专题03 方程的建模与应用 2026年广东中考数学9分专题总复习

**基本信息** 聚焦方程建模与实际应用，按“一元一次→二元一次→分式→一元二次”递进，覆盖工程、行程等高频场景，强化规范解题与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元一次方程|6题|工程问题、行程问题、经济成本|从简单等量关系到函数关系建立| |二元一次方程组|8题|采购方案、利润优化|多变量问题的消元建模| |分式方程|3题|变速行程、工作效率|含分式等量关系的建模与验根| |一元二次方程|10题|增长率、利润最值、传播问题|二次关系的实际应用与最值求解|

专题03 方程的建模与应用 广东中考数学9分专题总复习 【考情】 近几年高频考点 难度中等 【备考策略】 强化“设、列、解、验、答”的规范书写。分式方程必须验根，且答案要符合实际意义。 知识考点一、一元一次方程解决问题 1．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 2．【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 3．甲、乙两工程队同时维修一段铁路，甲工程队从A端开始维修，维修期间因机器检修停工了一段时间，乙工程队从B端开始维修，两工程队30天恰好完成这项工程．两工程队已经完成的工作量（米）与施工天数（天）之间的关系如图所示，请结合图象中的信息回答下列问题： (1)甲工程队中间停工了 天； (2)甲工程队施工前10天维修了 米，乙工程队的维修速度是 米/天，两工程队需要维修的铁路共 米； (3)试判断甲工程队停工前后的维修速度是否相同，并通过计算说明理由； (4)如果乙工程队的工作效率从一开始就提高了，那么甲、乙两工程队可以提前几天完成这段铁路的维修？ 4．开心玩具厂某天生产某种玩具的总成本为C（元），生产数量为n（件）．生产总成本由固定成本与可变成本相加而成，其中固定成本为3000元，生产每件玩具的可变成本为50元． (1)试求出生产总成本C与生产数量n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）； (2)如果该天的生产总成本是46000元，那么这一天生产了多少件该种玩具？ (3)若该种玩具每件的售价为110元，且该天生产的该种玩具全部售出，试写出这一天的利润P（元）关于这一天生产数量n（件）的函数关系式，并求出这一天至少生产多少件该种玩具，才能不亏本． 5．为促进学生全面发展，某学校在春假期间组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发1小时后，学校派轿车以75千米/时的速度沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程s（千米）与大巴车行驶的时间t（小时）的对应关系，如图所示． (1)大巴车的速度为_____________千米/时； (2)轿车出发多长时间后追赶上大巴车？ (3)分别求、所在直线的解析式． 6．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求A，B两地之间的距离及a的值； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 知识考点二、二元一次方程组解决问题 7．综合与实践：某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息： 市场调研 信息一 某体育用品商店新购进4个篮球和5个足球，共付款980元，已知每个篮球比每个足球贵20元． 信息二 该体育用品商店将足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个足球的利润仍不低于26元． 问题解决 (1)设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为__________元（用含的式子表示）； (2)求每个篮球和足球的进价； (3)求出信息二中的足球的最多打多少折． 8．近几年，郑州市充分挖掘城市道路交叉口，建设了很多“口袋公园”，受到社会各界的一致好评．某城区计划再建一个口袋公园，准备购买甲、乙两种景观树苗．已知购买2棵甲种景观树苗和4棵乙种景观树苗共需350元，购买6棵甲种景观树苗和3棵乙种景观树苗共需420元． (1)求购买一棵甲种景观树苗和一棵乙种景观树苗分别需要多少元； (2)经核算，需要购买这两种景观树苗共80棵，且乙种景观树苗的数量不超过40棵．现商家推出两种购买方案． 方案一：购买一棵乙种景观树苗赠送一棵甲种景观树苗； 方案二：按总价的八折付款． 请通过计算说明选择哪种方案购买更实惠． 9．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 10．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的单价； (2)超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 11．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．现有甲、乙两种型号的机器人可供选择，每台价格分别为5万元、3万元．调查发现，这两种型号机器人每小时分拣快递量共1800件，甲4小时分拣的快递量与乙5小时分拣的快递量相同． (1)求甲、乙两种型号机器人每小时分拣的快递量． (2)快递公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件，问购买几台甲型号机器人能使所花的总费用最少？ 12．开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中，两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别价格 款汴绣 款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 (1)第一次小杰用14200元购进了，两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； (2)在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求种汴绣产品最低打几折？ 13．2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 14．有着“中国乌天麻之乡”美誉的昭通开始探索天麻林下仿野生种植，如今实现种子繁育、规范种植、精深加工、品牌营销等全产业链发展．请根据以下素材，完成探究任务． 制定采购方案 项目背景 昭通某土特产店向种植户采购一批林下仿野生种植天麻深加工成品，采购“特级天麻”“一级天麻”两种天麻．    素材1 ①该土特产店采购了特级天麻和一级天麻共花费了50000元； ②已知采购特级天麻比采购一级天麻产品多用7000元． 素材2 由于销售比较好，该土特产店计划再次采购两种天麻共． 素材3 两次采购后，要求“特级天麻”的总数量不少于“一级天麻”总数量的． 探究任务 (1)任务1：分别求出“特级天麻”“一级天麻”两种天麻的价格； (2)任务2：用哪种采购方案费用最少，最少费用是多少？ 知识考点三、分式方程解决问题 15．