安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高一数学月考卷以统计调查、几何体折叠、实际收入分析等情境为载体，融合数据意识、空间观念与推理能力考查，适配高一学段知识巩固与核心素养培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|随机数表抽样、复数概念、中位数|结合“礼让行人”调查等现实情境，基础辨析与能力判断结合| |填空题|3题15分|方差计算、体积比、向量数量积|设置方差最小值等开放性问题，考查数学抽象与转化| |解答题|5题77分|收入数据分析、三角形面积与外接球、三棱锥线面角|以出租车收入分配、阅读时间调查等真实数据为背景，综合考查数据处理与逻辑推理|

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是 A.对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 B.对某品牌手机电池待机时间的调查 C.对某校九年级(1)班学生视力情况的调查 D.对长江水质情况的调查 2.某校对高一新生进行了数学摸底测试,现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析,先将全体900名学生编号为001,002,003,…,900,从中抽取60个样本,并提供了随机数表的第1行到第2行,如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据,则得到的第5个样本的编号为 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A.175 B.866 C.751 D.615 3.已知一组数据12,10,8,15,6,8,这组数据的中位数是 A.8 B.9 C.10 D.12 4.某学校高一年级共有1 500名学生,从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况,其中只阅读两本名著的有135人,至少阅读三本名著的有96人,请估计该校高一全体1 500名学生中,至多阅读一本名著的人数约为 A.350 B.345 C.450 D.485 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asinB+=c,则A= A. B. C. D. 6.在平行四边形ABCD中,AD=AB=BD=2,现将△BCD沿BD折起,使二面角C-BD-A的大小为60°,则三棱锥C -ABD外接球的表面积为 A.20π B.28π C. D. 7.某调查小组为了解本月本市居民的用水情况,利用分层随机抽样的方法从X,Y两个社区抽取60名居民,已知X社区有4 000人,Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中,X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80,Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100,则两个社区的居民用水量的方差的估计值为 A.86.7 B.88.7 C.90 D.100 8.如图,四边形ABCD为矩形,其中AB=4,AD=3,其上方是一个以CD为直径的半圆,P为半圆弧上的一个动点,则·的取值范围为 A.[9,21] B.[13,25] C.[,5] D.[5,21] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.下列结论不正确的是 A.若复数z满足z2∈R,则z∈R B.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0 C.若复数z1,z2满足z1z2=|z1|2,则z2= D.若复数z满足|z|=1,则复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆 10.某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核,考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分,若每天的得分均不低于80分(所得分均为整数),则考核合格,否则视为不合适,四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83,平均数为82. 乙:中位数为82,众数为80. 丙:中位数为85,总体平均数为82. 丁:有个工作日得分为89,平均数为83,方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中,考核一定合格的为 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.如图,两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF,若八面体的各棱长均为1,则下列结论正确的是 A.四边形AFCE为菱形 B.八面体的体积为 C.直线AE与平面BDE所成角的大小为45° D.二面角B-AE-D的正弦值是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知a,b,9,10,11的平均数为10,则其方差的最小值为　　　　.  13.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,M为PC上一点且=,则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为　　　　.  14.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=3,·=2·,且·=45,则∠BAD=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入(单位:万元),其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 (1)试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数; (2)甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车,其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上,且租车时间所得利润归各自所有,若该品牌的出租车月出租费为0.81万元,根据1~6月份的收入数据,甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 16.(15分)已知复数z1=1-2m+(m-2)i,z2=1+2sin θ-(λ-cos θ)i(m,λ∈R). (1)若z1在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上,求实数m的值; (2)若z1=2z2,求实数λ的最值. 17.(15分)某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名,该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况,利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生,记录每人假期期间每天的平均阅读时间(单位:分钟),得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数(保留整数). (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况(每组的值用该组的中点值作代表). 18.(17分)在△ABC中,角B的平分线BD交AC于点D,BD=2. (1)若BD=BC,B=,求: ①△ABC的面积; ②△ABC的外接圆的周长. (2)若B=,求AB+BC的最小值. 19.(17分)在如图所示的三棱锥P -ABC中,PM为高,N为PC的中点,MN∥平面PAB,AB=3,BC=4,AC=5. (1)求证:PB=PC. (2)若PB=BC,PM=. ①求AB与平面PBC所成角的正弦值; ②求点A到平面PBC的距离. 参考答案 1.C　A选项,对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查,人数众多,适合抽样调查;B选项,对某品牌手机电池待机时间的调查,具有破坏性,适合抽样调查;C选项,对某校九年级(1)班学生的视力情况的调查,人数较少,适合全面调查;D选项,对长江水质情况的调查,范围广,适合抽样调查. 2.A　从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据,前5个数据依次是260,004,012,866,175,所以得到的第5个样本的编号为175. 3.B　将这组数据从小到大排列为6,8,8,10,12,15,中间的两个数为8和10,则中位数为=9. 4.B　在这300人中,至多阅读一本名著的人数为300-135-96=69(人),则高一全体1 500名学生中,至多阅读一本名著的人数约为1 500×=345. 5.B　由2asinB+=c,得asin B+acos B=c,由正弦定理可得sin B·sin A+sin Acos B=sin C=sin(A+B),所以sin Bsin A+sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,故sin Bsin A=cos Asin B.因为0<B<π,所以sin B>0,故sin A=cos A>0,所以tan A=,又0<A<π,所以A=. 6.D　因为AD=AB=BD=2,所以△ABD和△BCD均是腰长为2的等腰直角三角形,将其补充为如图1所示的长方形,折起后得到如图2所示的直三棱柱,其中直三棱柱的上、下底面均是边长为2的等边三角形,且该三棱柱的外接球即为三棱锥C -ABD的外接球.设△ABE外接圆的半径为r,则2r=2O1A=,所以r=,又三棱锥的高为2,所以三棱柱外接球的半径R==,所以三棱锥C -ABD外接球的表面积为4πR2=. 7.B　首先计算抽样比,总人数为4 000+2 000=6 000(人),抽取60人,则抽样比为60÷6 000=.X社区的权重为4 000÷6 000=,Y社区的权重为2 000÷6 000=. 这两个社区的居民用水量的平均数的估计值为×15+×18=16,所以这两个社区的居民用水量的方差的估计值为[80+(16-15)2]+[100+(16-18)2]≈88.7. 8.A　如图,取AB的中点O,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2 =||2-4.又因为≤||≤5,所以13≤||2≤25,所以9≤||2-4≤21,则·的取值范围为[9,21]. 9.ABC　A选项,若z=i,则z2 =-1∈R,但z∉R,故A错误;B选项,若b=0,则z=a+bi为实数,故B错误;C选项,若z1=0,z2为任意复数,都满足z1z2 =|z1|2,但z2不一定等于,故C错误;D选项,复数z的模表示复数z在复平面内对应的点到原点O的距离,若复数z满足|z|=1,则复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆,故D正确. 10.BD　对于甲,若有四个工作日的得分为83,则剩余的那个工作日的得分为78,故甲的考核不一定合格,所以A项错误;对于乙,因为乙的中位数为82,众数为80,故乙的得分至少为80,80,82,83,84,故乙的考核一定合格,所以B项正确;对于丙,丙的中位数为85,总体平均数为82,其得分可以为77,78,85,85,85,故丙的考核不一定合格,所以C项错误;对于丁,由于一个工作日的得分为89,且平均数为83,若有一个工作日的得分为79,则方差就超过了9.2,所以丁连续五个工作日的得分均不低于80,故丁的考核一定合格,所以D项正确. 11.ABC　如图,连接AC交BD于点O,则点O为正方形ABCD的中心,由对称性可知OE=OF,OA=OC,所以四边形AFCE为平行四边形,又AE=AF,故四边形AFCE为菱形,A项正确. 由AE=AF,OE=OF,得AO⊥EF,在正方形ABCD中,AO⊥BD,EF⊂平面BEDF,BD⊂平面BEDF,又BD∩EF=O,所以AO⊥平面BEDF,所以∠AEO即为直线AE与平面BDE所成的角.由该八面体的棱长为1,得AO=AC==,所以EO===AO,所以∠AEO=45°,C项正确.该八面体的各棱长均为1,则其体积V=EF×SABCD=×2××AB2=,B项正确.取AE的中点为N,连接BN,DN,则∠BND即为二面角B-AE-D的平面角.