第六单元 正比例和反比例（举一反三培优讲义）知识梳理+9个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题-2025-2026学年苏教版数学六年级下册单元复习

该小学数学讲义通过导图指引与知识梳理构建正比例和反比例的知识体系，用表格对比正反比例的异同点，思维导图呈现“商正积反”的判断方法，清晰呈现概念、图象特征及应用步骤等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“考点讲练+分层训练”设计，如“根据正比例图象求对应值”“杠杆平衡的反比例应用”等题型，培养抽象能力与模型意识。真题演练结合名校小升初题，分层训练分基础与拓展，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

2025-2026学年苏教版数六年级下册重点难点培优讲练 第六单元 正比例和反比例『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+9个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题） 同学你好，该份讲义用于苏教版数学六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道名校小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 讲义目录指引 导图指引 2 知识梳理 3 知识点一 正比例 3 知识点二 反比例 3 知识点三 判断比例关系 3 知识点四 用比例解决问题 4 考点讲练 4 高频考点一 正比例的意义及辨识 4 高频考点二 根据图象作答-正比例图象的应用 4 高频考点三 作图题-正比例的应用 6 高频考点四 实际应用题-正比例的应用 7 高频考点五 反比例的意义及辨识 8 高频考点六 直接判断是否是反比例-反比例的应用 10 高频考点七 左右平衡问题-反比例的应用 10 高频考点八 实际应用-反比例的应用 11 高频考点九 作图题-反比例的应用 12 真题演练 13 分层训练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【创新拓展 拔尖冲刺】 17 知识点一 正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二 反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三 判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充：正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四 用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 高频考点一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏徐州·期中）已知，和y成( )比例；已知，和y成( )比例。（、不为0） 【变式训练1】（25-26六年级下·江苏连云港·期中）在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如图所示。 (1)如果挂3kg物体，弹簧伸长的长度是( )cm。 (2)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例关系。（填“正”或“反”） (3)当弹簧伸长的长度是1.6cm时，所挂物体的质量是( )kg。 【变式训练2】（24-25六年级下·江苏南通·期中）如果＝7b（，b均不为0），那么和b成( )比例；如果，那么和b成( )比例。 高频考点二 根据图象作答-正比例图象的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·广西桂林·期中）下图是奇奇的看书页数与时间的关系。 (1)奇奇看书页数和时间成( )比例关系。 (2)照这样的速度，如果奇奇看了8天，能看( )页；如果这本书132页，需要( )天能看完。 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初模拟）有两个水龙头往空杯匀速滴水，水龙头相同口径，滴水的速度相同。下面图（    ）大致描述了图1杯子中水面高度随滴水时间的变化情况；图（    ）大致描述了图2杯子中水面高度随滴水时间的变化情况。 A．①；③ B．②；③ C．②；④ D．③；④ 【变式训练2】（2025·江西吉安·小升初真题）某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（    ）。 A．③① B．③② C．①② D．④② 高频考点三 作图题-正比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）乐乐把同一时间、同一地点测得树高和影长的数据记录在表中。 树高/m 2 3 4 6 9 … 影长/m 1.6 2.4 3.2 4.8 7.2 … （1）在下图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。 （2）连线以后，它们在一条直线上吗？这说明树高和影长成什么比例关系？为什么？ 【变式训练1】（24-25六年级下·山东菏泽·期中）小安同学去某书店购买演算本数量与总价的情况如下： 数量/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 … （1）购买演算本的总价与数量成（    ）比例关系。 （2）把上表中演算本的数量与总价所对应的点描在方格纸上，并连线。 （3）购买40本演算本需要（    ）元。 【变式训练2】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 高频考点四 实际应用题-正比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·广西桂林·期中）为营造三月三节日气氛，表演社团要在三月三前为演员们订做3000套演出服，通过电话联系得知工厂前10天能完成1200套，照这样计算，完成这些演出服需要多少天？（用比例解答） 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏扬州·期中）实验课上，小芳调制了两杯含盐率相同的盐水，第一杯用了20克盐、80克水；第二杯用了100克水。第二杯盐水中盐有多少克？（列比例方程解答） 【变式训练2】（24-25六年级下·广西梧州·期中）制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答） 高频考点五 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）电动车是一种以电能为动力的交通工具。它具有环保、便捷、经济等优点。电动车有多种类型，如：电动自行车、电动汽车等。电动自行车适合短途出行，操作简单。电动车则是一种新能源汽车，速度较快，动力更强，能满足较长距离的出行需求。下面是一辆电动汽车在充电桩充电的费用情况。 充电量／千瓦时 1 2 3 4 5 … 费用／元 2 4 6 8 10 … （1）充电的费用与充电量成（    ）比例关系。 （2）把充电量与费用所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）照这样计算，24元能给这辆电动汽车充电（    ）千瓦时。 【变式训练1】（23-24六年级下·河北·课后作业）一台织布机4小时织布120米。 （1）照这样计算，一台织布机每小时织布多少米？2小时、3小时、5小时、6小时、7小时、8小时、9小时各织布多少米？将计算结果填入表中。 时间（时） 数量（米） （2）把表中的数据在方格纸上表示出来。 （3）看图估计，完成填空。 ①一台织布机2.5小时织布（    ）米。 ②一台织布机5.5小时织布（    ）米。 ③一台织布机6.5小时织布（    ）米。 ④一台织布机织布100米，要用（    ）小时。 ⑤一台织布机织布260米，要用（    ）小时。 【变式训练2】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 高频考点六 直接判断是否是反比例-反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏苏州·期中）已知（A、B、C均不为0）， 当A一定时，B和C成( )比例；当B一定时，A和C成( )比例； 当C一定时，A和B成( )比例。如果，那么x和y成( )比例。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏南通·期中）下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的是（    ）。 A．用同样的方砖铺地，铺地面积与所需的块数 B．圆柱的侧面积一定，它的底面半径和高 C．从家到学校，已行路程和剩下路程 D．比例尺一定，图上距离和实际距离 【变式训练2】（24-25六年级下·江苏南京·期中），和成( )比例；，和成( )比例。 高频考点七 左右平衡问题-反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏淮安·期中）探索规律填空。 下图中的每个钩码以及增加的钩码都一样重，杠杆的刻度均匀。（填“左”或“右”） (1)两边各拿掉一个钩码，杠杆的( )边会向下倾斜。两边各增加一个钩码，杠杆的( )边会向下倾斜。（填“左”或“右”） (2)把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆的( )边会向下倾斜。（填“左”或“右”） (3)如果在左侧A点处挂3个钩码，则在右侧的B点处应挂( )个钩码，杠杆才能平衡。 【变式训练1】（24-25六年级下·广西桂林·期中）端午节常采艾草悬挂于门上驱病驱蚊。李叔叔将采好的艾草悬挂于6扇门上，每扇门上有12株艾草，若悬挂于8扇门上，每扇门上有（    ）株艾草。 A．11 B．10 C．9 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量如下表所示。 每个小正方形的面积/ 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成（    ）比例。 （2）如果用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？ 高频考点八 实际应用-反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·河南平顶山·期中）某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，每辆货车的载重量与所需货车的数量如下表。 每辆货车的载重量（吨） 2 2.5 3 5 6 8 所需货车的数量（辆） 60 48 40 24 20 15 (1)写出这两种量相对应的两个数的积，说明积所表示的意义。 (2)表中两种相关联的量成什么比例？为什么？ (3)当每辆货车的载重量是24吨时，________辆货车可以一次运完；如果6辆同样的货车一次运完，每辆货车的载重量是________吨。 【变式训练1】（24-25六年级下·安徽合肥·期中）可可妈妈要用方砖铺地。用边长4分米的方砖铺需要90块，如果改用面积36平方分米的方砖需多少块？（用比例知识解答） 【变式训练2】（2025·云南昭通·小升初模拟）灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 高频考点九 作图题-反比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏无锡·期末）一根长20厘米的硬纸条，先确定纸条的中心点，再在中心点两侧每隔2厘米打一个小孔，并把纸条的中心点固定在支架上（如图）。如果在支架右侧第4个孔挂3个同样大小的珠，那么支架左侧应该挂（    ）个这样的珠才平衡。（在方框里画一画） 【变式训练1】（2024·河南漯河·小升初真题）根据如图竹竿左侧塑料袋中放小球的数量和位置，想一想右侧位置上的塑料袋中放几个小球才能保证竹竿平衡。画出表示小球的圆点。 （1） （2） 【变式训练2】（24-25六年级下·全国·单元复习）根据下列竹竿左侧放棋子的数量和位置，想一想，在右侧要求的位置上放几个棋子才能保证竹竿平衡？把你的方案画出来（棋子只能在有数字的位置放）。 （1）右侧数字3的位置上放几个棋子？ （2）右侧数字3的位置上放几个棋子？ （3）右侧数字2的位置上放几个棋子？ 【真题演练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【真题演练2】（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【真题演练3】（2025·福建宁德·小升初真题）如图，王老师驾驶纯电动新能源汽车匀速从A市途经B城到C市。 信息一：王老师从A市出发，以80千米/时的速度行驶了1.5小时到达B城； 信息二：AB两地路程比BC两地路程远20千米； 信息三：当汽车行驶20千米时，耗电量是3.5千瓦时。 (1)A市到C市的路程是多少千米？ (2)假设每千米的耗电量不变，当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了多少千米？（用比例解） 【真题演练4】（2025·浙江杭州·小升初真题）有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 【真题演练5】（2025·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，现两人合作，完工时甲完成了这批零件的还多66个。这批零件共多少个？ 【基础夯实 能力提升】 1．（23-24六年级下·江苏南通·期中）下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的是（    ）。 A．用同样的方砖铺地，铺地面积与所需的块数 B．三角形的面积一定，底和高 C．从家到学校，已行路程和剩下路程 D．比例尺一定，图上距离和实际距离 2．（24-25六年级下·江苏泰州·期中）在不同的地图上，黄桥到泰兴的图上距离与相对应的比例尺成（    ）。 A．正比例 B．反比例 C．不成比例 3．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）如果甲、乙是两个成反比例的量，那么当甲减少50%时，乙会（    ）。 A．增加 B．减少 C．增加100% D．增加50% 4．（25-26六年级下·广西梧州·期中）一辆汽车正以匀速行驶，这辆汽车所行驶的路程与时间成( )比例，它的图象是一条经过原点的( )。 5．（23-24六年级下·江苏南通·期中）A×12＝B×5，A∶B＝( )∶( )，如果＝Y，X和Y成( )比例。 6．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）如图，依靠墙角向上叠放一些正方体，能够看到一些露在外面的正方形。观察并填写下表： 叠放的正方体个数 1 2 3 …… （    ） n 看到的正方形个数 3 5 7 …… 21 （    ） 通过填表，得出的结论是摆出的正方体个数和看到的正方形个数（    ）（填“成正比例”或“成反比例”或“不成比例”） 7．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）400米赛跑中，某参赛运动员的平均速度和所需时间成反比例。( )（判断对错） 8．（25-26六年级下·山西临汾·期中）在同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例。( )（判断对错） 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）做一做。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 (1)一种绳子每米售价5元，请完成上表。 (2)根据上表，在图中描出对应点，并将它们按顺序连起来。 (3)购买绳子的长度和需要的钱数成( )比例，买3.5米绳子需要( )元。 10．（24-25六年级下·广西桂林·期中）在节日期间，各家各户都会在家制作美食，其中就有粽子，某粽子厂第一小组8人，原计划每小时包75个，20小时完成。实际每小时包的个数比原计划多，实际用多少小时就完成了这批包粽子任务？ 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）下面说法中正确的有（    ）个。 ①圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积就扩大到原来的9倍。 ②在比例尺为50∶1和40∶1的精密零件的图纸上，绘制同一零件，前者图上尺寸更长。 ③正方形的周长和边长成正比例。 ④把一个圆柱体侧面展开，可能是长方形、平行四边形或梯形。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26六年级下·江苏连云港·期中）如图，平衡尺右端第3个孔下面悬挂的砝码重30g，平衡尺左端第2个孔下面应悬挂（    ）g的砝码才能使平衡尺保持平衡。 A．15 B．30 C．45 D．60 3．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）表示x和y成正比例关系的式子是（    ）。 A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·江苏苏州·期中），当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例；当c一定时，a和b成( )比例。 5．（25-26六年级·全国·寒假作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 6．（2025·甘肃平凉·小升初模拟）汽车总辆数一定，每排停放的辆数和停放的排数成反比例关系。( )（判断对错） 7．（2025·广东揭阳·小升初模拟）圆柱的底面积一定，它的侧面积和高成正比例。( )（判断对错） 8．求未知数。 25%x＋20%x＝90    x∶＝12∶    x－40％x＝ 9．（25-26六年级下·江苏连云港·期中）乐乐所在的城市有4座科技影院，为了更好地感受“科技强国”建设成就，学校组织同学们看电影。陈老师带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 5D影院 4D影院 票价/元 70 49 42 35 数量/张 105 150 (1)请把上表补充完整。 (2)表中两个相关联的量相对应的两个数的乘积是( )，这个乘积所表示的实际意义是( )。 (3)影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 10．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）周恩来红军小学艺术教室需要装修，用面积是0.09平方米的地砖铺地，需要600块。如果改用边长是0.6米的地砖铺地，需要多少块？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数六年级下册重点难点培优讲练 第六单元 正比例和反比例『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+9个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题） 同学你好，该份讲义用于苏教版数学六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道名校小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 讲义目录指引 导图指引 2 知识梳理 3 知识点一 正比例 3 知识点二 反比例 3 知识点三 判断比例关系 3 知识点四 用比例解决问题 4 考点讲练 4 高频考点一 正比例的意义及辨识 4 高频考点二 根据图象作答-正比例图象的应用 5 高频考点三 作图题-正比例的应用 8 高频考点四 实际应用题-正比例的应用 11 高频考点五 反比例的意义及辨识 13 高频考点六 直接判断是否是反比例-反比例的应用 18 高频考点七 左右平衡问题-反比例的应用 19 高频考点八 实际应用-反比例的应用 22 高频考点九 作图题-反比例的应用 24 真题演练 27 分层训练 32 【基础夯实 能力提升】 32 【创新拓展 拔尖冲刺】 37 知识点一 正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二 反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三 判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充：正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四 用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 高频考点一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏徐州·期中）已知，和y成( )比例；已知，和y成( )比例。（、不为0） 【答案】 正 反 【思路引导】判断两个相关联的量成什么比例，关键在于分析这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。解题时需将已知等式变形，转化为比值或乘积的形式进行判断。 【规范解答】因为，所以x∶y＝8∶7＝8÷7＝（一定），比值一定，所以x和y成正比例； 因为，所以xy＝5×8＝40（一定），乘积一定，所以x和y成反比例。 【变式训练1】（25-26六年级下·江苏连云港·期中）在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如图所示。 (1)如果挂3kg物体，弹簧伸长的长度是( )cm。 (2)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例关系。（填“正”或“反”） (3)当弹簧伸长的长度是1.6cm时，所挂物体的质量是( )kg。 【答案】(1)1.5 (2)正 (3)3.2 【思路引导】（1）观察统计图，横轴是所挂物体质量，纵轴是弹簧伸长长度，找到横轴3kg对应的纵轴数值即可。 （2）判断比例关系：弹簧伸长长度÷所挂物体质量＝每千克物体使弹簧伸长的长度（定值），所以成正比例关系。 （3）先算出每千克物体使弹簧伸长的长度，再用伸长长度除以这个值，求出物体质量。 【规范解答】（1）从图中可知，挂3kg物体时，弹簧伸长的长度是1.5cm。 （2）因为弹簧伸长长度与所挂物体质量的比值一定，所以成正比例关系。 （3）由图可知，1kg物体使弹簧伸长0.5cm，所以物体质量：1.6÷0.5＝3.2（kg） 【变式训练2】（24-25六年级下·江苏南通·期中）如果＝7b（，b均不为0），那么和b成( )比例；如果，那么和b成( )比例。 【答案】 正 反 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【规范解答】因为＝7b，那么，和b的比值一定，成正比例。 因为，那么，和b的乘积一定，成反比例。 高频考点二 根据图象作答-正比例图象的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·广西桂林·期中）下图是奇奇的看书页数与时间的关系。 (1)奇奇看书页数和时间成( )比例关系。 (2)照这样的速度，如果奇奇看了8天，能看( )页；如果这本书132页，需要( )天能看完。 【答案】(1)正 (2) 96 11 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系； （2）奇奇看书页数和时间的比值表示奇奇每天看书的页数，看书的总页数＝每天看书的页数×看书的天数，看书的天数＝看书的总页数÷每天看书的页数。 【规范解答】（1）分析可知，（一定），因为看书页数和时间的比值一定，所以奇奇看书页数和时间成正比例关系。 （2）12×8＝96（页） 132÷12＝11（天） 如果奇奇看了8天，能看96页；如果这本书132页，需要11天能看完。 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初模拟）有两个水龙头往空杯匀速滴水，水龙头相同口径，滴水的速度相同。下面图（    ）大致描述了图1杯子中水面高度随滴水时间的变化情况；图（    ）大致描述了图2杯子中水面高度随滴水时间的变化情况。 A．①；③ B．②；③ C．②；④ D．③；④ 【答案】B 【思路引导】由图可知，图1和图2中的容器的横截面是均匀不变的，因为水龙头滴水速度相同，随着时间的增加，水面的高度匀速增加，时间与水面的高度呈正比例，图1中的容器的横截面比图2小，则图1中水面升高的速度比图2快，由此即可选择。 【规范解答】图1杯子是细高的圆柱形，横截面积小，水龙头匀速滴水时，水面高度随时间的变化会快速上升，对应图②（上升斜率大）。 图2杯子是矮胖的圆柱形，横截面积大，水龙头同样的匀速滴水时，水面高度随时间的变化会缓慢上升，对应图③（上升斜率小）。 故答案为：B 【变式训练2】（2025·江西吉安·小升初真题）某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（    ）。 A．③① B．③② C．①② D．④② 【答案】A 【思路引导】租单程时路程与收费：3千米以内无论远近，都收费8元，图象应是平行于横轴的一条线段；超过3km的部分每千米2.5元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线；所以图象③是正确的。 租往返时路程与收费：租往返每千米2元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线，所以图象①是正确的。 【规范解答】图象③符合租单程时路程与收费的关系，图象①符合租往返时路程与收费的关系。 故答案为：A 高频考点三 作图题-正比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）乐乐把同一时间、同一地点测得树高和影长的数据记录在表中。 树高/m 2 3 4 6 9 … 影长/m 1.6 2.4 3.2 4.8 7.2 … （1）在下图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。 （2）连线以后，它们在一条直线上吗？这说明树高和影长成什么比例关系？为什么？ 【答案】（1）图见详解。 （2）连线以后，它们在一条直线上，说明树高和影长成正比例关系。理由：图像是一条经过原点的直线，且树高与影长的比值（一定），所以树高和影长成正比例关系。 【思路引导】（1）根据统计表中的数据，先描点，后连线，据此画出图像； （2）正比例关系的图像是一条经过原点的直线；两个量的比值是一定的，这两个量成正比例关系，据此解答。 【规范解答】（1）作图如下： （2）答：连线以后，它们在一条直线上，说明树高和影长成正比例关系。理由：图像是一条经过原点的直线，且树高与影长的比值（一定），所以树高和影长成正比例关系。 【变式训练1】（24-25六年级下·山东菏泽·期中）小安同学去某书店购买演算本数量与总价的情况如下： 数量/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 … （1）购买演算本的总价与数量成（    ）比例关系。 （2）把上表中演算本的数量与总价所对应的点描在方格纸上，并连线。 （3）购买40本演算本需要（    ）元。 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）60 【思路引导】（1）一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。由表格可知，1.5÷1＝1.5，3÷2＝1.5，4.5÷3＝1.5，…＝1.5（一定），即总价与数量的比值一定。 （2）根据表格中的数据，在方格纸上找到对应的点（0，0）、（1，1.5）、（2，3）、（3，4.5）、（4，6）、（5，7.5）、（6，9）等，然后用直线依次连接这些点（因为成正比例关系，图像是一条经过原点的直线）。 （3）因为总价与数量成正比例关系，且单价为1.5元/本。根据“总价＝单价×数量”，可得购买40本演算本的总价为1.5×40＝60（元）。 【规范解答】（1）1.5÷1＝1.5，3÷2＝1.5，4.5÷3＝1.5，…＝1.5（一定） 购买演算本的总价与数量成正比例关系。 （2）如图： （3）1.5÷1＝1.5（元） 1.5×40＝60（元） 购买40本演算本需要60元。 【变式训练2】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解 （2）成正比例 （3）描点见详解：发现这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系 （4）在；当人数是8人时，船费是40元 【思路引导】（1）根据表格中的数据，船费与乘船人数之间的关系是每增加1人，船费增加5元。据此补充表格； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此判断； （3）根据表格中的数据描点、连线，结合连接后的图像写出发现； （4）根据（3）的直线进行判断，看点（8，40）是否在直线上，如果在直线上，这点表示当人数是8人时，船费是40元。 【规范解答】（1） 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 20 25 30 35 … （2）5∶1＝10∶2＝15∶3＝20∶4＝25∶5…＝5（一定），即船费∶人数=单价（一定），比值一定，所以所付船费与乘船人数成正比例； （3）如图： 发现：这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系； （4）点（8，40）在这条直线上，表示当人数是8人时，船费是40元。 高频考点四 实际应用题-正比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·广西桂林·期中）为营造三月三节日气氛，表演社团要在三月三前为演员们订做3000套演出服，通过电话联系得知工厂前10天能完成1200套，照这样计算，完成这些演出服需要多少天？（用比例解答） 【答案】25天 【思路引导】由题意可知，工厂制作演出服的工作效率不变，工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），则制作演出服的数量和需要的时间成正比例关系，制作演出服的总数量∶一共需要的天数＝前10天制作演出服的数量∶需要的天数，据此列比例解答。 【规范解答】解：设完成这些演出服需要天。 答：完成这些演出服需要25天。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏扬州·期中）实验课上，小芳调制了两杯含盐率相同的盐水，第一杯用了20克盐、80克水；第二杯用了100克水。第二杯盐水中盐有多少克？（列比例方程解答） 【答案】25克 【思路引导】本题考查比例的应用。根据题意，两杯盐水的含盐率相同，意味着盐与水的质量比是固定的，即盐与水的质量成正比例关系。第一杯盐与水的质量比已知，第二杯水的质量已知，可以设第二杯盐的质量为未知数，利用正比例关系列出比例方程求解。 【规范解答】解：设第二杯盐水中盐有克。 答：第二杯盐水中盐有25克。 【变式训练2】（24-25六年级下·广西梧州·期中）制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答） 【答案】300克 【思路引导】水质量和原浆质量成正比例关系，设1500克水需要准备x克原浆，再根据比例关系列式解答。 【规范解答】 答：需要准备300克原浆。 高频考点五 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）电动车是一种以电能为动力的交通工具。它具有环保、便捷、经济等优点。电动车有多种类型，如：电动自行车、电动汽车等。电动自行车适合短途出行，操作简单。电动车则是一种新能源汽车，速度较快，动力更强，能满足较长距离的出行需求。下面是一辆电动汽车在充电桩充电的费用情况。 充电量／千瓦时 1 2 3 4 5 … 费用／元 2 4 6 8 10 … （1）充电的费用与充电量成（    ）比例关系。 （2）把充电量与费用所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）照这样计算，24元能给这辆电动汽车充电（    ）千瓦时。 【答案】（1）正 （2）图见详解 （3）12 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）根据各数量的多少，在方格图的纵线或横线（或纵、横的交点）上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （3）根据充电量＝总钱数÷充电1千瓦需要的钱数，即24÷2解答。 【规范解答】（1）2÷1＝2（元） 4÷2＝2（元） 6÷3＝2（元） 8÷4＝2（元） 10÷5＝2（元） 2∶1＝4∶2＝6∶3＝8∶4＝10∶5＝2（一定），充电的费用与充电量成正比例关系。 （2）如图： （3）24÷2＝12（千瓦时） 24元能给这辆电动汽车充电12千瓦时。 【变式训练1】（23-24六年级下·河北·课后作业）一台织布机4小时织布120米。 （1）照这样计算，一台织布机每小时织布多少米？2小时、3小时、5小时、6小时、7小时、8小时、9小时各织布多少米？将计算结果填入表中。 时间（时） 数量（米） （2）把表中的数据在方格纸上表示出来。 （3）看图估计，完成填空。 ①一台织布机2.5小时织布（    ）米。 ②一台织布机5.5小时织布（    ）米。 ③一台织布机6.5小时织布（    ）米。 ④一台织布机织布100米，要用（    ）小时。 ⑤一台织布机织布260米，要用（    ）小时。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）75；165；195；； 【思路引导】（1）根据题意，用除法求出1个小时能织出多少米，再用题中的时间乘上算出的结果，即可求出答案，再把答案填到表格中。 （2）根据表格的数据描点，然后再连线即可。 （3）根据折线统计图，即可得出答案。 【规范解答】（1）120÷4＝30（米） 2×30＝60（米） 3×30＝90（米） 4×30＝120（米） 5×30＝150（米） 6×30＝180（米） 7×30＝210（米） 8×30＝240（米） 9×30＝270（米） 时间（时） 2 3 4 5 6 7 8 9 数量（米） 60 90 120 150 180 210 240 270 （2）如图： （3）①一台织布机2.5小时织布75米。 ②一台织布机5.5小时织布165米。 ③一台织布机6.5小时织布195米。 ④一台织布机织布100米，要用小时。 ⑤一台织布机织布260米，要用小时。 【变式训练2】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）20升 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例关系，如果是乘积一定，就成反比例关系； （2）根据统计表，在统计图中找到对应点，然后按顺序连起来即可； （3）可先用到达B城时的里程数减去出发时的里程数求出汽车行驶的路程，再根据比例关系求解即可。 【规范解答】（1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 高频考点六 直接判断是否是反比例-反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏苏州·期中）已知（A、B、C均不为0）， 当A一定时，B和C成( )比例；当B一定时，A和C成( )比例； 当C一定时，A和B成( )比例。如果，那么x和y成( )比例。 【答案】 反 正 正 正 【思路引导】两个相关联的量比值（商）一定，两个量成正比例关系，两个相关联的量乘积一定，两个量成反比例关系，据此解答。 【规范解答】由A÷B＝C，A一定，可得： B×C＝A（一定） B和C乘积一定，B和C成反比例； 由A÷B＝C，B一定，可得： A÷C＝B（一定） A和C商一定，A和C成正比例； 由A÷B＝C，C一定，可得： A和B商一定，A和B成正比例； 和比值一定，和成正比例关系。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏南通·期中）下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的是（    ）。 A．用同样的方砖铺地，铺地面积与所需的块数 B．圆柱的侧面积一定，它的底面半径和高 C．从家到学校，已行路程和剩下路程 D．比例尺一定，图上距离和实际距离 【答案】B 【思路引导】判断两种相关联的量是否成反比例，关键是看这两种量是否是相关联的量，且它们的乘积是否一定。若乘积一定，则成反比例；若比值一定，则成正比例；若和或差一定，则不成比例。据此逐一分析各选项。 【规范解答】A．铺地面积÷所需的块数＝每块方砖的面积（一定），比值一定，成正比例关系，此选项错误； B．圆柱的侧面积＝底面周长×高＝2π×底面半径×高，因为侧面积一定，π是常数，所以底面半径×高＝侧面积÷2π（一定），乘积一定，成反比例关系，此选项正确； C．已行路程＋剩下路程＝从家到学校的总路程（一定），和一定，不成比例关系，此选项错误； D．图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），比值一定，成正比例关系，此选项错误。 因此，两种量成反比例关系的是圆柱的侧面积一定，它的底面半径和高。 【变式训练2】（24-25六年级下·江苏南京·期中），和成( )比例；，和成( )比例。 【答案】 正 反 【思路引导】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。两种相关联的量中相对应的两个数，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。 【规范解答】因为，所以，将等式两边同时除以，再同时除以3可得：，即和的比值一定，所以和成正比例； 因为，将等式两边同时乘，再同时除以4可得：，即和的乘积一定，所以和成反比例。 高频考点七 左右平衡问题-反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏淮安·期中）探索规律填空。 下图中的每个钩码以及增加的钩码都一样重，杠杆的刻度均匀。（填“左”或“右”） (1)两边各拿掉一个钩码，杠杆的( )边会向下倾斜。两边各增加一个钩码，杠杆的( )边会向下倾斜。（填“左”或“右”） (2)把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆的( )边会向下倾斜。（填“左”或“右”） (3)如果在左侧A点处挂3个钩码，则在右侧的B点处应挂( )个钩码，杠杆才能平衡。 【答案】(1) 右 左 (2)右 (3)4 【思路引导】左边钩码数×左边刻度＝右边钩码数×右边刻度，哪边的“钩码数×刻度”大，杠杆就会向哪边倾斜； 左边2个钩码，距离支点3格；右边3个钩码，距离支点2格，此时两边相等，杠杆平衡。 （1）两边各拿掉（或增加）钩码数，分别计算出左右两边“钩码数×刻度”的乘积，然后比较大小即可判断杠杆的倾斜方向。 （2）钩码移动会改变“到支点的格数”，同样用“钩码数×刻度”的结果判断，哪边大就向哪边倾斜。 （3）A点到支点的格数为4格，挂3个钩码，左边的乘积为3×4＝12；B点到支点的格数为3格，设应挂个钩码，右边乘积为3；利用杠杆平衡公式“左边钩码数×左边格数＝右边钩码数×右边格数”列出比例并解比例即可。 【规范解答】（1）两边各拿掉1个钩码： 左边：1×3＝3 右边：2×2＝4 因为4＞3，所以右边会向下倾斜。 两边各增加1个钩码： 左边：3×3＝9 右边：4×2＝8 因为9＞8，所以左边会向下倾斜。 （2）左边2个钩码左移1格：到支点的格数变为3＋1＝4格，计算得2×4＝8 右边3个钩码右移1格：到支点的格数变为2＋1＝3格，计算得3×3＝9 因为9＞8，所以右边会向下倾斜。 （3）解：设应挂个钩码。 3＝3×4 3＝12 ＝12÷3 ＝4 【变式训练1】（24-25六年级下·广西桂林·期中）端午节常采艾草悬挂于门上驱病驱蚊。李叔叔将采好的艾草悬挂于6扇门上，每扇门上有12株艾草，若悬挂于8扇门上，每扇门上有（    ）株艾草。 A．11 B．10 C．9 【答案】C 【思路引导】艾草的总数量不变，每扇门上艾草的数量×门的数量＝艾草的总数量（一定），则每扇门上艾草的数量与门的数量成反比例关系，据此列比例解答。 【规范解答】解：设每扇门上有x株艾草。 8x＝6×12 8x＝72 x＝72÷8 x＝9 每扇门上有9株艾草。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量如下表所示。 每个小正方形的面积/ 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成（    ）比例。 （2）如果用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？ 【答案】（1）反 （2）24个 【思路引导】（1）每个小正方形的面积×小正方形的数量＝长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积＝36×需要小正方形个数，由此解答即可。。 【规范解答】（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系； （2）解：设需要个小正方形。                                    答：需要24个小正方形。 高频考点八 实际应用-反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·河南平顶山·期中）某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，每辆货车的载重量与所需货车的数量如下表。 每辆货车的载重量（吨） 2 2.5 3 5 6 8 所需货车的数量（辆） 60 48 40 24 20 15 (1)写出这两种量相对应的两个数的积，说明积所表示的意义。 (2)表中两种相关联的量成什么比例？为什么？ (3)当每辆货车的载重量是24吨时，________辆货车可以一次运完；如果6辆同样的货车一次运完，每辆货车的载重量是________吨。 【答案】(1)120，表示这批货物的总吨数 (2)成反比例，因为每辆货车的载重量与所需货车的数量的乘积一定 (3) 5 20 【思路引导】（1）首先观察表格中的数据，计算每一列中“每辆货车的载重量”与“所需货车的数量”的乘积，验证积是否相等。 根据数量关系“每辆货车的载重量×所需货车的数量＝货物的总吨数”，确定积所表示的实际意义。 （2）根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。据此判断比例关系。 （3）利用第（1）问求出的货物总吨数作为不变量，根据除法意义用120÷5列式计算第一空中的未知量，用120÷6列式计算求第二空。 【规范解答】（1）计算表中每组相对应的两个数的积： 2.5×48＝120 所以这两种量相对应的两个数的积都是120，积表示这批货物的总吨数。 （2）每辆货车的载重量和所需货车的数量是两种相关联的量。 因为：每辆货车的载重量所需货车的数量货物的总吨数（一定），乘积一定，所以，表中两种相关联的量成反比例。 （3）由（1）可知，这批货物的总吨数是120吨。 （辆） （吨） 当每辆货车的载重量是24吨时，5辆货车可以一次运完；如果6辆同样的货车一次运完，每辆货车的载重量是20吨。 【变式训练1】（24-25六年级下·安徽合肥·期中）可可妈妈要用方砖铺地。用边长4分米的方砖铺需要90块，如果改用面积36平方分米的方砖需多少块？（用比例知识解答） 【答案】 40块 【思路引导】地面的总面积不变。每块方砖的面积＝边长×边长；每块方砖的面积×需要的块数＝地面总面积，所以每块方砖的面积与需要的块数成反比例关系。先设需要的块数为未知数，根据反比例关系列出乘积相等的方程进行求解。 【规范解答】解：设面积36平方分米的方砖需要块。 答：需用方砖40块。 【变式训练2】（2025·云南昭通·小升初模拟）灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 【答案】(1)0.9千克 (2)成反比例关系；理由见详解 【思路引导】（1）根据题意，用左边水果的质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。所以用左边水果质量×左边刻度距离÷右边刻度距离＝右边水果质量。 （2）因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。而刻度距离乘水果质量的积是一定的， 它们成反比例关系。据此分析即可。 【规范解答】（1）1.5×3÷5 ＝4.5÷5 ＝0.9（千克） 答：那么右边的水果重0.9千克。 （2）刻度距离和水果质量存在反比例关系。因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。刻度距离和水果质量的乘积一定，所以刻度距离和水果质量存在反比例关系。 高频考点九 作图题-反比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏无锡·期末）一根长20厘米的硬纸条，先确定纸条的中心点，再在中心点两侧每隔2厘米打一个小孔，并把纸条的中心点固定在支架上（如图）。如果在支架右侧第4个孔挂3个同样大小的珠，那么支架左侧应该挂（    ）个这样的珠才平衡。（在方框里画一画） 【答案】4；画图见详解 【思路引导】要使硬纸条平衡，左右两侧“孔的个数（距离中心点的段数）×珠子个数”的乘积需相等，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。所以孔的个数与珠子个数成反比例关系。 已知在中心点两侧每隔2厘米打一个小孔，说明每个孔之间的距离是相等的。观察图可知，右侧在第4个孔上挂了3个珠，左侧距离中心点有3段（对应第3个孔）。设左侧挂x个珠，根据反比例关系，列方程为3x＝3×4，然后解方程即可。 【规范解答】解：设支架左侧应该挂x个这样的珠才平衡。 3x＝3×4 3x＝12 x＝12÷3 x＝4 所以支架左侧应该挂4个这样的珠才平衡。 如图： 【变式训练1】（2024·河南漯河·小升初真题）根据如图竹竿左侧塑料袋中放小球的数量和位置，想一想右侧位置上的塑料袋中放几个小球才能保证竹竿平衡。画出表示小球的圆点。 （1） （2） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）根据天平装置的规律：左边重量×到支点的距离＝右边重量×到支点的距离，左边有5个小球，距离是3；右边距离是5；用5×3÷5解答。 （2）左边有6个小球，距离是4；右边距离是3，用6×4÷3解答。 【规范解答】（1）5×3÷5 ＝15÷5 ＝3（个） 如下图所示： （2）6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（个） 如下图所示： 【变式训练2】（24-25六年级下·全国·单元复习）根据下列竹竿左侧放棋子的数量和位置，想一想，在右侧要求的位置上放几个棋子才能保证竹竿平衡？把你的方案画出来（棋子只能在有数字的位置放）。 （1）右侧数字3的位置上放几个棋子？ （2）右侧数字3的位置上放几个棋子？ （3）右侧数字2的位置上放几个棋子？ 【答案】（1）2个；图见详解 （2）4个；图见详解 （3）8个；图见详解 【思路引导】左边的棋子数×刻度数＝右边的棋子数×刻度数，据此解答即可。 【规范解答】根据分析解答如下： （1）3×2÷3 ＝6÷3 ＝2 所以右侧数字3的位置上放2个棋子。 （2）4×3÷3 ＝12÷3 ＝4 所以右侧数字3的位置上放4个棋子。 （3）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8 所以右侧数字2的位置上放8个棋子。 【真题演练1】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【规范解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 【真题演练2】（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【答案】 正比例 8 【思路引导】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。据此解答“立竿见影”的比例关系； ②比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在5×6＝2×15中，可以把5和6看作比例的两个外项，把2和15看作比例的两个内项；或者把5和6看作比例的两个内项，把2和15看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可确定比例的个数。 【规范解答】在阳光下，同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比值固定，所以“立竿见影”是应用了比例知识当中的正比例关系； 5×6＝2×15可以改写成：2∶5＝6∶15，15∶5＝6∶2，2∶6＝5∶15，15∶6＝5∶2，5∶2＝15∶6，6∶2＝15∶5，5∶15＝2∶6，6∶15＝2∶5，共8个不同的比例。 成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的正比例关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是8个不同的比例。 【真题演练3】（2025·福建宁德·小升初真题）如图，王老师驾驶纯电动新能源汽车匀速从A市途经B城到C市。 信息一：王老师从A市出发，以80千米/时的速度行驶了1.5小时到达B城； 信息二：AB两地路程比BC两地路程远20千米； 信息三：当汽车行驶20千米时，耗电量是3.5千瓦时。 (1)A市到C市的路程是多少千米？ (2)假设每千米的耗电量不变，当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了多少千米？（用比例解） 【答案】(1)220千米 (2)160千米 【思路引导】（1）已知速度为80千米/时，行驶时间为1.5小时，根据：路程＝速度×时间，求出AB段的路程。已知AB两地路程比BC两地路程远20千米，用AB段的路程减去20千米，求出BC段的路程。用AB段路程加上BC段路程，求出总路程。 （2）已知每千米的耗电量不变，则汽车行驶的路程和耗电量成正比例关系。设耗电量达到28千瓦时对应的行驶路程为x千米， 根据正比例关系，“行驶20千米的耗电量”与“20千米”的比值，和“耗电量28千瓦时”与“x千米”的比值相等，据此列出比例方程并解方程，求出对应的行驶路程。 【规范解答】（1）80×1.5＝120（千米） 120－20＝100（千米） 120＋100＝220（千米） 答：A市到C市的路程是220千米。 （2）解：设当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了x千米。 3.5x＝20×28 3.5x＝560 3.5x÷3.5＝560÷3.5 x＝160 答：当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了160千米。 【真题演练4】（2025·浙江杭州·小升初真题）有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 【答案】C 【思路引导】两个相关联的量，一个量随另一个量的变化而变化，若两个量的比值一定，则这两个量是正比例关系。由关系图可知，图中两个量的比值是一定的，因此图中两个量是正比例关系。 根据正比例关系的定义，逐项分析每个选项中的两个量是否成正比例关系。 【规范解答】A．小明的身高和年龄的比值不一定为定值，所以这两个量不成正比例关系，不符合题意。 B．因为总价等于单价与重量的乘积，所以买水果的重量和单价的比值不为定值，这两个量不成正比例关系，不符合题意。 C．由于运货总吨数与每次运货的吨数的比值等于汽车运货的次数，且汽车运货的次数一定，所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例关系，符合题意。 D．正方形的面积除以边长等于边长，边长不是定值，所以正方形的边长与面积不成比例，不符合题意。 故答案为：C 【真题演练5】（2025·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，现两人合作，完工时甲完成了这批零件的还多66个。这批零件共多少个？ 【答案】336个 【思路引导】根据“工作总量＝工作效率×工作时间”可知，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系。根据“工作时间＝工作量÷工作效率”可知，当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例关系。 已知加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，工作总量一定，那么甲、乙两人的工作效率比为5∶3；现两人合作，工作时间相同，则甲、乙两人的工作量之比等于他们的工作效率之比5∶3，也就是说甲完成的零件个数占零件总数的； 已知完工时甲完成了这批零件的还多66个，把零件总数看作单位“1”，则多的66个零件占零件总数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出零件总数。 【规范解答】66÷（－） ＝66÷（－） ＝66÷（－） ＝66÷ ＝66× ＝336（个） 答：这批零件共336个。 【考点剖析】利用正反比例的意义由甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5得出两人的工作量之比，再把比转化成分数，根据分数除法的意义解答。 【基础夯实 能力提升】 1．（23-24六年级下·江苏南通·期中）下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的是（    ）。 A．用同样的方砖铺地，铺地面积与所需的块数 B．三角形的面积一定，底和高 C．从家到学校，已行路程和剩下路程 D．比例尺一定，图上距离和实际距离 【答案】B 【思路引导】判断两种相关联的量是否成反比例，关键是看这两种量是否是相关联的量，且它们的乘积是否一定。若乘积一定，则成反比例；若比值一定，则成正比例；若和或差一定，则不成比例。据此逐一分析各选项。 【规范解答】A．铺地面积÷所需的块数＝每块方砖的面积（一定），比值一定，成正比例关系，此选项错误； B．三角形的面积＝底×高÷2，因为面积一定，所以底×高＝面积×2（一定），乘积一定，成反比例关系，此选项正确； C．已行路程＋剩下路程＝从家到学校的总路程（一定），和一定，不成比例关系，此选项错误； D．图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），比值一定，成正比例关系，此选项错误。 因此，两种量成反比例关系的是三角形的面积一定，底和高。 2．（24-25六年级下·江苏泰州·期中）在不同的地图上，黄桥到泰兴的图上距离与相对应的比例尺成（    ）。 A．正比例 B．反比例 C．不成比例 【答案】A 【思路引导】两个相关联的量，如果它们的比值一定，则这两个量成正比例，如果乘积一定则成反比例，如果比值和乘积都不一定，则不成比例，根据比例尺的意义：可得：，据此判断。 【规范解答】黄桥到泰兴的实际距离是固定值，（一定），即图上距离与相对应的比例尺是相关联的量，且它们的比值一定，所以成正比例。 3．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）如果甲、乙是两个成反比例的量，那么当甲减少50%时，乙会（    ）。 A．增加 B．减少 C．增加100% D．增加50% 【答案】C 【思路引导】甲、乙成反比例，则甲与乙的乘积一定；当甲减少50%，那么就意味着甲变为原来的50%，即缩小了；根据积不变性质：一个因数缩小为原来的几分之一，另一个因数应扩大到原来的几倍，可以设原来的乙是1，那么新的乙是2，再以原来的乙为单位“1”，求出增加的变化量。 【规范解答】根据分析，解答如下： 当甲减少50%时，乙就扩大到原来的2倍，设乙原来为1的话，那么现在的乙就是2， 那么乙增加的变化量为：（2-1）÷1＝1÷1＝1＝100%。 即乙会增加100%。 4．（25-26六年级下·广西梧州·期中）一辆汽车正以匀速行驶，这辆汽车所行驶的路程与时间成( )比例，它的图象是一条经过原点的( )。 【答案】 正 直线 【思路引导】根据正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；正比例的图象是一条经过原点的直线。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 因为路程÷时间＝速度（一定） 所以一辆汽车正以匀速行驶，这辆汽车所行驶的路程与时间成正比例，它的图象是一条经过原点的直线。 5．（23-24六年级下·江苏南通·期中）A×12＝B×5，A∶B＝( )∶( )，如果＝Y，X和Y成( )比例。 【答案】 5 12 正 【思路引导】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，将等式转化为比例式；正比例：两种相关联的量，比值（商）一定；反比例：两种相关联的量，乘积一定。 【规范解答】A∶B＝5∶12； 由＝Y，变形为＝1.5，X与Y的比值一定，因此X和Y成正比例。 6．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）如图，依靠墙角向上叠放一些正方体，能够看到一些露在外面的正方形。观察并填写下表： 叠放的正方体个数 1 2 3 …… （    ） n 看到的正方形个数 3 5 7 …… 21 （    ） 通过填表，得出的结论是摆出的正方体个数和看到的正方形个数（    ）（填“成正比例”或“成反比例”或“不成比例”） 【答案】10；（2n＋1） 不成比例 【思路引导】叠放1个正方体，看到3个正方形，3＝1×2＋1；叠放2个正方体，看到5个正方形，5＝2×2＋1；叠放3个正方体，看到7个正方形，7＝3×2＋1……由此可知，看到的正方形个数＝正方体个数×2＋1，叠放的正方体个数＝（看到的正方形个数－1）÷2。 两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，如果两种量的商一定是正比例关系；积一定是反比例关系；除此之外不成比例关系。 【规范解答】（21－1）÷2 ＝20÷2 ＝10（个） n×2＋1＝（2n＋1）个 叠放的正方体个数 1 2 3 …… 10 n 看到的正方形个数 3 5 7 …… 21 （2n＋1） 1÷3＝、2÷5＝、3÷7＝…… 1×3＝3、2×5＝10、3×7＝21…… 摆出的正方体个数和看到的正方形个数商和积都不一定，因此摆出的正方体个数和看到的正方形个数不成比例。 7．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）400米赛跑中，某参赛运动员的平均速度和所需时间成反比例。( )（判断对错） 【答案】 √ 【思路引导】判断两个相关联的量是否成反比例，关键看这两个量对应的乘积是否一定。在400米赛跑中，路程是固定的，平均速度和所需时间是两个相关联的量，它们的乘积等于路程。 【规范解答】因为平均速度×所需时间＝400米（一定），即乘积一定，所以平均速度和所需时间成反比例。原题干说法正确。 故答案为：√ 8．（25-26六年级下·山西临汾·期中）在同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是定值，符合正比例的定义。 【规范解答】因为，所以物体的高度和影长成正比例。 故答案为：√ 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）做一做。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 (1)一种绳子每米售价5元，请完成上表。 (2)根据上表，在图中描出对应点，并将它们按顺序连起来。 (3)购买绳子的长度和需要的钱数成( )比例，买3.5米绳子需要( )元。 【答案】(1)10；15；20；25 (2)图见详解 (3) 正 17.5 【思路引导】（1）绳子每米售价5元，根据单价×数量=总价，分别代入相应数值计算即可填表； （2）根据表格提供的信息，1米5元；2米10元；3米15元；4米20元；5米25元，据此描点连线； （3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；用每米的售价5元乘买绳子的长度3.5米即可求出价钱。 【规范解答】（1）（元）；（元）；（元）；（元） 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 10 15 20 25 （2）如图： （3）（元）；（元）；（元）；（元）；（元） 所以钱数÷米数＝5（一定），购买绳子的长度和需要的钱数成正比例。 （元） 购买绳子的长度和需要的钱数成正比例，买3.5米绳子需要17.5元。 10．（24-25六年级下·广西桂林·期中）在节日期间，各家各户都会在家制作美食，其中就有粽子，某粽子厂第一小组8人，原计划每小时包75个，20小时完成。实际每小时包的个数比原计划多，实际用多少小时就完成了这批包粽子任务？ 【答案】15小时 【思路引导】把原计划每小时包粽子的数量看作单位“1”，实际每小时包的个数比原计划多，实际每小时包粽子的数量＝原计划每小时包粽子的数量×（1＋），包粽子的总数量不变，每小时包粽子的数量×包粽子的时间＝包粽子的总数量（一定），则每小时包粽子的数量和包粽子的时间成反比例关系，实际每小时包粽子的数量×实际需要的时间＝原计划每小时包粽子的数量×原计划需要的时间，据此列比例解答。 【规范解答】解：设实际用小时就完成了这批包粽子任务。 答：实际用15小时就完成了这批包粽子任务。 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）下面说法中正确的有（    ）个。 ①圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积就扩大到原来的9倍。 ②在比例尺为50∶1和40∶1的精密零件的图纸上，绘制同一零件，前者图上尺寸更长。 ③正方形的周长和边长成正比例。 ④把一个圆柱体侧面展开，可能是长方形、平行四边形或梯形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①圆锥的体积＝πr2h，将原半径设为1，那么扩大后的半径就是3，高不变，分别代入公式得出扩大前后的体积关系； ②图上尺寸＝实际尺寸×比例尺，将这一零件的某一尺寸设为a，分别求出a在两个比例尺中的图上尺寸再比较大小即可； ③两个量的比值一定，这两个量就成正比例，用正方形的周长除以边长，看比值是否一定； ④圆柱的侧面沿高展开是长方形（或正方形），沿斜线展开是平行四边形。 【规范解答】①圆锥的体积＝πr2h，设原半径为1，那么扩大后的半径就是3。此时原体积＝πh，扩大后的体积＝3πh，3πh是πh的9倍。所以此说法正确。 ②设这一零件的某一尺寸为a，它在比例尺为50∶1的图纸上的图上尺寸为：50a；它在比例尺为40∶1的图纸上的图上尺寸为：40a。50a＞40a，所以前者图上尺寸更长，此说法正确。 ③正方形的周长C与边长a的关系式为C＝4a，则C÷a＝4。因为周长与边长的比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例。此说法正确。 ④由于圆柱的上、下底面周长相等，展开图的上、下两条边长度相等，而梯形的上、下底长度不相等，所以圆柱侧面展开图不可能是梯形。此说法错误。 综上所述，正确的说法有①、②、③，共3个。 2．（25-26六年级下·江苏连云港·期中）如图，平衡尺右端第3个孔下面悬挂的砝码重30g，平衡尺左端第2个孔下面应悬挂（    ）g的砝码才能使平衡尺保持平衡。 A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【思路引导】平衡尺平衡时，砝码重量与到支点的孔数成反比例关系，则有“左边重量×左边孔数＝右边重量×右边孔数”的等量关系，据此可以列出比例求解。 【规范解答】解：设左端应悬挂g的砝码。 3．（25-26六年级下·江苏苏州·期中）表示x和y成正比例关系的式子是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】判断与是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，比值一定成正比例；和一定、差一定都不成比例，乘积一定成反比例。据此逐一分析选项。 【规范解答】A．，和的和一定，比值不固定，不成比例； B．，可变形为（比值固定），符合正比例的意义，与成正比例； C．，和的乘积一定，成反比例，不成正比例； D．，和的差一定，比值不固定，不成比例。 x和y成正比例关系的式子是y＝0.8x。 4．（25-26六年级下·江苏苏州·期中），当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例；当c一定时，a和b成( )比例。 【答案】 反 正 正 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】a÷b＝c，bc＝a（一定），b和c成反比例。 a÷b＝c，a÷c＝b（一定），a和c成正比例。 a÷b＝c（一定），a和b成正比例。 5．（25-26六年级·全国·寒假作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【答案】14、10、35 【思路引导】由题意可知，使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，也就是三个齿轮转过的总齿数是相等的，即甲轮齿数×5＝乙轮齿数×7＝丙轮齿数×2，所以转过的总齿数是5、7、2的公倍数，要求齿数最少，就是转过的总齿数是5、7、2的最小公倍数，5、7、2的最小公倍数是70；再用70分别除以5、7、2即可求出甲、乙、丙的最少齿数。 【规范解答】根据分析： 5×7×2 ＝35×2 ＝70 甲轮齿数最少为：70÷5＝14（齿）； 乙轮齿数最少为：70÷7＝10（齿）； 丙轮齿数最少为：70÷2＝35（齿）； 甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为14、10、35齿。 【考点剖析】本题关键是根据“甲轮齿数×甲轮转数＝乙轮齿数×乙轮转数＝丙轮齿数×丙轮转数”进行分析解答。 6．（2025·甘肃平凉·小升初模拟）汽车总辆数一定，每排停放的辆数和停放的排数成反比例关系。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据反比例的定义，两个相关联的量，如果它们的乘积一定，则它们成反比例关系。本题中，汽车总辆数一定，即每排停放的辆数和停放的排数的乘积一定，因此它们成反比例关系。 【规范解答】由题意，汽车总辆数＝每排停放的辆数×停放的排数。由于汽车总辆数一定，所以每排停放的辆数和停放的排数的乘积是一个定值。根据反比例的意义，当两个相关联的量的乘积一定时，这两个量成反比例关系。因此，题中的判断是正确的。 故答案为：√ 7．（2025·广东揭阳·小升初模拟）圆柱的底面积一定，它的侧面积和高成正比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且商（比值）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。 判断两个量是否成正比例，需看它们的比值是否一定。 【规范解答】圆柱的侧面积＝底面周长×高。当底面积一定时，则底面半径也一定，进而底面周长也固定。因此，侧面积与高的比值（即底面周长）为定值，符合正比例的定义。原题说法正确。 故答案为：√ 8．求未知数。 25%x＋20%x＝90    x∶＝12∶    x－40％x＝ 【答案】（1）x=200；（2）x=15；（3）x=1。 【思路引导】此题为解方程和解比例的题型，需注意解方程的步骤。解比例得按照比例的基本性质，两内项乘积等于两外项乘积。 【规范解答】（1）25%x＋20%x＝90 解：0.45x＝90 x＝90÷0.45 x＝200； （2）x∶＝12∶ 解：x＝×12 x＝3 x＝3÷ x＝15； （3）x－40％x＝ 解：0.6x＝0.6 x＝0.6÷0.6 x＝1。 【考点剖析】熟练掌握解方程的步骤和比例的基本性质并细心计算是解此题的关键。 9．（25-26六年级下·江苏连云港·期中）乐乐所在的城市有4座科技影院，为了更好地感受“科技强国”建设成就，学校组织同学们看电影。陈老师带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 5D影院 4D影院 票价/元 70 49 42 35 数量/张 105 150 (1)请把上表补充完整。 (2)表中两个相关联的量相对应的两个数的乘积是( )，这个乘积所表示的实际意义是( )。 (3)影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 【答案】(1)175；210 (2) 7350 陈老师带的总钱数 (3)成反比例；因为票价×张数＝总钱数（一定）。 【思路引导】（1）巨幕影院票价×数量＝陈老师带的总钱数，陈老师带的总钱数÷5D影院票价＝5D影院门票数量，陈老师带的总钱数÷4D影院票价＝4D影院门票数量； （2）每种票价×相应数量＝陈老师带的总钱数； （3）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，如果xy＝k（一定），那么x和y成反比例关系。 【规范解答】（1）陈老师带的总钱数： （元） 5D影院可购买的门票张数： （张） 4D影院可购买的门票张数： （张） 巨幕影院 球幕影院 5D影院 4D影院 票价/元 70 49 42 35 数量/张 105 150 175 210 （2）表中两个相关联的量是票价和数量，相对应的两个数的乘积是：（元），这个乘积表示的实际意义是陈老师带的总钱数。 （3）影院票价和可购买的门票张数成反比例。因为票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且票价可购买的门票张数总钱数（一定），符合反比例的意义，所以成反比例。 10．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）周恩来红军小学艺术教室需要装修，用面积是0.09平方米的地砖铺地，需要600块。如果改用边长是0.6米的地砖铺地，需要多少块？ 【答案】150块 【思路引导】根据题意可知，铺地的总面积不变。先根据第一种地砖的面积和数量计算出教室的总面积，如果改用边长是0.6米的地砖铺地，铺地总面积不变，设所需块数为未知量，根据总面积不变列比例解答。 【规范解答】解：设需要x块。 0.6×0.6×x＝0.09×600 0.36x＝0.09×600 0.36x＝54 x＝54÷0.36 x＝150 答：需要150块。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $