精品解析：四川省隆昌市第一中学2026—2027学年度第一学期第一次学情自测九年级数学试题

2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数学试题 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可． 【详解】解：A、缺少条件，不一定是二次根式，本选项不符合题意； B、为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意； C、被开方数，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意； D、，，一定是二次根式，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，属于基础题型，熟知二次根式的概念是关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：形如，，为常数且，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故A不符合题意； B、，是一元二次方程，故B符合题意； C、，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、，是二元一次方程，故D不符合题意； 故选：B 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，6cm B. 4cm，5cm，6cm，10cm C. 1cm，2cm，5cm，6cm D. 3cm，4cm，5cm，6cm 【答案】A 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段成比例，符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段不成比例，不符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 4. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与是同类二次根式，符合题意； 故选：． 5. 已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据、在数轴上的位置确定出其符号与绝对值的大小，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：由图可知，， ，， 原式 ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 6. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式加减、除法法则及二次根式性质逐项判断即可． 【详解】解：A：，计算正确，故该选项符合题意； B：，故该选项不符合题意； C：和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D：，故该选项不符合题意． 7. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 8. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据二次根式有意义的条件和分式的定义，列出不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】要使函数 有意义， ∵二次根式的被开方数需非负，分式的分母不能为， ∴可得两个条件 且 ， 解不等式 得 ， 因此自变量 的取值范围是 且 ． 9. 为丰富校园文化生活，某校举办男女混合团体乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），已知共比赛了28场，若设共有支球队，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】单循环赛制下总场次计算需考虑重复计数问题． 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛1场，不考虑重复时总场次为场， ∵ 每两支球队之间只进行1场比赛，上述计算中每场被统计2次， ∴ 实际总比赛场数为， 由总比赛场数为28，得． 10. 定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 11. 设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， ， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ． 12. 如图，在矩形中，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形（）与矩形相似，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形对应边成比例可知，根据矩形的性质、折叠的性质可证四边形是正方形，根据正方形的性质和矩形的性质可知边之间的关系，从而可得：，设，解方程求出的值即为的值． 【详解】解：四边形（）与矩形相似， ， 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 设， 则有， 整理可得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， ． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合题目方程即可列，，解出即可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， ∴． 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质得到，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若实数满足方程，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：，， 当时，， 即， 此时， 即方程有解； 当时，， 即， 此时； 此时方程无解； ． 16. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，先由得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 三、解答题（本大题6个小题，共56分） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的性质、绝对值的定义、二次根式的性质化简，再根据运算法则进行计算； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， ，， 解得：，． 18. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．     （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚长10米，宽9米 （2）小路宽度为1米 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米，根据计划建造车棚的面积为90平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设小路宽米，根据停放自行车的面积为64平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得，， 当时，此时平行墙长米，墙长只有12米，，舍去； 当时，平行墙长米，，符合题意． 故车棚长10米，宽9米． 【小问2详解】 解：设小路宽米， 由题意得， 整理得， 解得，（舍去） 故小路宽度为1米． 19. 关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个实数根， 满足， ， ， ； 【小问2详解】 解：由得，， 关于的方程有两个实数根，， ，， ， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 的值为． 20. 如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 21. 某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次． （1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元? 【答案】（1）该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为 （2）当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题和利润问题，解题关键是理解题意，正确列出方程． （1）根据题意，列出方程即可求解； （2）根据题意，设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天获利4680元，列出方程后解方程，根据实际意义即可求解． 【小问1详解】 解：设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元． 根据题意，得， 整理，得，解得． 要让顾客获得最大优惠， ． 答：当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元． 22. 阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数；它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如： ，，即 的最小值为1 阅读上述材料解决下面问题： （1）________，________； （2）求的最值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）的最小值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简、配方法的应用、平方的非负性． （1）将根号内的式子配方成完全平方式，结合二次根式的性质化简得到结果； （2）利用配方法将原式变形为完全平方式加常数的形式，根据平方的非负性求出最值； （3）从内向外逐层化简得到的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， 的最小值为． 【小问3详解】 解：∵ ∴， 将代入得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数学试题 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，6cm B. 4cm，5cm，6cm，10cm C. 1cm，2cm，5cm，6cm D. 3cm，4cm，5cm，6cm 4. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 9. 为丰富校园文化生活，某校举办男女混合团体乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），已知共比赛了28场，若设共有支球队，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 11. 设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形（）与矩形相似，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为____． 14. 已知，则______． 15. 若实数满足方程，那么的值为______． 16. 已知，则______． 三、解答题（本大题6个小题，共56分） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： 18. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．     （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 19. 关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 21. 某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次． （1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元? 22. 阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数；它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如： ，，即 的最小值为1 阅读上述材料解决下面问题： （1）________，________； （2）求的最值； （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $