重难点05 一元二次方程的应用（单元复习、期中复习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点05 一元二次方程的应用 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 3 知识点二、一元二次方程的应用 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 传播问题】 4 【题型2 增长率问题】 5 【题型3 与图形有关的问题】 9 【题型4 数字问题】 12 【题型5 营销问题】 15 【题型6 动态几何问题】 18 【题型7 工程问题】 24 【题型8 行程问题】 26 【题型9 握手、循环赛问题】 28 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 31 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 39 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 实际场景建模与方程列写能力：从文字题干中提取核心等量关系，合理选择直接设元或间接设元，正确列出一元二次方程，覆盖增长率、销售利润、几何面积、传播分支、数字数位等全类主流题型，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型模型与公式应用：熟练掌握平均增长率 / 下降率、价量联动利润、等宽边框 / 靠墙围栏、两轮传播等核心模型的对应公式，快速匹配题型完成方程构建，是本专题的核心运算考点。 · 方程根的实际意义检验：结合生活实际约束与题干限定条件，对求解得到的两个根进行合理性筛选，舍去负根、超出取值范围、不符合现实逻辑的增根，是本专题最高频的易错考点，也是得分的关键细节。 · 动点几何面积综合应用：结合动点运动路径与速度，用时间参数表示线段长度，根据面积等量关系列一元二次方程，同时验证动点的运动边界与取值范围，是代数与几何融合的中档区分考点。 · 跨模块综合建模：将一元二次方程与工程、行程、数字规律等问题结合，通过数量关系转化构建二次等量关系，考查知识迁移能力与综合问题分析能力。 · 基础命题：以单一题型独立考查为主，如直接求解平均增长率、基础图形面积计算、简单传播问题，题干条件清晰、等量关系直白，多以选择题、填空题或解答题首问形式出现，侧重基础建模能力与解方程基本功，难度偏低。 · 综合命题：以销售利润、几何面积两大核心题型为载体，叠加多重限制条件，如价量联动结合利润定值、图形裁剪 / 围栏结合边长约束、动点运动结合面积条件，要求学生完成设元、列方程、求解、验根全流程，常以解答题中档题形式呈现，考查综合分析与运算能力。 · 素养命题：依托真实生活情境（如经济促销、疾病传播、工程建设、环保改造）、古代数学问题、开放性设问命题，弱化固定套路化的公式套用，突出数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考情境化、应用化的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册一元二次方程模块的核心重难点，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，是方程思想在二次场景的落地延伸，同时也是后续二次函数实际应用、一元二次不等式的重要知识基础，在初中代数应用体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比 10%–15%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题单独命题，或与二次函数应用结合出题，分值 8–10 分。 · 高频考法：平均增长率 / 下降率问题、销售利润价量联动问题、几何面积类（等宽边框、靠墙围栏）问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；传播分支、数字数位问题多以基础选择、填空题形式出现；动点几何面积综合常作为解答题的中档压轴小问。 · 失分规律：等量关系理解偏差导致方程列写错误、求解后未检验实际意义保留增根、设元与作答遗漏单位、价量变动方向搞反、几何问题忽略边长取值约束，是五大核心失分点；其中增根未舍去与等量关系构建错误，是学生最普遍的丢分原因。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 传播问题】 【例1】某种病毒传播速度非常快，若最初有一个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有144人被感染，设每轮传染中平均一个人传染了x人． (1)经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传染中，平均每人传染了几个人？ 【答案】(1) (2)在每轮传染中，平均每人传染了11个人． 【分析】（1）初始有1名感染者，每1人可以传染个人，第一轮新增感染人数为人，用原有感染人数加上新增感染人数，得到第一轮传染后的总感染人数． （2）用第一轮结束后的感染人数作为传染源，列出两轮传染后的总人数方程，解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到平均每人传染的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则经过第一轮传染后，共有人感染了病毒； （2）解：， ， ∴，， ， ． 答：在每轮传染中，平均每人传染了11个人． 【变式1-1】（列方程解应用题）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，若主干、支干和小分支总数共73．求主干长出多少个支干． 【答案】主干长出8个支干 【分析】设主干长出x支干，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】解：设主干长出x支干，由题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：主干长出8个支干． 【变式1-2】我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 【答案】每轮平均1人传播给6人 【分析】根据两轮传播后总知晓人数为等量关系列一元二次方程，结合实际意义取正根． 【详解】解：设每轮平均1人传播给人， ∵初始有1人知晓，第一轮传播后知晓人数为，第二轮传播后知晓人数为， ∴可列方程 ， 解得，， ∵传播人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 答：每轮平均1人传播给6人． 【变式1-3】有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染人 (2)经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了甲流；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患甲流的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人． 根据题意得， 解得 因为，所以， 故每轮传染中平均一个人传染10人． （2）解：根据题意可得经过三轮传染后患甲流的总人数为 因为， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人． 【题型2 增长率问题】 【例2】某景区2025年接待游客约万人次，预计2026年、2027年游客量持续增长．若今、明两年的年平均增长率相同，设为，且到2027年该景区游客量将达到万人次，求这两年的年平均增长率． 【答案】这两年的年平均增长率为 【分析】以2027年游客量为等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解． 【详解】解：由题意得 解得，（舍去）． 答：这两年的年平均增长率为． 【变式2-1】新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 (2)该店下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量和月份的销售量列一元二次方程求解即可； （2）设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆，根据平均每周的销售利润为万元列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， （万元） 答：该店下调后每辆汽车的售价为万元． 【变式2-2】实际应用： (1)某商场销售台灯，1月售出400个，2月、3月这种台灯的销量持续增加，在售价不变的情况下，3月的销量为576个．设2月、3月该台灯销量的月平均增长率不变，求2月、3月该台灯销量的月平均增长率． (2)该商场为迎五一劳动节，负责人在商场门口摆放了一个如图所示的长方形工艺品（边在地上），并计划在该工艺品的中间镶上三条宽度相同的丝绸花边．已知该工艺品的长为、宽为，若丝绸花边的面积为，求该丝绸花边的宽 【答案】(1) (2) 【分析】（1）月平均增长率保持不变，1月销量经过两次相同的增长得到3月销量，据此列一元二次方程，再按增长率的实际意义取舍； （2）两条竖带的长均为工艺品的宽，横带的长为工艺品的长，两处重叠部分都是边长为花边宽的正方形，用三条花带的面积和减去重叠面积列方程，再按花边宽小于工艺品的边长取舍． 【详解】（1）解：设2月、3月该台灯销量的月平均增长率为． 依题意得． ∴． ∴． ∴，． ∵增长率不能为负数， ∴不合题意，舍去． ∴． 答：2月、3月该台灯销量的月平均增长率为． （2）解：设丝绸花边的宽为． ∵两条竖带的长均为，横带的长为，两处重叠部分都是边长为的正方形， ∴三条花边的面积为． 依题意得． 整理得． ∴． ∴，． ∵花边的宽小于工艺品的宽m， ∴不合题意，舍去． ∴． 答：丝绸花边的宽为． 【变式2-3】问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)日平均增长率为 (2)下调后每份套餐的售价为30元 (3)能，每份套餐应降价10元 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解； （2）根据总利润=每份利润×销售量列方程，结合“尽可能多售空库存”的要求选择对应解； （3）令总利润为1600元，通过一元二次方程的解的情况判断是否可达到目标利润． 【详解】（1）解：设该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）. 答：日平均增长率为； （2）解：设每份套餐降价x元， ∵套餐食材成本为20元/份，原定价为50元/份， ∴降价后每份套餐的利润为元，即元， ∵售价每降低2元，平均每天多售出8份， ∴降价x元后，平均每天的销售量为份，即份， ∵平均每天的销售利润为1200元， ∴， 整理得， 解得（不符合下调售价的要求，舍去），， ∵要尽可能多售空库存，需销售量最大，即降价幅度最大， ∴符合要求， 此时售价为（元）. 答：下调后每份套餐的售价为30元； （3）解：设每份套餐降价y元时，平均每天获利1600元. 则： ， 整理得， 解得，符合下调售价的要求． 答：该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 【题型3 与图形有关的问题】 【例3】如图，一块长、宽的矩形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为x的同样大小的正方形，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子．若盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长； 【答案】剪去的正方形的边长为 ． 【分析】设剪去的小正方形边长为，则折成的无盖长方体盒子的底面长为，宽为．根据底面积为列出一元二次方程，解方程后结合实际意义（底面边长大于0，即）检验并舍去不合题意的根，即得所求边长． 【详解】解：设剪去的小正方形边长为，则盒子的底面长为，宽为． 由底面积为，得 ． 解得，． 因为盒子的底面边长必须大于 0，即，解得，所以不合题意，应舍去． 所以． 答：剪去的正方形的边长为． 【变式3-1】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【分析】设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 【变式3-2】某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． (1)若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； (2)若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； (3)矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)24 (2)9米 (3)解：矩形饲养场的面积不能达到240平方米，理由如下： 设米，则米， 假设矩形饲养场的面积能达到240平方米，则， 整理得， 此时， ∴原方程无解， ∴假设不成立， ∴矩形饲养场的面积不能达到240平方米； 【分析】（1）的长度等于木栏总长减去长度的3倍，再加上3个门的长度，据此列式求解即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程，看方程是否有正实数根即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，（米）； （2）解：设米，则米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：边的长为9米； （3）略 【变式3-3】如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出满足条件的点E有几个． 【答案】存在点，使得为直角，满足条件的点E有两个 【分析】在和中，利用勾股定理分别表示出和，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，， 在中，， 若为直角，则有， ∴， 整理得， 解得或， ∵，， ∴存在两个点，使得为直角． 【题型4 数字问题】 【例4】如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为，根据最小数与最大数的乘积为105，列方程解答即可； 【详解】解：设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 日历中的数字没有负数， 故舍去， 故 故这九个数中最小的数为5． 【变式4-1】如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【答案】5 【详解】解：设最小数为x，则最大数为． 根据题意，得． 解得，． 由题意可知， 所以不合题意，舍去． 所以． 答：这个最小数为5． 【变式4-2】如图，这是2026年9月的月历表，在此月历表上可以用一个方形框任意圈出4个数（如）． (1)如图，若圈出的4个数中，最小的数，则，______，______．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小明通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数x 【答案】(1)， (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 【变式4-3】如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． (1)c的值为_________．（用含x的代数式表示） (2)若圈出的4个数中，，求b的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据数的位置关系列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知：c的值为； （2）解：由题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ． 【题型5 营销问题】 【例5】某果商以每吨元的成本收购了一批修文红心猕猴桃共，目前可以按每吨元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付冷库仓储等费用元，在两个月的上市期内，每星期每吨猕猴桃的价格将上涨1000元． (1)储藏个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利________元； (2)储藏多少个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元？ 【答案】(1) (2)储藏个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元． 【分析】（1）先算出储藏1周后剩余猕猴桃吨数、每吨售价，求出总销售额，减去收购总成本、仓储费用，得到利润． （2）设储藏个星期，用表示出销售量、销售单价、仓储费，根据总利润=总销售额−总成本−仓储费用列一元二次方程求解，再结合两个月上市期检验根的合理性． 【详解】（1）解：储藏1周后，剩余猕猴桃：，储藏1周后，每吨售价：（元）， 总销售额：（元）， 收购总成本：（元），仓储费用：（元）， 获利： （元）， 故储藏1个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利元； （2）解：设储藏个星期再出售．由题意可得 ， 解得 两个月最多约8个星期，，舍去， ， 答：储藏个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元． 【变式5-1】某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， 设该衬衫每件降价x元． (1)填空：降价后，每件衬衫的实际利润是____________元，销售总量是____________件；（用含x的代数式表示）； (2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件衬衫应降价元 【详解】（1）解：∵降价前，每件盈利40元，每件降价x元， ∴降价后，每件衬衫的实际利润是元， ∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件降价x元， ∴商场平均每天可多售出件， ∵降价前，每天可售出20件， ∴降价后，销售总量是件； （2）解：由题意知，， 整理得，， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价元． 【变式5-2】广西民族博物馆文创商店售卖融水非遗苗绣斜挎小包，该小包每天可售出20个，每个小包可盈利40元．为进一步推广苗绣非遗文化，商家计划开展惠民降价促销活动，经调查发现：每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个．设每个小包降价x元． (1)用含x的式子填空：该小包每天的销售量增加______个，每个小包盈利______元； (2)每个小包降价多少元时，每天的利润可达到1200元？ 【答案】(1)， (2)每个小包降价元或元时，每天的利润可达到1200元 【分析】（1）根据每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个，列出代数式即可； （2）根据总利润单个商品利润总销售量，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个小包降价x元， ∵每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个， ∴该小包每天的销售量增加个，每个小包盈利元； （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∴每个小包降价元或元时，每天的利润可达到1200元． 【变式5-3】某旅行社推出某周边游产品，已知该产品7月份的报名人数为400人，9月份的报名人数增长到576人，且从7月到9月的报名人数月增长率相同． (1)求7月到9月的报名人数的月增长率． (2)该产品的成本为每人300元，当收费标准为每人400元时，月报名人数为600人．若在此基础上，收费标准每提高1元，月报名人数将减少1人．为使月总利润达到100000元，且尽可能让游客得到实惠，该产品的实际收费标准应定为每人多少元？ 【答案】(1)7月到9月的报名人数的月增长率为 (2)该产品的实际收费标准应定为每人500元 【分析】（1）设7月到9月的报名人数的月增长率为x，根据题意列方程即可求解； （2）设产品的实际收费标准应定为每人y元，根据总利润每人利润报名人数列方程求解即可． 【详解】（1）解：设7月到9月的报名人数的月增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：7月到9月的报名人数的月增长率为． （2）解：设产品的实际收费标准应定为每人y元，则每人的利润为元，报名人数为人， 根据题意得， 解得，． 要尽可能让游客得到实惠，则应选择较低的收费标准， ． 答：该产品的实际收费标准应定为每人500元． 【题型6 动态几何问题】 【例6】已知：如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或者3秒 【分析】（1）速度乘以时间等于行走的距离，据此列式即可； （2）结合（1）的结论，根据三角形的面积公式，列出关于t的一元二次方程，解方程即可作答． 【详解】（1）解：根据运动可知：，， ∴； （2）解：结合（1）的结果，根据题意有：， ∴， 解得： ，， 即：那么2秒或者3秒后，的面积等于 【变式6-1】在矩形中，，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿，，，的方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，． (1)当x为何值时，点P与点N重合； (2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)当x为4时，点P与点N重合； (2)当x为0或2或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）矩形的对边相等，若点P与点N重合，则，用因式分解法解一元二次方程； （2）当点N到达点A时，，此时点Q只能在点M左侧，分为点P在点N左侧和点P在点N右侧两种情况讨论，根据已知条件和平行四边形性质，列一元二次方程，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：若点P与点N重合，则， 四边形是矩形， ， ， 即， ， ，（舍去）， 所以，当x为4时，点P与点N重合； （2）当点N到达点A时，， 解得：，（舍去）， ，， ， 所以，此时点Q和点M还没有相遇，点Q只能在点M左侧， 当点P在点N左侧时，如图1， 则，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， 解得：，， 当点P在点N右侧时，如图2， 则，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 综上所述，当x为0或2或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据点速度为和点速度为即可求解； （2）由点到点停止，可确定时间范围为；矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、中用勾股定理表示、，根据列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点的速度为，运动时间为， ， ∵点的速度为， ， 又∵， ． （2）解：点运动到点时两点同时停止， ， 解得， 又， 的取值范围为； ∵四边形是矩形， ， 在中，， 将，，代入其中， 得， ， ， ， 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于． （3）解：连接，，如图： ∵四边形是矩形， ，，， ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ∵以为底边的三角形为等腰三角形， ， 则，即， 整理得， 解得（舍去）或； ∴符合条件的的值为． 【变式6-3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C移动． (1)几秒钟后的面积等于8？ (2)当时，内有一个动点M，连接、、．若，线段的最小值为______． 【答案】(1)2秒 (2) 【分析】（1）设运动时间为秒，根据题意可得：，，，，根据的面积等于8，列一元二次方程求解即可； （2）根据题意求出，进而得到，取的中点，连接，利用勾股定理及两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， 根据题意可得：，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∵的面积等于8， ∴， 整理得一元二次方程：， 解得，， ∵， ∴，即， ∴超出运动范围舍去， ∴2秒后面积为8； （2）解：当时，，解得， ∴， 如图，取的中点，连接， ，， ， ， ∵点是的中点， ， 在中，， ， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长为， ∴的最小值为． 【题型7 工程问题】 【例7】随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【答案】 甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 【分析】以乙队单独完成工程的时间为未知数，根据两队单独完成时间的乘积等于时间和的6倍的等量关系列方程，结合实际意义舍去负根后求解两队时间． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 由题意得， 整理得 ， 解得，， ∵工作时间不能为负数， ∴不符合题意，舍去， ∴ 甲队单独完成所需时间为（个月）， 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 【变式7-1】北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 【变式7-2】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 【变式7-3】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 【题型8 行程问题】 【例8】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动，大约用了多少秒？（结果保留小数点后一位） （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程、时间的关系为） 【答案】(1). (2)秒. 【分析】（1）根据小球的滚动速度平均每秒减少的速度等于初速度减末速度再除以时间，代入数据计算即可得答案. （2）设小球滚动，大约用了秒，即可求出t秒后小球的末速度为，再求出初速度与末速度的算术平均数，代入公式即可列方程，解出即可得小球滚动，约用了多少秒. 【详解】（1）解：设小球的滚动速度平均每秒减少，则根据题意得： （）， ∴小球的滚动速度平均每秒减少. （2）解:设小球滚动，大约用了秒，根据题意得： ，化简得： ，解得： ，即：（舍），， ∴小球滚动，大约用了秒. 【变式8-1】如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 【答案】1小时或小时 【分析】设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意可得， 整理得， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里． 【变式8-2】如图，某海关缉私艇在点处发现其正北方向的处有一艘可疑船只，测得它正以的速度向正东方向航行，随即调整方向，以的速度准备将其拦截．问：需要多长时间缉私艇能在处拦截住可疑船只？ 【答案】 【分析】设需要缉私艇能在处拦截住可疑船只，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设需要缉私艇能在处拦截住可疑船只，则，， 在中，，由勾股定理得， 即， 解得，． 因为， 所以． 故需要缉私艇能在处拦截住可疑船只． 【变式8-3】一列高速列车在启动加速过程中，行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为．在这一过程中，该高速列车行驶需要多长时间？ 【答案】该高速列车行驶需要． 【分析】将代入路程与时间的关系式，解一元二次方程并结合实际意义取舍根即可． 【详解】解：由题意，将代入， 得 解得，， 时间不能为负数， 不符合题意，舍去． 答：该高速列车行驶需要． 【题型9 握手、循环赛问题】 【例9】2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量． 【答案】参加2026年“赣超”的球队数量为11 【详解】解：设参加2026年“赣超”的球队数量为x． 根据题意得， 解得或（舍去）， ∴x的值为11． 答：参加2026年“赣超”的球队数量为11． 【变式9-1】某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片张． (1)求该班的人数； (2)若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？ 【答案】(1) 该班人数为人 (2) 共握手次 【分析】（1）以总卡片数为等量关系列一元二次方程，求解得到班级人数； （2）根据两两握手的计数规则，代入班级人数计算总次数． 【详解】（1）解：设该班共有名学生， ∵每位同学向其他每位同学赠送张卡片， ∴每人送出张卡片，全班共送出张卡片， 依题意得：， 整理得：， 解得，（不符合实际，舍去）． 答：该班的人数为人． （2）解：∵ 两两之间相互握手一次，每两人的握手仅计数次， ∴ 总握手次数为（次）． 答：共握手次． 【变式9-2】某校九年级组织秋季篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，求该校九年级有多少个班级． 【答案】 该校九年级有个班级 【分析】根据单循环赛制的总场次等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根得到结果． 【详解】解：设该校九年级有个班级， ∵赛制为单循环形式，每两班之间都赛一场， ∴每个班级需与其余个班级各赛一场，所有班级的参赛场次总和为， ∵每场比赛由个班级参赛，会被重复计算次， ∴实际总比赛场次为， 根据题意得， 解得，， ∵班级数量为正整数， ∴不符合题意，舍去． 答：该校九年级有个班级． 【变式9-3】学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． (1)如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； (2)如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)有支球队参加比赛． 【分析】根据单循环赛制的定义推导得支球队总比赛场数为，然后把代入计算即可； 设有支球队参加比赛，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵单循环赛制为每两队之间都赛一场， ∴支球队中每队需与其余支球队各赛场，且每场比赛被重复计算次， ∴总比赛场数为， 当时，总场数为， 故答案为：； （2）解：设有支球队参加比赛， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去， 答：有支球队参加比赛． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．某种商品原价每件200元，连续两次降价后的售价为128元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每次降价的百分率为，根据“连续两次降价后的售价为128元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这个百分率是． 2．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析每名同学的赠送数量，再分析全组的总赠送数量，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：全组有名同学，每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本， 每人赠送件． 全组总赠送数为件． 由全组共互赠件，得． 3．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低元，每周可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：当每件降低元时，每件销售利润为元，平均每周销售量为件． 根据题意得． 4．成都博瑞实验学校初2024级2班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，肖校长趁热打铁，让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1332张，问：2班共有多少名学生？设2班共有x名学生，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每名同学给其余人送卡，甲送乙、乙送甲，直接列一元二次方程． 【详解】解：每名学生要给除自己之外的名同学送卡片，一共有名学生， 所以总卡片数量为， 根据题意列方程得：． 4．一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（     ） A．小球速度平均每秒减少 B．小球滚动的总路程为 C．小球滚动最后走过的路程为 D．小球滚动时，用的时间是 【答案】D 【分析】先求小球每秒的速度减少量，再结合平均速度与路程的公式逐一判断各选项正误． 