第五章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 二次函数单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第5章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A． B． C．2，12，20 D． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（     ） A．正方形周长y与边长x的关系 B．当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C．当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D．圆的面积S与半径r的关系 4．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．已知点，，都是抛物线（为常数）的点，则，，大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 7．老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 8．下列关于二次函数（为常数）的图像，有以下四个结论，其中正确的是（     ） ①开口向上；②一定过点；③一定与轴有两个交点；④顶点一定在抛物线上 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 9．如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系可近似看作二次函数（对称轴为直线），图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（     ） A．小球从开始接触弹簧就一直减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．当弹簧长度为时，小球速度为0 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 10．在二次函数（，，为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 给出下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若，且，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线表达式为______． 12．抛物线，当时，的最小值是________． 13．用一段长为的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为，面积为，则y关于x的函数解析式为________________． 14．如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 y 轴上，另两个顶点落在抛 物线上．按此规律类推，第2027 个正方形的边长是 __________． 15．抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在该函数图像上． 17．（9分）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 18．（8分）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 19．（8分）已知二次函数． (1)求该函数的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)根据图象，直接写出当时y的取值范围． 20．（8分）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 21．（8分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： (1)直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． (2)补全问题②的解答过程． (3)若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 22．（13分）综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 23．（13分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为．抛物线（m为常数）的顶点为P． (1)当时，求抛物线的顶点P的坐标； (2)当抛物线经过原点时，求m的值； (3)当抛物线的顶点P落在正方形的内部时，求m的取值范围； (4)当时，直接写出抛物线与正方形的边的交点个数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 二次函数单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第5章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A． B． C．2，12，20 D． 【答案】A 【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，再确定各项系数． 【详解】解：，二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从整式、自变量最高次数、二次项系数三方面逐一判断选项． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合题意； B选项含分式，不是整式，不符合题意； C选项，符合题意； D选项未限定，当时不是二次函数，不符合题意； 3．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（     ） A．正方形周长y与边长x的关系 B．当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C．当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D．圆的面积S与半径r的关系 【答案】D 【详解】解：A． 正方形周长与边长的关系式为，不是二次函数，不符合题意． B． 菱形面积一定时，由得，不是二次函数，不符合题意． C． 速度一定时，路程与时间的关系式为，不是二次函数，不符合题意． D． 圆的面积与半径的关系式为，是二次函数，符合题意． 4．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的正负确定抛物线开口方向及直线经过的象限，结合直线与轴交点坐标进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，直线与轴交点为 ∵选项D中直线与轴交于负半轴， 排除选项D； 当时，二次函数图象开口向上，一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴选项A中直线经过第二、四象限，的符号矛盾，选项B符合； 当时，二次函数 图象开口向下，一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴选项C中直线经过第一、三象限，的符号矛盾． 5．已知点，，都是抛物线（为常数）的点，则，，大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线顶点式确定开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ， ． 6．如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称性可确定另一根的范围，再由题意进一步缩小范围即可． 【详解】解：， 对称轴为， 方程的一个根在1和之间， 另一个根在和之间， 当时，， 这个根在和之间， 这个根更接近． 7．老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 8．下列关于二次函数（为常数）的图像，有以下四个结论，其中正确的是（     ） ①开口向上；②一定过点；③一定与轴有两个交点；④顶点一定在抛物线上 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据二次项系数可判断开口方向，则可判断①；求出时的函数值可判断②；利用判别式可判断③；求出顶点的横纵坐标，再把顶点的横坐标代入中求出对应的函数值即可判断④． 【详解】解：①∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，结论①正确． ②将代入函数解析式，， ∴函数图像一定过点，结论②正确． ③令，则， ， 当时，，函数图像与轴只有一个公共点， ∴结论③错误． ④二次函数顶点的横坐标为， 纵坐标为， 将代入， 得，与顶点纵坐标相等， ∴结论④正确． ∴结论正确的有①②④． 9．如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系可近似看作二次函数（对称轴为直线），图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（     ） A．小球从开始接触弹簧就一直减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．当弹簧长度为时，小球速度为0 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】B 【分析】先明确x的物理意义是弹簧被压缩的长度，弹簧实际长度等于原长减去x，结合二次函数图象的单调性判断小球速度变化趋势，判断A选项．二次函数开口向下，对称轴处v取最大值，对应，用弹簧原长减去该x值得到对应弹簧长度，判断B选项．图象中对应，计算对应弹簧长度，判断C选项．利用二次函数的对称性，找到与对应的v值相同的对称点对应的x值，再计算对应弹簧长度，判断D选项． 【详解】选项A：从图2的函数图象可知，x从0到时速度逐渐增大，后速度才逐渐减小， ∴小球接触弹簧后是先加速、后减速，并非一直减速，A错误． 选项B：二次函数在对称轴处取得最大值，也就是速度最大时，弹簧被压缩的长度． ∵弹簧原长为， ∴此时弹簧长度为，B正确． 选项C：弹簧长度为时，弹簧被压缩的长度， 从图象可知时小球速度才为0，C错误． 选项D：刚接触弹簧时对应压缩长度； 若弹簧长度为，对应压缩长度． 根据二次函数的对称性，对称轴为，关于对称轴的对称点是， 即和时速度相等， 处的速度和处速度不相同，D错误． 10．在二次函数（，，为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 给出下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若，且，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出二次函数的解析式，得到a，b，c的值，即可判断①；根据二次函数的增减性判断②；由题意得到与对应的函数值相等，根据对称性即可判断③． 【详解】解：由表可得，二次函数的图象过点，，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． ①∵，，， ∴，结论①正确． ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而减小，又， ∴，结论②错误． ③∵， ∴，即与对应的函数值相等． ∵， ∴两点关于对称轴对称， ∴，即，结论③正确． 综上所述，正确的结论是①③． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线表达式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，计算得到平移后的抛物线表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线表达式为，向下平移个单位，平移符合“上加下减”的规律， ∴ 平移后得到的抛物线表达式为． 12．抛物线，当时，的最小值是________． 【答案】2 【分析】将抛物线化为顶点式，得到开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性判断给定范围内的最小值位置，计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵在对称轴的右侧， ∴当时，取得最小值， 把代入计算得， 所以的最小值是． 13．用一段长为的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为，面积为，则y关于x的函数解析式为________________． 【答案】 【分析】已知矩形周长和一边长，先求出另一边长，再根据矩形面积公式推导函数解析式，同时确定自变量的合法取值范围． 【详解】解：∵铁丝总长为，即矩形周长为，矩形一边长为， ∴矩形另一边长为 ， ∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，面积为， ∴， 整理得 ， ∵矩形边长为正数， ∴， 解得 ， ∴关于的函数解析式为． 14．如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 y 轴上，另两个顶点落在抛 物线上．按此规律类推，第2027 个正方形的边长是 __________． 【答案】 【分析】先求出直线的关系式，再联立并求出解，然后根据勾股定理求出，即可得出第1个正方形的边长，同理得出第2，3个正方形的边长，最后按此规律类推得出答案． 【详解】解：根据题意，， 即直线是第一象限的角平分线，则关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第1个正方形边长为； ∵， ∴直线的关系式中x的系数与直线的关系式中x的系数相同，且经过点， ∴直线的关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第2个正方形边长为； ∵， ∴直线的关系式中x的系数与直线的关系式中x的系数相同，且经过点， ∴直线的关系式为， 联立，得， 解得或，故点， ∴，即第3个正方形边长为， 按此规律类推，第n个正方形的边长为， ∴第2027个正方形的边长为． 15．抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 【答案】 【分析】先根据对称轴公式求出的值，将一元二次方程在给定区间有实根转化为求二次函数在范围内的取值范围，即可得到的范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴抛物线 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴当时，y取得最小值2 ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根 ∴等价于在范围内有解，即求函数在的取值范围 当时，，当时， ∴的取值范围是，即的取值范围是． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在该函数图像上． 【答案】(1) (2)在 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）把横坐标代入函数解析式求出纵坐标即可判断． 【详解】（1）解：把代入得； 代入得到 ， 解得． 所以． （2）由（1）可知， 当时，，与点的纵坐标相等， 故点在该函数图像上． 17．（9分）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 18．（8分）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令列式求解即可得到答案； （2）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标； 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，， 解得：， ． （2）解：如图，过点P作轴于点N，交BC于点D， 则． ， ， ． 设直线对应的函数解析式为， 把分别代入，得， 解得， ∴直线对应的函数解析式为． 设， ， ∴当时，取最大值，即的面积最大，此时． 19．（8分）已知二次函数． (1)求该函数的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)根据图象，直接写出当时y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一般式 化为顶点式即可得出结果； （2）五点法作图即可； （3）根据图象直接作答即可. 【详解】（1）解：， 故顶点坐标为． （2）解：列表如下： 0 1 0 3 4 3 0 画图略 （3）略 20．（8分）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 21．（8分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： (1)直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． (2)补全问题②的解答过程． (3)若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 【答案】(1)； (2) 当时，， 抛物线解析式为， 直线解析式为． 因为是交点，将其代入联立方程：， 化简得， 代入：，， 进一步整理得，又， ∴． 则． (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系、函数交点坐标性质及抛物线对称性求解． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积； （2）将交点坐标代入直线和抛物线解析式，联立方程求解，再计算； （3）利用抛物线对称性（纵坐标相同的点关于对称轴对称），结合对称轴公式列方程求． 【详解】（1）解：对于方程， 由一元二次方程根与系数关系得，． 故答案为：；． （2）略 （3）解：抛物线对称轴为， 因为、， 纵坐标相同，故关于对称轴对称， 对称轴为， 即，解得． 故答案为：． 22．（13分）综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 【答案】(1)方案一：，方案二： (2) (3)方案一，． ， ∴当时，S的值最大，最大值为147． 对于方案二，． ，， ， ， ∴当时，S的值最大，最大值为． ， ∴要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择方案一 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，根据方案一可知，然后可得面积S，再根据方案二可得，最后求出S即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）根据二次函数的性质分别得出方案一和方案二的最大值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设． 对于方案一，可知， ， ． 对于方案二，可知， ， ． （2）解：由（1）可令， 解得，． 由题意可知，即， ． （3）略． 23．（13分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为．抛物线（m为常数）的顶点为P． (1)当时，求抛物线的顶点P的坐标； (2)当抛物线经过原点时，求m的值； (3)当抛物线的顶点P落在正方形的内部时，求m的取值范围； (4)当时，直接写出抛物线与正方形的边的交点个数． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）将代入解析式，然后利用顶点式求出顶点坐标； （2）将原点坐标代入解析式，列出一元二次方程求解即可； （3）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据顶点坐标以及正方形的性质列出不等式组，然后进行求解； （4）将代入解析式，然后利用顶点式求出顶点坐标，再利用正方形的边长确定函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点P的坐标为； （2）解：当抛物线经过原点时，将代入函数解析式，得， 解得或； （3）解：∵， ∴顶点P的坐标为， ∵四边形为正方形，且顶点的坐标为， ∴， 当抛物线的顶点P落在正方形的内部时， ， 解得； （4）解：当时，， 顶点坐标为，即顶点在正方形边上； 当时，， ∴抛物线与正方形边交于一点； 当时，， ∴抛物线与正方形边不相交； 当时，， 解得或， ∵， ∴， 即， ∴抛物线与正方形边交于一点； 综上，抛物线与正方形的边的交点个数为． 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