2.4 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

33 2.4一元二次方程的应用 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 01 基础达标 易错点忽视条件中对图形边长的限制 5.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边 知识点几何图形问题 利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长 1.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的 的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房 四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩 墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的 形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积 长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m? 是5400cm,设金色纸边的宽为xcm,那么x满 足的方程是 A.x2+130x-1400=0 80cm」 B.x2+65.x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 2.如图，将一块正方形空地划出部 3m 分区域进行绿化，原空地一边减 少了2m,另一边减少了3m,剩 余一块面积为20m的矩形空 2 地，则原正方形空地的边长是 3.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知 盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为 02能力提升 4.如图，某农场有一块长40m,宽32m的矩形种 6.《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提 植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向 出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周 纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积 百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形 为1140m,求小路的宽， 田地的面积为864平方步，且周长为120步，问 它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的 长比宽多了 步 7.如图，某小区有一块长为 30 30m,宽为24m的矩形空地， 24 计划在其中修建两块相同的 矩形绿地，它们的面积之和为480m,两块绿 地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行 通道的宽度为 m. 34 8.如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉 03思维拓展 图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后， 10.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC= 恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒 4cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以 (底面积大于侧面积)，纸盒侧面积为32cm, 1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿 求该有盖纸盒的底面边长.（单位：cm) 着AC边以2cm/s的速度运动，P,Q两点同 时出发，运动时间为t(s). 10 --a。 (I)若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t 图1 图2 的值 (2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一 半？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 9.如图，某课外活动小组准备围建一个矩形生物 苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m),其 余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分 隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的 门，已知篱笆的总长度为34m. (1)设图中AB(与墙垂直的边)的长为xm,请 用含x的代数式表示AD的长 (2)若整个苗圃园的面积为96m,求AB的长. 20m A D8.原式=-216. 方程总有两个实数根； 9.(1)①0=-1，x2=2 (2):x=一(mm-3)±(m+3) 2m ②m1=-1,x2=3 ③.x3=-1,x2=4 m3=-1. (2)①x1=-1,x2=10 ,m为正整数，且方程的两个根 ②略. 均为整数，.m=1或3. 第2课时用配方法解二次项系数 14.(1)k≤4； 不为1的一元二次方程 (2)k的值为3或4. 1.C2.D3.4 1 9 - 第4课时用因式分解法求解一元 4.(0-1或- 二次方程 1.C2.D3.C【变式C (2)x=-1±26 4.x1=1,x2=55.D 31 6.(1)因式分解；(2)直接开平方. 5.竹竿有10尺. 6.B7.C 7.(1)x1=1,x2=2; 8.略. 2w=3 (2)=3+ 29 9.3√2 (3)x1=1+5,.x02=1-√5. 第3课时用公式法求解一元 8.x1=-1,x2=4 二次方程 9.C10.B 1.A2.B 11.16【变式】11或13 3.4-3-241 3+/41 8 12.2 0=3-红 13.(1)x1=- 1 32=-5: 8 1 4.(1)x=-2+E =2 (2)=- 2x2=-1. 2 2 : 14.(1)-3√2x; 2072=1 （2)x1=4,x2=-2. 5.A6.8 1 微课堂 1.(1)x1=5,x2=-1. 7.(1m< 8(2)m= 8 (2)x1=-3,x2=1. (3)m>- 7 2.1或2 8 专题五一元二次方程的解法 8.D9.C10.D11.C 1.(1)x1=3,x2=-1; 12.等腰 13.(1)证明：，m≠0， （2-合4=3 .方程m.x2+(m-3)x-3=0 (3)x1=-2,x2=0: (m≠0)是关于x的一元二次方 (4)x1=2+√3，x2=2-3; 程，∴.△=(m-3)2-4m×(-3) =(m+3)2≥0， (5)x=1,x2=-2: 1 52 (6a=26=8 则2()°-7+1=0， 2.y=2,y=-4. 所以：和可看成方程2x2一7x 3.(1)x0=7,x2=-1; 十1=0的两个根， (2)=6,x2=-1; 所以s+1=2 。.1-1 (3)x=1,2m=-2 1 t2· t 2 4=- 号- 则中子即=号 t 2 所以21十2 7t-2+2 4.A5.y2-2y-3=0 t+3t+1= 712+3t十1 6.x01=-1十2，x2=-1-2. 2 2.3一元二次方程的根 14 13: 与系数的关系 2.4一元二次方程的应用 1.D2.A3.2020 第1课时利用一元二次方程 4(10:2)受 解决几何问题 5.D 1.B2.7m3.16cm 6.另一个根是2+√5，c的值是-1. 4.小路的宽应是2m. 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽为 7.A8.D9.C10.D11.14 12.x2-6.x+6=0 8m. 6.127.2 13.(1)k的取值范围为k>一1； 8.该有盖纸盒的底面边长为8cm. (2)1. 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]-4 9.(1)AD=36-3x; (2)当AB=8m时，苗圃园的总面 (m2+m)=4m2+4m十1-4m2 积为96m. 4m=1>0, 10.(1)当t=2s时△PCQ的面积为 .无论m取何值时，方程都有 两个不相等的实数根. △MBC面积的： (2)由题意，得a十b= (2)△PCQ的面积不可能是 -(2m+1D=2m+1, △ABC面积的一半.理由略. 1 第2课时利用一元二次方程 ab=心+m=m+m, 1 解决营销类问题 (2a+b)(a+2b)=20,即2(a+1.D2.D3.10% b)2+ab=20, 4.该市这两年参加健身运动人数的 ∴.2(2m+1)2+m2+m=20, 年均增长率为30%. 整理得：nt十m一2=0，解得：m1=5.D -2,m=1, 6.(3+x)0.5x(4-0.5x)(3 .m的值为-2或1. +x)(4-0.5.x)=15 15.(1)5123 7.50 (2)因为，t满足2s2一7s十1=：8.设每件衬衫应降价x元，由题意， 0,-7t+2=0,且st≠1， 得(40-x)(20+2x)=1200, 53 解得x1=20,x2=10. 综合与实践（一）数形结合与 当x1=20时，20+2x=60件：当 方程思想 x2=10时，20十2x=40件，因为 【理解应用】② 要减少库存，x=20. 【类比迁移】x十号 (x+x+号) 答：每件衬衫应降价20元. 9.(1)设从2026年起该企业智能机 =4x1+()》 x=7 器人工作岗位率的年平均增长率 【拓展应用】士231或3 应达到x,由题意可得28%(1十 综合与实践（二）方程建模与 x)2=35%, 实际应用 (1+x)2=5 任务一：这个矩形的长和宽分别是 2 : 60cm和20cm; x>0, 任务二：按图4上面的做法合适，下 x= 2 -1≈22-1=0.1= 2 面的做法不合适。 10%, 章末核心考点与素养提升 (2)35%×(1+10%)2=35%× 1.-32.-1 1.21=42.35%>40%, 3.(1)x=√2土1： 所以照此速度增长，2029年底该 (2)=8,x2二3、 企业智能机器人工作岗位率可超 4.B 过40%. 5.(1)13;(2)-6;(3)a≤2且a≠0. 10.任务1： 6.(1)当m=1时，四边形ABCD为 设第一季度到第三季度生产量 菱形； 的每季度增长率为x,根据题意 (2)m= 得：200(1+x)2=288, 2 解得x=0.2=20%,x=-2.2 7.10% (不符合题意，舍去)， 8.(1)(60-3a); 答：第一季度到第三季度生产量 (2)a=12. 的每季度增长率为20%； 9.B10.A11.B 任务2： 12.3(x-1)x=6210 设增加a条生产线，则每条生产 18-日 线产能为(300-20a)万个/季 14.x0=-3,x2=2. 度，根据题意得：(1十a)(300 15.(1)1 20a)=1200, (2)01=3+i,x2=3-i 整理得a2-14a十45=0，即(a-5) 第三章图形的相似 (a-9)=0, 3.1相似多边形 解得a1=5,a2=9, 第1课时相似多边形的定义 ,在增加产能同时要节省投入 1.C2.A3.D4.45.B 成本，.a=5. 答：应增加5条生产线。 6125°127.号 54