5.4 二次函数与一元二次方程&问题解决活动 怎样围面积最大-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

92 5.4二次函数 01 基础达标 知识点一二次函数的图象和x轴的交点坐标与 对应的一元二次方程的根之间的关系 1.已知二次函数y=一x2十2x十k的部分图象如 图所示，若关于x的一元二次方程一x2十2x十 =0的一个解0=3，则另一个解x2= x=2 第1题图 第6题图 2.已知二次函数y=x2十3x一3的图象与x轴两交 点为(x1,0),(2,0),则四十2的值为 知识点二二次函数的图象与x轴交点个数与 对应的一元二次方程的根的判别式 之间的关系 3.抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数为 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4.二次函数y=kx2一6x+3的图象与x轴有两 个交点，则k的取值范围是 ( A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 5.若二次函数y=一x2+3x十m的图象全部在x 轴的下方，则m的取值范围为 知识点三二次函数与不等式 6.如图是二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象 的一部分，由图象可知不等式ax2十bx十c<0 的解集是 知识点四利用二次函数求一元二次方程的根 的近似值 7.下列表格是二次函数y=ax2十bx十c的自变量 x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx十c= 与一元二次方程 0(a≠0，a,b,c为常数)的一个根x的范围是 ( 6.17 6.186.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.010.020.04 A.6<x<6.17 B.6.17x<6.18 C.6.18x<6.19 D.6.19<x<6.20 易错点1混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点” 8.抛物线y=一x2+4r一4与坐标轴的交，点个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 易错点2忽视函数是一次函数的情况 3 9.若函数y=(m-1)x2-6x十m的图象与x 轴有且只有一个交点，则m的值为 () A.-2或3 B.-2或-3 C.1或-2或3 D.1或-2或一3 02能力提升 10.(2025·广东)二次函数y=ax2+b.x+c (a≠0)的图象如图所示，下列说法中，错误的 是 对称轴是直线号 B.当-1<x<2时，y<0 C.a+c=b D.a+b>-( 11.对于二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)，我们把 使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零 点，则二次函数y=x2一mx一5(m为实数)的 零点的个数是 A.1 B.2 C.0 D.不能确定 12.抛物线y=ax2一a(a≠0)与直线y=kx交于 A(x1,y1),B(x2,2)两点，若0十x2<0,则直 线y=ax十k一定经过 A第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 93 13.已知二次函数y=kx2十(k十1)x+1(k≠0)， (1)求证：无论k取任何实数，该函数的图象 0 与x轴总有交点. (2)如果该函数的图象与x轴只有一个交点， 其中，m= 求该函数图象的对称轴和顶，点坐标 (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐 标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请 画出该函数图象的另一部分. (3)观察函数图象，写出两条函数的性质： (4)进一步探究函数图 象发现： ①函数图象与x轴有 个交点，所以对 应的方程x2一2x=0 -3 23 有 个不相等的 实数根： ②方程x2-2x|=2有 个不相等的实 数根； ③关于x的方程x2一2x=a有4个不相等的 实数根时，a的取值范围是 14.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2一2x的 图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补 充完整 (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y 的几组对应值列表如下： 微课堂 利用抛物线的对称性解题++++++++++++…++ 【解题模型】若抛物线上两个点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),且y1=y2,则A,B两点关于抛物 线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线x=西 2 【变式应用1】二次函数y=ax2十bx十c图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表： …-2-1012… y…04664… 则它的对称轴是直线 ,当x=3时，对应的函数值为 【变式应用2】已知抛物线y=ax2一2ax十c与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x的一元二 次方程a.x2-2a.x十c=0的解为 【变式应用3】已知二次函数y=ax2+bx十c的图象过点A(1,2),B(3,3),C(5,2).若点M(-2, M),N(一1,2)，K(8,y)也在二次函数y=ax2+bx十c的图象上，则yy2y的大小关系的是 94 ☆问题解决活动怎样围面积最大 [新考法·建模与应用]为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为k米的篱 笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈.整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和 生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为0.5米，鸭圈垂直于墙的一 边的长为α米.（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备） (1)用含k,a的代数式表示鸭圈另一边长CD 米 (2)若k=10固定不变. ①若要求鸭圈面积为10平方米，求a的值. ②小成、小韩和小林根据α的长度分别给出了3种不同的设计方案如表，请验算并分析谁的方案比 较合理. 设计方案 小成 小韩 小林 a(米) 1.5 2.5 3.5 CD的长（米） ③请通过上述探究，直接写出α的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值. (3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？ A B 活动区 生活区 门13.y1>y2>%14.-3≤a≤1 (2)当x=13时，Smx=-(13一 15.(1)y=(x-1)2-4;点A,点B的 14)2+196=195(m). 坐标分别为(-1,0)，(3,0). 9.(1)2540 (2)y=-(x-1)2+4. (2)设AE=x, 16.(1)点A,B的坐标分别为A(一1， 则CF=2AE=2x, 0),B(3,0): BE=20+x,BF=30+2.x, (2)点D的坐标为(1,1)或(1√6). 根据题意得(20十x)(30+2.x)= 5.3二次函数的应用 1500,2.x2+70x-900=0, 第1课时求二次函数的表达式 解得x=10(负值不符合题意，已 1.D2.A 舍去)， 3.(1)上x=2 .3 ∴.BE=30m,BF=50m (3)设新停车场的面积为S,AE (2)1-35 =x,则CF=2AE=2x,BE=20 4.y=-x2-2x+3 十x,BF=30+2x,根据题意得：S 5.y=x2+4x-5 =(20+x)(30+2x)=2x2+70x 十600，则二次函数图象的开口向 7.y=-x2+2x+3或y=x2-2x 上，对称轴为直线x=一2，由条 38.B9.A 件可知x>0,20十x≤40,30十2x 10.y=-4(x+2)2+4 ≤60，解得0<x≤15， 11.(1)y=- ∴.当0<x≤15时，S随x的增大 (2)向右平移1个单位长度，向下 而增大， ∴.当x=15时，Smx=(20+15)× 平移2个单位长度，y=一 (30+2×15)=2100m2. a=-1 12.(1) 第3课时二次函数与商品利润 {b=-2 1.B2.C3.A4.B (2)-4<n<-2. 5.(1)y=40+10x 13.(1)①3②S=+2 (2)每罐排骨藕汤的定价为53元； (2)AB的长为6，抛物线的解析 (3)当x=5或6时，商家盈利最 式为S=t-8t+18(2≤t8). 大为900元 第2课时二次函数与图形面积 6.B7.1264 1.C2.245 8.(1)y=-10x+90(6≤x9); 3.当AE=50m时，市民健身活动场 (2)当销售价为8元/件时，政府 所的面积达到最大。 该月应付给厂家补贴4万元； 4.(1)S=- 3x+4x(0<≤5) 1 (3)当销售价定为7元/件时，该 月纯收入最大。 (2)当x=5时8要 9.(1)y=-10x+700, 5.C6.C7.75 (2)当销售单价为46元时，每天 8.(1)S=x(28-x)=-x2+28x. 获取的利润最大，最大利润是 61 3840元； ☆问题解决活动 怎样围面积最大 (3)当45≤x≤55时，捐款后每天(1)(k-3a+1) 剩余利润不低于3600元. 第4课时实物抛物线 (2)0a=2或号： 1.C2.B3.2√64.能 ②6.5；3.5；0.5； 5.该大门的高h为5m. ③由题意得0.5<CD6,即0.5< 6.6007.40m8.4m 9 1-3u<6,解得号<a<器，设鸭 9.(1)y=- 圈面积为S平方米， 则S=a(11-3a)=-3a2+11a, (2)方案二的内部支架节省材料. -3<0,S有最大值， 理由略 10.(1)C:y= 当a=号时.s的最大值为： 9 (x-3)2+2,最 (3)当k=16时，CD=17-3a,由 高点坐标(3,2)，a= 9c=1. (2)符合条件的n的整数值为4 0.5<CD≤6可解得<a<号. 和5. 设鸭圈面积为S平方米，则S=a 5.4二次函数与一元二次方程 17-3a)=-3a2+17a,当号<a 1.-12.-53.B4.B 5.m<- 9 6.x-1或x>5 <学时器s<2 7.C8.C9.C10.D Smx=22<24, 11.B12.D ∴.鸭圈面积不能达到24平方米. 13.(1)证△≥0. 专题七求二次函数的解析式 (2)该函数图象的对称轴为直线 (压轴题第(1)问) x=一1，顶点坐标为（一1,0）. 1.y=x2+4x-5. 14.(1)0 2.y=x2+2x-3. (2)图略 2. (3)答案不唯一.如： 4.y1=-x2-2x+3,y2=x2-2x ①函数y=x2一2|x的图象关 -3. 于y轴对称； 5.(1)2±1 ②当x>1时，y随x的增大而 (2)y=-x2+4x+5. 增大 专题八二次函数在自变量取值 (4)①33②2 范围内的增减性与最值 ③-1<a<0 1.(1)减小02-15 微课堂 (2)增大2235 【变式】-号 0x1=3,2=-1 (3)1135 y1=为<2 2.103.0m≤34.D5.B 62 6.D 600元； 7.-2≤m≤-2 (2)每件模型的销售价格定为 75元时，才能使每天获得的利 专题九二次函数的图象与字母系 润最大，最大是750元 数之间的关系一全国中考热点 13.D14.B15.B 1.三2.C3.D4.C 5.①②④6.D 16.(1)y=-x2+2x9 7 专题十二次函数与 (2)小球飞行中最高点的坐标 几何图形的综合 (子》： 1.(1)y=2.x2-8.x+6 (2)(n,2n2-8n+6) (3)<号 (3)当n=号时，线段PC最大1.号1<1 值为得 第六章概率的进一步认识 6.1用树状图或表格求概率 2.(1)点B(8,0),点C(0,4),y= 第1课时用树状图或表格进行 2+x+4 7 简单的概率计算 (2)当1=4时，S△Pc最大，最大 1.C2.D3.号 1 4.0 值为32. 5.B 3.)-号 -4 3 2 6.(1)是：(2)列表略，恰好选中 A、B两名同学参加活动的概率 (2)y= 十上或y 3 2 6 7.C8.B9号 4.(1)y=- 2 3x-4,顶点 10.画树状图略.这三人在同一个 坐标为（号 献血站献血的概率为子。 (2)S=-4x2+28x-24. 11.(1)嘉淇走到十字道口A向北 (3)略 走的概率为： 章末核心考点与素养提升 (2)画树状图略.向西参观的 1.(1)1或-5(2)1(3)-5 概率较大 2.B3.D4.D5.A 12.(1)508(2)C 6.y2<y3<y (3)所选派的两名家长恰好是 7.y=-2(x-2)2+4 1男1女的概率为 8.y=x2-29.C10.D11.B 12.(1)此时每天的销售利润是 63