由该八面体的棱长为1,得BN=DN=,BD=2=,所以cos∠BND==-,所以二面角B-AE-D的余弦值是,正弦值为,D项错误. 12.　由题意可得,=10,所以a+b=20.因为平均数为10,显然当a=b=10时,方差最小,所以方差的最小值为=. 13.7∶18　设四棱锥P-ABCD的体积为V,在PD上取一点N,使=,连接MN,AN,BD,BN,如图.因为=,所以MN∥DC且MN=DC,又AB∥DC,所以MN∥AB,则S△PMN=S△PDC,所以A,B,M,N四点共面,即ABMN为截面.又VP-ABMN=VP-ABN+VP-BMN,其中VP-ABN=VB-PAN=VB-PAD=V,VP-BMN=VB-PMN=VB-PCD=V,所以VP-ABMN=V,即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为V,则下半部分的体积为V,所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为7∶18. 14.　设∠BAD=θ,由·=2·,得·-·=·,即·(-)=·,所以·=·,所以||||=||||cos θ, 所以||=||cos θ,即||cos θ=3.又·=·(+)=||2+·=||2+3||cos θ=||2+9=45,所以||=6,所以cos θ=,又θ∈0,,所以θ=,即∠BAD=. 15.解:(1)1~6月份的月收入分别为2.43万元,2.22万元,2.79万元,2.73万元,3.33万元,2.7万元,所以中位数为=2.715(万元).平均收入为=2.7(万元). (2)由所给数据可知,出租车收入与时间段有关联,所以两位师傅的租金应该根据1~6月份的平均收入按比例分担. 而白天的平均收入为=1.2(万元), 晚上的平均收入为=1.5(万元), 所以甲师傅应该分担0.81×=0.36(万元), 乙师傅应该分担0.81×=0.45(万元). 16.解:(1)若z1在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上,则1-2m<0且m-2<0, 且1-2m=m-2,解得m=1. (2)若z1=2z2,则由①得m=--2sin θ　③,将③代入②中,得--2sin θ=-2λ+2cos θ,故λ=cos θ+sin θ+=sinθ++.因为-1≤sin θ+≤1,所以当sinθ+=-1时,λmin=-,当sinθ+=1时,λmax=+. 17.解:由题可知,(0.006+0.006+0.010+0.054+x+0.006)×10=1, 所以x=0.018. (1)设高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为m,则0.06+0.06+0.10+0.54+(m-80)×0.018=0.8, 解得m≈82. 设高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为n,则0.3+0.4+(n-70)×0.015=0.8, 解得n≈77. (2)高一年级100名学生在五一假期期间,阅读时间超过一个小时的百分比为1-(0.006+0.006)×10=88%, 高二年级100名学生在五一假期期间,阅读时间超过一个小时的百分比为1-0.03×10=70%. (3)由频率分布直方图可知,高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为75, 平均数为0.06×45+0.06×55+0.1×65+0.54×75+0.18×85+0.06×95=74. 高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为65, 平均数为0.30×55+0.40×65+0.15×75+0.1×85+0.05×95=67. 由此可以看出,无论从阅读时间的众数来讲,还是从阅读的平均时间来看,高一年级都明显高于高二年级,所以高一学生的阅读情况要好于高二学生的阅读情况,这可能与高二的学业加重有关. 18.解:(1)①因为B=,角B的平分线BD交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=,BD=BC=2,所以C=∠BDC==π,A=π--=, 由正弦定理得==2, 所以AB=2sin=2sin+=2sincos+cossin=+1, 所以S△ABC=AB×BC×sin∠ABC=×(+1)×2×=. ②设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得2R==2,所以R=,则△ABC的外接圆的周长l=2πR=2π. (2)由B=,得∠ABD=∠CBD=.根据三角形的面积可得AB×BD×sin∠ABD+BC×BDsin∠CBD=AB×BCsin∠ABC,所以AB×BDsin+BC×BDsin=AB×BCsin,即BD×(AB+BC)=AB×BC, 得2(AB+BC)=AB×BC≤2,则≥2,即AB+BC≥8,当且仅当AB=BC=4时,等号成立,即当△ABC为等腰三角形时,AB+BC的最小值是8. 19.解:(1)证明:如图,取BC的中点D,连接DM,DN,DP.∵D,N分别为PC,BC的中点,∴DN∥PB. 又∵DN⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,∴DN∥平面PAB. ∵MN∥平面PAB,DN∩MN=N,∴平面DMN∥平面PAB.又∵平面ABC∩平面DMN=DM,平面ABC∩平面PAB=AB,∴DM∥AB.在△ABC中,∵AB=3,BC=4,AC=5,∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥BC,∴DM⊥BC,又BC⊥PM,PM∩DM=M,∴BC⊥平面PDM,∴BC⊥PD. ∵D为BC的中点,∴PB=PC. (2)①由(1)可知,BC⊥平面PDM,∴平面PBC⊥平面PDM.如图,过点M作ME⊥PD,E为垂足,则ME⊥平面PBC, ∴∠MDE为DM与平面PBC所成的角.在等边△PBC中,PD=BC=2,在Rt△PDM中,由PM=,可得∠MDP=30°, ∴∠MDE=∠MDP=30°,又∵AB∥DM,∴AB与平面PBC所成角的大小为30°,即正弦值为. ②设点A到平面PBC的距离为d,AB与平面PBC的夹角为θ,则由①可知θ=30°, ∴sin θ=,∴d=ABsin θ=. ( 第 11 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $