专练19 一元二次方程的应用(三)利润问题&专练20 (四)通道、围栏问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（华东师大版·新教材）

(19 专练19一元二次方程的应用（三） 利润问题 【方法规律】“每每模型”利润问题，根据单价利润=售价一进价，销售总利润=单价 利润X销售量列方程. 典例导练 示范题某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调 查表明：售价在40一60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10 个.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？ 【思路点拨】设售价定为x,那么就少卖出10(x一40)个，根据利润=售价一进价，可 列方程求解. 【自主解答】 之知能检测 某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售 价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价 与进货数量关系如图所示： (1)当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价. 进价y/元 (2)当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以 700 600 获利多少元. (3)若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并 50 学习机数 销售学习机多少台 量x/台 20 专练20 一元二次方程的应用（四） 通道、围栏问题 【方法规律】注意隔栏，门宽及墙长对面积的影响 典例导练 示范题如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一 个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）： (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 640m的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请你给出设计方 BE 案；如果不能，请说明理由 【思路点拨】(1)根据BC=栅栏总长一2AB,再利用矩形面积公式即可求出. (2)利用△判断所列方程解的情况. 【自主解答】 之知能检测 1.如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两 条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草.如图，要 使种植花草的面积为532m,则小道进出口的宽度为 m. 2.如图，某农场要建一个矩形的养鸡场ABCD,鸡场的一面靠墙（墙 长为36m),鸡场又被分成三个大小相同的矩形鸡舍，这些鸡舍用100m长的木栏围 成，设AB的长度为xm.当三个鸡舍的总面积为400m时，求养鸡场的边长AB,BC 各为多少m? 墙专练05二次根式的化简与 3+√7 3+7 求值（一）代入法求值 (3-√7)(3+7) 2 典例导练 (2)由题意，得m十n=3,mn= 1 1 (1) √n+I+m 2心m2+mn十n2=(m十n)2 n+I-√m mn=32- 117 2=2 (√n+1+√n)(√n+I-m) =/n+I-/n; 2.由题意，得a一b=2√2，ab= (5)2-(2)2=1, √2-1 (2)原式 ∴.a224b2023-a2023b2024=(ab)223· (2+1)(W2-1) a-(ab)223·b=12w23·a-1223. 5-2 (5+√2)(5-√2) b=a-b=2√2 专练07二次根式的化简与 4-5 求值（三）配方法求值 (4+√5)(4-√5) 典例导练 100-99 .3-5a≥0且5a-3≥0，∴.3-5a (√100+√99)（√/100-√99） 2-1+√5-√2+√4-√5+…+ =0,即a= 方b=15,原式 √/100-√99=√/100-1=10-1 a2+b2+2ab a2+b-2ab =9. ab ab 5+2 atb a-b atb b-a 1 (3).a= √ab √ab Vab ab 5-2(wW5-2)(W5+2) =5+2,∴.a-2=√5.∴.(a-2)2= 2a 2 5 5,即a2-4a+4=5.∴.a24a=1. ab 3×15 5· .3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3 ×1-1=2. 知能检测 知能检测 1.x=-5,y=4,(x+y)2025=-1. 3(3+√6) 2.原方程可变形为(Wā一1)2十形=0， a= =3十√6， (3-6)(3+√6) .(a-1)2≥0，b≥0， ∴.a-3=√6，∴.a2-6a=-3, ∴√a-1=0,b=0, .原式=2(a2-6a)+1=-5. ∴.a=1,b=0. 专练06二次根式的化简与 专练08 二次根式的规律探究 求值（二）对称式求值 典例导练 典例导练 1品 (1)由题意，得x十y=√5+1+√5 1=23;xy=(5+1)(W5-1)= 2√1+ (n+1)2 =1+ 3-1=2..x2-xy+y=(x十y)2 /501 3xy=(23)2-3X2=12-6=6: (2)号+兰 z2+y 知能检测 (x十y)2-2xy=(23)2-2X2 xy (2)Vn+ 1 12-4=4. n+2 =(n+1√+2 2 1 In2+2n 知能检测 (3)n+ n+2 Vn+2 n+2 1.(1)m= 3-√7 3- -;n n2+2n+1 (n十1)2 (3+√7)(3-√7) 2 n+2 n+2 =(n十 52 -k-1)=0,∴.x1=2,x2=k十1. 1)Wn+2 由题意，得k十1<1，解得：k<0, 专练09运用根的定义求代数式的值 的取值范围为k<0. 典例导练 专练12特殊法解方程（二）】 由题意，得a2-a-1=0,即a2-a 换元法 =1,a3-2a+2023=a3-a2+a2-a 典例导练 -a+2023=a(a2-a)+(a2-a)- 设x2+2x=y,则原方程转化为y a+2023=a+1-a+2023 -y-12=0, =2024. 整理，得(y一4)(y+3)=0. 知能检测 解此方程，得y=4,2=一3. 1.由题意，得1-5a十a2=0. 当y=4时，x2+2x=4,.x=-1士 ∴.a2-5a=-1, √5；当y=-3时，x2+2x=-3,此 ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a)-7 时该方程无解.∴.原方程的解为 =3×(-1)-7=-10. 2.由题意，得m2-3m+1=0,且m =-1十√5，x2=-1-5. ≠0，m-3十1=0， 知能检测 m 1.设m2=2.x十y(m≥>0)，原方程可 m+ 1 2 =9. 变为m2-9=8m. m =3,.（m十 m 整理，得(m一9)(m十1)=0.所以 即m+2+是 =9 m=9或m=-1(舍去). 即代数式2x+y的值为81. ∴m-2+2=5(m 1m1 2.设x2+2x=n,则n+4n-5=0, 1 整理，得(n一1)(n+5)=0,解得 =5,.m m =土5， n=1或n=-5, 专练10配方法的应用 当n=-5时，x2+2.x=-5无解 典例导练 (舍去)，即x2+2x=1, m2-6m+10=m2-6m+9+1=(m 所以x3+3.x2+x=x(x2+2x+ -3)2+1≥0+1=1，.m2-6m+ 1)+x2=2x+x2=1. 10的最小值是1，此时m=3. 专练13根的判别式（一）】 知能检测 判断根的情况 1.原式=-3(y2-2y+1)+5=-3 典例导练 (y-1)2+5,由-3(y-1)≤0， 证明：.△=b2-4ac=(m-6)2-4 得-3(y-1)2+5≤5，.-3y2+ ×(-6m)×1=m2+12m+36=(m 6y十2有最大值，最大值为5. 十6)≥0，.不论m取何值时，方程 2.M=a2+b-2a+4b+2024 总有两个实数根。 =(a2-2a+1)+(b+4b+4)-1 知能检测 -4+2024 1.在方程x2-(2k十3)x+k2+3k十 =(a-1)2+(b+2)2+2019, 2=0中，△=b-4ac=[-(2k+ ∴.当a=1,b=-2时，M有最小 3)]2-4(k2+3k+2)=1>0, 值，最小值为2019. 专练11特殊法解方程（一）】 .方程有两个不相等的实数根. 十字相乘法 2.“蛟龙”方程a.x2十bx十c=0(a≠ 典例导练 0)有两个不相等的实数根，理由 x1=-1,x2=-3. 如下：由题意，得b=ac, 知能检测 .△=b-4ac=2-4b=b(b-4) 1.(1)x1=10,x2=-9. >0,.“蛟龙”方程a.x2+bx十c= 0(a≠0)有两个不相等的实数根. (2)x=3=-4 专练14根的判别式（二） 2.x2-(k+3)x+2k十2=(x-2)(x 确定字母系数的值或取值范围 53 典例导练 ≠1，.不存在. 依题意，得△=（一3）2一4(m一1)×知能检测 2=-8m+17≥0，且m一1≠0，解1.根据根与系数的关系得x十x2= 得m<名且m≠1. -2k,x1x2=k-1, x1(x2-2)=2x2,∴.2(+x2) 知能检测 -x1x2=0,.2X(-2k)-(k 1.根据题意得△=一4aX= 1)=-4k-k+1=-5k+1=0, -a=0,即a=b, 解得及== a=1,b=1.(答案不唯一) 2.根据“凤凰方程”的定义知x=一 2.设-x2十4x-1=y,.方程x2 1是一元二次方程2x2-m.x-n 4x+(y十1)=0有实数根， =0的根. ∴.b-4ac=16-4(y+1)≥0，解 ①当m=-1时，2x2-m.x-n=0 得y≤3，则代数式一x2+4x一1 是关于x的风凰方程： 的最大值为3. ②当m≠一1时，，m是方程2x 专练15根与系数的关系（一） m.x一n=0的一个根，.一1十 求代数式的值 典例导练 m=受，解得m=2 由题意，得a2+3a+1=0,3+33+ 综上所述，m的值是2或一1. 1=0,a十3=-3，a8=1,∴.a2+3a= 专练17一元二次方程的 -1,3+38=-1..(a2+4a)(g+ 应用（一）单（双）循环问题 4=(a2+3a+a)(8+33+3)=(a 典例导练 -1)(g-1)=a8-(a+B+1=1- 初中组共有10个队参加比赛. (-3)+1=5. 知能检测 知能检测 1.这样的多边形不存在。 1.由题意，得a十b=2,a2-+ 2.这个微信群里共有30个好友， 专练18一元二次方程的 4b=(a+b)(a-b)+4b=2a-2b +4b=2a+2b=4. 应用（二）传播问题、变化率问题 2.(1)-6 典例导练 (2).p>0,.△=36-4×1× 每个人计划发展下线7人 知能检测 (-p)=36+4p>0, 1.每轮感染中平均每一台电脑会感 .m,n是一元二次方程x2十6x 染8台电脑. 一p=0的两个实数根，且m≠n, 2.第一次提价后的售价为120元. .m+n=-6,mn=-p, 专练19一元二次方程的 .∴.m2+n2=(m+n)2-2mn= 应用（三）利润问题 36+2p, 典例导练 :.m+片-36_36+236=2. 设售价定为x元，[600-10(x 专练16根与系数的关系（二） 40)](x-30)=10000,整理，得x 求字母系数的值或取值范围 -130x+4000=0,解得：x1=50,x2 典例导练 =80(舍去).600-10(x-40)=600 (1)由题意，得k一1≠0，且△= 10×(50-40)=500(个).答：台 灯的定价定为50元，这时应进台灯 12k+13>0,解得<得且k≠1. 500个. (2)假设存在两根的值互为相反数， 知能检测 设为x1,x2,,0十x2=0,∴. (1)由题意得：当x>40时，每台学习 03-0k=号，又k是且 机的售价为（元）：800一5(x一40)= k-1 5.x+1000. 54 (2)每台学习机可以获利：700一580 专练22相似之基本辅助线 =120(元) 典例导练 (3)该商店可能购进并销售学习机2 18 80台或30台. 专练20 一元二次方程的 知能检测 应用（四）通道、围栏问题 1.过点B作MN⊥l2,交1于点N, 典例导练 交（于点M,则△NAB (1)当羊圈的长为40m,宽为16m .NA 或长为32m,宽为20m时，能围成 △pc品设-号 一个面积为640m的羊圈. 号原BA=VNB+ (2)不能，理由：由题意，得x(72 2x)=650,化简，得x2-36.x+325 ∴AC=2BA=号I 21 =0,△=(-36)2-4×325=-4< 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 0,.一元二次方程没有实数根. 延长线于点E, .羊圈的面积不能达到650m. ,CE∥AB,.∠E=∠EAB,∠B 知能检测 =∠ECB,∴.△CEDX∽△BAD, 1.1 =AD:∠E=∠EAB, CE CD 2.养鸡场的边长AB为20m,BC为 20m. ∠EAB=∠CAD,∴.∠E=∠CAD, 专练21巧证比例式或等积式 典例导练 E-A提器 证明：：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCD=90°，.CD为AB边上的 9 高，∴.∠ADC=90°，.∠A+ 专练23 相似与特殊 ∠ACD=90°，.∠A=∠BCD, 图形（一）直角三角形 ,BE是∠ABC的平分线， 典例导练 .∠ABE=∠CBE,∴.△AEB ,四边形ABCD为正方形，.OC1 △啦带带 BO,∠BCD=90°，.BC=BO· BD,,CF⊥BE,.BC=BF·BE, ,∠ABE=∠CBE,∠CEF=90 BO·BD=BF·BE,即R ∠CBE,∠CFE=∠BFD=90 ∠ABE,∴.∠CEF=∠CFE, B BD,而∠OBF=∠EBD,∴△BOF Ec甍器 P△BED. 知能检测 知能检测 1.,四边形ABCD为正方形，.AB 1.连接CM,则EF垂直平分CM, =BC,∠A=∠C=90°，AB∥ 过点M作MN⊥BC于点N,证 CD,∴.∠ABE=∠F,∴.△ABE △CERANCM.:需-发 △CFB∴票-装.AB· BN_BM1 CN AM 3 BC=AE·CF,∴.AB=AE·CF 2.,四边形ABCD为菱形， 2.吗 ∴.∠ACB=∠ACD,即∠ACD (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 ∠D,:∠EAF-∠BCD, E,易证△OD△Q0E,得5 ∴.∠ACD=∠EAF,.∠AFC= 泥在Rt△AOD和Rt△BOE OD ∠GFA,∠FCA=∠FAG, ∴.△FACc∽△FGA,∴.AF:FG= CF:AF,.AF2=FC·FG 中，0D-号0A.0E=30B, 55 贤县 2.(1)证明：AB∥CG,∴∠ABF =∠G,又，∠ABF=∠ACF, 专练24相似与特殊 .∠ECF=∠G,又.∠CEF 图形（二）等腰三角形 ∠GEC,∴.△ECF∽△EGC,∴. 典例导练 证明：(1)，AB=AC,.∠B= 需即CR=EF·BC ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC (2).平行四边形ABCD中，AB ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, =CD,又DG=DC,.AB=CD .∠DEB=∠CDF,∴.△BDEC =DG,.AB:CG=1:2,AB∥ △CFD. (2)点D是BC的中点，∴.BD= c0…怨器=7即元 CD,由(1)可知：△BDE∽△CFD, 2G=14,G=21.“AB/ 需漂儡 DG器-提=1dF= 1 又，∠EDF=∠B=∠ACB, △(DFn△DE儒， BC-号EF=BF-BE- ∴.DF=EF·CF 知能检测 专练26相似与特 告 殊图形（四）矩形 2.过点C作CH∥AD交DE的延 典例导练 长线于点H,则∠ADE=∠H= 过点E作EM⊥AB交BA的延长 ∠B,AD=AE,∠H= 线于点M,则EM=号AE=1, ∠ADE=∠AED=∠CEH, .∠EMB=∠HBC=90°，且CH⊥ ∴.CE=CH,,∠ADC=∠ADE +∠HDC=∠B+∠BAD, BE∴△BMBn△HiBC器 ∴.∠HDC=∠BAD,∴.△BAD △HC∴器=器∴带 BBH·BM=EM·BC=2, BM 易话△GH∽△BME需 E BM 专练25相似与特殊 BCBE·BG=BH·BM=2. 图形（三）平行四边形 知能检测 典例导练 1.过点P作AD的垂线MN,交AD 作OG∥BC,交边CD于点G,.O 于点M,交BC于点N,易证 为BD中点，.OG为△BDC的中 位线，OG=BC,又：CE=2CD, △MPn△PEN.÷ CF 易证微既器兴 CF∥OG,∴.△ECF∽△EGO,. OG 需需 部子路 2.过点E作MN∥AB分别交AD, 知能检测 BC于点M,N,过点A作AGI 1.在□ABCD中，AB∥CD,. BD于点G,则△EFN∽△AEM, ∠AED=∠CDE,,DE=AE ·CD,DECD AE-品△ADE △EFHn△ABG器-器 △BD.0 AD. DE 器祭畏专H=青 CD=CE·DE G易证骆品青A0号 56 G8得 兴提号赠袋9 专练27相似与特殊 ∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ 图形（五）正方形 典例导练 △MQ洽器号由可知 过点F作FH⊥BC于点H, :∠DCH=90°，CF平分∠DCH, Q-P+0-4+6=10份 ∴∠PCH=2∠DCH=45,PH 号N=52. =CH,易证△BAE∽△HEF, 专练29相似之类比探究 .AB:EH=BE:FH,∴.4：(4-x+ 典例导练 FH)=x:FH,∴FH=x,·y= 1 (1)2(2)2 (3)过点P作DP⊥AB于点P,DQ ×CEXFH=-号(4-)·x=2x AC于点Q,'.∠DPA=∠DQA= ∠A=90°，∴.四边形APDQ是矩形， Dp=AQ.Q-AP,需号 知能检测 CD a BD b 1.分别延长AE,DC交于点K, C西a+6=a十b:DP/AC, △ABE∽△KCE, DQ∥AB,.△DQCp△BAC,△DPB .AE:EK=BE:CE,E是BC中 CAB,∴.是-C常·A0- DQ CD DP BD 点，则BE=CE,AE=EK, ,GH平分AE,.EK=AE= 0 ·AB= 2AF,FK=3AF, P畏 .AG∥HK,∴.△AGF∽△KHF, 4b ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. AC-4b.DE_DP_ab26 a+b…DF=DQ2a-a 2.(1)设EP=x,则PD=2x,PA=4x, a+b 易证△ABF≌△DAP, (4)当△DEF与△ABC相似时，CD ∴.AF=DP=2x,∴.PF=2x=AF (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, -或89 DF=N2DP,∠BDF=∠CDP 专练30三角函数与三角形、四边形 △CDP△BDF,帶-器-E, 典例导练 I)ACLBD,eos∠ABC=A BC BF=2CR器-号r=4, 告，BC-8AB=10,在R△MCB ∴.CP=22. 中，由勾股定理得，AC= 专练28全等与相似 典例导练 AB-BC=√102-82=6，即 (1)PQ-BP+DQ AC的长为6. (2)①△BAMp△CAQ,△DAN∽ (2)连接CF,过F点作BD的垂线， △CAP,△ANM∽△APQ证明： 垂足E,,F是AD中点，FELBD, △BAMP△CAQ.,四边形ABCD是 AC⊥BD,∴.FE∥AC,.FE是 正方形，∴.∠ABM=∠ACQ=∠BAC△ACD的中位线，∴.FE=2AC= =45°，AC=2AB,,∠BAC=∠PAQ =45,∴∠BAM=∠CAQ:.ABMM3,CE=2CD=2.∴在R△BFE △CAQ,相似比为BA:CA=12. ②易证△DAN∽△CAP,DA-AY 中，tan∠FBD=BE8十210 AC AP 知能检测 1.25 号，由(2)证ABAMO△CAQ.2.)证明略。 57