专练29 全等与相似&专练30 相似之类比探究-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

29 专练29全等与相似 【方法规律】注意每一问之间的联系及解题方法的类似性. 典例导练 示范题如图，已知正方形纸板ABCD,将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重 合，并将三角板绕A点旋转，使该锐角的两边分别与正方形纸板的两边BC、CD交于点 P、Q(P、Q与B、D不重合)，连接PQ. (1)如图1，直接写出线段BP、PQ、DQ之间的数量关系 (2)如图2，设AP、AQ与对角线BD交于点M、N. ①请在图2所有非直角三角形中，不加注其他线和字母，找出两对相似比为1：√2的 相似三角形，并选择其中一对证明； ②若BP=4,DQ=6,求MN的长 【思路点拨】(1)将△ADQ顺时针旋转90°得到B △ABT,证明△PAT≌△PAQ(SAS).(2)①由相似三 图1 图2 角形的判定方法可得出.②由相似三角形的性质可求出答案. 【自主解答】 301 专练30 相似之类比探究 【方法规律】通过证明来计算，通过计算来证明，注意每一问的图形、条件、结论、解题 方法的相互联系， 典例导练 示范题已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=4,D为BC边上的一点. 过点D作射线DE⊥DF,分别交边AB,AC于点E,F. (1)如图1，当D为BC的中点，且DELAB,.DF⊥AC时， DE (2)若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时：DF DE (3)如图3，若政变点D的位置，且需号时，求号票的值并写出解答过程 (4)如图3，连接EF,当△DEF与△ABC相似，求CD的长 EA D 图1 图2 图3 【思路点拨】(2)过，点D作DM⊥AB于，点M,作DN⊥AC于点N,证△DME∽ △DNF.(3)过点P作DP⊥AB于，点P,DQ⊥AC于点Q,证△DQCP△BAC,△DPB∽ △CAB.(4)分△DEFC∽△ACB或△DEFO△ABC时，分别计算即可. 【自主解答】线于点M,则EM=号AE=1,-2x. ,∠EMB=∠HBC=90°，且CHI 知能检测 BE,.△EMBn△HBC,B 1.分别延长AE,DC交于点K, △ABEP△KCE, 欲BH·M=EM·BC=2, .AE:EK=BE:CE,E是BC中 点，则BE=CE,AE=EK, 易证△BGHD△BME.·B .GH平分AE,.EK=AE= BE·G=BH·BM=2 2AF,FK=3AF, ,AG∥HK,.△AGF∽△KHF, 知能检测 ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. 1.过点P作AD的垂线MN,交AD2.(①D设EP-x,则PD=2,PA=4x, 于点M,交BC于点N, 易证△ABF≌△DAP, 易证△APM△PEN, .'.AF=DP=2x,.'.PF=2x=AF. (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, 兴易正既器 DF=√2DP,∠BDF=∠CDP, .AM-AD=105 PN CD 63' △CDPn△BDF,第-部=E, 路 BF=ECR部-am=4, 2.过点E作MN∥AB分别交AD, ∴.CP=2W2. BC于点M,N,过点A作AGI 专练29全等与相似 BD于点G,则△EFNO△AEM, 典例导练 △EFHo△AEG.∴A是 EH_EF (1)PQ-BP+DQ (2)①△BAMC∽△CAQ,△DANC∽ EN EN CD 4 AMBN BC3' △CAP,△ANM∽△APQ.证明： EH=专G易证治-器 △BAMP△CAQ ,四边形ABCD是正方形，∴∠ABM 青a0子ac器0 4 =∠ACQ-∠BAC=45°，AC=/2AB, .∠BAC=∠PAQ=45,.∴∠BAM= 专练8相似与特殊图形（五）正方形 ∠CAQ,∴.△BAM∽△CAQ,相似比 典例导练 为BA:CA=1:V2, 过点F作FH⊥BC于点H, ,∠DCH=90°，CF平分∠DCH, ②易证△DANn△CAP,器器 ∴∠FCH=2∠DCH=45,FH -号，由(2i证ABAM△CAQ, =CH,易证△BAE∽△HEF, ..AB:EH=BE:FH,..4:(4-x+ 岩提岩器， FH)=x:FH,∴.FH=x, :∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ y号×cXFH=40z△Q冷号迪河知 73 PQ=BP+DQ-4+6-100 N_解得：m=0或m=2. 知能检测 号M-5n 1.由题意，可设顶点式为y=a(x一 2)2-1,将(0,3)代入得，4a-1= 专练30相似之类比探究 3,解得a=1,∴.抛物线的解析式 典例导练 (1)2(2)2 为y=(x-2)2-1. 2.根据题意，可知抛物线的对称轴 (3)如图，过点P作DP⊥AB于点P, 为直线x=4,抛物线与x轴的两 DQLAC于点Q,∴.∠DPA=∠DQA 交点坐标为(0,0)，(8,0)， =∠A=90°，∴.四边形APDQ是矩 设抛物线解析式为y=a(x一4)2 形DP=AQ,Q=P.“品 +2,把(0,0)代入得16a=-2, aCD a BDb 方CBa十b'a+6DP/ 解得a=一 8,所以抛物线解析 AC,DQ∥AB,.△DQCn△BAC, 式为y=一 8x2+x △Pn△CB器需光 专练32求二次函数解析式（二）】 畏0器B= aFb'DP= 隐含对称轴 典例导练 4b BD 根据题意，得抛物线的对称轴为直 BC ·AC=- 2a atb 线x= 2a =-1,.当x=-3和x =1时，函数值相等，由题意，得x= a 1和x=一3时，y=0,即抛物线经 (0当△DEF△ACB时，则哈 过(-3,0)，(1,0)， 怎即的专整理，得：a=6,CD 设抛物线解析式为y=a(x十3)(x -1),当x=一1时，y最小值=一4a= =号PC=5:②当△DEFn△ABC 一8，解得a=2,∴.抛物线解析式为 y=2.x2+4x-6. 时则怨即必异整理，得： a 知能检测 a=4b,∴.CD= 1.由题意，得22=2，联立2x 综上，当△DEF与△ABC相似时， 十x2=5,解得x1=1,x2=3, C-5或8 .A(1,0),B(3,0),把A(1,0)代 人y=a.x2-4a.x+3,解得：a=1. 专练31 求二次函数解析式（一）】 ∴.抛物线的解析式为y=x2一4x 顶点式 +3. 典例导练 2.由题意，得对称轴为直线x= y-x+mr+m-(x+2m) 4 一4m=2,点C坐标为(0，)，OC 2m m,由题意，得一十m=-（一m）. =0B=,OA=号，由抛物线对称 74 知能检测 3 轴可得， 2=2，解得：n=3,将 1.或-3 B(3,0)代人y=m.x2-4m.x+3, 2.y=-x2+2.x-3=-(x-1)2 得9m-12m+3=0,∴.m=1, 2,函数图象开口方向向下，对称 ∴.抛物线的解析式为：y=x 4x+3. 轴为直线x=1,顶点为(1，一2) 专练33求二次函数解析式（三） (1)当a-3>1时，此时x=a一3 图象变换 时，y取最大值一3，可得：一3 典例导练 -(a-3-1)2-2,解得a=5或3 示范题1y=x2+4x-5=(x十 (舍去) 2)2-9,设y=(x十2-)2-9， (2)当a+2<1,此时x=a十2 由题意，得(2-p)2一9=0，解得p=5 时，y取最大值一3，可得：一3= 或p=一1（舍去），故p的值为5. -(a+2-1)2-2,解得a=-2 示范题2287 或0（舍去）. 知能检测 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的最 1.y=3(x+1)2-1 大值为一2，此时不符合题意.综 2.y=- 2(x-1)2 上，a的值为5或-2. 专练35数形结合（一）》 3.y= -3r+29 3 函数值的大小比较 专练34 二次函数的区间最值 典例导练 与增减问题 3 典例导练 知能检测 y=x2+2mx+m+2=(x十m)2+21.C 十m一m2,对称轴为直线x=一m, 2.-1<n<0 (1)当-m<-2时，即m>2时，x 由题意，可知抛物线开口向上，对 =一2函数有最小值，则4一4m十m 称轴为直线x=1, +2=-3,解得m=3. A,B两点在对称轴x=1的两 (2)当-2≤-m≤2时，x=一m函 侧，则点A在x=1的右侧， 数有最小值，则2十m一m2=一3，解 .列不等式组 得m= 1+√/2I 2 (舍去)，= 2n+3>1 1-√21 n-1<1 2 1-(n-1)>2n+3-1 (3)一m>2时，x=2函数有最小 解得-1<n<0. 值，则4+4m+m十2=-3，解得m 专练36数形结合（二） 号（合去.综上所述，m的值为 二次函数图象与系数a,b,c的关系 典例导练 3或1② 2 C 75