问题解活动 利用相似三角形测高-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

62 ☆问题解决活动 利用相似三角形测高 01 基础达标 A在同一直线上.测得DE=0.5m,EF=0. 25m,目测点D到地面的距离DG=1.5m,到 知识点一利用阳光下的影子测量高度 旗杆的水平距离DC=20m.按此方法，请计算 1.如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的 旗杆的高度为 m. 高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到 知识点三利用镜子的反射求高 C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重 5.如图，小颖为测量学校旗杆AB 合，测得BC=3.2m,CA=0.8m,则树的高度 的高度，她在E处放置一块镜 为 子，然后退到C处站立，刚好从 A.4.8m B.6.4m D 镜子中看到旗杆的顶部B.已知 C.8m D.10m 小颖的眼睛D离地面的高度CD A CE =1.5m,她离镜子的水平距离CE=0.5m,镜 ◇ 子E离旗杆的底部A处的距离AE=2m,且 ▣▣ A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的 第1题图 第2题图 高度为 () 2.如图，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置 A.4.5mB.4.8mC.5.5m D.6m 时影长1.2m,在同一时刻旗杆AB的影长不全6.如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸， 落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上， 利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高 他测得落在地面上影长为BD=9.6m,留在墙 度，CD在水中的倒影为C'D,A,E,C在一条 上的影长CD=2m,则旗杆的高度 视线上，已知河BD的宽度为12m,BE=3m, A.9m B.9.6m 则树CD的高为 C.10m D.10.2m 知识点二利用标杆求高 0 3.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标 杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m. C 则建筑物CD的高是 第6题图 第7题图 A.9.3m B.10.5m 02能力提升 C.12.4m D.14m 7.如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下列方 法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点 C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出 B MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距 第3题图 第4题图 离.有关他这次探究活动的描述，错误的是 4.为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如 下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边 A.AB=24m B.MN∥AB DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点 C.△CMNC∽△CAB D.CM:MA=1:2 63 8.《九章算术》是中国传统数学 03思维拓展 最重要的著作，在“勾股”章中 有这样一个问题：“今有邑方E玉 10.数学老师组织学生开展测量物体高度的实践 二百步，各中开门，出东门十 活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶 五步有木，问：出南门几步而 部宣传牌的高度.他们制定了测量方案进行 见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是 实地测量，完成了如下的测量活动报告： 一座边长为200步(“步”是古代的长度单位) 课题 测量教学楼顶部宣传牌BD的高度 的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 K位于ED的中点，出东门15步的A处有一 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树 如图，小明在地面上的 木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的 点C处安装一测角仪， 长为步 测得∠ACB=35°，然 9.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家 测量 后沿CA方向走到点 方案 门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸 E处，在点E处安装一 及示 边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所 测角仪，此时，测得∠AED=55°，同时测得 意图 在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直，并 CE=9.2m,AE=10.8m,从房管物业处查 在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选 询到建筑物AB=14m,利用激光笔测得点 择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共 A、点B和点D在一条直线上. 线.已知：CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m, 已知图中所有点均在同一平面内，DA1 说明 DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所 CA,测角仪与地面的距离忽略不计 示，请根据相关测量信息，求河宽AB. 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌 BD的高度（精确到0.1m).8.x=12,y= 3 2∠a=83. 5.54 75 6.证明略 9.D 10.D 11.5+1 2 12.6 7.A8.A9.D10.C 13.图略， 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 14.1)A"=1,AE-1DE1 AB 3'AC3'BC3 12.△APB与△PCE相似，理由略. (2)证明略. 13.(1)△PBA与△ABC相似，理由 15.不能使小路内外边缘形成的两 略； 矩形相似.理由略。 (2)∠BAC=135°. 第2课时 等比性质 14.PB=2或12或号时，△PAB与 2 1.B2.A3. 4.4. △PCD相似. 5.A6.C7.5. 第3课时利用三边证相似 8.△ABC为直角三角形 1.A2.B3.D4.B5.1.5 3.2探索三角形相似的条件 6.∠A=∠D或BC=2EF 第1课时利用两角证相似 7.证明略 8.D9.C 10.B11.B 1LB243告是 4 4.C 12.①②④ 5.56.157.证明略 13~14.证明略。 8.AC=2√/21cm. 15.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对 A10.号11.9 应成比例可知； (2)不唯一，△PPD,△PPF, 12.AE=7. △PPD,△PPD,△P2PP, 13.(1)证明略；(2)DE=4.9. △PFD中，选2个即可.图略 14.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, 第4课时黄金分割 ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 1.C2.B3.D4.23 .∠BAD+∠ADB=90°， 5.AB=6+2√5. ∠ADB+∠CDG=90°， 6.D7.1.730 .∠BAE=∠CDG, BFLAC,∴∠ABE+∠BAC&.ID-15 2 =90°，.∠C+∠BAC=90°， (2)右边窗户BCNM是黄金矩 ∴.∠ABE=∠C, 形.证明：设AB=CD=1,矩形 ∴.△ABE△DCG. ABCD是黄金矩形， (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △DCGC∽△ACD.易证∠BAE ∴AD=AM=MN=5-1 2 =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 知△ABEP△ACD. ∴MB=AB-AM=1-5-1 第2课时利用两边及其夹角 3-√5 证相似 3-5.MB 2 3-5 2…MN 5-15-1 1.B2.D3.B4.B 55 (3-√5)(W5+1) 25-2 3.4相似三角形的性质 (5-1)(5+1) 4 第1课时相似三角形对应线段的 5-1 比与相似比的关系 2 1.D2.A3.B ∴.矩形BCNM是黄金矩形 4.A'E'=12cm. 3.3相似三角形判定定理的证明 2h 第1课时 平行线分线段成比例 5.B6.A7.68. 1.D2.43. EF AD 9.(1)证明略； BD (2)PQ=30,PN=20. 5.B6.6 第2课时相似三角形对应周长、 7.BF= ,CF16 面积的比与相似比的关系 1.B2.C3.B4.C5.C6.D 8.B9.C10.6或12 7.98.4:25或9：259.26 11.BC= 9,DB=1 10.(1)PC=22; 12.(1)AB=4,BC=10: (2)CP-24 7 (2)BE=9. 3.5图形的位似 微课堂 第1课时位似图形的概念及性质 【变式练】B 1.D2.A3.D4.B5.36.D 第2课时 相似三角形判定定理 7.图略.8.A9.A10.C 的证明 11.A12.18cm13.图略. 1.D2.B3.D 14.(1)AC∥A'C',理由略； 4.证明略. (2)CC=5. 5.经过5秒或2秒时，以P、B、Q为 15.24040 顶点的三角形与以A、C、D为顶 第2课时坐标系中的位似变换 点的三角形相似. 1.A2.D3.(-5,-1) 6.(1)1:3(2)(3)略. 专题六相似三角形的几种常见模型 4.(-2,号) 5.(-2,2) 1.C2.AF=12cm. 6.(1)~(2)图略，点B2的坐标为 3证明略。4号 (-4,-6) 5.DE=3. 7.(2,1)或(-2，-1) 8.D9.C 6.(1)专；(2)BM= 4 10.00或（号4 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 略； 11.(1)D(2,1),D(6,3) 1 (2)y=16 (2)yM=x,yw= (3)是位似图形，先证明相似，再 8.EF的长为图 2 证明AA',BB',CC',DD都经过 9.证明略 点O. 56 12.(1)(0,-1); 1.PE 2…PF的值是定值，该定值为 (2)(-3,4)(-2,2); (3).AE=m,∴.BE=2-m, (3)(-3,0) 13.(1)①(5,6)：②1：2： ①当'=时，：∠B=∠EPF (2)△A'B'C'的面积为4m. ☆问题解决活动利用相似三角 =90,∴△BPE△PFE∴8器 形测高 1 1.C2.C3.B4.11.55.D 6.5.1m7.D8.2000 ②当器-时，∠B=∠BPF 3 90°，∴.△BPE∽△PEF, 9.河宽AB的长为17米. 10.由题意得：DA⊥AC,∴.∠DAC =90°，.∠ACB=35°，∴.∠ABC 综上所述，当m=0或号时，△BPE =90°-∠ACB=55°， .∠AED=55°，.∠AED= 与△PEF相似. ∠ABC=55°，又：∠DAC= 综合与实践（二）折叠相似变换 ∠BAC,'.△BACP△EAD, (1)证明：四边形ABCD是矩形， -器即品 .∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ ∠3=90°， 10.8+9.2,解得AD=18, 由折叠的性质，可知∠EPH=∠A AD 7 =90°，.∠1+∠2=90°，.∠3= ∴.BD=AD-AB≈1.4m, ∠2，.△EDP△PCH: 答：教学楼顶部宣传牌BD的高 (2),四边形ABCD是矩形，.CD 度约为1.4m. =AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D 综合与实践（一）旋转相似变换 =∠C=90°，P为CD中点， (1)证明：，四边形ABCD是矩形， .DP=CP=1,设EP=AE=x, .∠B=∠C=90°，.∠BAP+ ∴.ED=AD-AE=3-x, ∠BPA=90°， 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, ∠MPN=90°，∴.∠CPD+ 即x2=(3-x)2+1,解得x=号， 5 ∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPD, .△ABPp△PCD: EP=AP=号ED=AD-AE (2票的值为定值，理由如下： 过点F作FG⊥BC于G,∴∠FGP -告，：△EDP△rCH0 =90°，∴.∠FGP=∠B,∠PFG+ 4 5 ∠FPG90,易知四边形ABF是開即-高PH-是， EP 3 矩形，∴.FG=AB=2, .PG=AB=2,..GH=PG-PH .∠MPN=90°，∴.∠EPB+ 4 ∠FPG=90°，∴.∠EPB=∠FPG, (3)延长AB,PG交于一点M,连接 △EBPO△PG,器-器 :AP,由折叠的性质，可知AP⊥EF, 57