≌△CDF即可证明FH=AF,由FH⊥AE, FH=AF即可证明②正确：如图，连接4C交BD于J,可得A1BD,W=B=3V2,证明 △AFJ≌△FHG,可得③正确，E是动点，则F是动点，AF的长度的变化的，可得FH的长度是变化的，可 得④错误， 【详解】解：①连接FC,延长HF交AD于点L,连接FC, D BD为正方形ABCD的对角线， G 夕 H ∠ADB=∠CDF=45°， :AD=CD,DF=DF, △ADF≌△CDF, FC=AF,∠ECF=LDAF, :∠ALH+∠LAF=90°，AD∥BC, ∴.∠ALH=∠LHC, ∠LHC+∠DAF=90°， ∠ECF=∠DAF, :ZFHC ZFCH, 77/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :FH=FC, :FH=AF, FH<EH, AF≠HE,故①错误： :FH⊥AE,FH=AF, ∠HAE=45°，故②正确； ③如图，连接AC交BD于J, :四边形ABCD是正方形，AB=3, AJ⊥BD,AJ=BJ= 3V2 A D E G B H :AF=HF,AF⊥HF, .∠FAJ+∠AFG=90°=∠AFJ+∠HFG, .∠FAJ=∠HFG, :GH⊥BD, .∠AJF=∠HGF=90°， ∴△AFJ≌△FHG, “FG=AW=3V2,故③正确， 3 ④：E是动点，则F是动点，AF的长度的变化的， FH的长度是变化的，故④错误； 综上：②③正确； 故选B 48.(23-24七年级下.重庆忠县期末)如图，点A为大小是45°角的顶点，∠a的两边分别与正方形 ABCD的另两边交于点P,Q.对于下面说法： 78/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①2∠APQ=∠PQC+90°： ②PA、QA分别是∠BPQ、∠PQD的角平分线； ③当∠B=22.5°时，△APQ的面积最小 其中正确说法的个数为() D A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】A 【详解】解：如图，将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到ADE, 1E D B 力 :四边形ABCD为正方形， ∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD, 由旋转的性质可得：AP=AE,DE=BP,∠ADE=∠B=90°，∠DAE=∠BAP=B,∠PAE=90°， ∠AEQ=∠APB, .∠ADQ+∠ADE=180°， 点E、D、Q在同一直线上， :∠PAQ=a=45°， ∴∠QAE=90°-∠PAQ=45°=∠PAQ, AO=A0, .△PAQ≌△EAQ(SAS), ∴.PQ=QE,∠AEQ=∠APQ=∠APB,∠AQP=∠AQE, 79/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :PA、QA分别是∠BPQ、∠PQD的角平分线，故②正确： :∠PAQ=0=45°， ∠APQ+∠AQP=180°-∠PAQ=135①， :∠AEQ+∠EAQ=∠AQP+∠CQP, ∠APQ+45°=∠AQP+∠CQP②， 由①+②得：2∠AP0+45°=135°+∠CQP, .2∠APQ=∠PQC+90°，故①正确； 由aPA0≌E4Q(SAS到可得：Sm=SsD0+DE4DD0+BPAD, :AD的长固定不变，为正方形的边长， 当DQ+BP的值最小时，△APQ的面积最小， 设DQ=a(a>0),BP=b(b>0),则DQ+BP=a+b≥2√ab,当且仅当a=b时，等号成立，此时a+b最 小，即DQ+BP最小， :当DQ=BP时，△APQ的面积最小， :AD=AB,∠ABP=∠ADQ=90°， △ABP≌△ADO(SAS), .∠BAP=∠DAQ, :∠BAP+∠DAQ=90°-∠PAQ=45°， ∠BAP=∠DAQ=22.5°， “当∠B=22.5°时，△APQ的面积最小，故③正确： 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：A. 49.(23-24八年级下江苏泰州期末)如图，点E是线段AB上一点，四边形ABCD和四边形AEFG均为正 方形，连接BD,分别交GF、EF于点M、N,延长GF交BC于点H,连接CM、CN、GN、NH,若己知 △CMN的面积，则一定能求出() 80/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A.四边形EFHB的面积 B.四边形CDGH的面积 C.△GHN的面积 D.△DMC与△CBN的面积之和 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接AC,AM,AN, :四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形， AB=AD,AG=AE=EF,LADB=∠ABD=45°， ∴AB-AE=AD-AG,即DG=BE, 由正方形的性质可得∠DGM=∠BEN=90°， ∴△DGM,△BEN都是等腰直角三角形， .DG=MG,EN =EB, ∴DM=V2DG,BN=√2BE, .DM BN, .△ADM≌AABN(SAS), .AM AN, 由正方形的对称性可得CM=AM,AN=CN, ∴.CM=AM=AN=CN, :四边形AMCN是菱形， SA10W=S△cwmw=2S边形4wMCv1 :∠ABM=∠CBM=45,AB=CB,BM=BM, △ABM≌△CBM, S△ABM=S△cBM, S△HCM=SAABM+S△cBM-S△ABC 81/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(4E+BE小AE-2(AE+BE 1 目AB+AB:BE4E4E:BEBE 1 2 :∠AGH=∠ABH=∠BAG=90°， .四边形ABHG是矩形， .GH=AB, S.oMu-GH-FN 1 -24B(EF-EN) E+阳(4-胸 AE3-E, 1 2 S△GNH=S△HCM, S△GNH=S△cN, 故选：C D H A E B 50.(23-24八年级下辽宁铁岭，期中)如图，在正方形ABCD中，E,F分别在AB,CD边上，四边形 ADFE与ADFE关于直线EF对称，且点D在BC边上，A'D'交AB于点G,连接DD',DF下列结论：① DD'=EF;②A'EG=∠CFD';③LAGD+∠CD'D=135°；④AG+CD'=GD'. A D ④ G B 82/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=LC=∠ADC=90°， 过点E作EH⊥CD交CD于H,EF交DD'于O,则AEHD为矩形， A E 11- 4 G 5 B 6入7 D ∠EHF=∠DCD'=90°，EH=AD=CD, 由轴对称可知，EF⊥DD',则∠2+∠3=∠1+∠3=90°， .∠1=∠2， aEHF≌△DCD'ASA, ∠EFD=LCD'D,EF=DD',故①正确； 由轴对称可知，LA=∠A'=90°，∠A'D'F=∠ADF=90°， 则LA'EG+L4=90°=∠6+∠7=∠7+∠CFD'=∠5+∠6， ∴L6=LCFD', 又：∠4=∠5， ∠A'EG=∠6=∠CFD',故②正确； 延长A'E交AD于M,EF与GD交于点N,连接MN,ND', 由轴对称可知，AE=AE',∠A=∠A'=90°，∠AEN=∠A'EN, 又：∠AEM=LA'EG, △AEM≌△A'EG(SAS, EG=EM,LAEM=∠A'EG,则∠NEM=∠NEG, 又：EN=EN, .△NEM≌△NEG(SAS), 83/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.NM=NG,∠ENM=∠ENG,则∠ENM=∠ENG=∠DNF 由轴对称可知，点D与点D关于EF对称，则∠DNF=∠D'NF,ND=ND', y M ,710 E G 9 D C ∴∠ENM=∠ENG=∠DNF=∠D'NF 又：∠GND'+∠DNF+∠D'NF=I80°， ∠GND'+∠ENM+∠ENG=180°，即M,N,D在同一直线上， 则GD=MD', 过点D作D'T⊥AD交AD与T,可知，TD'=AD,∠MTD'=LA=90°， .Rt△AGD≌Rt△TMD'HL), ∠8=∠9， 又：∠9+∠10=90°， .∠8+∠10=90°， GD⊥MD',则△DND'为等腰直角三角形， ∠GDD'=45°，则∠DNF=45°， .∠END=I35°=LAGD+∠GEF, 又：AB∥CD, ∴.∠GEF=∠EFD, 由上可知，∠EFD=∠CD'D, .∠AGD+∠CD'D=135°，故③正确； 延长BA使得AQ=CD', 84/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 . E G B 又：∠DAQ=LDCD'=90°，AD=CD, .△DAQ≌△DCD'(SAS), .DO=DD',ZADO=ZCDD', :∠ADD'+∠CDD'=90°， .∠ADD'+LADQ=LQDD'=90°， 由上可知，∠GDD'=45°， .LGD0=LGDD'=45°， 又DG=DG, △GDQ≌aGDD'(SAS), ·G0=GD', 而G0=AG+A0=AG+CD', AG+CD'=GD',故④正确： 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D. 题型五最值问题（共10小题） 51.(24-25八年级下福建厦门期末)如图，是学校操场旁的一块ABCD空地，设计人员在规划绿叶用地 时，过点A作AE∥DC交BC于点E,且AE平分∠DAB,过点D作DF⊥AE交AE于点O,交AB于点F ,线段OA上有一动点P,过点P作PQ∥AD,交CD于点0.若AE与CD之间距离为10m,A0=30m, 连接FP、FQ,学校计划在点F处安装一个摄像头，则摄像头分别到点P、Q的距离之和的最小值是() m. 85/105 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 0 B A.35 B.10W10 C.30√2 D.305 【答案】C 【详解】解：过点F作l∥AE,作AE关于I的轴对称线段A'E',并在AE上取点P的对应点P, D B E' P'P⊥l,FP=FP', :AE∥DC,L∥AE,AE//A'E', AE∥DC∥I∥AE', 又：DF⊥AE, DF⊥A'E',PP'⊥AE,PP'⊥AE', 过点Q作HQ⊥A'E,交AE于M,延长OF交AE于点N ∴.∠AMQ=∠MQD=∠A'HM=90°， 四边形DOMQ、PP'HM是矩形， .DO=OM,DO=OM,PM=P'H,PP'=HM :AE平分∠DAB,DF⊥AE, .∠DAO=∠FA0,∠DOA=∠FOA, 又：0A=A0, ∴.△DAO≌△FAO(ASA), .0D=0F, :AE与CD之间距离为10m,DF⊥AE, .0D=0F=10m, 由对称可知：FN=F0=10m, ∴P'P=HM=20F=20m 86/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .HQ=30m, :AE∥DC,PQ∥AD, :.四边形APQD是平行四边形， :AP=DO, .PM=OP+OM=OP+DO=OP+AP=AO=30m, .P'H PM =30m, :PF+QF=PF+QF≥PQ, :当P、F、Q三点在同一条直线上时PF+QF最小，最小值为PO, 在RtAP'HO0中，P'Q=VP'H+HQ2=V302+30=30√2， 故选C. 52. （25-26八年级上·福建泉州-期末)如图，在ABC中，∠4CB=90,4B=25,BC=15 16 6,点D,E分 别是线段BC,AB上的动点（点D不与点C重合），且CD=AE,连接AD,CE,则AD+CE的最小值为 【答案】√5 【详解】解：在AB的下方，作AF⊥AB,且AF=AC,连接CF交AB于点T,如图所示： A B E ,7 :在ABC中，∠ACB=90,AB=25 BC=15 6 16 AC=AB2-BC3 :AF⊥AB, 87/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠FAB=∠DCA=90°， CD=AE,AF=AC, △AEF≌ACDA(SAS), 则EF=AD, .AD+CE=EF+CE≥CF, 当点E与点T重合时，则AD+CE的值最小，且为AD+CE=EF+CE=CF, 过点C作直线l⊥AB交AB于点H,再过点F作FN⊥直线I于点N,如图所示： B T(EH 则∠AHC=∠FNH=90°， .FNI川AH, :∠FAT=90°， ∠AFN=180°-90°=90°， 即AF⊥FN, :FNI‖AH,FN⊥CN, 5 :HN=AF=AC=二（平行线之间距离处处相等）， 4 同理得FN=AH, 依题意， 2xABXCH=S.Ic= xBC×AC, 则ABx CH=BC×AC, 155 SCH=BC×AC=164=, AB 25 16 在w4cn中，=ac-o--目= 88/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CN=CH+HN= 3.5 44 =2, 即FN=1, 在Rt△FNC中，CF=√CN2+FN2=V2+22=√5， 即AD+CE的值最小值为V5, 故答案为：√5 53.(25-26八年级上福建福州期末)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE=2,点F、P 分别为线段BC、AD上的动点，连接BE,BP,FP,EF,若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE ,则BP+EF的最小值为： B 【答案】45 【详解】解：如图，过点P作PN⊥BC于点N,过点E作EM⊥BE,过点P作PM∥EF,交EM于点M, 设PF与BE相交于点G,连接BM, B ∠PNB=∠PNF=90°， :四边形ABCD是正方形，且边长为6， AB=BC=6,∠A=ABC=∠C=90°， :点E在CD上且CE=2, ·△BCE是直角三角形， 由勾股定理得：BE=√BC2+CE2=√6+22=2V0, :∠A=∠ABC=∠PNB=90°， 89/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABNP是矩形， .PN =AB=6, 在△PNF中，∠PNF=90°， ∠NPF+∠NFP=90°， :PF⊥BE于点G, .△BGF是直角三角形， ∴∠CBE+LBFP=90°， .∠NPF=∠CBE, 在△PNF和△BCE中， ∠PNF=∠C PN=BC ∠NPF=∠CBE ∴△PNF≌△BCE(ASA), :PF=BE =210, :EM⊥BE,PF⊥BE, ∴.EM∥PF,∠BEM=90°， 又：PM∥EF, :四边形AFEM是平行四边形， ·.EM=PF=2V10,PM=EF, .EM=BE =210,BP+EF BP+PM 在△BEM中，∠BEM=90°，EM=PF=2V10, ∴.△BEM是等腰直角三角形， 由勾股定理得：BM=VBE2+EM2=V(2102+(2102=4V5, BP+EF =BP+PM, 当BP+PM为最小时，BP+EF为最小， 根据“两点之间线段最短”得：BP+PM≤BM=45, :当点B,P,M共线时，BP+PM为最小，最小值为线段BM的长为4√5， BP+EF的最小值为45. 故答案为：45. 90/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 54.(24-25八年级下.福建福州期末)在矩形ABCD中，AB=6,BC=6√3，点E为矩形内部的一点， CE=6,连接AE,点F是AE的中点，连接DF,点G是DF的中点，连接CG,则CG长度的最大值是 G B 【答案】3 35 【详解】解：连结BD,交AC于点O,取OD的中点H,连结OF,GH,CH, :.DH=OH, ∷ 四边形ABCD是矩形， 0A=0C,0B=0D,AC=BD,CD=AB=6,∠BCD=90°， 0C=0D, 在R△BCD中，BD=VBC2+CD2=65'+62=12, .OD=BD=6-CD ..OC=OD=CD, DH=OH, .DH-OD-3 CHL0D. CH=VCD2-DH2=V62-32=3V5, :点F是AE的中点，OA=OC, 0r-cE=3, :点G是DF的中点，DH=OH, .GH-2OF-3 :GH+CH≥CG, CG≤GH+CH=+3V3, 2 当点H在CG上时，cG取最大值多+35 +35. 故答案为：2 91/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BL-- BL--- 55.(24-25八年级下.四川宜宾期末)如图，在平行四边形ABCD中，AD=4,∠A=30°，点E是射线 DC上一点，连接BE,以BE为腰作等腰直角三角形BEF,∠EBF=90°，连接FC,则FC的最小值是 D E y B 【答案】2+2V5 【详解】解：如图：过点B作BG⊥BC,取BG=BC,连接GE, D E B G :△BEF为等腰三角形，且∠EBF=90°， .∠FBC=LEBG, 又：BG=BC, △BCF≌△BGE(SAS, .EG=CF, :当EG取最小值时，CF也取最小值. :点E是射线DC上一点， ∴CF最小值为点G到射线DE的距离， 如图：过点G作GN⊥CD交AB延长线于点M,过点C作CH⊥AB于点H,即GN为FC的最小值. 92/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠A=30°，四边形ABCD为平行四边形，AD=4, ∠CBH=30°，BC=BG=AD=4, :CH-1BC-2.BH-VBC-CH-2 又：BG⊥BC, .∠GBH=60°，∠BGM=30°， BM=-BG=2,MG=BG-BM=2. :GN⊥CD,GN⊥MH,CH⊥AB, :四边形NMHC是矩形， .MN=CH=2, ·.GN=GM+MW=2V5+2. ∴FC最小值为2√5+2. 故答案为：25+2. 56.(25-26八年级上湖南长沙期末)阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点M(x,),N(x,2),则这两点间的距离可用下列公式计算： MN=Vx-x)+(y-乃2)2，例如：已知P(5,)，(3,-2,则这两点间的距离为 P0=V5-3)+1+22-3 材料二：我们把a2+b2≥2ab叫做“均值不等式”.该不等式的推导过程如下：：(a-b)2≥0， .a2-2ab+b2≥0，.a2+b2≥2ab,该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如：a2+b2≥2ab, a2+b+2ab≥4ab,ab≤a+b.根据上述材料，完成下列题目： (1)已知A(1,3),B(2,5),则AB= (2)如图①，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，且Aa,b),C(c,0). 图① 93/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①0B= ； ②连接AC,0B,求证：AC2+OB2=2(OA+OC2). (3)如图②，AD是△0AB的中线，若B0=4,AD=2,求△0AB周长的最大值. D 图② 【详解】(1)解：根据题意：AB=V-2+3-5=V5; (2)解：①：四边形0ABC为平行四边形， AB∥OC,AB=OC, :Aa,b),C(c,0), ..B(a+c,b), 0B=Va+c-02+(b-0)2=Va+c)2+b2=Va2+b2+c2+2ac; ②连接AC,OB,过点AB作AE⊥OC,BF⊥OC,垂足分别为E,F, A B :∠AEC=∠BF0=90°， E :四边形OABC是平行四边形， AB∥OC, .∠EAB=∠ABF=90°， :四边形AEFB是矩形， ·AB=EF,AE=BF, AB=OC, :EF=OC, 94/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AC2=AE2+CE2,0B2=0F2+BF2, .AC2+OB2=AE2+CE2+(EF+OE)+BF2,AC2+OB2=AE2+CE2+EF2+OE2+2EF.OE+AE2, .AC2+OB2=AE2+CE2+0C2+0E2+AE2+20C.OE, :CE2=(0C-0E2=0C2+0E2-20C.0E, .AC2+OB2=AE2+OC2+0E2-20C.OE+OC2+OE2+AE2+20C.OE, AC2+0B=2(AE2+0E)+20C2=20A2+0C2): (3)解：分别过点B,O作AO,AB的平行线交于点E,连接DE, B D E 则四边形AOEB是平行四边形， .AB=OE,AO=BE,AE与BO互相平分， :AD是△OAB的中线， A,D,E三点共线， ·AE=2AD=4, :B0=4, 由(2)②可得：AE2+B02=2AB2+BE2)=2(AB2+AO）, .AB2+AO2=16, :(AB-AO)2≥0， AB2+AO2-2AB·A0≥0， AB2+AO2≥2AB·AO, .AB2+AO2=(AB+AO)-2AB.A0=16, :(AB+A02=16+2AB·A0≤16+AB2+AO）, :(AB+AO)2≤16+AB2+A02)=32, 95/105 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB+AO≤4N2,即-4V2≤AB+A0≤42， AB>0,AO>0, :AB+A0≤4V2, :△0AB周长：AB+AO+B0≤4+4V2, :△0AB周长的最大值为4+4√2。 57.（25-26八年级上湖南株洲期末)综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动. 【操作判断】 (1)如图①，将边长为10cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正方 形ABCD折叠，使点D落在边BC上的点P处，得到折痕GH,折痕GH与折痕AC交于点Q,打开铺平， 连接PQ,PD,PH.若点P的位置恰好使得PH⊥AC. D A A G G B P M ① ② ③ (1)∠PDH= 【探究提炼】 (2)如图②，若(1)中的P是BC上任意一点，求∠DPQ的度数： 【理解应用】 (3)如图③，某广场上有一块边长为80m的菱形草坪ABCD,其中∠BCD=60°，现打算在草坪中修建步 道AC和MN-ND-DM,使得点M在BC上，点N在AC上，且MN=ND.请问：步道MN-ND-DM所 围成的△MND(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理 由. 【答案】(1)22.5°：(2)45°(3)4005m2 【详解】解：(1)正方形ABCD中， :∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=∠BCD=45°， 2 :PH⊥AC, ∠PHC=180°-90°-∠ACD=45°， 由折叠可知：PH=DH, 96/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PDH=∠DPH, :LPDH+∠DPH=∠PHC=45°， ∠PDH=22.5°； (2)如图，过点Q作QE⊥BC,垂足为E,过点Q作QF⊥CD,垂足为F, B E .∠QEP=∠QFD=90°， :AC是∠BCD的角平分线，∠BCD=90°， .QE=QF,∠EQF=90°， “折叠， :OP=OD, 在Rt△QEP和Rt△QFD中， OP=OD OE=OF' .RtAQEPS≌RtAOFD(HL, ∴.∠DQF=∠PQE, :∠EQF=∠PQE+∠PQF=90°， .∠PQF+∠DQF=∠DQP=90°， :△DOP为等腰直角三角形， .∠DPQ=∠QDP=45°： (3)如图，过点N作NE⊥BC,垂足为E,过点N作NF⊥CD,垂足为F, ∠BCD=60°， ∴∠ENF=360°-∠NFC-∠NEC-∠BCD=120°， 97/105 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线， :NE =NF, :在Rt△NEM和RtANFD中， MN=DN NE=NF .RtANEM≌RtaNFD(HL), .∠ENM=LFND, .∠ENM+∠MNF=∠MNF+∠FND, ∠DNM=∠ENF=120°， DN =MN, :∠NMD=∠NDM=180°-∠DNM-30, 2 过点N作NK⊥DM于点K,设DM=a, 则aMK=DM=号，NK=MN, :MN2=NK2+MK2,即2NK)2=NK2+(号， ·M= a, 6 12 :当a最小时，即DM最小时，△MND面积最小， :当DM⊥BC时，即DM最小，△MND面积最小， 如图， D B M :DM⊥BC,LBCD=60°， .∠CDM=30°， ÷MC=2CD=2x80=40(m, i.DM=CD2-CM2=403,a=403, 98/105 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :S.NDM 12 12 2×(405)}2=4005(m2） ·aMND的面积存在最小值是4003m2. 58.(24-25八年级下广西南宁期末)【问题发现】 (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P是矩形ABCD内一点，过点P作EF⊥AD,分别交 AD,BC于点E,F.PE=4,AE=3.则： ①PA=,PB=,PC=—’PD=— ②PA+PC2PB2+PD2(填“>"="或”<)； 【类比探究】 (2)如图2，点P是矩形ABCD外一点，过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC的反向延长线于点E,F, ②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，P是Rt△ABC外一点，PA=1,PB=3,PC=V5，请求出 BC的最小值. B B 图1 图2 图3 【答案】(1)①5，√3，√29，√41；②=；(2)成立，理由见解析；3)√3-1 【详解】(1)解：①如图1， :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, AD=BC=8,∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， :过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC于点E,F, .∠AEF=LDEF=90°， :四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， EF=AB=6,BF=AE=3,∠AEF=∠DEF=90°， :CF DE=AD-AE=8-3=5, .PE=4, 99/105 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PA=VAE2+PE2=5,PD=VDE2+PE2=V52+42=√41， :PF=EF-PE=6-4=2, .PB=BF2+PF2=13,PC=CF2+PF2=29, 故答案为：5，√13，√29，√41. ②PA2+PC2=52+(N29)2=54,PB2+PD2=(N13)2+(N4)2=54, ..PA2+PC2 PB2+PD2, 故答案为：= (2)解：成立，理由如下： 如图2， :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， ∠EAB=LFBA=90°， :过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC反向延长线于点E,F, ∠E=90°， :四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， ∴AE=BF,DE=CF, .PD2=DE2+PE2=CF2+PE2,PA'=AE'+PE=BF+PE, PD:-PA2=CF2-BF2 PC:=CF2+PF2,PB2=BF2+PF2, :PC2-PB2=CF:-BF2, :.PC2-PB2=PD2-PA2, ..PA2+PC2 PB2+PD2. (3)解：如图3，作PM⊥CA交CA的延长线于点M,则∠PMC=90°， PC:=PM:+CM2,PA2=PM 2+AM2, 作BN⊥PM交PM的延长线于点N,作CT⊥NB交NB的延长线于点T,连接AT、PT, 100/105