1.4 第1课时 正方形的性质-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 01基础达标 6.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以 点O为顶点的正方形OEGF的两边OE,OF 知识点一正方形的定义及正方形、矩形、菱形、 分别交正方形ABCD的两边AB,BC于点M, 平行四边形的关系 N,记△AOM的面积为S1,△CON的面积为 1.如图所示，阴影部分表示的四边形是 S2,若正方形的边长AB=8,S1=10,则S2的 四边形 大小为 矩形菱形 7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一 平行四边形 点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF, 2.(2025·成都)下列性质中，平行四边形，矩形， 连接AE、AF、EF. 菱形，正方形共有的性质是 ( (1)求证：△ABE≌△ADF; A.对角线相等 B.对角线互相垂直 (2)若AE=5,请求出EF的长. C.对角线互相平分 D.对角线平分内角 知识点二正方形的性质 3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3,则以 AC为边长的正方形ACEF的面积为 ( A.9 B.12 C.15 D.20 60>B B 第3题图 第4题图 4.如图，四边形ABCD是正方形，O是坐标原点， 对角线AC,BD分别位于x轴和y轴上，点D的 坐标是(0,3)，则正方形ABCD的周长是( A.6√2B.12 C.12√5D.12√2 5.如图，已知E是正方形ABCD对角线BD上 点，且BE=BC,则∠ACE度数是 02 能力提升 8.(2025·广西)如图，在正方形 ABCD中，点E,F分别在BC,CD 上，BE=CF,则图中与∠AEB相 等的角的个数是 ( 第5题图 第6题图 A.1 B.2 C.3 D.4 12 9.如图，以等边三角形ABC的边AC为边，向外作 03思维拓展 正方形ACDE,则(1)∠BCE=105°；(2)∠BAE 13.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三 =150°；(3)BE=BD:(4)∠DBE=30°，其中结论 角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 正确的有 重合，三角板的一边交CD于点F,另一边交 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 CB的延长线于点G. (1)求证：EF=EG: (2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方 形ABCD的对角线AC上，其他条件不变 (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予 第9题图 第10题图 证明；若不成立，请说明理由 10.(2025·菏泽)如图，E,F是正方形ABCD的 E 对角线AC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则 四边形BEDF的周长是 11.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直 图1 图2 角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如 图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面 积为 图1 图2 图3 12.如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一 点，连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分 别为F,G.求证：BF-DG=FG温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章特殊平行四边形 13.若AE=BF,△DEF是等边三 1.1认识特殊平行四边形 角形.证明：连接BD 1.C2.A3.C4.菱5.22.5 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB 6.证明略 =BC=CD,∠C=∠A=60°，AD∥ 7.D8.B9.(-2,3) BC,∴.△BCD是等边三角形， 10.(1)△BEC是等腰三角形，证明 ∠ABC=180°-∠A=120°， 如下：，四边形ABCD是矩形， ∠DBE=2∠ABC=60,BD= .AD∥BC,.∠BCE=∠DEC, .EC平分∠BED,.∠BEC= CD,.∠DBE=∠C, ∠DEC,∴.∠BCE=∠BEC, ,AE=BF,∴.AB-AE=BC .'BC=BE, BF,即BE=CF, △BEC是等腰三角形； 在△DBE和△DCF中， (2),四边形ABCD是矩形， BD-CD .∠A=90°， ∠DBE=∠C, 又.∠ABE=45°， BE=CF ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 在Rt△ABE中，由勾股定理得： .DE=DF,∠EDB=∠FDC BE=√JAB+AE区=√2， ∴.∠EDB+∠BDF=∠FDCH ∠BDF=∠BDC=60°， .BC=BE=√2. 11.(1)2 ∴.△DEF是等边三角形 (2)过点F作FM⊥AB于点M, 第2课时菱形的判定 1.C2.证明略 在Rt△BCF中，易求BF=23, 3.平行四边形菱形 在Rt△BFM中，易求MF=3, 4.③5.证明略. 则Ss=2X4X3=6. 6.(1)四边形ABCD为菱形.理由略； 12.(1)图略 (2)BD=6. (2)图略.EG的长为12或4√o.7.C8.C9.DF∥AB 1.2菱形的性质与判定 10.(1)略(2)18√5. 第1课时菱形的性质 11.(1)证明略； 1.A2.B3.C4.D5.C (2)先证四边形ABPF是平行 6.菱形ABCD的周长是AD+BC 四边形，再由AB=AF证平行 +CD+AB=4/10: 四边形ABPF是菱形， 7.2或48.D9.120°10.33 1.3矩形的性质与判定 11.(1)证明略；(2)2. 第1课时矩形的性质 12.(1)证明略；(2)∠ADC=150°. 1.C2.B3.B4.B5.C 49 6.(1)证明略：(2)27. 10.证明略. 7.58.C9.C 11.（1)证明略；(2)45°. 10.号 11.①③④ 12.(1)矩形（正方形） (2)略 12.（1)证明略； (3)在正方形ABCD中，.AF= (2)当EF⊥AC时，四边形 CG,AB=BC,∴.FB=BG, AECF是菱形.理由略. ∴.∠AEF=∠AFE=45,∠BFG= 13.证明略. ∠BGF=45°，∴.∠EFG=90°， 第2课时矩形的判定 :∠A=∠C=90°，DA=DC, 1.C2.90 AF=CG, 3.证明略.4.B ∴.△ADF≌△CDG(SAS), 5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∴.DF=DG, 6.(1)证明略；(2)AB=BC .AD∥CB,∴.∠EDG=∠DGC, 7.证明略.8.B9.A10.矩形 ,∠DGC=∠DEG, 11.2.4 ∴.∠GDE=∠GED, 12.(1)证明略； ∴.DG=EG,.DF=EG, (2)四边形GCF是矩形.理由略 ∴.四边形DEFG是垂等四边形 13.(1)证明略； 专题一 特殊四边形中的折叠问题 (2)AE的长为√73. 1.B2.A3B4. 15 1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 5.(2)①BE= BN,()证明略 1.正方形2.C3.A4.D 专题二特殊四边形中的最值问题 5.22.5°6.6 1.D2.B3.B4.D5.5 7.(1)证明略；(2)EF=5√2. 6.(1)证明略；(2)21. 8.C9.A10.8√511.12 专题三特殊四边形中的动点问题 12.证明略 1.(1)证明略； 13.(1)证明略； (2)①当AM=1时，四边形 (2)仍然成立.理由：首先过点E AMDN是矩形.理由略； 分别作BC,CD的垂线，垂足分 ②当AM=2时，四边形AMDN 别为H,I,然后利用ASA证得 是菱形.理由略. Rt△FEI≌Rt△GEH,则问题得：2.(1)证明略； 证. (2)当点O运动到AC中点处时， 第2课时正方形的判定 四边形AECF是矩形. 1.C2.D3.D 理由略； 4.邻边相等的矩形是正方形 (3)当点O运动到AC中点处时， 5.平行四边形菱形矩形正方形 且△ABC满足∠ACB是直角的 6.证明略， 直角三角形时，四边形AECF为 7.A8.D9.3 正方形 50 理由略。 5.(1)设长为xm,则x(x-2)= 专题四特殊四边形中的类比 120,整理得x2-2x-120=0; 探究问题 (2)设中间的偶数是x,则另外两 1.(1)理由略； 个是x一2，x十2，根据勾股定理， (2)①AC=BD②AC⊥BD 得(x-2)2+x2=(x+2)2,整理 2.(1)证明略； 得x2-8x=0. (2)EF=2√5；(3)成立. 6.-1 章末核心考点与素养提升 7.x2+(x+6.8)2=102 1.D2.121°3.B 8.17.x2+16.x-1=0 4.证明略.5.150 9.15x(30-2m)×2 =750 6.答案不唯一，如：AC=BD 7.B8.A9.B10.25 第2课时一元二次方程的 解和近似解 1.2212.2或3 1.C2.A3.12 13.(1)② 4.填表略；方程的两个解为x= (2)过点Q作QH LPO,连接 2.5,x2=3. OH,HS,则四边形PQHO是平5.-16.x2-3=0 行四边形， 7.x1=10,x2=-2 ∴.PQ∥OH,PQ=OH, 8.(1)311 在平行六边形OPQRST中，PO (2).m是方程2x2-7x+2=0 ∥RS,PO=RS,∴.QH IRS, 的根，.2m2一7m十2=0，方程两 .四边形QRSH为平行四边 形，∴.QR∥HS,QR=HS, 边同时除以2m,得m一号+从 在平行六边形OPQRST中，PQ 0,.m十 1=7 m 2 ∥ST,QR∥OT,∴.OH∥ST, HS∥OT,∴.四边形HSTO为 (m+) =m++2 平行四边形， ..HS-OT,OH-ST, m+动=(m+品)-2 ∴.QR=OT,PQ=ST, ()-29-2-4 .OP-PQ-QR=RS, (3)C ∴.PQ=QR=RS=ST=OT= 2.2 一元二次方程的解法 PO,.平行六边形OPQRST是 第1课时用配方法解二次项系数 菱六边形. 为1的一元二次方程 14.略. 1.D 2.C 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 3.(1)=2+√7，x2=2-√7： 第1课时一元二次方程 (2)x=1土5. 1.C2.C3.略 4.B5.D6.±12 4.x(22-2x)=60 7.3或一7 51