4.1 第1课时 中心投影&第2课时 平行投影-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

第四章 投影与视图 4.1 第1课时 01基础达标 知识点投影与中心投影 1.下列属于中心投影的是 A.阳光下跑动的运动员的影子 B.阳光下木杆的影子 C.阳光下汽车的影子 D.路灯下行人的影子 2.在乡村振兴中，农村也装上了路 888马 灯，照亮了农民夜晚回家的路.某 天夜晚，一棵树和王大伯在路灯 照射下的影子如图所示，则路灯的位置为 ( A.a处 B.b处 C.c处 D.d处 3.如图，在路灯的同侧有两根高度相同的木棒， 请分别画出这两根木棒的影子. 02能力提升 4.如图，在一间黑屋子里用一盏白 炽灯照一个球，球在地面上的阴 影的形状是一个圆，当把白炽灯 向上移时，圆形阴影的大小变化 情况是 A.越来越小B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定 5.夜晚路灯下同样高的几个人，离路灯越近，他 的影子越 ,(填“长”或“短”) 69 投影 中心投影 6.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m,他们在 同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m,已知 小军、小珠的身高分别为1.8m、1.5m,则路灯 的高为m 第6题图 第7题图 7.墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A 处测得他的影长与身高相等，都为1.6m,他向 墙壁走1m到B处时，发现影子刚好落在A 点，则灯泡与地面的距离CD= m. 8.如图，在路灯下，小明的身高为线段AB,他在 地面上的影子为线段AC,小亮的身高为线段 FG,路灯灯泡在线段DE上. (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在 灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影长AC =1.4cm,且他与路灯的距离AD=2.1m,求灯 泡的高. 70 第2课时 01基础达标 知识点 平行投影 1.下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的 影子是 y D 2.正方形在太阳光下的投影不可能是 ( A.正方形 B.一条线段 C.矩形 D.三角形 3.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定 以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的 形状 A.不发生变化 B.变大 C.变小 D.无法确定 4.下列关于投影的描述，不正确的描述有( A.在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长 的比值是一个定值 B.一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平 行四边形 C.物体在光线下的投影大小只和物体本身的 大小有关 D.当平行光线与投影面垂直时形成的投影称 为正投影 5.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱. AB=4m,某一时刻AB在阳光下的投影BC= 3m. (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投 影 (2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳 光下的投影长为8m,请你计算DE的长 7n1//I/' 平行投影 02能力提升 6.如图，长方体的一个底面ABCD在投影面上， M,N分别是侧棱BF,CG的中点，矩形EFGH 与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD,设它 们的面积分别是S,S2,S,则S,S2,S的关系是 (用“=”“>”或“<”连起来) D 第6题图 第7题图 7.如图，甲楼AB高18m,乙楼CD坐落在甲楼的 正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长 的比是1：√2，已知两楼相距20m,那么甲楼的 影子落在乙楼上的高DE= m (结果保留根号) 8.如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所 示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线 段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙。 (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射 下形成的影子； (2)如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC =2.4m,旗杆的高DE=15m,旗杆与高墙的 距离EG=16m,请求出旗杆的影子落在墙上 的长度。BG⊥直线EF,.BG∥AP, .∴.△GFO≌△CEO(AAS), 第四章投影与视图 .AE=EP,∠EAP=∠EPA, .GF=EC,.四边形GFCE是 4.1投影 .∠BAP=∠GPA,.△MAP是 平行四边形，又.EG=EC, 第1课时中心投影 等腰三角形，∴.MA=MP, ∴.平行四边形GFCE是菱形； 1.D2.B3.略.4.A P为CD中点，.设DP=CP (2),∠DHC=∠DAH+ 元知63错 y,∴.AB=PG=CD=2y, ∠ADH=∠DHF+∠FHC, 8.(1)图略： ,H为BC中点，∴.BH=CH, ∠DHF=∠HAD,∴.∠ADH= (2)灯泡的高为4m. ,∠BHM=∠CHP,∠CBM= ∠FHC,,四边形ABCD是平行 第2课时平行投影 ∠PCH,∴.△MBH≌△PCH 四边形，.AD∥BC,.∠DAH= 1.B2.D3.A4.C (ASA),.'BM=CP=y,HM= ∠ACB,,四边形GFCE是菱形， 5.(1)图略； HP,..MP=MA=MB+AB=3y, .CE=CF,∠HCF=∠ACB, HP=PM=,在Rt△PCH ∠HCF=∠DAH,∴.△ADH (2DE-号m. △CH提票 6.S2>S1=S7.(18-10√2) 中，CH=√PH-P= 2y, ∴.AH·CH=AD·EC 81图路，2号 m. .BC=2CH=√5y,∴.AD=BC= 18.(1)①AD=CE120° 4.2视图 √5y,在Rt△APD中，AP ②如图2，.a=90°，.∠A= 第1课时圆柱、圆锥、球的三视图 ∠BDE=90°；.AB=AC,DB= AD+PD=6y,,BG∥AP, 1.A2.C3.D4.B5.A DE,∴.△ABC和△DBE是等腰 △BMG∽△AMR,:.BC=BM 6.B7.C8.D9.图略. Ap AM 直角三角形，∴.∠ABC=∠DBE 第2课时直棱柱的三视图 =45°，.∠ABC-∠DBC= 1.C2.A3.B4.A5.C ·BG ∠DBE-∠DBC,∴.∠ABD= 6.略。 ∴.AB=√6BG 0E0器方号 =2 7.(1)主俯左(2)30cm 章未核心考点与素养提升 △MBD△CBE,0器 第3课时由三视图描述几何体 1.A2.B3.D4.C5.A6.C 1.C2.B3.A4.A5.B 7.2:18.①②③④ AD√2 6.球或正方体（答案不唯一） CE=29 9.2.710.B 7.√58.79.6π (2)如图3，AN∥DE,∴. 11.(1)图略，A(-4,-2),P(2a, 10.该几何体为四棱柱. ∠AND=∠BDE=90°，设AD 2b); =2CD=2a,..AB=AC=a; V=16×号×8X6=384cm, (2)图略，点A2的坐标为(1， 在Rt△ABD中，BD 2),点P2的坐标为(2a+5,2b)； S=√/32+4×16×4=320cm. JAB2+AD=√5a,由(1)②可 (3)图略，M点坐标为（一5,0. 第五章二次函数 12.C13.D14.C15.D 知CE=√2AD=22a,∴.S△D 5.1认识二次函数 16.7.5 XABXAD-XBDX 1.C 17.(1)四边形GECF是菱形， 2.(1)a≠2 AN,.AB×AD=BD×AN,即 .EG=EC,DE⊥AC,∴.GO=CO, (2)a=2,b≠-2 2a-a=√5a-AN,解得AN= .GF∥AD,AD∥BC,∴.GF∥BC, 3.一般形式略 ∴.∠FGO=∠ECO,∠GFO= 2W5 2/5 AN 5 a √10 (1)二次项系数为2，一次项系数 ∠CEO, 5 a.CE 22a 10 为2，常数项为1. 58 (2)二次项系数为2，一次项系数 12.A13.B14.C (3)-2<x<2 为1，常数项为2. 15.(1)m=-1;(2)略：(3)大0 14.(1)12-1 4.A5.D6.C (4)0-4(5)-1-4 (2)3. 一2x是 16.(1)将A(-1.1)代入 (3)P(-√5,3)或(3,3). y=a.x2,得a=1; 第3课时二次函数y=a(x一h)2 8.-2【变式】1 (2),点B(2.b)在抛物线 的图象和性质 9.B10.C y=x2上， 1.C2.右3 11.y=4.x2+260.x+4000 .b=4,.B(2,4) 3.y=5(x+4)2 一4 12.（1)m=-3. 设直线AB的表达式为y=mx4.D5.A6.D (2)m=-1±√5 -m十n=1, 十n,则 7.(1)y= 18.1)-3r2+45z(5≤<15)， 3x+1识. 2m+n=4, (2)图象略 (2)AB的长是9m. m=1, 解得 (3)当x<一1时，y随x的增大 14.(1)y=2r-40t+200,0≤t≤ n=2, 而增大；当x=一1时，函数有最 10. ∴.直线AB的表达式为y=x十2. 大值 (2)能.理由如下： 当x=0时，y=2, 8.B9.D10.B 由题意，得2一40t+200=8, ∴.D(0,2),OD=2, 11.y2>M>为 12.-41 解得t1=8,t=12(不合题意， .SanB=2XODX(xB-xa） 13.a≤4 舍去) 故当t=8秒时，重叠部分的面 =2×2X2+1D=3: 14.y=2(x-2=7x-2x+2 积等于8cm. (3)分别过点A,B作x轴的垂 15.(1)点A,B的坐标分别为（一2， 5.2二次函数的图象 线，垂足分别为E,F, 0),(0,4),抛物线对称轴为x= 第1课时二次函数y=x ∴AE/BF品8器= -2. 及y=一x2的图象和性质 (2)4. 1.A2.A 第2课时 二次函数y=a.x2 (3)存在.P点的坐标为（一2,4） 的图象和性质 3.(0,0)上y轴>< 低 或(-2，-4). 4.9±25.A6.D 1.B2.B3.m<2 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k 7.-4±3 4.>【变式1C【变式2】<3 及y=a.x2+bx十c的图象和性质 8.(0,0)下y轴<> 高 5.图略 1.A【变式】2或42.B3.C 9.B10.(m,-n)x轴 6.C7.B 4.D 11.(1)点A在二次函数y=x2的图 8.能.沿y轴向下平移6个单位长度. 5.下x=5>5=5大3 象上，不在二次函数y=一x2的 9.函数y=x2的最小值为0，最大值 6.(1)a=4;(2)y>y2. 图象上； 为16. 7.y=-2(x+1)2+3下x=-1 (2)点B的坐标为(2，一4)，点C 10.D11.D (-1,3) 的坐标为（一2,4），点D的坐标 12.g≤a≤3 【变式】a1>a2>a48.C 为(-2，一4)： 9.(1)(-1,4). >a3 (3)点C在二次函数y=x2的图 (2)抛物线向下平移3个单位后 象上，点B和点D在二次函数y 13.(1Dy=x2 可以经过原点. =-x2的图象上. (2)(2,3)(-2,3)描点略 :10.C11.A12.C 60