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 16．江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 17．列方程解下列问题： 某农机租赁公司有甲、乙两种耕地机，甲耕地机比乙耕地机每小时少耕地公顷．甲耕地机小时的耕地面积比乙耕地机小时的耕地面积多公顷． (1)求甲、乙耕地机每小时的耕地面积各是多少？ (2)现甲、乙耕地机需分别独立完成公顷的耕地任务．为了按时完成任务，两耕地机每小时的耕地面积都有所增加．乙耕地机每小时增加的耕地面积是甲耕地机每小时增加的耕地面积的倍，两耕地机完成耕地任务一共用了小时．求甲耕地机每小时增加的耕地面积是多少？ 知识考点四、一元二次方程解决问题 18．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 19．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 20．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 21．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 22．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 23．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 24． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 25．根据以下素材，探究完成任务． 背景 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力． 素材一 某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为50元/件时，第一周销售50件． 素材二 第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72件． 素材三 经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件． 解决问题 (1)任务一: 求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)任务二: 第四周，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？ 26．综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； (2)任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． (3)任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 27．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程的建模与应用 广东中考数学9分专题总复习参考答案及解析 知识考点一、一元一次方程解决问题 1．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 2．【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】(1)两人合作需要天完成全部广告牌 (2)师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元 (3)师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【分析】（1）设两人合作需要x天完成，由题意得：，进一步求解即可； （2）设两人合作还需y天完成，由题意得：，再进一步求解即可； （3）设置合理问题即可. 【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. 3．甲、乙两工程队同时维修一段铁路，甲工程队从A端开始维修，维修期间因机器检修停工了一段时间，乙工程队从B端开始维修，两工程队30天恰好完成这项工程．两工程队已经完成的工作量（米）与施工天数（天）之间的关系如图所示，请结合图象中的信息回答下列问题： (1)甲工程队中间停工了 天； (2)甲工程队施工前10天维修了 米，乙工程队的维修速度是 米/天，两工程队需要维修的铁路共 米； (3)试判断甲工程队停工前后的维修速度是否相同，并通过计算说明理由； (4)如果乙工程队的工作效率从一开始就提高了，那么甲、乙两工程队可以提前几天完成这段铁路的维修？ 【答案】(1)10 (2)300，20，1300 (3)甲工程队停工前后的维修速度不同，见解析 (4)甲、乙两工程队可以提前5天完成这段铁路的维修 【分析】（1）由图象可知，甲工程队停工了天； （2）由图象求解即可； （3）计算出甲工程队停工前后的维修速度即可求解； （4）设甲、乙两工程队完成这段铁路的维修需要t天，根据题意列一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲工程队停工了(天)； （2）解：由图象可知，甲工程队前10天维修了300米；乙工程队30天维修了600米， ∴乙工程队的维修速度是 (米/天)； 两工程队需要维修的铁路共 (米)； （3）解：甲工程队停工前后的维修速度不同， 理由如下： 由图象可知，停工前的10天内，甲工程队的维修速度为(米/天)， 从第20天至第30天，甲工程队的维修速度为(米/天)， ∴甲工程队停工前后的维修速度不同； （4）解：由（2）可知，乙工程队的维修速度为20米/天， 当工作效率提高了时，乙工程队的维修速度为(米/天)， 由（3）可知，甲工程队第20天后的维修速度为40米/天， 设甲、乙两工程队完成这段铁路的维修需要t天， 则， 解得， ∴ (天)， ∴甲、乙两工程队可以提前5天完成这段铁路的维修． 4．开心玩具厂某天生产某种玩具的总成本为C（元），生产数量为n（件）．生产总成本由固定成本与可变成本相加而成，其中固定成本为3000元，生产每件玩具的可变成本为50元． (1)试求出生产总成本C与生产数量n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）； (2)如果该天的生产总成本是46000元，那么这一天生产了多少件该种玩具？ (3)若该种玩具每件的售价为110元，且该天生产的该种玩具全部售出，试写出这一天的利润P（元）关于这一天生产数量n（件）的函数关系式，并求出这一天至少生产多少件该种玩具，才能不亏本． 【答案】(1)； (2)860； (3)函数关系式为，至少生产50件 【分析】（1）首先根据总成本固定成本可变成本，得到第一问的函数关系式； （2）再代入已知总成本，解方程得到第二问的生产数量； （3）最后根据利润=总收入-总成本得到利润函数，利用不亏本即利润不小于0，解不等式得到最低生产数量． 【详解】（1）解：由题意可知，固定成本为3000元，生产n件玩具的可变成本为元， 因为总成本固定成本可变成本，所以． （2）解：把代入，得， 解得， 答：这一天生产了860件该种玩具． （3）解：由题意，总收入为元，总成本为元， 利润总收入总成本， 因此， 不亏本时需要满足，即， 解得， 答：利润关于的函数关系式为，这一天至少生产50件该种玩具才能不亏本． 