专练35 数形结合(一)函数值的大小比较&专练36 数形结合(二)二次函数图象与系数a，b，c的关系-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

线于点M,则EM=号AE=1,-2x. ,∠EMB=∠HBC=90°，且CHI 知能检测 BE,.△EMBn△HBC,B 1.分别延长AE,DC交于点K, △ABEP△KCE, 欲BH·M=EM·BC=2, .AE:EK=BE:CE,E是BC中 点，则BE=CE,AE=EK, 易证△BGHD△BME.·B .GH平分AE,.EK=AE= BE·G=BH·BM=2 2AF,FK=3AF, ,AG∥HK,.△AGF∽△KHF, 知能检测 ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. 1.过点P作AD的垂线MN,交AD2.(①D设EP-x,则PD=2,PA=4x, 于点M,交BC于点N, 易证△ABF≌△DAP, 易证△APM△PEN, .'.AF=DP=2x,.'.PF=2x=AF. (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, 兴易正既器 DF=√2DP,∠BDF=∠CDP, .AM-AD=105 PN CD 63' △CDPn△BDF,第-部=E, 路 BF=ECR部-am=4, 2.过点E作MN∥AB分别交AD, ∴.CP=2W2. BC于点M,N,过点A作AGI 专练29全等与相似 BD于点G,则△EFNO△AEM, 典例导练 △EFHo△AEG.∴A是 EH_EF (1)PQ-BP+DQ (2)①△BAMC∽△CAQ,△DANC∽ EN EN CD 4 AMBN BC3' △CAP,△ANM∽△APQ.证明： EH=专G易证治-器 △BAMP△CAQ ,四边形ABCD是正方形，∴∠ABM 青a0子ac器0 4 =∠ACQ-∠BAC=45°，AC=/2AB, .∠BAC=∠PAQ=45,.∴∠BAM= 专练8相似与特殊图形（五）正方形 ∠CAQ,∴.△BAM∽△CAQ,相似比 典例导练 为BA:CA=1:V2, 过点F作FH⊥BC于点H, ,∠DCH=90°，CF平分∠DCH, ②易证△DANn△CAP,器器 ∴∠FCH=2∠DCH=45,FH -号，由(2i证ABAM△CAQ, =CH,易证△BAE∽△HEF, ..AB:EH=BE:FH,..4:(4-x+ 岩提岩器， FH)=x:FH,∴.FH=x, :∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ y号×cXFH=40z△Q冷号迪河知 73 PQ=BP+DQ-4+6-100 N_解得：m=0或m=2. 知能检测 号M-5n 1.由题意，可设顶点式为y=a(x一 2)2-1,将(0,3)代入得，4a-1= 专练30相似之类比探究 3,解得a=1,∴.抛物线的解析式 典例导练 (1)2(2)2 为y=(x-2)2-1. 2.根据题意，可知抛物线的对称轴 (3)如图，过点P作DP⊥AB于点P, 为直线x=4,抛物线与x轴的两 DQLAC于点Q,∴.∠DPA=∠DQA 交点坐标为(0,0)，(8,0)， =∠A=90°，∴.四边形APDQ是矩 设抛物线解析式为y=a(x一4)2 形DP=AQ,Q=P.“品 +2,把(0,0)代入得16a=-2, aCD a BDb 方CBa十b'a+6DP/ 解得a=一 8,所以抛物线解析 AC,DQ∥AB,.△DQCn△BAC, 式为y=一 8x2+x △Pn△CB器需光 专练32求二次函数解析式（二）】 畏0器B= aFb'DP= 隐含对称轴 典例导练 4b BD 根据题意，得抛物线的对称轴为直 BC ·AC=- 2a atb 线x= 2a =-1,.当x=-3和x =1时，函数值相等，由题意，得x= a 1和x=一3时，y=0,即抛物线经 (0当△DEF△ACB时，则哈 过(-3,0)，(1,0)， 怎即的专整理，得：a=6,CD 设抛物线解析式为y=a(x十3)(x -1),当x=一1时，y最小值=一4a= =号PC=5:②当△DEFn△ABC 一8，解得a=2,∴.抛物线解析式为 y=2.x2+4x-6. 时则怨即必异整理，得： a 知能检测 a=4b,∴.CD= 1.由题意，得22=2，联立2x 综上，当△DEF与△ABC相似时， 十x2=5,解得x1=1,x2=3, C-5或8 .A(1,0),B(3,0),把A(1,0)代 人y=a.x2-4a.x+3,解得：a=1. 专练31 求二次函数解析式（一）】 ∴.抛物线的解析式为y=x2一4x 顶点式 +3. 典例导练 2.由题意，得对称轴为直线x= y-x+mr+m-(x+2m) 4 一4m=2,点C坐标为(0，)，OC 2m m,由题意，得一十m=-（一m）. =0B=,OA=号，由抛物线对称 74 知能检测 3 轴可得， 2=2，解得：n=3,将 1.或-3 B(3,0)代人y=m.x2-4m.x+3, 2.y=-x2+2.x-3=-(x-1)2 得9m-12m+3=0,∴.m=1, 2,函数图象开口方向向下，对称 ∴.抛物线的解析式为：y=x 4x+3. 轴为直线x=1,顶点为(1，一2) 专练33求二次函数解析式（三） (1)当a-3>1时，此时x=a一3 图象变换 时，y取最大值一3，可得：一3 典例导练 -(a-3-1)2-2,解得a=5或3 示范题1y=x2+4x-5=(x十 (舍去) 2)2-9,设y=(x十2-)2-9， (2)当a+2<1,此时x=a十2 由题意，得(2-p)2一9=0，解得p=5 时，y取最大值一3，可得：一3= 或p=一1（舍去），故p的值为5. -(a+2-1)2-2,解得a=-2 示范题2287 或0（舍去）. 知能检测 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的最 1.y=3(x+1)2-1 大值为一2，此时不符合题意.综 2.y=- 2(x-1)2 上，a的值为5或-2. 专练35数形结合（一）》 3.y= -3r+29 3 函数值的大小比较 专练34 二次函数的区间最值 典例导练 与增减问题 3 典例导练 知能检测 y=x2+2mx+m+2=(x十m)2+21.C 十m一m2,对称轴为直线x=一m, 2.-1<n<0 (1)当-m<-2时，即m>2时，x 由题意，可知抛物线开口向上，对 =一2函数有最小值，则4一4m十m 称轴为直线x=1, +2=-3,解得m=3. A,B两点在对称轴x=1的两 (2)当-2≤-m≤2时，x=一m函 侧，则点A在x=1的右侧， 数有最小值，则2十m一m2=一3，解 .列不等式组 得m= 1+√/2I 2 (舍去)，= 2n+3>1 1-√21 n-1<1 2 1-(n-1)>2n+3-1 (3)一m>2时，x=2函数有最小 解得-1<n<0. 值，则4+4m+m十2=-3，解得m 专练36数形结合（二） 号（合去.综上所述，m的值为 二次函数图象与系数a,b,c的关系 典例导练 3或1② 2 C 75 知能检测 25)+20(-gr+50x）=-25 1.B2.B +2000x,令w=30000,则-25.x2+ 专练37 数形结合（三） 分析 2000x=30000,解得x=60或20， 一元二次方程的根 .28≤x<80,.60≤x<80时，安 典例导练 装成本不超过30000元. m2-3m(-1m0) (1)d= 专练39二次函数的应用（二） 、-m2+3m(0<m<3) 商品利润 (20是 <d<4时，点P的个数为 典例导练 1:@d-是时，点P的个数为2：③0< (1)当50≤x≤80时，y=210-(x 50),即y=260-x,当80<x≤140 d是时，点P的个数为3 时，y=210-(80-50)-3(x-80), 知能检测 即y=420-3x. 1.D2.D 260-x(50≤x≤80) ,y 专练38 二次函数的应用（一）】 420-3.x(80<x≤140) 图形面积 (2)当50≤x≤80时，销售利润： 典例导练 =(x-40)(260-x)=-x2+300x -10400;当80<x≤140时，w=(x (1)由题意得，AE=HG= 2AD -40)(420-3x)=-3.x2+540x xm,DC=AB=(20-号x) 16800.综上分析可知，0= -x2+300.x-10400(50≤80) =(100-x)m,故y=z(100- -3.x2+540.x-16800(80≤140) x)=-是2+100x,自变量x的取 (3)当50≤x≤80时，0=-x2十 300x-10400=-(x-150)2+ 值范围为：28≤x<80. 12100,当x=80时有最大值，最大 (2)由题意可得：y= 4x2+100x 值为：-(80-150)2+12100=7200 5(2-80x)=- (元)；当80<x≤140时，0=-3.x2 (x-40 +540.x-16800=-3(x-90)2+ +2000,28≤x<80,.当x=40 7500,当x=90时，有最大值，最大 时，y有最大值，最大值为2000m. 值为7500元.故售价定为90元时. (3)由题意得，S形EGH=AG·AE= 每个月可获得最大利润，最大利润 2(100-x)·7x=-最2+为7500元 专练40二次函数的应用（三） 25.x,SE形c=DC·DE=（100 实物抛物线 是）·=-日2+50，设安装 典例导练 (1)依题意，设该抛物线的表达式为 成本为w元，则u=40(-x2+ :y=a(x一4)2十3，由抛物线过点A, 76 有16a十3=2.解得a= 16该 1 =1,x2=3(不合题意，舍去)，∴点 P的坐标为(1,4)； 抛物线的表达式为y=一 16(x ②当PC=PH时，x2+(-x2+ 4)2+3. 2x)2=(-x2+3.x)2,整理，得2x3 (2)令y=0,得-6x-4)2+3=0, 4x2=0,x>0,.2x-4=0,解得 x=2,∴.P(2,3); 解得0=4+4V3,=4-43(C为 ③当PH=CH时，(-+3x)2 x轴正半轴，故舍去).∴点C的坐标 2x2,整理，得x2一6.x十7=0，解得 为(4+43,0)，∴.OC=4+43>10. x1=3一√2，x2=3十√2，由题意，得 小明此次试投的成绩达到优秀. 0<x<3,x=3-2,∴P(3-√2， 知能检测 (1)y=-2(x-1)2+8 42-2) (2)设抛物线的表达式为y=一2(x 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 1)2+k,把(3.5,0)代入可得=12.5， (2,3)或(3-√2,42-2). .解析式为y=-2(x一1)2+12.5， 知能检测 当x=0时，y=10.5. (1,1) 答：水管OA的高度调整为10.5m 专练42二次函数综合（二）】 专练41二次函数综合（一）】 抛物线与平行四边形 抛物线与特殊三角形 典例导练 典例导练 (1)易求点A,B的坐标：A(一3,0)， -1-b+c=0 B(1,0),由题意，得 (1)由题意，得 ,解 -9+3b+c= 2 b=2 a十b+2=0 a=- 得： ,∴.b=2,c=3; ,解得 c=3 9a-3b+2=0 4 b=一 3 (2),抛物线的函数表达式为：y= -x2+2x+3,.C(0,3),设直线BC ∴抛物线解析式为y=一 的解析式为y=k.x十3，将点B(3,0)代 4 3x+2; 入y=kx十3，解得：k=一1，.直线 (2)以AC为边或对角线分类讨论： BC的解析式为y=一x+3, A(一3,0)，C(0,2),抛物线y= 设点P(x,一x2+2x+3),则点H (x,一x+3),由点P、C、H的坐标 322、 3x十2的对称轴为x 4 得PH2=(-x2十3x)2,CP=2x2, -1,M(m,yu),N(-1,n),M= PC=x2+(-x2+2.x)2.分三种情 2 况： ①当PC=CH时，2.x2=x2+(一x2:①当四边形ACMN为平行四边形 +2x)2,整理，得x-4x3+3x2=0, m=0+2 时，AC平移到NM,有 ,x>0,.x2-4x十3=0，解得 yw=2十n 77 解得：m=2w=-9,即M(2,∴SAe=Sm十SE= 1 X2×6 :®当四边形ANM为平行+号×2×号号 10 四边形时，AC平移到MN,有 专练44二次函数综合（四） m=-3-1 抛物线与相似 ,解得：m=一4，yw= yy=n-2 典例导练 ,即M-4,):③当四边形 10 10Y (1)抛物线解析式为y=一x2+2x +3;点D的坐标为(4，-5)： AMCN为平行四边形时，有： -1_-3+0 (2祭存在最大值号此时点P的坐 2 2 ,解得：m=-2,y 标为(2,3).理由如下：过点P作PQ ym十n_0+2 2 2 ∥y轴交CD于Q,设P(p,一p+ =2,即M(-2,2) 2p十3)，则Q(p,-2十3)，∴.PQ= -p2+2p+3-(-2p十3)=-p2+ 综上所述，点M的坐标为（2， 4p,.PQ∥y轴，即PQ∥OC, 9)或(-4,9)或(-2.2) △PQN∽A0CN六哭. PQ 专练43二次函数综合（三） 面积问题 C0,300-82 典例导练 二+4=一(-2)2+4 3 3 ×2+2b+c=0 2 (1)由题意，得 ,解 :-1<0当p=2时然有最 1 2 ×82+86+c=6 大值，最大值为号一分+2p十3 b=-4 得： \c-6 ,.二次函数解析式为： 22+2×2+3=3,即此时点P 的坐标为(2,3). 专练45概率及其应用 (2)·二次函数的对称轴交x轴于 典例导练 C点.∴.C点的坐标为(4,0)，易求 BC所在的直线解析式为y=立x一 3 (2)画树状图略. 6,:E点是直线y号一6与二次 共有16种等可能的结果，其中小红 和小丽在相邻窗口取餐的结果有6 函数)=号-4红十6的图象的交 种，即①②、②①、②③、③②、③④、 ④③，.小红和小丽在相邻窗口取 3 点，x-6=22-4x+6,解 6 餐的概率为6一8 得：x1=3,x2=8(舍去)，当x=3时， 知能检测 y号×3-6=号(3，) (1)画树状图略. 7835 专练35 数形结合（一） 函数值的大小比较 【方法规律】通常先判断抛物线的开口方向，对称轴，从而根据抛物线上的，点到对称 轴的距离可以判断函数值的大小关系，也可由函数值的大小关系判断点到对称轴的距 离.数形结合的思想方法在二次函数解题中能大大简化运算过程 心典例导练 示范题使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 ↑ylm3 0.09 y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系0.0725 y=a.x+bx十c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水 0.06 的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据， 可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()》 25 5060x/度 A.37.5° B.40 C.42.5 D.45° 【思路点拨】方法一：数形结合：本题实质求对称轴的大致位置，由图象可判断二次函 数的开口向上，对称轴的位置在25~50之间，设对称轴为x=,由函数值的大小关系可 判断对应，点到对称轴的距离：50一m<m一25,60一m>m一25. 方法二：待定系数法：由二次函数的一般表达式，将三，点的坐标代入求解 知能检测 1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a,b为实数，a>0),已知点（一3，m),(2, n),(4,t)在该抛物线上，若3a十b=0,则m,n,t的大小关系为 ) A.t<n<m B.m<t<n C.n<t<m D.n<m<t 2.已知抛物线y=ax2-2ax十b(a>0)经过A(2+3,y),B(n一1，y2)两点.若A,B分 别位于抛物线对称轴的两侧，且yⅥ<y2,则n的取值范围为 .(请写出分 析过程) 36 专练36 数形结合（二）二次函数图象与系数a,b,c的关系 【方法规律】①a看方向；②ab看对称轴；③c看与y轴交，点；④a士b+c看x=士1；⑤ 4a十2b十c看x=2;⑥b2一4ac看与x轴交，点个数：⑦经过点得方程；⑧没过点得不等式. 典例导练 示范题二次函数y=a.x2十bx十c的图象如图所示，则下列结论：① abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤a+b<m(am+b)(m≠ 1)中正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【思路点拨】①由图象可知：图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1, ∴.a<0,c>0,b=-2a>0,abc<0,此结论正确.②当x=-1时，y<0,即a-b十c 0,∴.b>a十c,此结论错误；③由图象可知，当x=2时，y>0,∴.4a十2b十c>0,此结论正 确；④对称轴为x=1,∴.b=-2a.∴.2a十b=0,此结论正确；⑤.x=1时，y=a十b十c(最 大值)，x=m时，y=am2+bm十c,,'m≠1，∴.a十b+c>am2+bm+c=m(am十b)+c,.a十 b>m(am十b),故此选项错误. 知能检测 1.已知二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0;② 3>4ac:③a(m2-1)+b(m-1)<0(m≠1)：④关于x的方程|a.x2+bx+c=1有四个 根，且这四个根的和为4.其中正确的结论有 A.①②③ B.②③④ C.①④ D.②③ 第1题图 第2题图 2.如图所示是二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)图象的一部分，直线x=一1是对称轴，有 下列判断：①b-2a=0②4a-2b+c<0:③a-b十c=-9a;④若(-3，)，（号，w)是 抛物线上的两点，则y<2.其中正确的是 A.①②③ B.①③ C.①④ D.①③④