第六单元 正比例和反比例（期中复习讲义）培优版（导图+9个考点真题讲练+提优练 共56题）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年苏教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第六单元 正比例和反比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+9个考点讲练+真题提优练 共56题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 正比例的意义及辨识 奥数拓展一 正比例的意义及辨识 考点讲练二 正比例图象的认识 奥数拓展二 正比例的应用 考点讲练三 正比例的应用 奥数拓展三 反比例的意义及辨识 考点讲练四 反比例的意义及辨识 奥数拓展四 反比例的应用 考点讲练五 反比例的应用 知识点一 正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二 反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三 判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充：正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四 用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 考点讲练一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江苏淮安·期中）一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【答案】（1）正 （2）272个 【思路引导】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）因为生产产品的时间和产品数量成正比例关系，即产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 生产产品的时间和产品数量成（正）比例关系。 （2）解：设16分钟生产个产品。 ∶16＝51∶3 3＝16×51 3＝816 ＝816÷3 ＝272 答：16分钟生产272个产品。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）小丽的爸爸开车回潍坊，汽车行驶的路程和耗油量的关系如下表。 路程（千米） 20 40 60 80 耗油量（升） 2.4 4.8 7.2 9.6 （1）根据上表中的数据，在下图中描出路程和耗油量所对应的点，并把这些点依次连起来。 （2）汽车行驶的路程和耗油量成（    ）比例。 （3）汽车行驶20千米时，耗油量是（    ）升；耗油量是6升时，汽车行驶（    ）千米。 （4）离目的地还有300千米时，汽车油箱里还有30升汽油，这些汽油（    ）这辆汽车开到目的地。（填“够”或者“不够”） 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）2.4；50 （4）不够 【思路引导】（1）根据表格中的数据，在给定的坐标图中，找到路程为20千米对应的耗油量2.4升的点，即（20，2.4）；路程为40千米对应的耗油量4.8升的点，即（40，4.8）；路程为60千米对应的耗油量7.2升的点，即（60，7.2）；路程为80千米对应的耗油量9.6升的点，即（80，9.6）。然后把这些点依次连接起来。 （2）根据画出的图像进行判断，如果图形是一条从原点出发的射线，汽车行驶的路程和耗油量成正比例，如果不是一条从原点出发的射线，则不成正比例。 （3）从表格中可以直接看出汽车行驶20千米时，耗油量是2.4升；已知汽车行驶的路程和耗油量成正比例，设耗油量是6升时，汽车行驶x千米，列正比例为：6∶x＝2.4∶20，解比例即可解答。 （4）已知汽车行驶的路程和耗油量成正比例，设耗油量是30升时，汽车行驶x千米。列正比例方程为：30∶x＝2.4∶20，解比例求出耗油量是30升时，汽车行驶的千米数，再和300千米进行比较，如果大于300千米，则这30升汽油够这辆汽车开到目的地，如果小于300千米，则这30升汽油不够这辆汽车开到目的地。 【规范解答】（1）如图： （2）正比例的图像是一条从原点出发的射线，所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例。 （3）从表格中可以直接看出汽车行驶20千米时，耗油量是2.4升。 解：设耗油量是6升时，汽车行驶x千米。 6∶x＝2.4∶20 2.4x＝6×20 2.4x＝120 x＝120÷2.4 x＝50 所以汽车行驶20千米时，耗油量是2.4升，耗油量是6升时，汽车行驶50千米。 （4）解：设耗油量是30升时，汽车行驶x千米。 30∶x＝2.4∶20 2.4x＝30×20 2.4x＝600 x＝600÷2.4 x＝250 250＜300 所以这30升汽油不够这辆汽车开到目的地。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）如果a、b是相关联的量（a、b均不为0），a＝，则a、b成( )比例；若3a＝5b，则a、b成( )比例。 【答案】 反 正 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】因为a＝，所以ab＝3（一定），乘积一定，所以a、b成反比例； 若3a＝5b，则a∶b＝5∶3＝（一定），比值一定，所以a、b成正比例。 【变式3】（难度：☆☆☆）青艺农场收割小麦。前6天收割了114公顷，剩下152公顷。 （1）照前几天的工作效率，剩下的还要多少天才能完成？（用比例解） （2）前几天收割的比后几天收割的少百分之几？ （3）每公顷平均收小麦7.5吨，这个农场用载重5吨的卡车运回全部小麦，需要运多少次？ 【答案】（1）8天 （2）25% （3）399次 【思路引导】（1）根据题意可知，每天收割小麦的面积不变，即工作效率不变，工作量∶工作时间＝工作效率（一定），比值一定，则工作量与工作时间成正比例关系，由此列出正比例方程，并求解。 （2）先用减法求出前几天与后几天收割的面积差，再除以后几天收割的面积，即可求出前几天收割的比后几天收割的少百分之几。 （3）先用加法求出总面积，然后用每公顷收小麦的重量乘总面积，求出总重量，再除以每辆车运的重量即可求出运的次数。 【规范解答】（1）解：设还需要天才能完成。 114∶6＝152∶ 114＝152×6 114＝912 ＝912÷114 ＝8 答：剩下的还要8天才能完成。 （2）（152－114）÷152×100% ＝38÷152×100% ＝0.25×100% ＝25% 答：前几天收割的比后几天收割的少25%。 （3）7.5×（114＋152） ＝7.5×266 ＝1995（吨） 1995÷5＝399（次） 答：需要运399次。 【考点剖析】（1）关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程； （2）明确求一个数比另一个数多或少百分之几，用两数的差值除以另一个数。 （3）求出小麦的总重量是解题的关键。 考点讲练二 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）兴平大蒜于2014年获国家农产品地理标志登记保护，以“蒜头肥、瓣个大、包衣紧、味辛辣”著称。下面是兴平大蒜的种植面积和产量情况统计表。 种植面积/亩 0 5 10 15 20 25 30 35 … 产量/吨 0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 … （1）判断兴平大蒜的种植面积与产量是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中兴平大蒜的种植面积与产量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）若种植兴平大蒜8亩，则产量是（    ）吨；若想实现兴平大蒜的产量是14.3吨，则需要种植（    ）亩。 【答案】（1）正比例关系；理由见详解 （2）图见详解 （3）2.08；55 【思路引导】（1）根据判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。计算表中两种变量的乘积或比值，判断并说明理由。 （2）观察可知统计图的横轴表示种植面积，纵轴表示产量，将表格中对应的数据点在坐标系上描出后再连接各点。 （3）用5除以1.3得到每亩种植面积的产量是几吨，再用几乘8可得第一问；计算14.3里面有多少个每亩产量，即用14.3除以每亩产量即可得第二问。 【规范解答】（1）（吨） 答：兴平大蒜的种植面积与产量成正比例关系，理由是产量÷种植面积＝0.26（一定），种植面积增加，产量也随着增加，且它们的比值一定，所以兴平大蒜的种植面积与产量成正比例关系。 （2）作图如下： （3）（吨） （吨） （亩） 若种植兴平大蒜8亩，则产量是（2.08）吨；若想实现兴平大蒜的产量是14.3吨，则需要种植（55）亩。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·浙江温州·期中）一只兔子和一只小狗从同一地点出发，同时向同一方向运动，同时到达终点。观察图像可知，原本跑得快的兔子由于途中休息了( )分钟，在第( )分钟被小狗追上。照这样的速度，小狗12分钟能跑( )米。 【答案】 3 5 2400 【思路引导】根据图示，原本跑得快的兔子由于途中的第3分钟到第6分钟休息，用6－3列式求出原本跑得快的兔子由于途中休息了几分钟；在第5分钟被小狗追上；根据图示，小狗10分钟跑了2000米，根据路程÷时间＝速度，用2000÷10列式求出小狗的速度，再根据路程＝速度×时间解答即可。 【规范解答】6－3＝3（分钟） 2000÷10×12 ＝200×12 ＝2400（米） 所以原本跑得快的兔子由于途中休息了3分钟，在第5分钟被小狗追上，照这样的速度，小狗12分钟能跑2400米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山东德州·期中）下图是两辆汽车所行驶的路程与相应时间关系的图像，下列关于图像描述错误的是（    ）。 A．两辆汽车行驶的路程与时间都成正比例。 B．从图像上看甲车的速度比乙车快。 C．甲车从东城到西城（20千米）大约需要17分钟。 D．乙车10分钟行驶了12千米。 【答案】D 【思路引导】A．当两个相关联的量成正比例关系的时候，它的图象是经过原点的直线，由此即可判断； B．由于甲、乙两车的路程和时间成正比例关系，根据公式：路程÷时间＝速度，分别求出甲、乙两车的速度，之后进行比较即可。 C．根据时间＝路程÷速度，用东城到西域的路程÷甲车速度，求出需要的时间，即可判断； D．观察图像，找出乙车10分钟行驶的路程，再进行判断。 【规范解答】A．甲、乙两辆汽车图像都是经过原点的直线，符合正比例图象特征，所以两辆汽车行驶的路程和时间都成正比例关系；原题干说法正确，不符合题意； B．甲车：24÷20＝1.2（千米） 乙车：24÷30＝0.8（千米） 1.2＞0.8，甲车的速度比乙车块；原题干说法正确，不符合题意； C．20÷1.2≈17（分钟） 甲车从东城到西城（20千米）大约需要17分钟；原题干说法正确，不符合题意； D．乙车10分钟行驶了8千克，原题干说法错误，符合题意。 下图是两辆汽车所行驶的路程与相应时间关系的图像，下列关于图像描述错误的是乙车10分钟行驶了12千米。 故答案为：D 【变式3】（难度：☆☆☆☆）（1）香蕉的总价和购买的数量成正比例吗？苹果呢？ （2）从图象上看，苹果和香蕉哪种水果贵一些？你是怎么看出来的？ （3）利用图象估计苹果、香蕉各买2.5千克总价是多少元？ （4）你还发现了什么？ 【答案】（1）香蕉的总价和购买的数量成正比例，苹果的总价和购买的数量也成正比例。 （2）香蕉；见详解 （3）30元 （4）见详解 【思路引导】（1）两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例，据此判断即可； （2）根据图象可知，同样多的质量香蕉图象上的点表示的价钱比苹果多，据此解答即可； （3）根据单价×数量＝总价，分别求出苹果和香蕉的价钱，再相加即可； （4）通过统计图分析可知，买3千克香蕉24元。 【规范解答】（1）香蕉：8÷1＝8（元），16÷2＝8（元） 香蕉的总价和购买的数量的比值一定，所以它们成正比例； 苹果：8÷2＝4（元），12÷3＝4（元） 苹果的总价和购买的数量的比值一定，所以它们成正比例。 （2）香蕉贵一些，从图象上看，同样的质量香蕉图象上的点表示的价钱比苹果多，即香蕉的价钱贵一些； （3）香蕉：8÷1＝8（元），苹果：8÷2＝4（元） 8×2.5＋4×2.5 ＝20＋10 ＝30（元） 答：苹果、香蕉各买2.5千克总价是30元。 （4）还发现：买3千克香蕉24元。（答案不唯一） 考点讲练三 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·内蒙古通辽·期中）下面是同一时间、同一地点测得不同树高和它们影长的记录表。 树高/m 1 2 3 4 5 6 … 影长/m 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 … （1）在图中描出树高和影长所对应的点，再按顺序连接起来。 （2）根据表中数据，树高与影长成（    ）比例。 （3）在这一时刻测得一棵树影子长7.2米，这棵树高（    ）米。 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）9 【思路引导】（1）观察可知，折线统计图的横轴表示树高，纵轴表示影长，根据统计表描出相应的点再按顺序连接起来。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此分别计算树高和影长的比值与积，再判断。 （3）根据上题可知，树高和影长成正比例关系，即比值一定，设这棵树高米，据此列比例并求解即可。 【规范解答】（1）作图如下： （2） 树高与影长比值相等 根据表中数据，树高与影长成正比例。 （3）解：设这棵树高米。 在这一时刻测得一棵树影子长7.2米，这棵树高9米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·福建泉州·期中）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 (1)点A表示的意思是：______________________________ (2)从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成( )比例关系。 (3)如果汽车行驶120km，需要耗油( )L。 【答案】(1)汽车行驶30km时，耗油量是3L（答案不唯一） (2)正 (3)12 【思路引导】（1）观察图象，横轴代表路程，纵轴代表耗油量，点A对应的横轴数量是30km，纵轴数量是3L，所以点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。从图中选取几组数据，如行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；再看行驶80km时，耗油量是8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）因为路程和耗油量成正比例，比值为10，即每耗油1L可行驶10km，如果汽车行驶120km，用路程除以每升油行驶的路程即可计算出耗油量。 【规范解答】（1）点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。（答案不唯一） （2）行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；行驶80km耗油8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）120÷10＝12（L） 如果汽车行驶120km，需要耗油12L。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）妙妙和甜甜分别做一个相同的许愿瓶（所折纸星星的数量相同），当妙妙折了所有纸星星的时，甜甜还有没有折，当妙妙折完全部的纸星星时，甜甜还有32颗纸星星没有折，则两人分别要折多少颗纸星星？ 【答案】160颗 【思路引导】由题意可知，把纸星星的总数量看作单位“1”，速度一定时，妙妙所折的纸星星数与甜甜所折的纸星星数成正比例，即妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率也成正比例，设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占整体的，等量关系式是妙妙折了所有纸星星的∶此时甜甜所折的纸星星数占总数的分率＝1∶妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的分率，据此列方程并解答，再根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数用除法计算，用妙妙折完时，甜甜还没折的数量除以其对应的分率即可得解。 【规范解答】解：设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。 32÷（1－） ＝32÷ ＝32×5 ＝160（颗） 答：两人分别要折160颗纸星星。 【考点剖析】关键是要妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率成正比例，再设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。据此列比例求解，最后用分数的应用题的求单位“1”的具体量的方法解答即可。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）秋季运动会上六一班的萌萌、路佳、王玉三人一起进行百米赛跑。如果当萌萌到达终点时，路佳距终点还有10米，王玉距终点还有20米，那么当路佳到达终点时，王玉距终点还有（    ）米。 A．10 B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据时间一定，路程和速度成正比例关系可知：当当萌萌到达终点时，路佳的路程是90米，王玉的路程是80米，所以路佳和王玉的路程比是90∶80＝9∶8，速度比也是9∶8；王玉的速度是路佳的，当路佳到达终点时，王玉的路程就是路佳的，即100的，据此求出王玉跑过的路程，进而求出剩下的路程即可。 【规范解答】100－10＝90（米）； 100－20＝80（米）； 路佳和王玉的路程比是90∶80＝9∶8，速度比也是9∶8； 则王玉的速度是路佳的； 100－100× ＝100－ ＝（米）； 故答案为：C。 【考点剖析】解答本题的关键是明确时间一定时，路程和速度成正比例关系，进而求出路佳和王玉的速度比，求出当路佳跑完100米时，王玉跑过的路程。 考点讲练四 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邢台·期中）爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【答案】A 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。根据表格数据，每块地砖面积与所需块数成反比例关系。 根据“每块地砖面积×所需块数＝屋子地面总面积”，结合表格中任意一组数据计算屋子地面总面积。以每块地砖面积0.3m2，所需块数160块为例，可得屋子地面总面积为：0.3×160＝48（m2）。根据“所需块数＝屋子地面总面积÷每块地砖面积”，可得48÷0.6＝80（块）。同理，48÷0.8＝60（块）。用0.6m2的地砖铺地所需块数减去用0.8m2的地砖铺地所需块数即可。 【规范解答】0.3×160＝48（m2） 48÷0.6＝80（块） 48÷0.8＝60（块） 80－60＝20（块） 爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多20块。 故答案为：A 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东济南·期中）有两个相关联的量，它们的关系如图。这两个相关联的量属于正比例关系的是（    ）。 A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下大米质量 D．小明的身高与跳高的高度 【答案】A 【思路引导】两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。图像是过原点的直线，比值一定，符合正比例关系特征，据此逐一分析各项即可。 【规范解答】A．《智力数学》订阅的总价÷本数＝单价（一定），商一定，所以《智力数学》订阅的总价和本数成正比例； B．行驶速度×时间＝总路程（一定），是对应的乘积一定，所以速度和所用的时间成反比例； C．因为吃掉的大米质量＋剩下的质量＝大米的总量（一定），既不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义。 D．小明的身高与跳高无固定比值关系，既不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义。 故答案为：A 【变式2】（难度：☆☆☆）把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。 底面积/cm2 5 10 20 30 60 水面高度/cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成（    ）比例关系。 （3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解 （2）反 （3）6 【思路引导】（1）根据统计表中的数据在方格图中描出各点，再用平滑的曲线顺次连接。 （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （3）先根据V＝Sh，用统计表中的任意一组数据求出水的体积，水的体积不变，杯子的底面积变成50平方厘米时，根据h＝V÷S，求出此时杯子中水面的高度。 【规范解答】（1）如图： （2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300 乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。 （3）5×60÷50 ＝300÷50 ＝6（厘米） 底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。 【考点剖析】本题考查反比例关系的辨识方法、画反比例关系的图象以及利用反比例关系解决实际问题。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）下列说法中正确的是（    ）。 A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 【答案】C 【思路引导】根据正、反比例的概念进行逐题判断，符合正、反比例概念的即成正比例或反比例。据此解答。 【规范解答】A.当两个数的商一定时，那么这两个数就成正比例。差一定时，被减数和减数是减法关系。不符合正比例的概念。故说法不正确。 B．因为总价＝单价×数量，当总价一定时，单位和数量成反比例，故说法不正确。 C．因为圆柱体积＝底面积×高，当圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例。故本题说法正确。 D． 因为铺地面积＝边长×边长×需要的块数，所以每块方砖的面积与需要的块数成反比例，而不是边长与所需的方块数量成反比例。 本题的说法是错误的。 故答案为：C 【考点剖析】掌握正、反比例的概念是解答本题的关键。 考点讲练五 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东揭阳·期中）一间卧室用边长3分米的正方形地砖铺地，需要640块，如果改用面积是16平方分米的正方形地砖，需要地砖多少块？（用比例的知识解答） 【答案】360块 【思路引导】设未知数：设改用面积是16平方分米的正方形地砖，需要x块。边长为3分米的正方形地砖面积为3×3＝9（平方分米），需要640块；面积为16平方分米的地砖需要x块。由于卧室总面积不变，根据反比例关系可得：16x＝3×3×640。然后解比例即可。 【规范解答】解：设需要地砖x块。 16x＝3×3×640 16x＝5760 x＝5760÷16 x＝360 答：需要地砖360块。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）两个互相啮合的齿轮，主动轮有60个齿，每分钟转80圈，从动轮有20个齿，每分钟转多少圈？（用比例解决问题） （1）写出本题中变化的两个量之间的关系式_____________________。因此，本题中变化的两个量成（    ）比例。 （2）解答： 【答案】（1）主动轮齿数×主动轮转数＝从动轮齿数×从动轮转数；反 （2）240圈 【思路引导】（1）两个互相啮合的齿轮，在同一时间内转动时，它们走过的齿数是相同的。齿数与转数成反比例关系。主动轮齿数×主动轮转数＝从动轮齿数×从动轮转数，所以本题中变化的两个量之间的关系式为：主动轮齿数×主动轮转数＝从动轮齿数×从动轮转数。 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）由于乘积一定，因此本题中变化的两个量成反比例。设从动轮每分钟转x圈，根据（1）中的关系式列比例为：20x＝60×80，解比例方程即可解答。 【规范解答】（1）本题中变化的两个量之间的关系式：主动轮齿数×主动轮转数＝从动轮齿数×从动轮转数。 由于乘积一定，因此本题中变化的两个量成反比例。 （2）解：设从动轮每分钟转x圈。 20x＝60×80 20x＝4800 20x÷20＝4800÷20 x＝240 答：从动轮每分钟转240圈。 【变式2】（难度：☆☆☆）某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。 （1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？ （2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？ 【答案】（1）320元 （2）4件 【思路引导】（1）根据题意，所有服装都打同样的折扣销售，则＝折扣（一定），比值一定，那么现价与原价成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 （2）先根据上一题的一件风衣原价480元，现价360元，计算出折扣；再根据题意，李阿姨手里的现金一定，则单价×数量＝总价（一定），积一定，那么单价和数量成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）解：设这条裤子原价元。 ＝ 360＝240×480 ＝ ＝320 答：这条裙子原价320元。 （2）360÷480×100% ＝0.75×100% ＝75% 75%＝七五折 解：设能买件。 200×75%＝120×5 150＝600 ＝600÷150 ＝4 答：如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买4件。 【考点剖析】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 【变式3】（难度：☆☆☆）昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答） 【答案】50天 【思路引导】根据题意，实际每天比计划少生产10%，把计划每天生产水泥的吨数看作单位“1”，则实际每天生产水泥的吨数是计划每天的（1－10%），单位“1”已知，用乘法计算，求出实际每天生产水泥的吨数； 这批水泥的总吨数不变，根据每天生产的吨数×天数＝水泥的总吨数（一定），积一定，则每天生产的吨数和天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设这批水泥实际生产了天。 12×（1－10%）＝12×45 12×0.9＝540 10.8＝540 ＝540÷10.8 ＝50 答：这批水泥实际生产了50天。 【考点剖析】①考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出实际每天生产水泥的吨数； ②找出相关联的两种量，判断相关联的两种量乘积一定，然后根据反比例的意义列出反比例方程。 奥数拓展一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）2 （2）10毫升 （3）30立方厘米 【思路引导】（1）从图中可知，水先填满圆柱周围空间，再填满圆锥周围空间。当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升；当容器里有圆锥时，水面刻度上升了300－200＝100毫升；因为圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比，所以用200÷100即可求出圆柱的高是圆锥高的倍数。 （2）当注水第25秒至40秒时，水漫过了圆柱和圆锥。水面刻度从300毫升到450毫升时，即增加了水的体积450－300＝150毫升，用时40－25＝15秒，用150÷15＝10毫升，即求出了每秒注水量。 （3）当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升，用时17秒。此时容积刻度＝圆柱体积＋水的体积，水的体积：10×17＝170毫升＝170立方厘米，所以圆柱体积＝水面刻度－水的体积＝200－170＝30毫升＝30立方厘米。 【规范解答】（1）200÷（300－200） ＝200÷100 ＝2 图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的2倍。 （2）（450－300）÷（40－25） ＝150÷15 ＝10（毫升） 答：每秒注水10毫升。 （3）200－17×10 ＝200－170 ＝30（毫升） ＝30（立方厘米） 答：铁块圆柱部分的体积是30立方厘米。 【考点剖析】理解圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比是解此题的关键。 【变式1】（难度：☆☆☆）如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 【答案】（1）90 （2）正 （3）904.32立方厘米 【思路引导】（1）因为C点（，45）也在l这条直线上，可以与A点或B点组成比例方程，并求解，求出的值。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （3）根据“等腰三角形的两条腰相等”以及点D的位置是（z，4），根据数对的知识可知，点D与点A在同一行，由此得出点D在图中的位置； 因为这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥；由点A、点B的数对，得出横轴、纵轴每格表示的长度，进而得出圆锥的底面半径和高，然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥的体积。 【规范解答】（1）＝ 解：4＝8×45 4＝360 ＝360÷4 ＝90 如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝90。 （2）＝＝…＝2（一定） 那么直线l上的点P（，），＝2，比值一定，和成正比例。 （3）如下图，点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形ABD。 横轴的每格表示： （20－8）÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 纵轴的每格表示： （10－4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆锥的底面半径：3×4＝12（厘米） 圆锥的高：3×2＝6（厘米） ×3.14×122×6 ＝×3.14×144×6 ＝904.32（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是904.32立方厘米。 【考点剖析】（1）列出比例方程，并解比例。 （2）本题考查正比例的意义及辨识方法，也可以通过图象判断两种量是否成正比例。 （3）先根据等腰三角形的特征以及数对的知识找到D点的位置，再判断旋转而成的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式解答。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个……正方形（如图）。 (1)把表格填完整。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（dm） 12 6 4 ( ) … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 ( ) … 所有正方形的总面积 144 72 48 ( ) … (2)正方形个数为6的时候，每个小正方形的边长是( )分米，每个小正方形的面积是( )平方分米。 (3)正方形的个数与边长( )；正方形的边长与总面积( )。（填“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”） (4)若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系：( )。 【答案】(1) 3 13 36 (2) 2 4 (3) 成反比例 成正比例 (4)m＝1＋3n 【思路引导】（1）观察表格数据可知规律：正方形的边长×正方形的个数＝12；正方形的顶点总数每次增加3个；正方形的总面积×正方形的个数＝144；，据此可得答案； （2）利用（1）中所得规律，解答即可； （3）利用（1）中所得规律，乘积一定是反比例，比值一定是正比例； （4）由所有正方形的顶点总数是1与序数的3倍的和可得答案。 【规范解答】（1）填表如下： 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（dm） 12 6 4 3 … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 13 … 所有正方形的总面积 144 72 48 36 … （2）12÷6＝2（分米） 2×2＝4（平方分米） 所以，正方形个数为6的时候，每个小正方形的边长是2分米，每个小正方形的面积是4平方分米。 （3）因为正方形的个数与边长的乘积为12，乘积一定，所以它们成反比例； 因为正方形的边长与总面积的商为，商一定，所以它们成正比例。 （4）因为4＝1＋3，7＝1＋2×3，10＝1＋3×3。 所以正方形的个数是n，顶点总数是m，则m＝1＋3n。 【考点剖析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键结合题意分析数据变化找出规律再解答。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）若则x和y成( )比例关系；若，则x和y成( )比例关系。（x、y均不为0） 【答案】 反 正 【思路引导】判断两个量成什么比例关系，需要看它们的比值一定还是乘积一定。比值一定成正比例，乘积一定成反比例。据此解答。 【规范解答】若，则xy＝4×5＝20，即x和y的乘积一定，所以，x和y成反比例关系； 若，则，即x和y的比值一定，所以，x和y成正比例关系。 奥数拓展二 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①     ②30：      ③1：        ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【思路引导】把全程看作单位“1”，根据李医生的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式即可。 【规范解答】如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟。 30∶x＝∶1或1∶x＝∶30 正确的关系式是②③。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山西运城·期中）飞云楼被誉为“中华第一木楼”，高约23米，宽约12米，是全国重点文物保护单位。六（1）班学生在实践项目中，制作的“飞云楼”模型高度与实际高度的比是1∶115，那么“飞云楼”模型的高度约是多少分米？（用比例解） 【答案】2分米 【思路引导】根据1米＝10分米，将实际高度转换为分米，即23米＝230分米，然后根据比例关系，模型高度与实际高度的比是1∶115，列比例为x∶230＝1∶115，解比例即可解答。 【规范解答】解：设“飞云楼”模型的高度约是x分米。 23米＝230分米 x∶230＝1∶115 115x＝230 115x÷115＝230÷115 x＝2 答：“飞云楼”模型的高度约是2分米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【规范解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 【变式3】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级上·广东江门·期中）在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【答案】小时 【思路引导】由题意可知，一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时，根据灯泡亮的时间与电池毫安数成正比，可用1000÷5求出比值200，再用电池毫安数除以比值可求出灯泡亮的时间；题目中小明用了一个1500毫安的电池的时候，是在电路中串联了两个相同的灯泡，即1500毫安的电量要平均分给两个灯泡使用，可用1500除以2，得到供每个灯泡使用的电池毫安数，再除以比值200，即可得解。 【规范解答】 （小时） 答：每个灯泡可以亮小时。 奥数拓展三 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·四川绵阳·期中）共享单车的广泛使用，为保卫蓝天贡献了一份力量。下图是某自行车厂每天生产数量和生产天数的对应数据。 每天生产数量/辆 80 100 128 160 200 生产天数/天 80 64 50 40 32 (1)表中两个相关联的量是( )和( )，这两个相关联的量成( )比例关系。 (2)如果有批订单的工期是25天，那么每天要生产( )辆共享单车才能如期完工。 【答案】(1) 每天生产数量 生产天数 反 (2)256 【思路引导】根据自行车生产的天数随着每天生产数量的变化而变化可知它们两个是相关联的量；计算可得80×80＝100×64＝128×50＝160×40＝200×32，这两个量的乘积是一定的，所以是反比例关系；已知两个数的积和其中一个数，求另一个数用除法。 【规范解答】（1）表示两个相关联的量是每天生产数量和生产天数，这两个相关联的量成反比例关系 （2）80×80÷25 ＝6400÷25 ＝256（辆） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·随堂练习）用一批纸装订练习本，每本的页数和可装订的本数如下表，填表并回答问题。 每本的页数 8 10 16 20 25 可装订的本数 500 （1）把表格填写完整。 （2）每本的页数和可装订的本数成什么关系？ （3）若每本的页数为50，则可以装订多少本？ （4）若需要装订125本，每本装订多少页？ 【答案】（1）400；250；200；160 （2）成反比例关系 （3）80本 （4）32页 【思路引导】先确定“纸的总页数”这一不变的定值，再利用反比例关系的性质解题：确定定值：根据“每本页数×可装订本数＝总页数”，由已知的“每本8页、可装订500本”，算出总页数为（页）总页数固定不变。 填表逻辑：每本页数变化时，可装订本数＝总页数÷每本页数，据此计算表格中缺失的数。 比例关系判断：每本页数与可装订本数的乘积（总页数）是定值，符合反比例关系的定义。 实际问题计算：无论是“每本50页时装订的本数”，还是“装订125本时的每本页数”，都通过“总页数÷已知量”的方式求解。 【规范解答】（1）总页数为（页） 根据“可装订本数＝总页数÷每本页数”计算： 当每本页数为10时：（本） 当每本页数为16时：（本） 当每本页数为20时：（本） 当每本页数为25时：（本） 每本的页数 8 10 16 20 25 可装订的本数 500 400 250 200 160 （2）每本的页数和可装订的本数的乘积总页数是定值，因此两者成反比例关系。 （3）每本页数为50时的装订本数：（本） 答：可以装订80本。 （4）装订125本时的每本页数：（页） 答：每本装订32页。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（2025·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，现两人合作，完工时甲完成了这批零件的还多66个。这批零件共多少个？ 【答案】336个 【思路引导】根据“工作总量＝工作效率×工作时间”可知，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系。根据“工作时间＝工作量÷工作效率”可知，当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例关系。 已知加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，工作总量一定，那么甲、乙两人的工作效率比为5∶3；现两人合作，工作时间相同，则甲、乙两人的工作量之比等于他们的工作效率之比5∶3，也就是说甲完成的零件个数占零件总数的； 已知完工时甲完成了这批零件的还多66个，把零件总数看作单位“1”，则多的66个零件占零件总数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出零件总数。 【规范解答】66÷（－） ＝66÷（－） ＝66÷（－） ＝66÷ ＝66× ＝336（个） 答：这批零件共336个。 【考点剖析】利用正反比例的意义由甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5得出两人的工作量之比，再把比转化成分数，根据分数除法的意义解答。 【变式3】（难度：☆☆☆☆☆）（2025·四川遂宁·小升初真题）下列判断中正确的是（    ）。 ①因为周长相等的两个圆，面积一定相等，所以周长相等的两个长方形，面积也一定相等； ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。 ③＝＋5.4（＋5.4≠0），当一定时，和成反比例。 ④一个圆的半径增加10%，它的面积增加21%。 ⑤甲数比乙数多，乙数比甲数少。 A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【思路引导】①根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2（r是半径）可知，圆的周长相等，则圆的半径就相等，那么圆的面积也就相等； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，举例数值代入，据此判断出长方形周长相等，面积是否相等； ②等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此判断； ③判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，据此判断； ④设圆的半径为1，增加后圆的半径是原来半径的（1＋10%），据此求出增加后圆的半径；然后根据圆的面积＝πr2（r是半径），求出原来圆的面积和增加半径后圆的面积；再根据“半径增加后圆的面积增加的百分比＝（增加后的面积－原来圆的面积）÷原来圆的面积×100%”计算即可； ⑤设乙数是1，则甲数是乙数的（1＋），用1乘（1＋）计算出甲数；再根据“乙数比甲数少的分率＝（甲数－乙数）÷甲数”计算即可； 据此解答。 【规范解答】①圆的周长相等，则圆的半径也相等，圆的面积一定相等； 设一个长方形的长是5，宽是2；另一个长方形的长是4，宽是3。 （5＋2）×2 ＝7×2 ＝14 （3＋4）×2 ＝7×2 ＝14 两个长方形周长相等。 5×2＝10 4×3＝12 10≠12 所以两个长方形面积不相等。 所以长方形周长相等，但是面积不一定相等。 因为周长相等的两个圆，面积一定相等，周长相等的两个长方形，面积不一定相等；原说法错误。 ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。原说法正确。 ③＝＋5.4（＋5.4≠0），当一定时，＋5.4的值也一定，即的乘积一定，所以和成反比例。原说法正确。 ④设原来圆的半径为1。 1×（1＋10%） ＝1×1.1 ＝1.1 （1.12π－12π）÷（12π）×100% ＝（1.21π－π）÷π×100% ＝0.21π÷π×100% ＝0.21×100% ＝21% 一个圆的半径增加10%，它的面积增加21%。原说法正确。 ⑤设乙数是1。 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 甲数比乙数多，乙数比甲数少。原说法正确。 所以②③④⑤说法正确。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了对圆的面积、圆柱的体积、圆锥的体积的掌握情况；对反比例的意义的掌握情况；对“求比一个数多/少几分之几的数”的运算能力。掌握“求比一个数多/少几分之几的数”的运算；了解反比例的意义及辨识；熟练运用圆的面积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式是解答本题的关键。 奥数拓展四 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2025·广东揭阳·小升初模拟）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】(1)反比例 (2)320圈 【思路引导】（1）齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （2）根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿轮每分钟转的圈数＝大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 （2）解：设小齿轮每分钟转圈。 15＝60×80 15＝4800 ＝4800÷15 ＝320 答：小齿轮每分钟转320圈。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（2025·云南昭通·小升初模拟）灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 【答案】(1)0.9千克 (2)成反比例关系；理由见详解 【思路引导】（1）根据题意，用左边水果的质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。所以用左边水果质量×左边刻度距离÷右边刻度距离＝右边水果质量。 （2）因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。而刻度距离乘水果质量的积是一定的， 它们成反比例关系。据此分析即可。 【规范解答】（1）1.5×3÷5 ＝4.5÷5 ＝0.9（千克） 答：那么右边的水果重0.9千克。 （2）刻度距离和水果质量存在反比例关系。因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。刻度距离和水果质量的乘积一定，所以刻度距离和水果质量存在反比例关系。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·假期作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【答案】14、10、35 【思路引导】由题意可知，使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，也就是三个齿轮转过的总齿数是相等的，即甲轮齿数×5＝乙轮齿数×7＝丙轮齿数×2，所以转过的总齿数是5、7、2的公倍数，要求齿数最少，就是转过的总齿数是5、7、2的最小公倍数，5、7、2的最小公倍数是70；再用70分别除以5、7、2即可求出甲、乙、丙的最少齿数。 【规范解答】根据分析： 5×7×2 ＝35×2 ＝70 甲轮齿数最少为：70÷5＝14（齿）； 乙轮齿数最少为：70÷7＝10（齿）； 丙轮齿数最少为：70÷2＝35（齿）； 甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为14、10、35齿。 【考点剖析】本题关键是根据“甲轮齿数×甲轮转数＝乙轮齿数×乙轮转数＝丙轮齿数×丙轮转数”进行分析解答。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？ 【答案】28小时 【解析】增加两台机器，则只需要用规定时间的， 把规定时间分为8份，即原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原来有14台机器；减少2台机器剩余的12台机器要多工作小时，则原来计划的工作时间为4小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以2台机器要28个小时完成。 【规范解答】原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成； （台） （小时） （小时） 答：由2台机器完成这项工程，需要28小时。 【考点剖析】本题考查的是工程问题中的比例问题，当工作总量是不变时，工作时间与工作效率成反比例关系。 1．（24-25六年级下·北京·期中）下面两种相关联的量中，成正比例关系的是（    ）。 A．读一本书，已读页数和未读页数 B．速度一定，路程和时间 C．圆柱体积一定，圆柱的底面积和高 D．张红的身高和年龄 【答案】B 【思路引导】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【规范解答】A．已经读的页数＋未读的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，则已经读的页数和未读的页数不成比例； B．路程÷时间＝速度（一定），商一定，则路程和时间成正比例关系； C．圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），积一定，则它的底面积和高成反比例关系； D．人的身高和年龄没有数量关系，所以张红的身高和年龄不成比例。 故答案为：B 2．（24-25六年级下·河南许昌·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，长方形的长和宽 B．行驶速度一定，行驶路程与时间 C．被减数一定，减数和差 D．工作总量一定，工作效率和时间 【答案】D 【思路引导】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【规范解答】 A．长方形的长＋宽＝长方形的周长÷2（一定），和一定，所以长方形的长和宽不成比例。 　B．路程公式为：路程＝速度×时间，变形可得：路程÷时间＝速度（比值一定）。 　路程和时间的关系是“比值一定”，符合正比例关系（一个量扩大，另一个量也扩大），而非反比例。 C．差＋减数＝被减数（一定），和一定，所以减数和差不成比例。 D．工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，当工作总量固定时，工作效率越高，所需时间越短（一个量扩大，另一个量缩小），完全符合反比例关系的定义。所以工作效率和工作时间成反比例。 故答案为：D 3．（24-25六年级下·河北廊坊·期中）下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 【答案】D 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。逐一分析各选项中的两个量是否存在乘积为定值的关系。 【规范解答】A．长方形的周长公式为C＝2×（a＋b）（C为周长，a为长，b为宽）。当周长C一定时，a＋b＝C÷2（一定），是和一定，不是乘积一定，所以长和宽不成反比例关系。 B．圆柱的体积公式为V＝πr2h（V为体积，r为底面半径，h为高）。当体积V一定时，πr2h＝V（一定），是r2与h的乘积一定，而不是底面半径r和高h的乘积一定，所以底面半径和高不成反比例关系。 C．正方体的表面积公式为S＝6a2（S为表面积，a为棱长），棱的数量是固定的12条，棱长和棱的数量之间不存在乘积一定的关系，所以不成反比例关系。 D．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S为面积，a为底边长度，h为对应的高）。当面积S一定时，ah＝2S（一定），是底边的长度和对应的高的乘积一定，所以它们成反比例关系。 成反比例关系的是选项D中的两种量。 故答案为：D 4．（22-23六年级下·浙江杭州·期中）如果，那么A和B（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能判断 【答案】A 【思路引导】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。 如果，根据比例的基本性质可得：4.5×（B＋4）＝6×（A＋3），根据等式的性质得出A与B的关系即可解答。 【规范解答】 解：4.5×（B＋4）＝6×（A＋3） 4.5B＋18＝6A＋18 4.5B＋18－18＝6A＋18－18 4.5B＝6A 根据比例的基本性质，由4.5B＝6A可得：A∶B＝4.5∶6＝0.75，A与B的比值一定，则A和B成正比例。 故答案为：A 【考点剖析】根据比例的基本性质，得出A∶B的比值是解题的关键。 5．（2024·海南省直辖县级单位·小升初真题）在100克的糖水中，糖与糖水的比是2∶10，如果再加入10克糖，要使得糖水浓度不变，应加入（    ）克水。 A．10克 B．20克 C．40克 D．50克 【答案】C 【思路引导】糖水的浓度＝糖的质量÷糖水的质量×100%，糖的质量＝糖水的质量×浓度，先表示出原来和现在糖水中糖的质量，再表示出现在糖水的质量，现在糖水的质量＝原来糖水的质量＋加入糖的质量＋加入水的质量，糖水浓度不变，则糖的质量与糖水的质量成正比例关系，现在糖的质量∶现在糖水的质量＝原来糖的质量∶原来糖水的质量，据此解答。 【规范解答】解：设应加入x克水。 （100×＋10）∶（100＋10＋x）＝2∶10 （20＋10）∶（100＋10＋x）＝2∶10 30∶（110＋x）＝2∶10 （110＋x）×2＝30×10 （110＋x）×2＝300 110＋x＝300÷2 110＋x＝150 x＝150－110 x＝40 所以，应加入40克水。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查应用正比例关系解决问题，理解糖与糖水的质量成正比例关系并准确表示出现在糖和糖水的质量是解答题目的关键。 6．拍照时，从人的头顶部到底边的距离与整张照片的高度的比是黄金比（0.618∶1）时，给人的感觉是最舒服的，这张照片正好符合黄金比，从人的头顶部到底边的距离约是（    ）厘米。（得数保留两位小数） A．0.50 B．54.94 C．5.49 D．5.50 【答案】C 【思路引导】人的头顶部到底边的距离与整张照片的高度的比是0.618∶1，照片的高度是8.89cm，可得比例，人的头顶部到底边的距离∶8.89＝0.618∶1，根据比例的基本性质求解即可。 【规范解答】解：设人的头顶部到底边的距离为x（cm）。 x∶8.89＝0.618∶1 x＝8.89×0.618 x＝5.49402 x≈5.49 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查比例的应用和解比例。 7．（25-26六年级上·河北石家庄·期中）在“测量旗杆高度”实践课后，小东和小明按同样的方法测量马路边一个广告牌子的高度，小东量得广告牌子的影长是1.5m，小明的影长是0.8m。已知小明的身高是1.6m，设这个广告牌子的高度是xm，可以列出一个比例是( )，解这个比例得到广告牌子的高度是( )m。 【答案】 x∶1.5＝1.6∶0.8 3 【思路引导】同一时间，物体高度和影长成正比。用广告牌的高度与影长的比等于小明的身高与影长的比，写出比例式。再根据比例的基本性质，内项积等于外项积，计算出x的值。 【规范解答】x∶1.5＝1.6∶0.8 解：0.8x＝1.5×1.6 0.8x＝2.4 0.8x÷0.8＝2.4÷0.8 x＝3 可以列出一个比例是x∶1.5＝1.6∶0.8，解这个比例得到广告牌子的高度是3m。 8．（24-25六年级下·北京·期中）春天来了，明明和爸爸骑着自行车去郊游。自行车两个车轮的直径都是70cm，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。 (1)如果前齿轮转10圈，则后齿轮转______圈。 (2)自行车工作的原理是：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后车轮转动，后车轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。如果爸爸每分钟能蹬90圈，则他骑行1小时能行驶______km（取，得数保留整数）。 【答案】(1)30 (2)34 【思路引导】（1）先求出两轮的齿数比，再根据齿数比与圈数比相反，求出后齿轮转的圈数。 （2）由（1）可知前齿轮与后齿轮的圈数比，由此先求出1小时车轮转动的圈数，再根据圆的周长＝πd，求出车轮转一圈行驶的距离，再与车轮转动的圈数相乘，即可求出骑行1小时行驶的距离。注意单位名数的转换和结果保留整数。 【规范解答】（1）前、后齿轮的齿数比为：48∶16＝3∶1 那么，前、后齿轮的圈数比为：1∶3 10×3＝30（圈） 如果前齿轮转10圈，则后齿轮转30圈。 （2）1小时＝60分 90×3×60＝16200（圈） 3×70＝210（cm） 16200×210＝3402000（cm）＝34.02（km）≈34（km） 因此，爸爸骑行1小时能行驶34km。 9．（24-25六年级下·江苏淮安·期中）用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。上午11：00在操场上，安心测得50厘米的一根木棒影长是25厘米。同时，万安测得旗杆的影长是5.5米，那么学校旗杆的高度是( )米。 【答案】 正 11 【思路引导】根据同一时刻、同一地点物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系；由此可得出等量关系：旗杆的高度∶旗杆的影长＝木棒的长度∶木棒的影长，据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】50厘米＝0.5米，25厘米＝0.25米 解：设学校旗杆的高度是米。 ∶5.5＝0.5∶0.25 0.25＝5.5×0.5 0.25＝2.75 ＝2.75÷0.25 ＝11 用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成（正）比例。上午11：00在操场上，安心测得50厘米的一根木棒影长是25厘米。同时，万安测得旗杆的影长是5.5米，那么学校旗杆的高度是（11）米。 10．（23-24六年级下·浙江杭州·期中）李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 【答案】/ 【思路引导】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【规范解答】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【考点剖析】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 11．甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 【答案】25 【思路引导】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5，可以设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，最后甲乙的高度相等。列方程解答即可。 【规范解答】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5。 解：设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，则： 10＋＝ ＝10 ＝5 此时甲乙的水深都是10＋＝10＋3×5＝10＋15＝25（厘米） 【考点剖析】理解体积相等、圆柱的底面积和高成反比，底面积是5∶3，那入注入的水的深度就是3∶5。理解底面积和高之间成反比是解答本题的关键。 12．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个三角形的底一定，它的高与面积成正比例关系。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】判断两个量是否成正比例关系，需看它们的比值是否一定。根据三角形面积公式，当底一定时，面积与高的比值是一定的。因此，三角形的高与面积成正比例关系。 【规范解答】三角形的面积公式为：。当底一定时，面积与高的关系可表示为：。由于底是定值，底÷2也为定值，即面积与高的比值一定。因此，三角形的高与面积成正比例关系。 故答案为：√ 13．（24-25六年级下·吉林松原·期中）一个班的出勤人数和缺勤人数成正比例关系。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】出勤人数＋缺勤人数＝总人数（一定），出勤人数和缺勤人数既不是比值一定，也不是乘积一定，所有出勤人数和缺勤人数不成比例。 一个班的出勤人数和缺勤人数不成比例。 原题干说法错误。 故答案为：× 14．（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）同一时间，同一地点测得三棵树的树高及影长如下表，根据数据完成下面各小题。 树高/米 2 3 6 9 影长/米 0.4 0.6 1.2 1.8 （1）在图中描出树高与对应影长的点，然后把它们连起来并延长，观察图象的特点。 （2）同时同地测得一座楼房的影长为1.7米，利用图象推断这座楼房的高度为（    ）米。 （3）这里的树高和影长成（    ）比例。根据数据或图象写出一个比例是（    ）。 【答案】（1）见详解；（2）8.5；（3）正；2∶0.4＝6∶1.2 【思路引导】（1）由图可知，横轴表示树高，纵轴表示影长，据此根据表中数据依次描出各点，图象是一条从（0，0）出发的射线； （2）在图象上找出纵轴上1.7米所对应的横轴上的数据即可； （3）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定；如果是比值一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【规范解答】（1）如图所示： 图象特点：树高与对应影长的图象是一条从（0，0）出发的射线。 （2）由图可知，楼房影长1.7米对应的楼高为8.5米。 （3）2÷0.4＝3÷0.6＝6÷1.2＝…＝5，则树高÷影长＝5（一定），所以这里的树高和影长成正比例关系；2∶0.4＝6∶1.2。（答案不唯一） 15．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）某工程队铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天铺144米，这样多少天可以完成铺设任务？（用比例解） 【答案】10天 【思路引导】工作总量＝工作效率×工作时间，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系。在这道题中，煤气管道的总长度是固定不变的，也就是工作总量一定，所以计划的工作效率与计划工作时间的乘积和实际工作效率与实际工作时间的乘积相等，据此列比例式求解。 【规范解答】解：设天完成铺设任务。 答：这样10天可以完成铺设任务。 16．（24-25六年级下·四川乐山·期中）一辆自行车的车轮半径是4分米，前、后齿轮齿数的比是3∶2，这辆自行车蹬20圈能走多少米？（π取3.14） 【答案】 75.36米 【思路引导】已知自行车车轮的半径是4分米，根据圆的周长公式C＝2πr计算出车轮的周长，即车轮转动1圈行驶的距离； 因为在同一链条传动下，前齿轮转过的总齿数和后齿轮转过的总齿数是相等的，前齿轮齿数×蹬的圈数＝后齿轮齿数×车轮转动的圈数，已知前、后齿轮齿数比是3∶2，假设前轮齿数为3，后轮齿数为2，用前齿轮齿数乘20除以后齿轮齿数，即可计算出蹬20圈车轮转动的圈数； 然后用车轮转动1圈行驶的距离乘蹬20圈车轮转动的圈数，即可计算出这辆自行车蹬20圈行驶的距离；最后将分米换算为米作单位（1米＝10分米）。 【规范解答】2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（分米） 3×20÷2 ＝60÷2 ＝30（圈） 25.12×30＝753.6（分米） 753.6分米＝75.36米 答：这辆自行车蹬20圈能走75.36米。 17．（24-25六年级下·山东德州·期中）探秘奶茶中的糖度。 奶茶是饮品的一种，深受很多消费者的喜爱。你知道吗？以一杯500毫升的奶茶为例，全糖是指含糖40克，七分糖是指含糖25克，五分糖是指含糖15克，三分糖是指含糖10克。《中国居民膳食指南》中建议“每人每天的糖摄入量不要超过50克，最好控制在25克以下。” （1）小明点了一杯600毫升的奶茶，选择了七分糖，这杯奶茶中含糖多少克？（用比例解） （2）为了健康着想，你会建议小明选择几分糖的奶茶？请用数据说话，写出你的思考过程。 【答案】（1）30克 （2）三分糖或五分糖；过程见详解 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。当奶茶浓度均匀，即单位体积含糖量固定，所以奶茶含糖量与体积成正比例。已知500毫升奶茶七分糖含糖25克，设600毫升七分糖奶茶含糖x克，可列比例：，然后根据比例基本性质“两内项之积等于两外项之积”，解比例即可。 （2）《中国居民膳食指南》建议“每人每天糖摄入量最好控制在25克以下”。先算500毫升奶茶各糖度的单位体积含糖量：全糖：40÷500＝0.08克/毫升，七分糖：25÷500＝0.05克/毫升，五分糖：15÷500＝0.03克/毫升，三分糖：10÷500＝0.02克/毫升。再算600毫升奶茶各糖度的含糖量：全糖：0.08×600＝48克（48＞25，超健康标准），七分糖：0.05×600＝30克（30＞25，超健康标准），五分糖：0.03×600＝18克（18＜25，符合标准），三分糖：0.02×600＝12克（12＜25，符合标准）。为控制糖摄入在25克以下，建议选择五分糖或三分糖。 【规范解答】（1）解：设600毫升七分糖奶茶含糖x克。 500x＝25×600 500x＝15000 x＝15000÷500 x＝30 答：这杯奶茶中含糖30克。 （2）500毫升含糖量： 全糖：40÷500＝0.08（克/毫升） 七分糖：25÷500＝0.05（克/毫升） 五分糖：15÷500＝0.03（克/毫升） 三分糖：10÷500＝0.02（克/毫升） 600毫升含糖量： 全糖：0.08×600＝48（克）（48＞25，超健康标准） 七分糖：0.05×600＝30（克）（30＞25，超健康标准） 五分糖：0.03×600＝18（克）（18＜25，符合标准） 三分糖：0.02×600＝12（克）（12＜25，符合标准） 答：建议选五分糖或三分糖，五分糖18克、三分糖12克均低于25克健康阈值。 18．（24-25六年级下·山东聊城·期中）纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计，少浪费1500张纸，就可以救1棵树，节约6吨纸，相当于拯救了120棵树。学校打印室新购进一批白纸，计划每天用100张，可以用32天。由于注意了节约用纸，实际每天少用20张，实际用了多少天？（用比例解答） 【答案】40天 【思路引导】因为纸的总张数不变，所以每天用的张数和使用的天数成反比例，设实际用了x天，列出反比例方程为：（100－20）x＝100×32，解比例即可解答。 【规范解答】解：设实际用了x天。 （100－20）x＝100×32 80x＝3200 x＝3200÷80 x＝40（天） 答：实际用了40天。 19．（24-25六年级下·河南南阳·期中）聪聪在市图书馆借了一本《名人传记》，如果每天看16页，15天能全部看完。如果在规定期限内将书归还，则不必交延时服务费，这样聪聪每天至少要看几页？（用比例的知识解答） 【答案】24页 【思路引导】根据题意可知，这本书的总页数一定，即每天看的页数×看的天数＝总页数（一定），乘积一定，那么每天看的页数和看的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设聪聪每天至少要看页。 10＝16×15 10＝240 ＝240÷10 ＝24 答：聪聪每天至少要看24页。 20．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【规范解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【考点剖析】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第六单元 正比例和反比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+9个考点讲练+真题提优练 共56题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 正比例的意义及辨识 奥数拓展一 正比例的意义及辨识 考点讲练二 正比例图象的认识 奥数拓展二 正比例的应用 考点讲练三 正比例的应用 奥数拓展三 反比例的意义及辨识 考点讲练四 反比例的意义及辨识 奥数拓展四 反比例的应用 考点讲练五 反比例的应用 知识点一 正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二 反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三 判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充：正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四 用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 考点讲练一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江苏淮安·期中）一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）小丽的爸爸开车回潍坊，汽车行驶的路程和耗油量的关系如下表。 路程（千米） 20 40 60 80 耗油量（升） 2.4 4.8 7.2 9.6 （1）根据上表中的数据，在下图中描出路程和耗油量所对应的点，并把这些点依次连起来。 （2）汽车行驶的路程和耗油量成（    ）比例。 （3）汽车行驶20千米时，耗油量是（    ）升；耗油量是6升时，汽车行驶（    ）千米。 （4）离目的地还有300千米时，汽车油箱里还有30升汽油，这些汽油（    ）这辆汽车开到目的地。（填“够”或者“不够”） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）如果a、b是相关联的量（a、b均不为0），a＝，则a、b成( )比例；若3a＝5b，则a、b成( )比例。 【变式3】（难度：☆☆☆）青艺农场收割小麦。前6天收割了114公顷，剩下152公顷。 （1）照前几天的工作效率，剩下的还要多少天才能完成？（用比例解） （2）前几天收割的比后几天收割的少百分之几？ （3）每公顷平均收小麦7.5吨，这个农场用载重5吨的卡车运回全部小麦，需要运多少次？ 考点讲练二 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）兴平大蒜于2014年获国家农产品地理标志登记保护，以“蒜头肥、瓣个大、包衣紧、味辛辣”著称。下面是兴平大蒜的种植面积和产量情况统计表。 种植面积/亩 0 5 10 15 20 25 30 35 … 产量/吨 0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 … （1）判断兴平大蒜的种植面积与产量是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中兴平大蒜的种植面积与产量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）若种植兴平大蒜8亩，则产量是（    ）吨；若想实现兴平大蒜的产量是14.3吨，则需要种植（    ）亩。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·浙江温州·期中）一只兔子和一只小狗从同一地点出发，同时向同一方向运动，同时到达终点。观察图像可知，原本跑得快的兔子由于途中休息了( )分钟，在第( )分钟被小狗追上。照这样的速度，小狗12分钟能跑( )米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山东德州·期中）下图是两辆汽车所行驶的路程与相应时间关系的图像，下列关于图像描述错误的是（    ）。 A．两辆汽车行驶的路程与时间都成正比例。 B．从图像上看甲车的速度比乙车快。 C．甲车从东城到西城（20千米）大约需要17分钟。 D．乙车10分钟行驶了12千米。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）（1）香蕉的总价和购买的数量成正比例吗？苹果呢？ （2）从图象上看，苹果和香蕉哪种水果贵一些？你是怎么看出来的？ （3）利用图象估计苹果、香蕉各买2.5千克总价是多少元？ （4）你还发现了什么？ 考点讲练三 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·内蒙古通辽·期中）下面是同一时间、同一地点测得不同树高和它们影长的记录表。 树高/m 1 2 3 4 5 6 … 影长/m 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 … （1）在图中描出树高和影长所对应的点，再按顺序连接起来。 （2）根据表中数据，树高与影长成（    ）比例。 （3）在这一时刻测得一棵树影子长7.2米，这棵树高（    ）米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·福建泉州·期中）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 (1)点A表示的意思是：______________________________ (2)从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成( )比例关系。 (3)如果汽车行驶120km，需要耗油( )L。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）妙妙和甜甜分别做一个相同的许愿瓶（所折纸星星的数量相同），当妙妙折了所有纸星星的时，甜甜还有没有折，当妙妙折完全部的纸星星时，甜甜还有32颗纸星星没有折，则两人分别要折多少颗纸星星？ 【变式3】（难度：☆☆☆☆）秋季运动会上六一班的萌萌、路佳、王玉三人一起进行百米赛跑。如果当萌萌到达终点时，路佳距终点还有10米，王玉距终点还有20米，那么当路佳到达终点时，王玉距终点还有（    ）米。 A．10 B． C． D．无法确定 考点讲练四 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邢台·期中）爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东济南·期中）有两个相关联的量，它们的关系如图。这两个相关联的量属于正比例关系的是（    ）。 A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下大米质量 D．小明的身高与跳高的高度 【变式2】（难度：☆☆☆）把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。 底面积/cm2 5 10 20 30 60 水面高度/cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成（    ）比例关系。 （3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是（    ）厘米。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）下列说法中正确的是（    ）。 A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 考点讲练五 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东揭阳·期中）一间卧室用边长3分米的正方形地砖铺地，需要640块，如果改用面积是16平方分米的正方形地砖，需要地砖多少块？（用比例的知识解答） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）两个互相啮合的齿轮，主动轮有60个齿，每分钟转80圈，从动轮有20个齿，每分钟转多少圈？（用比例解决问题） （1）写出本题中变化的两个量之间的关系式_____________________。因此，本题中变化的两个量成（    ）比例。 （2）解答： 【变式2】（难度：☆☆☆）某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。 （1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？ （2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？ 【变式3】（难度：☆☆☆）昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答） 奥数拓展一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆）如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个……正方形（如图）。 (1)把表格填完整。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（dm） 12 6 4 ( ) … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 ( ) … 所有正方形的总面积 144 72 48 ( ) … (2)正方形个数为6的时候，每个小正方形的边长是( )分米，每个小正方形的面积是( )平方分米。 (3)正方形的个数与边长( )；正方形的边长与总面积( )。（填“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”） (4)若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系：( )。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）若则x和y成( )比例关系；若，则x和y成( )比例关系。（x、y均不为0） 奥数拓展二 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①     ②30：      ③1：        ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山西运城·期中）飞云楼被誉为“中华第一木楼”，高约23米，宽约12米，是全国重点文物保护单位。六（1）班学生在实践项目中，制作的“飞云楼”模型高度与实际高度的比是1∶115，那么“飞云楼”模型的高度约是多少分米？（用比例解） 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【变式3】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级上·广东江门·期中）在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 奥数拓展三 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·四川绵阳·期中）共享单车的广泛使用，为保卫蓝天贡献了一份力量。下图是某自行车厂每天生产数量和生产天数的对应数据。 每天生产数量/辆 80 100 128 160 200 生产天数/天 80 64 50 40 32 (1)表中两个相关联的量是( )和( )，这两个相关联的量成( )比例关系。 (2)如果有批订单的工期是25天，那么每天要生产( )辆共享单车才能如期完工。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·随堂练习）用一批纸装订练习本，每本的页数和可装订的本数如下表，填表并回答问题。 每本的页数 8 10 16 20 25 可装订的本数 500 （1）把表格填写完整。 （2）每本的页数和可装订的本数成什么关系？ （3）若每本的页数为50，则可以装订多少本？ （4）若需要装订125本，每本装订多少页？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（2025·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，现两人合作，完工时甲完成了这批零件的还多66个。这批零件共多少个？ 【变式3】（难度：☆☆☆☆☆）（2025·四川遂宁·小升初真题）下列判断中正确的是（    ）。 ①因为周长相等的两个圆，面积一定相等，所以周长相等的两个长方形，面积也一定相等； ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。 ③＝＋5.4（＋5.4≠0），当一定时，和成反比例。 ④一个圆的半径增加10%，它的面积增加21%。 ⑤甲数比乙数多，乙数比甲数少。 A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．③④⑤ 奥数拓展四 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2025·广东揭阳·小升初模拟）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（2025·云南昭通·小升初模拟）灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·假期作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【变式3】（难度：☆☆☆☆）某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？ 1．（24-25六年级下·北京·期中）下面两种相关联的量中，成正比例关系的是（    ）。 A．读一本书，已读页数和未读页数 B．速度一定，路程和时间 C．圆柱体积一定，圆柱的底面积和高 D．张红的身高和年龄 2．（24-25六年级下·河南许昌·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，长方形的长和宽 B．行驶速度一定，行驶路程与时间 C．被减数一定，减数和差 D．工作总量一定，工作效率和时间 3．（24-25六年级下·河北廊坊·期中）下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 4．（22-23六年级下·浙江杭州·期中）如果，那么A和B（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能判断 5．（2024·海南省直辖县级单位·小升初真题）在100克的糖水中，糖与糖水的比是2∶10，如果再加入10克糖，要使得糖水浓度不变，应加入（    ）克水。 A．10克 B．20克 C．40克 D．50克 6．拍照时，从人的头顶部到底边的距离与整张照片的高度的比是黄金比（0.618∶1）时，给人的感觉是最舒服的，这张照片正好符合黄金比，从人的头顶部到底边的距离约是（    ）厘米。（得数保留两位小数） A．0.50 B．54.94 C．5.49 D．5.50 7．（25-26六年级上·河北石家庄·期中）在“测量旗杆高度”实践课后，小东和小明按同样的方法测量马路边一个广告牌子的高度，小东量得广告牌子的影长是1.5m，小明的影长是0.8m。已知小明的身高是1.6m，设这个广告牌子的高度是xm，可以列出一个比例是( )，解这个比例得到广告牌子的高度是( )m。 8．（24-25六年级下·北京·期中）春天来了，明明和爸爸骑着自行车去郊游。自行车两个车轮的直径都是70cm，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。 (1)如果前齿轮转10圈，则后齿轮转______圈。 (2)自行车工作的原理是：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后车轮转动，后车轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。如果爸爸每分钟能蹬90圈，则他骑行1小时能行驶______km（取，得数保留整数）。 9．（24-25六年级下·江苏淮安·期中）用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。上午11：00在操场上，安心测得50厘米的一根木棒影长是25厘米。同时，万安测得旗杆的影长是5.5米，那么学校旗杆的高度是( )米。 10．（23-24六年级下·浙江杭州·期中）李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 11．甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 12．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个三角形的底一定，它的高与面积成正比例关系。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·吉林松原·期中）一个班的出勤人数和缺勤人数成正比例关系。( )（判断对错） 14．（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）同一时间，同一地点测得三棵树的树高及影长如下表，根据数据完成下面各小题。 树高/米 2 3 6 9 影长/米 0.4 0.6 1.2 1.8 （1）在图中描出树高与对应影长的点，然后把它们连起来并延长，观察图象的特点。 （2）同时同地测得一座楼房的影长为1.7米，利用图象推断这座楼房的高度为（    ）米。 （3）这里的树高和影长成（    ）比例。根据数据或图象写出一个比例是（    ）。 15．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）某工程队铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天铺144米，这样多少天可以完成铺设任务？（用比例解） 16．（24-25六年级下·四川乐山·期中）一辆自行车的车轮半径是4分米，前、后齿轮齿数的比是3∶2，这辆自行车蹬20圈能走多少米？（π取3.14） 17．（24-25六年级下·山东德州·期中）探秘奶茶中的糖度。 奶茶是饮品的一种，深受很多消费者的喜爱。你知道吗？以一杯500毫升的奶茶为例，全糖是指含糖40克，七分糖是指含糖25克，五分糖是指含糖15克，三分糖是指含糖10克。《中国居民膳食指南》中建议“每人每天的糖摄入量不要超过50克，最好控制在25克以下。” （1）小明点了一杯600毫升的奶茶，选择了七分糖，这杯奶茶中含糖多少克？（用比例解） （2）为了健康着想，你会建议小明选择几分糖的奶茶？请用数据说话，写出你的思考过程。 18．（24-25六年级下·山东聊城·期中）纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计，少浪费1500张纸，就可以救1棵树，节约6吨纸，相当于拯救了120棵树。学校打印室新购进一批白纸，计划每天用100张，可以用32天。由于注意了节约用纸，实际每天少用20张，实际用了多少天？（用比例解答） 19．（24-25六年级下·河南南阳·期中）聪聪在市图书馆借了一本《名人传记》，如果每天看16页，15天能全部看完。如果在规定期限内将书归还，则不必交延时服务费，这样聪聪每天至少要看几页？（用比例的知识解答） 20．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $