专练29 相似之类比探究&专练30 三角函数与三角形、四边形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（华东师大版·新教材）

(29 专练29 相似之类比探究 【方法规律】通过证明来计算，通过计算来证明，注意每一问的图形、条件、结论、解题 方法的相互联系， ②典例导练 示范题已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=4,D为BC边上的一点. 过点D作射线DE⊥DF,分别交边AB,AC于点E,F. (1)如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB,DF⊥AC时， DE (2)若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，D DE (3)如图3，若改变点D的位置，且部号时，求票的值，并写出解答过程 (4)如图3，连接EF,当△DEF与△ABC相似，求CD的长， D D 图1 图2 图3 【思路点拨】(2)过点D作DM⊥AB于，点M,作DN⊥AC于点N,证△DME∽ △DNF.(3)过点P作DP⊥AB于，点P,DQ⊥AC于，点Q,证△DQC∽△BAC,△DPB∽ △CAB.(4)分△DEFP△ACB或△DEFP△ABC时，分别计算即可. 【自主解答】 30 专练30三角函数与三角形、四边形 【方法规律】与锐角三角函数有关的问题都需要在直角三角形中解决， )典例导练 模型一作垂线，化斜为直 示范题 如图，已知△ABD中，ACLBD,BC-8,CD=4,cos∠ABC-吉，BF为AD 边上的中线： (1)求AC的长， (2)求tan∠FBD的值. 【思路点拨】(1)解锐角三角函数可得解 (2)连接CF,过F作BD的垂线，垂足为E,根据直角三角形斜边中线等于斜边一 半，可得CF=FD,由勾股定理可得AD=2√I3,即可求tan∠FBD, 【自主解答】 之知能检测 1.如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD,BD平分 ∠AC,若CD3,BD26,m∠DBC,则对角线AC的 长为 模型二等角代换 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC 交BC于点E.延长ED至点F,使得DF=DE,连接AE、AF、CF. (1)求证：四边形AECF是菱形. (②)若瓷-子，求an∠BCF的值，(2)每台学习机可以获利：700一580 专练22相似之基本辅助线 =120(元) 典例导练 (3)该商店可能购进并销售学习机2 18 80台或30台. 专练20 一元二次方程的 知能检测 应用（四）通道、围栏问题 1.过点B作MN⊥l2,交1于点N, 典例导练 交（于点M,则△NAB (1)当羊圈的长为40m,宽为16m .NA 或长为32m,宽为20m时，能围成 △pc品设-号 一个面积为640m的羊圈. 号原BA=VNB+ (2)不能，理由：由题意，得x(72 2x)=650,化简，得x2-36.x+325 ∴AC=2BA=号I 21 =0,△=(-36)2-4×325=-4< 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 0,.一元二次方程没有实数根. 延长线于点E, .羊圈的面积不能达到650m. ,CE∥AB,.∠E=∠EAB,∠B 知能检测 =∠ECB,∴.△CEDX∽△BAD, 1.1 =AD:∠E=∠EAB, CE CD 2.养鸡场的边长AB为20m,BC为 20m. ∠EAB=∠CAD,∴.∠E=∠CAD, 专练21巧证比例式或等积式 典例导练 E-A提器 证明：：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCD=90°，.CD为AB边上的 9 高，∴.∠ADC=90°，.∠A+ 专练23 相似与特殊 ∠ACD=90°，.∠A=∠BCD, 图形（一）直角三角形 ,BE是∠ABC的平分线， 典例导练 .∠ABE=∠CBE,∴.△AEB ,四边形ABCD为正方形，.OC1 △啦带带 BO,∠BCD=90°，.BC=BO· BD,,CF⊥BE,.BC=BF·BE, ,∠ABE=∠CBE,∠CEF=90 BO·BD=BF·BE,即R ∠CBE,∠CFE=∠BFD=90 ∠ABE,∴.∠CEF=∠CFE, B BD,而∠OBF=∠EBD,∴△BOF Ec甍器 P△BED. 知能检测 知能检测 1.,四边形ABCD为正方形，.AB 1.连接CM,则EF垂直平分CM, =BC,∠A=∠C=90°，AB∥ 过点M作MN⊥BC于点N,证 CD,∴.∠ABE=∠F,∴.△ABE △CERANCM.:需-发 △CFB∴票-装.AB· BN_BM1 CN AM 3 BC=AE·CF,∴.AB=AE·CF 2.,四边形ABCD为菱形， 2.吗 ∴.∠ACB=∠ACD,即∠ACD (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 ∠D,:∠EAF-∠BCD, E,易证△OD△Q0E,得5 ∴.∠ACD=∠EAF,.∠AFC= 泥在Rt△AOD和Rt△BOE OD ∠GFA,∠FCA=∠FAG, ∴.△FACc∽△FGA,∴.AF:FG= CF:AF,.AF2=FC·FG 中，0D-号0A.0E=30B, 55 贤县 2.(1)证明：AB∥CG,∴∠ABF =∠G,又，∠ABF=∠ACF, 专练24相似与特殊 .∠ECF=∠G,又.∠CEF 图形（二）等腰三角形 ∠GEC,∴.△ECF∽△EGC,∴. 典例导练 证明：(1)，AB=AC,.∠B= 需即CR=EF·BC ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC (2).平行四边形ABCD中，AB ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, =CD,又DG=DC,.AB=CD .∠DEB=∠CDF,∴.△BDEC =DG,.AB:CG=1:2,AB∥ △CFD. (2)点D是BC的中点，∴.BD= c0…怨器=7即元 CD,由(1)可知：△BDE∽△CFD, 2G=14,G=21.“AB/ 需漂儡 DG器-提=1dF= 1 又，∠EDF=∠B=∠ACB, △(DFn△DE儒， BC-号EF=BF-BE- ∴.DF=EF·CF 知能检测 专练26相似与特 告 殊图形（四）矩形 2.过点C作CH∥AD交DE的延 典例导练 长线于点H,则∠ADE=∠H= 过点E作EM⊥AB交BA的延长 ∠B,AD=AE,∠H= 线于点M,则EM=号AE=1, ∠ADE=∠AED=∠CEH, .∠EMB=∠HBC=90°，且CH⊥ ∴.CE=CH,,∠ADC=∠ADE +∠HDC=∠B+∠BAD, BE∴△BMBn△HiBC器 ∴.∠HDC=∠BAD,∴.△BAD △HC∴器=器∴带 BBH·BM=EM·BC=2, BM 易话△GH∽△BME需 E BM 专练25相似与特殊 BCBE·BG=BH·BM=2. 图形（三）平行四边形 知能检测 典例导练 1.过点P作AD的垂线MN,交AD 作OG∥BC,交边CD于点G,.O 于点M,交BC于点N,易证 为BD中点，.OG为△BDC的中 位线，OG=BC,又：CE=2CD, △MPn△PEN.÷ CF 易证微既器兴 CF∥OG,∴.△ECF∽△EGO,. OG 需需 部子路 2.过点E作MN∥AB分别交AD, 知能检测 BC于点M,N,过点A作AGI 1.在□ABCD中，AB∥CD,. BD于点G,则△EFN∽△AEM, ∠AED=∠CDE,,DE=AE ·CD,DECD AE-品△ADE △EFHn△ABG器-器 △BD.0 AD. DE 器祭畏专H=青 CD=CE·DE G易证骆品青A0号 56 G8得 兴提号赠袋9 专练27相似与特殊 ∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ 图形（五）正方形 典例导练 △MQ洽器号由可知 过点F作FH⊥BC于点H, :∠DCH=90°，CF平分∠DCH, Q-P+0-4+6=10份 ∴∠PCH=2∠DCH=45,PH 号N=52. =CH,易证△BAE∽△HEF, 专练29相似之类比探究 .AB:EH=BE:FH,∴.4：(4-x+ 典例导练 FH)=x:FH,∴FH=x,·y= 1 (1)2(2)2 (3)过点P作DP⊥AB于点P,DQ ×CEXFH=-号(4-)·x=2x AC于点Q,'.∠DPA=∠DQA= ∠A=90°，∴.四边形APDQ是矩形， Dp=AQ.Q-AP,需号 知能检测 CD a BD b 1.分别延长AE,DC交于点K, C西a+6=a十b:DP/AC, △ABE∽△KCE, DQ∥AB,.△DQCp△BAC,△DPB .AE:EK=BE:CE,E是BC中 CAB,∴.是-C常·A0- DQ CD DP BD 点，则BE=CE,AE=EK, ,GH平分AE,.EK=AE= 0 ·AB= 2AF,FK=3AF, P畏 .AG∥HK,∴.△AGF∽△KHF, 4b ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. AC-4b.DE_DP_ab26 a+b…DF=DQ2a-a 2.(1)设EP=x,则PD=2x,PA=4x, a+b 易证△ABF≌△DAP, (4)当△DEF与△ABC相似时，CD ∴.AF=DP=2x,∴.PF=2x=AF (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, -或89 DF=N2DP,∠BDF=∠CDP 专练30三角函数与三角形、四边形 △CDP△BDF,帶-器-E, 典例导练 I)ACLBD,eos∠ABC=A BC BF=2CR器-号r=4, 告，BC-8AB=10,在R△MCB ∴.CP=22. 中，由勾股定理得，AC= 专练28全等与相似 典例导练 AB-BC=√102-82=6，即 (1)PQ-BP+DQ AC的长为6. (2)①△BAMp△CAQ,△DAN∽ (2)连接CF,过F点作BD的垂线， △CAP,△ANM∽△APQ证明： 垂足E,,F是AD中点，FELBD, △BAMP△CAQ.,四边形ABCD是 AC⊥BD,∴.FE∥AC,.FE是 正方形，∴.∠ABM=∠ACQ=∠BAC△ACD的中位线，∴.FE=2AC= =45°，AC=2AB,,∠BAC=∠PAQ =45,∴∠BAM=∠CAQ:.ABMM3,CE=2CD=2.∴在R△BFE △CAQ,相似比为BA:CA=12. ②易证△DAN∽△CAP,DA-AY 中，tan∠FBD=BE8十210 AC AP 知能检测 1.25 号，由(2)证ABAMO△CAQ.2.)证明略。 57 (2)tanBCF=tan∠BEA=√J15. 以A、B之间的两个元件都通过电 专练31概率及其应用 流才能正常通过概率为子 典例导练 (2)由图知，共有4种等可能结果，其 片 中C、D之间的两个元件都通过电流 (2)画树状图略.共有16种等可能 才能正常通过的有3种结果，∴，C、D 的结果，其中小红和小丽在相邻窗： 之间两个元件中至少有一个元件通 口取餐的结果有6种，即①②、② 时电流就能通过的概率为子。 ①、②③、③②、③④、④③，∴.小红 专练32统计与概率的综合 和小丽在相邻窗口取餐的概率为 6 典例导练 (1)50图略 (2)2010144 知能检测 (3)画树状图略.共有20种等可能的 （1)画树状图略. 结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比 由图知，共有4种等可能结果，其中 赛的结果有2种，∴.恰好是小鹏和小 A、B之间的两个元件都通过电流 才能正常通过的只有1种结果，所 兵参加比赛的概率为一0 21 《学情监测》参考答案 学情监测（一） 11.-212.5 1-5 BBCBD 6-10 BADDB 13.m≤2且m≠114.315.4 11.x≤212.-113.5√2 16.(1).=3+7 =3厘 14.-2a+b15.2026 4 16.(1)W2: (2)x1=-1,x2=3. (2)①(a±b)2=a2±2ab+b2; 17.x2=2-√5，m=(2+√5)(2 ②3(2√6)2计算错误； 5)=1. ③1. 18.x1=-1,x2=-2. 17.原式=3√5. 19.(1)a<2. 18.√n+n的整数部分为n,理由 (2)a的值为-1,0,1. 略 20.(1)x1=4,x2=-6(不合题 19.(1)8:(2)4.20.-7. 意，舍去) (2)如果按照这样的传染速 21.(1)3√24√2(2)6 度，经过三轮传染后共有125 (3)不能截出，理由略. 个人会患流感。 22.(1)5√2(2)2-2」 21.(1)前三季度生产量的平均增 (3)a+m+n=16或32. 长率为20%. 2a.a1+-号-0 520 (2)应该再增加4条生产线。 22.(1)BG的长为50m,BE的长 (2)√1+7 1 (n+1)2 =1+ n 为30m; 1 (2)当CG=3AE时，新劳动基 n十1 地的面积不可以为1800m2. /50+1 理由略 (3)W494 √1++g 23.(1)是 1-1=57 1+786 (2)设方程的两根为a,3a, 则a+3a=m十n,a·3a=mn, 学情监测（二） 即m十n=4a,mn=3a2, 1.B2.A3.B4.B5.A 6.A7.A8.B9.A10.C ..mn mn m2牛n-(m十n)2-2m 58 3a2 =2m,由(1）得△ACD 16a2-2×3a=10 (3)由题意，设一元二次方程 △MBc畏光8 a.x2+bx十c=0(a≠0)的两个 ∴.AC=AD·AB=mX2m= 根为t和3.∴.原方程可以改 2m2,∴.AC=√2m或AC= 写为a(x-t)(x-3t)=0, 2m(不符合题意，舍去)， .ax2+bx+c=ax2-4atx+ b=-4at 3af…c=3ae 畏指票 解得3b2-16ac=0. B0=4ECD-号aC .a,b,c之间的关系是3b 4,.CD的长是4； 16ac=0. (3)取BD的中点M,连接 学情监测（三）】 CM,EM, 1-5 BCADB 6-10 CCCBD 点E为CD的中点，EM 11.412.1.213.2.4 是△BCD的中位线， 14.号 15.②③ ∴.EM∥CB,∠CDB=∠CBD =30°，∴.CD=CB,∠EMD= 16.△EFD与△ABC的相似比为 ∠CBD=30°，∴.CM⊥BD, 会理血略。 ∠ADC=∠BME=180°-30 17.当2=2时，号--2，理由 =150°，：∠ACD=∠EBD, △MCD△EBM.0 如虾=2a=2心学 张CD=CB能 会0i号意8 .∠CMB=90°，∠CBM 。--区号-名2 0复…柴- 2…AC=2 C 18.略. ∴AC=4E5E-夏AC 19.连接AC交BD于点O, ,四边形ABCD为菱形， 6,BE的长是6. ∴.AC⊥BD,BO=OD, 学情监测（四） AE⊥AD,∴.△AODの 1-5 BABAB 6-10 DCADC △EAD品-器AD 山812子189 =ED·OD,即AD=号DE 14.400√2 15.号 16.3 ·DB. 17.,∠C=90°，∠B=30°， 20.河宽为17m. ∴.∠A=60°， 21.矩形EFGH的周长为72cm. 'sinA=BC ,tanA=BC C, 22.(1)证明略； (②祟的值不变，理由略， 鸣-鼎 AC 23.(1)证明：.∠A=∠A,∠ACD AB-22I,AC-I 3 =∠B,∴.△ACD∽△ABC, A2-GAC-AD AB: 18.直角边BC的长为3. 19.24+62. (2)设AD=m,.点D为AB 的中点，∴.AD=BD=m,AB 20.cD-(+)km 59 21.建筑物P到赛道AB的距离 -号，P乙先发球)=号 为1003米 22.(1)△MON是等腰直角三角 P(甲先发球)=P(乙先发 形，且∠MON=90°.理由略； 球)，这个约定公平 (2)MN=5√/2！ 22.(1)0.5 (22个3)号 23.①设GE=x米，由tan∠BEG- 23.(1)100 35;(2)C; 罡18，得BG-1.8x, (3)恰好分组都是一男一女的 在Rt△BGE中，∠BCG=35°， 降率为导 tan∠BCG= 器a7 学情监测（六） 1-5 BCADB 6-10 CBDAB 箭7，解得3， 11.x≥0且x≠112.1 .BG=1.8x≈11.45， 13. .AB≈13.1m; 144点3 ②学校旗杆高度大约为13.1米： 16.(1)4+6:(2)W3+1. ③多次测量求平均值， 17.(1)(-6,2),(-4,-2)；(2) 学情监测（五） (-2x,-2y) 1-5 CACDD 6-10 DBCCA 18.(1)证明略；(2)EF= 3 1.号 12.号 1.号 19.(1)证明略； 14. 15.号 (2)x -b±b-4ac 2a 16.1)随机：(2) 5士W/4p+9 2 1.)号 e号 一元二次方程有整数解， 18.抽到同一个大题的概率是子 ∴.√/4p2+9可以为3或5或7 等，当√/4十9=3时，p=0: 19.(1)1;(2) 6N 当√4p+9=5时，p=2;当 √4p+9=7时，p=√10. 20.（1)不可能；随机：} 20.电池板离地面的高度MN约 (2)画树状图略，由树状图可 为8米. 知共12种可能，其中“小惠被 21.1);(2)列表略.此游戏公 抽中”有6种可能，所以“小惠 平.理由略 被抽中的概率是：P是 22.(1)55: 21.(1)画树状图略. (2)当这种书包销售单价为42 一共有12种等可能的结果， 元时，销售利润是3120元： 其中乙选中球拍C有3种可 (3)这种书包的销售利润不能 能的结果，∴P(乙选中球拍 达到3700元，理由略. 23.(1)090:②DM=2CE, (2)公平.理由如下：画树状图 ③DN= 2BE,④DF=DG, 略.一共有4种等可能的结 果，其中两枚硬币全部正面向 上或全部反面向上有2种可 2结论：DF-9G理时略 能的结果，∴P(甲先发球)= 2 (3)提示：过点F作FH⊥BC 4 于点H,BC=17. 60