专练37 数形结合(三)分析一元二次方程的根&专练38 二次函数的应用(一)图形面积-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

37 专练37数形结合（三）分析一元二次方程的根 【方法规律】利用图象法解决一元二次方程根的问题，首先画出图象，然后求抛物线 与x轴（或直线）交点的横坐标为对应一元二次方程的两根， 典例导练 示范题在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+2x+3与x轴交于点A,B,与y 轴交于点C,P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m,过点 P作x轴的平行线与BC交于点Q,线段PQ的长记为d. (1)求d关于m的函数解析式. (2)根据d的不同取值，试探索点P的个数情况. 【思路点拨】本例是湖北新中考模拟压轴题第24题的最后一问. (1)利用点B,C两点坐标求出直线BC的解析式，由P(m,一m2+2m+3)可求点Q 的坐标.d=PQ=xp一xQ. (2)运用数形结合思想，画出(1)中d关于m的函数图象，转化为求直线d=t与抛物 线在（一1<m<3,且m≠0）范围内的交，点个数. 【自主解答】 之知能检测 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2十bx十c(a>0)与x轴交于A(m,0),(m <0),B(n,0),,f是方程ax2十(b十1)x十c=0的两个根，且e<f,则下列不等式正确 的是 A.e<f<m<n B.e<m<n<f C.m<n<e<f D.e<m<f<n 第1题图 第2题图 2.二次函数y=一x2十m.x的图象如图，对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程 x2十mx一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是 () A.t>-5 B.-5<t<3 C.3<t4 D.-5<t4 38 专练38二次函数的应用（一） 图形面积 【方法规律】正确列出相关面积的二次函数的解析式，运用二次函数的性质解决最值 问题，一定要注意自变量的取值范围. )典例导练 示范题某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为D 65m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF H 面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设 AD长为xm,矩形区域ABCD的面积为ym. (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 (2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ (3)现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价 分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x 的取值范围 【思路点拨】(1)根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案， (2)把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论 (3)设安装成本为元，求出的函数表达式，再根据二次函数的性质结合(1)中x 的最值范围求解， 【自主解答】知能检测 25)+20(-gr+50x）=-25 1.B2.B +2000x,令w=30000,则-25.x2+ 专练37 数形结合（三） 分析 2000x=30000,解得x=60或20， 一元二次方程的根 .28≤x<80,.60≤x<80时，安 典例导练 装成本不超过30000元. m2-3m(-1m0) (1)d= 专练39二次函数的应用（二） 、-m2+3m(0<m<3) 商品利润 (20是 <d<4时，点P的个数为 典例导练 1:@d-是时，点P的个数为2：③0< (1)当50≤x≤80时，y=210-(x 50),即y=260-x,当80<x≤140 d是时，点P的个数为3 时，y=210-(80-50)-3(x-80), 知能检测 即y=420-3x. 1.D2.D 260-x(50≤x≤80) ,y 专练38 二次函数的应用（一）】 420-3.x(80<x≤140) 图形面积 (2)当50≤x≤80时，销售利润： 典例导练 =(x-40)(260-x)=-x2+300x -10400;当80<x≤140时，w=(x (1)由题意得，AE=HG= 2AD -40)(420-3x)=-3.x2+540x xm,DC=AB=(20-号x) 16800.综上分析可知，0= -x2+300.x-10400(50≤80) =(100-x)m,故y=z(100- -3.x2+540.x-16800(80≤140) x)=-是2+100x,自变量x的取 (3)当50≤x≤80时，0=-x2十 300x-10400=-(x-150)2+ 值范围为：28≤x<80. 12100,当x=80时有最大值，最大 (2)由题意可得：y= 4x2+100x 值为：-(80-150)2+12100=7200 5(2-80x)=- (元)；当80<x≤140时，0=-3.x2 (x-40 +540.x-16800=-3(x-90)2+ +2000,28≤x<80,.当x=40 7500,当x=90时，有最大值，最大 时，y有最大值，最大值为2000m. 值为7500元.故售价定为90元时. (3)由题意得，S形EGH=AG·AE= 每个月可获得最大利润，最大利润 2(100-x)·7x=-最2+为7500元 专练40二次函数的应用（三） 25.x,SE形c=DC·DE=（100 实物抛物线 是）·=-日2+50，设安装 典例导练 (1)依题意，设该抛物线的表达式为 成本为w元，则u=40(-x2+ :y=a(x一4)2十3，由抛物线过点A, 76 有16a十3=2.解得a= 16该 1 =1,x2=3(不合题意，舍去)，∴点 P的坐标为(1,4)； 抛物线的表达式为y=一 16(x ②当PC=PH时，x2+(-x2+ 4)2+3. 2x)2=(-x2+3.x)2,整理，得2x3 (2)令y=0,得-6x-4)2+3=0, 4x2=0,x>0,.2x-4=0,解得 x=2,∴.P(2,3); 解得0=4+4V3,=4-43(C为 ③当PH=CH时，(-+3x)2 x轴正半轴，故舍去).∴点C的坐标 2x2,整理，得x2一6.x十7=0，解得 为(4+43,0)，∴.OC=4+43>10. x1=3一√2，x2=3十√2，由题意，得 小明此次试投的成绩达到优秀. 0<x<3,x=3-2,∴P(3-√2， 知能检测 (1)y=-2(x-1)2+8 42-2) (2)设抛物线的表达式为y=一2(x 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 1)2+k,把(3.5,0)代入可得=12.5， (2,3)或(3-√2,42-2). .解析式为y=-2(x一1)2+12.5， 知能检测 当x=0时，y=10.5. (1,1) 答：水管OA的高度调整为10.5m 专练42二次函数综合（二）】 专练41二次函数综合（一）】 抛物线与平行四边形 抛物线与特殊三角形 典例导练 典例导练 (1)易求点A,B的坐标：A(一3,0)， -1-b+c=0 B(1,0),由题意，得 (1)由题意，得 ,解 -9+3b+c= 2 b=2 a十b+2=0 a=- 得： ,∴.b=2,c=3; ,解得 c=3 9a-3b+2=0 4 b=一 3 (2),抛物线的函数表达式为：y= -x2+2x+3,.C(0,3),设直线BC ∴抛物线解析式为y=一 的解析式为y=k.x十3，将点B(3,0)代 4 3x+2; 入y=kx十3，解得：k=一1，.直线 (2)以AC为边或对角线分类讨论： BC的解析式为y=一x+3, A(一3,0)，C(0,2),抛物线y= 设点P(x,一x2+2x+3),则点H (x,一x+3),由点P、C、H的坐标 322、 3x十2的对称轴为x 4 得PH2=(-x2十3x)2,CP=2x2, -1,M(m,yu),N(-1,n),M= PC=x2+(-x2+2.x)2.分三种情 2 况： ①当PC=CH时，2.x2=x2+(一x2:①当四边形ACMN为平行四边形 +2x)2,整理，得x-4x3+3x2=0, m=0+2 时，AC平移到NM,有 ,x>0,.x2-4x十3=0，解得 yw=2十n 77 解得：m=2w=-9,即M(2,∴SAe=Sm十SE= 1 X2×6 :®当四边形ANM为平行+号×2×号号 10 四边形时，AC平移到MN,有 专练44二次函数综合（四） m=-3-1 抛物线与相似 ,解得：m=一4，yw= yy=n-2 典例导练 ,即M-4,):③当四边形 10 10Y (1)抛物线解析式为y=一x2+2x +3;点D的坐标为(4，-5)： AMCN为平行四边形时，有： -1_-3+0 (2祭存在最大值号此时点P的坐 2 2 ,解得：m=-2,y 标为(2,3).理由如下：过点P作PQ ym十n_0+2 2 2 ∥y轴交CD于Q,设P(p,一p+ =2,即M(-2,2) 2p十3)，则Q(p,-2十3)，∴.PQ= -p2+2p+3-(-2p十3)=-p2+ 综上所述，点M的坐标为（2， 4p,.PQ∥y轴，即PQ∥OC, 9)或(-4,9)或(-2.2) △PQN∽A0CN六哭. PQ 专练43二次函数综合（三） 面积问题 C0,300-82 典例导练 二+4=一(-2)2+4 3 3 ×2+2b+c=0 2 (1)由题意，得 ,解 :-1<0当p=2时然有最 1 2 ×82+86+c=6 大值，最大值为号一分+2p十3 b=-4 得： \c-6 ,.二次函数解析式为： 22+2×2+3=3,即此时点P 的坐标为(2,3). 专练45概率及其应用 (2)·二次函数的对称轴交x轴于 典例导练 C点.∴.C点的坐标为(4,0)，易求 BC所在的直线解析式为y=立x一 3 (2)画树状图略. 6,:E点是直线y号一6与二次 共有16种等可能的结果，其中小红 和小丽在相邻窗口取餐的结果有6 函数)=号-4红十6的图象的交 种，即①②、②①、②③、③②、③④、 ④③，.小红和小丽在相邻窗口取 3 点，x-6=22-4x+6,解 6 餐的概率为6一8 得：x1=3,x2=8(舍去)，当x=3时， 知能检测 y号×3-6=号(3，) (1)画树状图略. 78