5．为促进学生全面发展，某学校在春假期间组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发1小时后，学校派轿车以75千米/时的速度沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程s（千米）与大巴车行驶的时间t（小时）的对应关系，如图所示． (1)大巴车的速度为_____________千米/时； (2)轿车出发多长时间后追赶上大巴车？ (3)分别求、所在直线的解析式． 【答案】(1)大巴车的速度为50千米/时 (2)轿车出发后追上大巴车 (3)直线所在直线的函数解析式为，直线所在直线的函数解析式为 【分析】（1）由函数图象可知大巴车1小时行驶50千米，再根据速度、路程、时间的关系即可解答； （2）设轿车出发后，追上大巴车，然后根据行程问题列方程求解即可； （3）由题意可得直线经过点，利用待定系数法解答即可求解；再由题意可求得直线经过点，，同样利用待定系数法解答即可求解； 【详解】（1）解：由图象可知，直线表示大巴车的行驶过程， 由题意知，图象经过点，表示大巴车行驶1小时，行驶的路程是50千米， ∴大巴车的速度为：（千米/时）． （2）解：设轿车出发后，追上大巴车， 由题意得，， ， ∴轿车出发后追上大巴车． （3）解：由图象可知，直线经过点， 设直线所在直线的解析式为， 将代入，得：． ， ∴直线所在直线的函数解析式为， 由（2）可知，轿车出发2小时后追上大巴车，此时大巴车行驶时间为（小时），路程为（千米）， ∴点A的坐标为， 又∵轿车在大巴车出发1小时后出发， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为． 将，代入上式，得， 解得， ∴直线所在直线的函数解析式为． 6．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求A，B两地之间的距离及a的值； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 【答案】(1)A，B两地之间的距离是60千米，； (2) (3)货车出发小时两车第一次相距15千米 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货物耗时15分钟， ∴； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得； 货车出发小时两车第一次相距15千米． 知识考点二、二元一次方程组解决问题 7．综合与实践：某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息： 市场调研 信息一 某体育用品商店新购进4个篮球和5个足球，共付款980元，已知每个篮球比每个足球贵20元． 信息二 该体育用品商店将足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个足球的利润仍不低于26元． 问题解决 (1)设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为__________元（用含的式子表示）； (2)求每个篮球和足球的进价； (3)求出信息二中的足球的最多打多少折． 【答案】(1) (2)每个篮球的进价为120元，每个足球的进价为100元 (3)七折 【分析】（1）根据每个篮球比每个足球贵20元，列出代数式，即可求解； （2）根据购进4个篮球和5个足球，共付款980元，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据每个足球的利润仍不低于26元，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个篮球的进价为元，每个篮球比每个足球贵20元，则每个足球的进价为元； （2）根据题意得，解得， 所以（元）， 答：每个篮球的进价为120元，每个足球的进价为100元； （3）设信息二中的足球打折， 由题意可得， 解得， 答：信息二中的足球最多打七折． 8．近几年，郑州市充分挖掘城市道路交叉口，建设了很多“口袋公园”，受到社会各界的一致好评．某城区计划再建一个口袋公园，准备购买甲、乙两种景观树苗．已知购买2棵甲种景观树苗和4棵乙种景观树苗共需350元，购买6棵甲种景观树苗和3棵乙种景观树苗共需420元． (1)求购买一棵甲种景观树苗和一棵乙种景观树苗分别需要多少元； (2)经核算，需要购买这两种景观树苗共80棵，且乙种景观树苗的数量不超过40棵．现商家推出两种购买方案． 方案一：购买一棵乙种景观树苗赠送一棵甲种景观树苗； 方案二：按总价的八折付款． 请通过计算说明选择哪种方案购买更实惠． 【答案】(1)购买一棵甲种景观树苗和一棵乙种景观树苗分别需要35元，70元 (2)时，选择方案二购买更实惠；时，两种方案一样实惠；时，选择方案一购买更实惠 【分析】（1）设购买一棵甲种景观树苗需要元，一棵乙种景观树苗需要元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买乙种景观树苗棵，则购买甲种景观树苗棵，方案一需要的费用为（元），方案二需要的费用为，再列方程或不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一棵甲种景观树苗需要元，一棵乙种景观树苗需要元． 根据题意，得，解得 答：购买一棵甲种景观树苗和一棵乙种景观树苗分别需要35元，70元； （2）解：设购买乙种景观树苗棵，则购买甲种景观树苗棵． 方案一需要的费用为（元）， 方案二需要的费用为（元）， 当，即时，选择方案二购买更实惠； 当，即时，两种方案一样实惠； 当，即时，选择方案一购买更实惠． 9．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 10．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的单价； (2)超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 (2)购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，列二元一次方程组即可解答； （2）设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w，根据题意列不等式求得的取值范围，再用表示，根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，， 解得， 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元； （2）解：设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w， 根据题意得，， 解得， 由题意得， ，w随m的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为， 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 11．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．现有甲、乙两种型号的机器人可供选择，每台价格分别为5万元、3万元．调查发现，这两种型号机器人每小时分拣快递量共1800件，甲4小时分拣的快递量与乙5小时分拣的快递量相同． (1)求甲、乙两种型号机器人每小时分拣的快递量． (2)快递公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件，问购买几台甲型号机器人能使所花的总费用最少？ 【答案】(1)甲型号机器人每小时分拣的快递量是1000件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是800件． (2)购买3台甲型号机器人能使所花的总费用最少． 【分析】（1）设甲型号机器人每小时分拣的快递量是件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是件，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买台甲型号机器人，则购买乙机器人台，先列不等式求出的取值范围，再设购买两种型号机器人总费用为万元，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型号机器人每小时分拣的快递量是件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是件． 根据题意，得， 解得， 答：甲型号机器人每小时分拣的快递量是1000件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是800件． （2）解：设购买台甲型号机器人，则购买乙机器人台． 根据题意，得， ． 设购买两种型号机器人总费用为万元，则 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小． 答：购买3台甲型号机器人能使所花的总费用最少． 12．开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中，两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别价格 款汴绣 款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 (1)第一次小杰用14200元购进了，两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； (2)在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求种汴绣产品最低打几折？ 【答案】(1)A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件 (2)A种汴绣产品最低打9折 【分析】（1）根据总件数和总进价两个等量关系列二元一次方程组求解； （2）根据总利润不低于3140元的不等关系列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款汴绣购进件，B款汴绣购进件． 根据题意可得： 解得 答：A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件． （2）解：设A种汴绣产品打折． 根据题意，总利润不低于3140元， 列不等式得： 解得： 答：A种汴绣产品最低打9折． 13．2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元 (2) 费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为310万元 【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，根据“购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案，再利于总价=单价×数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元； （2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取8，9， ∴共有两种进货方案， 方案1：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案2：购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； ∵， ∴费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为万元． 14．有着“中国乌天麻之乡”美誉的昭通开始探索天麻林下仿野生种植，如今实现种子繁育、规范种植、精深加工、品牌营销等全产业链发展．请根据以下素材，完成探究任务． 制定采购方案 项目背景 昭通某土特产店向种植户采购一批林下仿野生种植天麻深加工成品，采购“特级天麻”“一级天麻”两种天麻．    素材1 ①该土特产店采购了特级天麻和一级天麻共花费了50000元； ②已知采购特级天麻比采购一级天麻产品多用7000元． 素材2 由于销售比较好，该土特产店计划再次采购两种天麻共． 素材3 两次采购后，要求“特级天麻”的总数量不少于“一级天麻”总数量的． 探究任务 (1)任务1：分别求出“特级天麻”“一级天麻”两种天麻的价格； (2)任务2：用哪种采购方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克200元、100元 (2)采购“特级天麻”、“一级天麻”时，采购费用最少为28000元 【分析】（1）设“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克x元、y元，根据素材1列方程组求解即可； （2）设采购“特级天麻”，则采购“一级天麻”为，求出a的取值范围，设第二次采购的总费用为w元，求出w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克x元、y元， 由题意得， 解得． 答：“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克200元、100元； （2）解：设采购“特级天麻”，则采购“一级天麻”为， 由题意得 解得． 设第二次采购的总费用为w元， 则， 由于，随的增大而增大， 则当时，最小，最少费用为28000元； 答：采购“特级天麻”、“一级天麻”时，采购费用最少为28000元． 知识考点三、分式方程解决问题 15．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； （2）解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 16．江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 17．列方程解下列问题： 某农机租赁公司有甲、乙两种耕地机，甲耕地机比乙耕地机每小时少耕地公顷．甲耕地机小时的耕地面积比乙耕地机小时的耕地面积多公顷． (1)求甲、乙耕地机每小时的耕地面积各是多少？ (2)现甲、乙耕地机需分别独立完成公顷的耕地任务．为了按时完成任务，两耕地机每小时的耕地面积都有所增加．乙耕地机每小时增加的耕地面积是甲耕地机每小时增加的耕地面积的倍，两耕地机完成耕地任务一共用了小时．求甲耕地机每小时增加的耕地面积是多少？ 【答案】(1) 甲耕地机每小时耕地公顷，乙耕地机每小时耕地公顷 (2) 甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设甲每小时耕地面积公顷，则乙耕地机每小时耕地公顷，列出方程，即可； （2）甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷，则乙耕地机每小时增加的耕地面积是公顷， 提速后甲每小时耕地公顷，乙每小时耕地公顷，列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设甲每小时耕地面积公顷， ∴乙耕地机每小时耕地公顷， 由题意列方程得： ， 解得：， ∴乙耕地机每小时耕地公顷， 答：甲每小时耕地面积公顷，乙耕地机每小时耕地公顷． （2）解：设甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷， ∴乙耕地机每小时增加的耕地面积是公顷， ∴提速后甲每小时耕地公顷，乙每小时耕地公顷， 列方程为： ， 整理得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷． 知识考点四、一元二次方程解决问题 18．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 【答案】(1)每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元 (2)每面旗应降价6元 【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案； （2）设每面旗应降价元，由题意，得，尽可能让利于顾客，需降价更多，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 答：如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元； （2）解：设每面旗应降价元，由题意，得， 整理得， 解得． 尽可能让利于顾客， ． 答：每面旗应降价6元． 19．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 20．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 21．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑 (2)三轮传播后，被感染的电脑共有3456台 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有，再解方程求出满足条件的x的值即可； （2）将代入中计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 根据题意得：，即， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑； （2）解：由题意可知，， 由（1）知， 则（台）， 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台． 22．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 23．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【答案】(1) (2)2万元 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解； （2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：下调后每架无人机的售价为2万元． 24． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)30元 (3)能；10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； （2）解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； （3）解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 25．根据以下素材，探究完成任务． 背景 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力． 素材一 某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为50元/件时，第一周销售50件． 素材二 第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72件． 素材三 经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件． 解决问题 (1)任务一: 求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)任务二: 第四周，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】(1)第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率 (2)当该坦克模型每件降价1元时获利最大，最大利润为1444元 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据题意列出方程求解x的值即可； （2）设该坦克模型每个的售价降价m元，根据题意写出利润与m函数关系式，根据函数开口方向以及函数顶点坐标判断最大利润所对应得值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 整理得，， 解得（不符合题意，舍去）， 所以第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为． （2）解：设每件降价m元时，可获利y元， 则， ， 所以当该坦克模型每件降价1元时获利最大，最大利润为1444元． 26．综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； (2)任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． (3)任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 【答案】(1)，； (2)每月利润能达到3750元，枕头的售价为元； (3)40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：枕头的实际售价为元； 枕头的销售量为个； （2）解：根据题意得，， 整理得，， 解得，，， ∵进货不超过200个， ∴， 解得，， ∴， ∴此时枕头的售价为元； （3）解：设利润为元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4000元； ∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元． 27．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $