第一章 特殊平行四边形 章末核心考点与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章特殊平行四边形 13.若AE=BF,△DEF是等边三 1.1认识特殊平行四边形 角形.证明：连接BD 1.C2.A3.C4.菱5.22.5 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB 6.证明略 =BC=CD,∠C=∠A=60°，AD∥ 7.D8.B9.(-2,3) BC,∴.△BCD是等边三角形， 10.(1)△BEC是等腰三角形，证明 ∠ABC=180°-∠A=120°， 如下：，四边形ABCD是矩形， ∠DBE=2∠ABC=60,BD= .AD∥BC,.∠BCE=∠DEC, .EC平分∠BED,.∠BEC= CD,.∠DBE=∠C, ∠DEC,∴.∠BCE=∠BEC, ,AE=BF,∴.AB-AE=BC .'BC=BE, BF,即BE=CF, △BEC是等腰三角形； 在△DBE和△DCF中， (2),四边形ABCD是矩形， BD-CD .∠A=90°， ∠DBE=∠C, 又.∠ABE=45°， BE=CF ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 在Rt△ABE中，由勾股定理得： .DE=DF,∠EDB=∠FDC BE=√JAB+AE区=√2， ∴.∠EDB+∠BDF=∠FDCH ∠BDF=∠BDC=60°， .BC=BE=√2. 11.(1)2 ∴.△DEF是等边三角形 (2)过点F作FM⊥AB于点M, 第2课时菱形的判定 1.C2.证明略 在Rt△BCF中，易求BF=23, 3.平行四边形菱形 在Rt△BFM中，易求MF=3, 4.③5.证明略. 则Ss=2X4X3=6. 6.(1)四边形ABCD为菱形.理由略； 12.(1)图略 (2)BD=6. (2)图略.EG的长为12或4√o.7.C8.C9.DF∥AB 1.2菱形的性质与判定 10.(1)略(2)18√5. 第1课时菱形的性质 11.(1)证明略； 1.A2.B3.C4.D5.C (2)先证四边形ABPF是平行 6.菱形ABCD的周长是AD+BC 四边形，再由AB=AF证平行 +CD+AB=4/10: 四边形ABPF是菱形， 7.2或48.D9.120°10.33 1.3矩形的性质与判定 11.(1)证明略；(2)2. 第1课时矩形的性质 12.(1)证明略；(2)∠ADC=150°. 1.C2.B3.B4.B5.C 49 6.(1)证明略：(2)27. 10.证明略. 7.58.C9.C 11.（1)证明略；(2)45°. 10.号 11.①③④ 12.(1)矩形（正方形） (2)略 12.（1)证明略； (3)在正方形ABCD中，.AF= (2)当EF⊥AC时，四边形 CG,AB=BC,∴.FB=BG, AECF是菱形.理由略. ∴.∠AEF=∠AFE=45,∠BFG= 13.证明略. ∠BGF=45°，∴.∠EFG=90°， 第2课时矩形的判定 :∠A=∠C=90°，DA=DC, 1.C2.90 AF=CG, 3.证明略.4.B ∴.△ADF≌△CDG(SAS), 5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∴.DF=DG, 6.(1)证明略；(2)AB=BC .AD∥CB,∴.∠EDG=∠DGC, 7.证明略.8.B9.A10.矩形 ,∠DGC=∠DEG, 11.2.4 ∴.∠GDE=∠GED, 12.(1)证明略； ∴.DG=EG,.DF=EG, (2)四边形GCF是矩形.理由略 ∴.四边形DEFG是垂等四边形 13.(1)证明略； 专题一 特殊四边形中的折叠问题 (2)AE的长为√73. 1.B2.A3B4. 15 1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 5.(2)①BE= BN,()证明略 1.正方形2.C3.A4.D 专题二特殊四边形中的最值问题 5.22.5°6.6 1.D2.B3.B4.D5.5 7.(1)证明略；(2)EF=5√2. 6.(1)证明略；(2)21. 8.C9.A10.8√511.12 专题三特殊四边形中的动点问题 12.证明略 1.(1)证明略； 13.(1)证明略； (2)①当AM=1时，四边形 (2)仍然成立.理由：首先过点E AMDN是矩形.理由略； 分别作BC,CD的垂线，垂足分 ②当AM=2时，四边形AMDN 别为H,I,然后利用ASA证得 是菱形.理由略. Rt△FEI≌Rt△GEH,则问题得：2.(1)证明略； 证. (2)当点O运动到AC中点处时， 第2课时正方形的判定 四边形AECF是矩形. 1.C2.D3.D 理由略； 4.邻边相等的矩形是正方形 (3)当点O运动到AC中点处时， 5.平行四边形菱形矩形正方形 且△ABC满足∠ACB是直角的 6.证明略， 直角三角形时，四边形AECF为 7.A8.D9.3 正方形 50 理由略。 5.(1)设长为xm,则x(x-2)= 专题四特殊四边形中的类比 120,整理得x2-2x-120=0; 探究问题 (2)设中间的偶数是x,则另外两 1.(1)理由略； 个是x一2，x十2，根据勾股定理， (2)①AC=BD②AC⊥BD 得(x-2)2+x2=(x+2)2,整理 2.(1)证明略； 得x2-8x=0. (2)EF=2√5；(3)成立. 6.-1 章末核心考点与素养提升 7.x2+(x+6.8)2=102 1.D2.121°3.B 8.17.x2+16.x-1=0 4.证明略.5.150 9.15x(30-2m)×2 =750 6.答案不唯一，如：AC=BD 7.B8.A9.B10.25 第2课时一元二次方程的 解和近似解 1.2212.2或3 1.C2.A3.12 13.(1)② 4.填表略；方程的两个解为x= (2)过点Q作QH LPO,连接 2.5,x2=3. OH,HS,则四边形PQHO是平5.-16.x2-3=0 行四边形， 7.x1=10,x2=-2 ∴.PQ∥OH,PQ=OH, 8.(1)311 在平行六边形OPQRST中，PO (2).m是方程2x2-7x+2=0 ∥RS,PO=RS,∴.QH IRS, 的根，.2m2一7m十2=0，方程两 .四边形QRSH为平行四边 形，∴.QR∥HS,QR=HS, 边同时除以2m,得m一号+从 在平行六边形OPQRST中，PQ 0,.m十 1=7 m 2 ∥ST,QR∥OT,∴.OH∥ST, HS∥OT,∴.四边形HSTO为 (m+) =m++2 平行四边形， ..HS-OT,OH-ST, m+动=(m+品)-2 ∴.QR=OT,PQ=ST, ()-29-2-4 .OP-PQ-QR=RS, (3)C ∴.PQ=QR=RS=ST=OT= 2.2 一元二次方程的解法 PO,.平行六边形OPQRST是 第1课时用配方法解二次项系数 菱六边形. 为1的一元二次方程 14.略. 1.D 2.C 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 3.(1)=2+√7，x2=2-√7： 第1课时一元二次方程 (2)x=1土5. 1.C2.C3.略 4.B5.D6.±12 4.x(22-2x)=60 7.3或一7 51章末核心芳 01分点突破 考点一 菱形的性质与判定 1.如图，添加下列条件不能证明平行四边形AB CD是菱形的是 A.∠ABD=∠ADB B.AC⊥BD C.AB=BC D.AC=BD 第1题图 第2题图 2.如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、 BD交于点O,∠BAD=124°，以点C为圆心， CO为半径作圆弧交线段CD于点E,则 ∠AOE= 考点二矩形的性质与判定 3.如图，矩形ABCD的对角 A 线AC与BD相交于点 O,∠ADB=30°，AB=4, 则OC= A.5 B.4 C.3.5 D.3 4.如图，在□ABCD中，AB=DB,∠ABD的平 分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF 交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形 19 点与素养提升 考点三正方形的性质与判定 5.如图，P是正方形ABCD内 点，且△PBC是等边三角形， 则∠APD= 度 6.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 AC⊥BD,请添加一个条件： 使得□ABCD为正方形 02真题演练 7.(2025·福州)如图，在矩形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,CD=3,若AE垂直平分 OB于点E,则BC的长是 () A.4 B.3√3 C.6 D.5√2 第7题图 第8题图 8.(2025·南通)如图，AD是△ABC的中线，四 边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能 判断□ADCE是菱形的是 ( A.∠BAC=90° B.∠DAE=90 C.AB=AC D.AB-AE 9.(2025·天津)如图，已知菱形OABC的顶点 O(0,0),C(2,0)且∠AOC=60°，则菱形OABC 两对角线的交点D的坐标为 A.(1,1) B(,) C.(1,W5) D(日) 20 10.（2025·威海)如图，在 □ABCD中，AD=3,CD =2.连接AC,过点B作 BE∥AC,交DC的延长 线于点E,连接AE,交BC于点F若∠AFC 2∠D,则四边形ABEC的面积为 11.(2025·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB =4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个 动点，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点 G,连接DE,FG,则FG的最小值为 B B 第11题图 第12题图 12.(2025·上海)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,把 ∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处.当 △CEB'为直角三角形时，BE的长为 13.(2025·广西改编)【平行六边形】如图1，在凸 六边形ABCDEF中，满足AB∥DE,BC∥ EF,CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫做 “平行六边形”.其中AB与DE,BC与EF, CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D,∠B和 ∠E,∠C和∠F叫做“主对角”；AD,BE,CF 叫做“主对角线” (1)类比平行四边形性质，有如下猜想：①平 行六边形的三组主对边分别相等；②平行六 边形的三组主对角分别相等；③平行六边形 的三条主对角线互相平分.其中猜想正确的 是 (填序号) 【菱六边形】六条边相等的平行六边形叫做 “菱六边形” (2)如图2，已知平行六边形OPQRST满足 OP=PQ=QR=RS.求证：平行六边形 OPQRST是菱六边形. R 图1 图2 03素养提升 14.如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交 点称为格点，线段AB的端点A,B都在格点 上，每一个小正方形的边长为1. (1)以AB为边画正方形ABCD,使点C,D都 在格点上： (2)以AB为边画菱形ABEF,使点E,F都在 格点上，且菱形ABEF的面积为8. …… B