【详解】解：由题意得初速度为，均匀减速，后速度为， ∴每秒速度减少量为，故A错误； 滚动全程的平均速度， ∴总路程为，故B错误； 滚动时的速度为， ∴前的平均速度， ∴前的路程为， ∴最后的路程为，故C错误； 设滚动用时为，此时速度为，则这段时间的平均速度， ∵， ∴， 整理得，解得，， ∵小球后停止， ∴不符合题意，舍去，即用时，故D正确． 6．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到矩形空地的边缘，剩余草坪可拼成一个新矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程： ． 7．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将道路平移，可得到长方形的长为，宽为，直接代入面积公式即可． 【详解】解：由题意可列式：． 8．妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（     ） A．2或3 B．或 C．1或 D．或6 【答案】D 【分析】设卡片上的数为，根据题目中的等量关系列一元二次方程，求解后匹配选项． 【详解】解：设卡片上的数为，根据题意得 ， 整理得， 因式分解得， 解得，． 9．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 10．某读书会的成员之间每两人都互赠一张自制书签，读书会全体成员一共赠出了870张书签，这个读书会有______名成员． 【答案】30 【分析】互赠书签为双向行为，总赠出书签数等于成员数与单名成员送出书签数的乘积，据此列一元二次方程求解并结合实际意义舍去负根即可． 【详解】解：设这个读书会有名成员， ∵每两人都互赠一张自制书签， ∴每名成员需要向除自身外的名成员各赠送1张书签， ∴全体成员赠出的书签总数为张， 根据题意列方程得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，． ∵成员人数为正整数， ∴不符合实际意义，舍去， ∴这个读书会有30名成员． 11．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分率，使得第三年的产量达到800件，则增长率为______． 【答案】 【分析】设这个增长率为，第二年产量为件，第三年年产量为件，进一步列方程求解即可. 【详解】解：设增长率为，根据题意，得 ， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：增长率为． 12．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为． 【分析】设道路的宽为，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 13．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． (1)增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） (2)如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 【答案】(1)， (2)每平方米应种植株 【分析】（1）根据原有每平方米株数加增加株数列总株数，依据每增株单株减产千克，用原单株产量减去减产重量，列出对应代数式； （2）利用总面积乘每平方米株数再乘单株产量列总产量方程，求解后结合每平方米最多种株的限制舍去不合理解，算出每平方米种植株数； 【详解】（1）解：增加后每平方米株数：，单株产量：； （2）解：由题意得：， 整理得， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， （株）． 答：每平方米应种植株． 14．如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 【答案】(1)3 (2)解：不存在一个时刻，使得， 理由如下：如图，过点作于点，同理可得矩形，矩形， ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． (3)解：不存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴P点运动的时间为（秒）， Q点运动的时间是（秒）， ∵P、Q的时间不一样， ∴不存在该时刻． 【分析】（1）先求出，，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可； （2）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． （3）根据正方形的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）略 （3）略 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点05 一元二次方程的应用 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 3 知识点二、一元二次方程的应用 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 传播问题】 4 【题型2 增长率问题】 5 【题型3 与图形有关的问题】 6 【题型4 数字问题】 8 【题型5 营销问题】 10 【题型6 动态几何问题】 11 【题型7 工程问题】 13 【题型8 行程问题】 14 【题型9 握手、循环赛问题】 16 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 17 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 21 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 实际场景建模与方程列写能力：从文字题干中提取核心等量关系，合理选择直接设元或间接设元，正确列出一元二次方程，覆盖增长率、销售利润、几何面积、传播分支、数字数位等全类主流题型，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型模型与公式应用：熟练掌握平均增长率 / 下降率、价量联动利润、等宽边框 / 靠墙围栏、两轮传播等核心模型的对应公式，快速匹配题型完成方程构建，是本专题的核心运算考点。 · 方程根的实际意义检验：结合生活实际约束与题干限定条件，对求解得到的两个根进行合理性筛选，舍去负根、超出取值范围、不符合现实逻辑的增根，是本专题最高频的易错考点，也是得分的关键细节。 · 动点几何面积综合应用：结合动点运动路径与速度，用时间参数表示线段长度，根据面积等量关系列一元二次方程，同时验证动点的运动边界与取值范围，是代数与几何融合的中档区分考点。 · 跨模块综合建模：将一元二次方程与工程、行程、数字规律等问题结合，通过数量关系转化构建二次等量关系，考查知识迁移能力与综合问题分析能力。 · 基础命题：以单一题型独立考查为主，如直接求解平均增长率、基础图形面积计算、简单传播问题，题干条件清晰、等量关系直白，多以选择题、填空题或解答题首问形式出现，侧重基础建模能力与解方程基本功，难度偏低。 · 综合命题：以销售利润、几何面积两大核心题型为载体，叠加多重限制条件，如价量联动结合利润定值、图形裁剪 / 围栏结合边长约束、动点运动结合面积条件，要求学生完成设元、列方程、求解、验根全流程，常以解答题中档题形式呈现，考查综合分析与运算能力。 · 素养命题：依托真实生活情境（如经济促销、疾病传播、工程建设、环保改造）、古代数学问题、开放性设问命题，弱化固定套路化的公式套用，突出数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考情境化、应用化的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册一元二次方程模块的核心重难点，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，是方程思想在二次场景的落地延伸，同时也是后续二次函数实际应用、一元二次不等式的重要知识基础，在初中代数应用体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比 10%–15%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题单独命题，或与二次函数应用结合出题，分值 8–10 分。 · 高频考法：平均增长率 / 下降率问题、销售利润价量联动问题、几何面积类（等宽边框、靠墙围栏）问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；传播分支、数字数位问题多以基础选择、填空题形式出现；动点几何面积综合常作为解答题的中档压轴小问。 · 失分规律：等量关系理解偏差导致方程列写错误、求解后未检验实际意义保留增根、设元与作答遗漏单位、价量变动方向搞反、几何问题忽略边长取值约束，是五大核心失分点；其中增根未舍去与等量关系构建错误，是学生最普遍的丢分原因。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 传播问题】 【例1】某种病毒传播速度非常快，若最初有一个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有144人被感染，设每轮传染中平均一个人传染了x人． (1)经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传染中，平均每人传染了几个人？ 【变式1-1】（列方程解应用题）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，若主干、支干和小分支总数共73．求主干长出多少个支干． 【变式1-2】我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 【变式1-3】有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【题型2 增长率问题】 【例2】某景区2025年接待游客约万人次，预计2026年、2027年游客量持续增长．若今、明两年的年平均增长率相同，设为，且到2027年该景区游客量将达到万人次，求这两年的年平均增长率． 【变式2-1】新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【变式2-2】实际应用： (1)某商场销售台灯，1月售出400个，2月、3月这种台灯的销量持续增加，在售价不变的情况下，3月的销量为576个．设2月、3月该台灯销量的月平均增长率不变，求2月、3月该台灯销量的月平均增长率． (2)该商场为迎五一劳动节，负责人在商场门口摆放了一个如图所示的长方形工艺品（边在地上），并计划在该工艺品的中间镶上三条宽度相同的丝绸花边．已知该工艺品的长为、宽为，若丝绸花边的面积为，求该丝绸花边的宽 【变式2-3】问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【题型3 与图形有关的问题】 【例3】如图，一块长、宽的矩形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为x的同样大小的正方形，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子．若盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长； 【变式3-1】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【变式3-2】某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． (1)若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； (2)若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； (3)矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【变式3-3】如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出满足条件的点E有几个． 【题型4 数字问题】 【例4】如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【变式4-1】如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【变式4-2】如图，这是2026年9月的月历表，在此月历表上可以用一个方形框任意圈出4个数（如）． (1)如图，若圈出的4个数中，最小的数，则，______，______．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小明通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数x 【变式4-3】如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． (1)c的值为_________．（用含x的代数式表示） (2)若圈出的4个数中，，求b的值． 【题型5 营销问题】 【例5】某果商以每吨元的成本收购了一批修文红心猕猴桃共，目前可以按每吨元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付冷库仓储等费用元，在两个月的上市期内，每星期每吨猕猴桃的价格将上涨1000元． (1)储藏个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利________元； (2)储藏多少个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元？ 【变式5-1】某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， 设该衬衫每件降价x元． (1)填空：降价后，每件衬衫的实际利润是____________元，销售总量是____________件；（用含x的代数式表示）； (2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【变式5-2】广西民族博物馆文创商店售卖融水非遗苗绣斜挎小包，该小包每天可售出20个，每个小包可盈利40元．为进一步推广苗绣非遗文化，商家计划开展惠民降价促销活动，经调查发现：每个小包每降价1元，平均每天可多售出2个．设每个小包降价x元． (1)用含x的式子填空：该小包每天的销售量增加______个，每个小包盈利______元； (2)每个小包降价多少元时，每天的利润可达到1200元？ 【变式5-3】某旅行社推出某周边游产品，已知该产品7月份的报名人数为400人，9月份的报名人数增长到576人，且从7月到9月的报名人数月增长率相同． (1)求7月到9月的报名人数的月增长率． (2)该产品的成本为每人300元，当收费标准为每人400元时，月报名人数为600人．若在此基础上，收费标准每提高1元，月报名人数将减少1人．为使月总利润达到100000元，且尽可能让游客得到实惠，该产品的实际收费标准应定为每人多少元？ 【题型6 动态几何问题】 【例6】已知：如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【变式6-1】在矩形中，，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿，，，的方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，． (1)当x为何值时，点P与点N重合； (2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C移动． (1)几秒钟后的面积等于8？ (2)当时，内有一个动点M，连接、、．若，线段的最小值为______． 【题型7 工程问题】 【例7】随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【变式7-1】北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【变式7-2】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【变式7-3】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【题型8 行程问题】 【例8】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动，大约用了多少秒？（结果保留小数点后一位） （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程、时间的关系为） 【变式8-1】如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 【变式8-2】如图，某海关缉私艇在点处发现其正北方向的处有一艘可疑船只，测得它正以的速度向正东方向航行，随即调整方向，以的速度准备将其拦截．问：需要多长时间缉私艇能在处拦截住可疑船只？ 【变式8-3】一列高速列车在启动加速过程中，行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为．在这一过程中，该高速列车行驶需要多长时间？ 【题型9 握手、循环赛问题】 【例9】2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量． 【变式9-1】某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片张． (1)求该班的人数； (2)若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？ 【变式9-2】某校九年级组织秋季篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，求该校九年级有多少个班级． 【变式9-3】学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． (1)如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； (2)如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．某种商品原价每件200元，连续两次降价后的售价为128元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（     ） A． B． C． D． 2．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 3．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．成都博瑞实验学校初2024级2班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，肖校长趁热打铁，让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1332张，问：2班共有多少名学生？设2班共有x名学生，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（     ） A．小球速度平均每秒减少 B．小球滚动的总路程为 C．小球滚动最后走过的路程为 D．小球滚动时，用的时间是 6．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（     ） A．2或3 B．或 C．1或 D．或6 9．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 10．某读书会的成员之间每两人都互赠一张自制书签，读书会全体成员一共赠出了870张书签，这个读书会有______名成员． 11．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分率，使得第三年的产量达到800件，则增长率为______． 12．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽． 13．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． (1)增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） (2)如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 14．如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $