第3章·图形的相似·期中复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第3章·图形的相似·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解成比例线段、比例的基本性质与黄金分割，能在平行四边形、三角形中由平行截线求线段比 · 熟练掌握相似三角形的判定（AA、SAS、SSS、HL），能在网格、位似图形中识别并证明相似 · 灵活运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应高/中线/角平分线成比例、面积比等于相似比平方） · 能综合特殊四边形、折叠、旋转与动点背景，建立相似模型解决线段比、最值与多结论压轴题 · 理解相似多边形与位似图形，能利用相似解决影长、测距等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.成比例线段、比例性质与黄金分割 四条线段a,b,c,d成比例记为a:b=c:d，基本性质：ad=bc；合比、等比性质用于比例变形 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC（AC>BC），若AC:AB=BC:AC=≈0.618，称黄金比 黄金三角形（顶角36°等腰）、黄金矩形是常见模型，底与腰之比为黄金比 重心：三角形三条中线交点到顶点距离是到对边中点距离的2倍 概念辨析例题：已知线段AB=10，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），则AC的长为____ 答案：5 解析：AC=×AB=×10=5(=5。 ☆ 2.平行线分线段成比例与相似三角形的判定 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 相似三角形判定：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似（A型、X型） 两角分别相等(AA)、两边成比例且夹角相等(SAS)、三边成比例(SSS)、斜边直角边(HL)均可判定相似 网格相似：利用勾股定理计算三边，验证三边比是否相等；位似是特殊位置的相似 概念辨析例题：在△ABC中，DE∥BC，D在AB上、E在AC上，若AD:DB=2:3，则AE:EC=____ 答案：2:3 解析：由DE∥BC，平行线分线段成比例，AE:EC=AD:DB=2:3。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比k是对应边的比 对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比k 周长比等于相似比k；面积比等于相似比的平方k2 射影定理：Rt△斜边上的高分原三角形为两个小直角三角形，每直角边的平方等于它在斜边上的射影乘斜边 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的周长比为____，面积比为____ 答案：2:3；4:9 解析：周长比=相似比=2:3；面积比=相似比的平方=22:32=4:9。 ☆ 4.相似多边形、位似与实际应用 相似多边形对应角相等、对应边成比例，面积比等于相似比平方；矩形纸张对折后长宽比不变即相似 位似图形：对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边平行，位似比等于相似比 影长测距：同一时刻物高与影长成正比，把实际问题抽象为相似三角形 动点最值：利用相似把目标线段转化为已知定线段的比，结合胡不归、阿氏圆等模型 概念辨析例题：同一时刻，身高1.6m的人影长2m，一棵树影长8m，则树高为____ 答案：6.4m 解析：物高与影长成正比，树高:8=1.6:2，树高==6.4m。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例基本性质 a:b=c:d ⇔ ad=bc 单位要统一 黄金分割比 ≈0.618 较长段占全长比 平行线分线段 平行截对应线段成比例 A、X两型要辨清 相似判定AA 两角分别相等即相似 最常用判定 相似比k 对应边之比 注意顺序k与1/k 周长比 等于相似比k 线段比都是k 面积比 等于k2 不要漏平方 位似 对应顶点共点、边平行 位似中心位置 ⚠️ 核心考点 【考点1】成比例线段与黄金分割（第1-5题） · 比例变形用基本性质ad=bc与合比、等比性质，设公比k简化计算 · 黄金分割牢记，黄金三角形顶角36°、底角72° · 重心分中线为2:1，结合平行截线把所求比转化为已知线段比 · 无刻度直尺作图利用平行、中点构造比例关系 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，平行四边形中，E为上一点，交于点F．已知，则下列判断错误的是（   ）    A．与的周长比为 B．与四边形的面积比为 C．若连接，则与不相似 D．若题中条件“”改为“点E为边的黄金分割点，”，则 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而利用相似三角形的性质即可判断A；然后利用相似三角形的性可得，从而可得的面积：的面积，再设的面积为，则的面积为，从而可得的面积，进而可得的面积，再利用平行四边形的性质可得，，从而利用证明，进而可得的面积的面积，再利用面积的和差关系可得四边形的面积，从而可得的面积：四边形的面积比，即可判断B；再根据相似三角形的性质可得，从而可得和不一定相似，即可判断C；最后根据黄金分割的定义可得，从而可得，再利用相似三角形的性质可得，从而进行计算即可判断D，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的周长比为；与的面积比为；故A不符合题意； ∵， ∴， ∴的面积：的面积， 设的面积为，则的面积为， ∴的面积， ∴的面积的面积的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴的面积：四边形的面积比，故B不符合题意； 连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴和不一定相似，故C符合题意； ∵点E为边的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，黄金分割以及全等三角形的判定与性质等知识 ，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、黄金分割 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ______． 【答案】7 【知识点】与三角形中位线有关的证明、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 构造三角形中位线可以得出，然后按比例设参数，由平行线分线段成比例性质可得． 【详解】解：取中点，连接， ∵点、分别为、中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ∵， ∴． 故答案为：7． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明： ， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 5．（20-21九年级下·江西南昌·阶段检测）已知正方形和中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中作的中点； (2)在图2中作的三等分点． 【答案】(1) 点即为所求: (2) 点即为所求： 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、由平行判断成比例的线段、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接交于点，由正方形性质可得，再结合，连接，由垂直平分线的判定与性质可得，从而得到答案； （2）连接交于点，作直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，作直线交于点，由平行线分线段成比例可知点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图−复杂作图，涉及线段的垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【考点2】相似三角形的判定与位似网格（第6-10题） · 优先找两组角相等(AA)，直角、等腰、平行背景天然提供等角 · 网格题用勾股算三边，验证三边比是否一致判定相似 · 位似是特殊位置相似，对应顶点连线过位似中心，注意同向/反向位似 · Rt△用HL或两锐角关系判定，斜边高模型隐含多个相似三角形 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________．    【答案】①② 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 8．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ； (3) 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）根据平分得，由得，根据，得，再由三角形外角性质得，进而得，题目得证； （2）证明，，根据有两个角相等的两个三角形相似得，题目得证； （3）证明，即可得，由（1）得，进而得， 由，可得即可计算的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ， ， ， 又由（1）可得， ， 由（2）知， ． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图①，的两条非直径的弦交于点H，且，连结． (1)求证：平分． (2)若，如图②，作交于的延长线交于交于N． ①若，求的值． ②若，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) 证明：如图①，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； (2)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、同弧或等弧所对的圆周角相等、由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论； （2）①先证都是等腰直角三角形，可得，，由平行线分线段成比例可求，即可求解；设，则，由锐角三角函数可求，由平行线分线段成比例可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图②，过点O作于F，过点P作于E， ， ， 设， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； ②由①可得：， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【教材呈现】下面是苏科版九年级下册53页的部分内容： 【问题模型】（1）.图1为6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A，B，C，D，E均在格点上，点E为与的交点，则的值为_____； 【类比应用】（2）.在图2、图3的6×6正方形网格，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列问题，保留作图痕迹： ①在图2中，在线段AB上确定一点F，使； ②在图3中，在边AC上找一点P，使得． 【深究应用】（3）.如图4，在中，，，，点M以每秒1个单位长度的速度从A向B移动．点N以每秒2个单位长度的速度沿的反向延长线从A开始移动．当M到达B点时．同时停止，连接与，两线段交于点E．连接，设M、N的运动时间为秒． ①求运动过程中的最小值； ②延长交边于点F（如图5），当点F是边的四等分点时，求此时的值． 【答案】（1）.3； （2）① 点F即为所求． ② 点P即为所求． （3）.①；②或或 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）①根据题意，，根据勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可； ②在中，，，得到，继而得到，，连接交于点P，证明，即可得证． （3）①连接，并延长交于点Q，根据题意，得，，根据三角形相似的判定和性质，得到，得到点Q是定点，直线是定直线，当时，取得最小值，过点A作，交的延长线于点G，连接，过点B作，垂足为S，根据垂线段最短，得到当E与S重合时，取得最小值，根据勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的面积解答即可． ②连接，并延长交于点Q，证明，，延长、交于点T，证明，，得到，分，，，解答即可． 本题考查了网格作图，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：３． （2）①解：根据题意，得，且的交点为F， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故， 则点F即为所求． ②．解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点P， 则点P即为所求 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 则点P即为所求． （3）①解：连接，并延长交于点Q， 根据题意，得，， ∵四边形是平行四边形，且，，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故点Q是定点，直线是定直线， ∴当时，取得最小值， 过点A作，交的延长线于点G，连接， 根据题意，得，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点B作，垂足为S，根据垂线段最短，得到当E与S重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为； ②解：连接，并延长交于点Q， 根据题意，得，， ∵四边形是平行四边形，且，，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 延长、交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的证明，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 故当t等于或或时，点F是的四等分点． 【考点3】相似三角形的性质与计算（第11-24题） · 对应边成比例是核心，先找准对应关系再列比例式 · 面积比=相似比平方，由面积比反求线段比要开方 · 射影定理：直角边2=射影×斜边，高2=两射影之积 · 多结论题逐项验证，结合勾股定理、等腰等边性质判断线段比是否为定值 11．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 证明，，由相似三角形的性质求出的值，再由是的中位线，得到的值，最后证明，，再由相似三角形的性质求出的值即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 点是的中点， 是的中位线， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， 故选C． 12．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，，过点C作交于点D，过点A作交于点E，与交于点F，过点E作分别交、于点G、H，点Q在上，连接交于点P，点P是的中点，连接．下面结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理及三角形的面积等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 结论①：先由，，得，再根据，可对结论①进行判断；结论③：连接，先证为的中位线，进而得为线段的垂直平分线，则.，证和相似得，再根据，可判定和相似，进而得，则为等腰直角三角形，进而可得，据此可证和全等，从而得，如果.则，此时为的垂直平分线，根据已知条件无法判定为的垂直平分线，进而可对结论③进行判断；结论②：由为等腰直角三角形，，得，据此可对结论②进行判断；结论④：过点A作交的延长线于M，先证四边形为矩形，进而得，则和等高，由比得，再根据为的中位线，得，然后根据，得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； 连接，如图， ∵，， ∴， ∵点P是的中点， ∴为的中位线， ∴为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 如果，则， 此时为的垂直平分线， 根据已知条件无法判定为的垂直平分线，故结论③不正确； ∵为等腰直角三角形，， ∴，故结论②正确； 过点A作交的延长线于M，如图， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 和等高， ∴， ∵为的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴结论①②④正确，共3个． 故选：B． 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据已知确定CE：：2，再证明 可得，，进一步证明 ，判定①对，然后证明可得得出②对，可证，进而可证，则，故③错误；可得在中，，则，再证明 ，由，即可得④对从而得出结论． 【详解】解：正方形ABCD中，，E是BC的中点， ，，， ：：2， ，，， ， ，， ，， ， 又， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， 在和中，，， ， ， ， ∴， 又∵， ， ， ， ， ∴， ，故③错误； 在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确， 故选：C 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、相似三角形的性质，理解题意是解决问题的关键． 14．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为___ ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点作于点B，且，连接、，通过两边对应成比例且其夹角相等，证明，可得，进而得到，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，然后由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作于点B，且，连接、， ，，， ，， ，， ， ，，， ， ， ∴，即， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则___________. 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，则垂直平分，可知，，设，则，故，由平行线的性质可得，可知，进而确定，，再证明，可得；设，则，，，，证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，解得的值，即可求得，的值，然后在中由勾股定理计算的值，即可获得答案． 【详解】解：过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，如下图， 则垂直平分， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 整理可得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 16．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．利用等腰直角三角形两腰相等、底角为的性质得到斜边长和角度相等，根据三角形相似进而得到对应边的比例关系，是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，得到的长，根据点是边的一个三等分点，得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，根据勾股定理得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，进而得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是边的一个三等分点， ∴, 在和中， ，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 17．（21-22九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在平行四边形的边上，延长交的延长线于点，交于点，若，则________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就直观地证明出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我国古代的“青朱出入图”就是其中一种．如图，在中，，四边形、四边形、四边形均为正方形，分别交于点F，D，交于点Q，点N在上，于点P．记“朱出”的面积为，记“青出”的面积为，若，则的值为 _________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证，再证，根据可以得出边长的关系，设参数，把和用参数表示出来即可得解． 【详解】解：∵四边形均为正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 【答案】（1），；（2）；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，易证，结合，推出，可得旋似比，再根据三角形外角的性质得到，结合，推出，可得旋似角； （2）根据，，易证，推出，进而得到，可得旋似角； （3）由（2）知是直角三角形，根据点M是中点，可得，设，根据，得到，进而求出，利用勾股定理求出，进而求出，再根据等边对等角得到，由，推出，利用对顶角的定义推出，结合，证明，得到． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋似比为， ∵点B，C，D在一条直线上， ∴，， ∴， ∴旋似角为； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段绕着点D旋似至线段的旋似角为； （3）由（2）知是直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段绕着点E旋似至线段的旋似比为． 20．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【答案】(1) ①证明：平分， ． ， ． ． ； ②9 (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；②由，得到，进而求得；利用，相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）连接，利用三角形的三条角平分线相交于一点，可得是的平分线；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，同理可得：；通过证明可得比例式，则可求，，结论可得． 【详解】（1）①略 ②∵， ． ， ． ， ． 点为的中点， ． ，， ． ． ． ； （2）解：连接，如图， 平分， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分，平分， 平分． ，． ，， ． ， 又， ． ． ， ． 同理可得：． ， ，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 21．（2026·重庆·模拟预测）为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图，若，点是中点，，求的面积； (2)如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明如下： 以为边作等边三角形，延长至，使，连接，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作的延长线于点，在特殊三角形和中分别求解，，即可求解的面积； （2）以为边作等边三角形，延长至，使，连接，，由等边三角形的性质，可证得，从而进一步证得，则，通过线段的等量代换即可得到； （3）当时，取最小值，为等边三角形，由特殊角的三角函数计算出各个边的长度，当在的延长线上时，最大，又，可得，，可得，，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的延长线于点， ∵为等边三角形，点为线段的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图， 由（2）可知， ∴， 在中，，，点在射线上运动，且， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短， ∴当时，取最小值， 将绕点逆时针旋转，则为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，于点， 而，即点落在上， ∵点为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得， ∴， 在中，由于两边之和大于第三边，， ∴当在的延长线上时，最大， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 【答案】（1）①；②60． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，，，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）略 （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 23．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段检测）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．求证：； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F．求证：． 【答案】 （1）证明：和均为等边三角形， ∴，，． ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意，证明即可． （2）根据题意，证明，结合等腰直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 24．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】 （3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点． ①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：，， 又， ．          ，，        ，       ， ， ．                   （2）；（3）①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用边角边证，得到，进而根据全等三角形的性质以及已知条件得出．； （2）构造一线三垂直全等，过作交延长线于点，先证（），得到，，在证出，进而得到，再通过（）即可得解； （3）①过点作 于点， 于点，先证，得到，再证，得出，利用建立方程即可得解； ②根据前述思路构造旋转相似，所以作交于点，先证，，进而得出，，在中利用勾股定理将、、转化在一起即可得解． 【详解】（1）略 （2）如图，过作交延长线于点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：；      （3）①方法一： 解：过点作于点，于点， ． ， ．            ． ，， ． ，， ， ， ． ．              设， ，， ，，． ． ， ．                   ，．      方法二： 解：过点作于点，过点作交于点． ， ， ． ．            ，． ． ，， ． ， ． ． ． ．         ，， ． ，， ，，． ，                   ②如图，作交于点，则， ， ， 根据四边形内角和可得出， ， ， ， 在中，， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【考点4】相似与特殊四边形、折叠与动点综合（第25-37题） · 正方形、矩形、菱形中找直角与等线段，构造A型、X型相似 · 折叠问题抓对应边相等、折痕为对称轴，再用相似列方程 · 动点最值把目标线段用相似比转化，结合两点之间线段最短 · 旋转问题抓旋转角与对应边，全等旋转后常接相似求比值 25．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴,， ∴,， ∴,， ， 故正确； ∴, ∵， ∴不成立， 故②错误； ∵, ∴， 故③正确； ∵,， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 26．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先计算菱形的边长，利用平行四边形的判定和性质求出的长，再利用平行线分线段成比例计算的长，最后比较四条线段的长度得出最长的线段． 【详解】解：在菱形中，， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在线段中，最长的线段为． 27．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 28．（25-26八年级下·浙江温州·期末）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作交于点，交于点，利用正方形性质以及证明，得到，，为定值；再结合，通过相似证明，推出，设，从而得到其余选项比值随、移动改变． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则四边形为矩形， ∴，，， 又，， ∴， 又四边形是正方形， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在点，运动的过程中，为定值，为，B正确； 又，， ∴， ， 设， 则，，，， ， ， 不是定值，A错误； 不是定值，C错误； 不是定值，D错误． 29．（2026·四川达州·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①利用折叠与平行线的性质即可求解； ②利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ③过点作，证明，，进而根据面积可判断； ④连接，由全等三角形的性质可知，由折叠可知，根据勾股定理可知，根据的角可知四点共线，然后易得即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵在正方形中，， ， ， ∴平分； ∴①正确； ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知，， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴②正确； 过点作，则， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ∴， ， ∴③错误； 连接， ∵，， ， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 四点共线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴④正确； 综上所述，正确． 30．（24-25九年级下·重庆万州·阶段检测）如图，正方形中，点E在上，，连接，以为边作正方形，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点作，垂足分别为，过点G作，交延长线于点，证明，可得，设，，再进一步可得，，从而可得答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为，过点G作，交延长线于点， ∴， ∵四边形，是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例定理，正确构造全等三角形是解题的关键． 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，延长交于点M，连接．下列结论：①是直角三角形；②；③当点M与点C重合时，；④平分正方形的面积；⑤．其中结论正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、正方形折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，根据相似三角形的性质可得，故⑤正确；如图1，设，则，通过证明，可得，可求，可得故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， E为的中点， ， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故①和②正确； ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故⑤正确； 如图1，当点M与点C重合时， 设，则， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故③正确； 如图2， 当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有①②③⑤, 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 32．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，点为矩形的对角线上异于，的一个动点，过点作于点，点为点关于的对称点，连接，．若，，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据矩形性质和勾股定理求出的长，由轴对称性质可得，，分和两种情况进行讨论，利用同角的余角相等证明，列出比例式求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵，点为点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 设，则， 当时，如图所示： ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，此时点在的延长线上， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 33．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、利用相似三角形的性质求解、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 34．（24-25九年级下·山西吕梁·阶段检测）如图，在矩形中，点是边的中点，连接，，过点作，交于点，连接交于点．若，，则线段的长度为______． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作于点，交于点，由矩形的性质得到，，，则，所以，则，而，则，由，求得，则，可证明，由，求得，则，再证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，交于点，则， 四边形是矩形，点是边的中点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 35．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据题意分两种情况，根据折叠的性质分别求出的长，再证明，进而可知的长． 【详解】解析：∵， ∵将沿翻折，点的对应点为， 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的长为或． 36．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线运动，在边上以每秒3个单位的速度运动，在边上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边于点Q，以为底边作等腰三角形，使．设点P的运动时间为． (1)直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)用含t的代数式表示点D到边的距离． (3)当的一条直角边平分的腰时，求t的值． (4)当点D落在的平分线上时，直接写出t的值． 【答案】(1)当时，；当时，． (2)当时，点D到边的距离为；当时，点D到边的距离为． (3)当或时，的一条直角边平分的腰． (4)当点D落在的平分线上时或 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分当点P在上运动时，此时 和当P在上运动时，此时，两种情况利用相似三角形的性质与判定进行求解即可； （2）分当点P在上运动时，此时 和当P在上运动时，此时，两种情况利用相似三角形的性质与判定进行求解即可； （3）分当平分时，和当平分时，利用相似三角形的性质与判定进行求解即可； （4）分当点P在上运动时和当点P在上运动时，利用角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，当点P在上运动时，此时， 由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当P在上运动时，此时，， 同理可得：， ∴， ∴； ∴综上所述，当时，；当时，． （2）解：如图3所示，当点P在上时，过点D作于E， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上时，过点D作于E， 同理可得：， 同理可得：， ∴， ∴； ∴当时，点D到边的距离为；当时，点D到边的距离为． （3）解：如图5所示，当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图6所示，当平分时，即，过点D作，交于E，交于G， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴综上所述，当或时，的一条直角边平分的腰． （4）解：如图7所示，当点P在上时，过点D作于M，于N，延长交于H， ∵点D落在的平分线上， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，   ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴由（2）得 ，， ∴， 解得； 如图8所示，当点P在上时，过点D作于M，于N，延长交于， 同理可得：，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D落在的平分线上时或． 37．（2024·山东德州·三模）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转α（），得到矩形，连结． [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长． [探究2]如图2，连接，过点作交于点M．线段与相等吗？请说明理由． [探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明． 【答案】[探究1] [探究2] ．理由如下： 证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． [探究3] 关系式为． 证明：如图3，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设，根据旋转的性质，得，结合，得到，列式计算即可． （2）连接，根据，得到，证明， 得到，继而得到，结合，得到，继而得到，证明即可． （3）连接，先证明，得到，再证明，然后证明，列式解答即可． 【详解】解：[1]如图1，设， ∵矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴点A，B，在一条线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． [2] 略 [探究3]略 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【考点5】相似多边形与实际应用（第38-45题） · 相似多边形对应边成比例，纸张对折、缩放问题抓长宽比不变 · 影长、测距问题抽象为相似三角形，物高与影长成正比 · 与二次函数综合时，先由相似表示关键点坐标，再代入解析式 · 定义新概念题（如旋似）紧扣新定义中的比例关系，转化为相似 38．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 39．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）下列四个命题中正确的是（   ） A．经过三个点可以确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 C．边长相等的多边形是正多边形 D．相似多边形面积的比等于相似比的平方 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合、相似多边形的性质 【分析】本题考查圆的确定条件、三角形内心的性质、正多边形的定义、相似多边形的性质，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解： ∵当三个点共线时，无法确定一个圆， ∴A选项错误 ∵三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，到各顶点距离相等的是外心， ∴B选项错误 ∵正多边形的定义是各边相等且各角相等的多边形，仅边长相等的多边形（如菱形）不符合正多边形的定义， ∴C选项错误 ∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴D选项正确， 故选：D． 40．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，高为的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距（院墙厚度不计），上午的阳光和煦灿烂，樟树的影子爬过院墙，伸出院墙外的影子长1m，此时人的影子长恰好是人身高的两倍．求这棵樟树的高． 【答案】这棵樟树的高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据题意画出示意图，因为太阳光是平行光，可以推出，设m，根据相似三角形的性质列方程求解，就可以计算出樟树的高． 【详解】解：根据题意，画出示意图如图所示． 由题意，得． ， ． ， ． 设， 则，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 故这棵樟树的高为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． 41．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． (1)【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示） (2)【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G． 证明：点G为边的中点； (3)【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G为边的中点； (3)①，；②的最小值为． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设．利用矩形的性质得出，，再根据矩形矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，进一步可得出答案； （2）根据矩形的性质以及直角三角形两锐角互余结合相似三角形的判定方法证明，由相似三角形的性质得出，得出，进一步可说明点G为边的中点； （3）①设，在中，，构建方程求出y，再证明，再得出，根据相似三角形的性质可得出答案； ②取的中点，连接，证明，求得，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即取得最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：设． ∵，矩形矩形， ∴，，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①连接交于点O，如下图： 由翻折变换的性质可知，， 设， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②取的中点，连接， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 42．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）同意，如图所示：    （4）共有四种情况： ①如下图，；    ②如下图，；    ③如下图，；    ④如下图，；    【知识点】换元法解一元二次方程、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似多边形 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形， 四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分， 小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 43．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1) 不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【知识点】相似多边形、相似多边形的性质 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）略 （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 44．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】(1) (2)的周长的最大值为 (3)存在，或或 (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点求出、两点坐标，代入二次函数解析式即可求解； （2）设 ，则可用表示出点、点坐标，由两点间的坐标公式，可用表示出周长，再证明 ，则由周长比等于相似比，即可表示出周长，将得到的式子配成顶点式并利用二次函数性质即可求解； （3）由（2）可知、点坐标，则可分成为边和为对角线去求解即可； （4）在轴上截取 ，连接 ，可证得：，则可得当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则； 令，则， ， 抛物线经过、两点， ， 解得： ， ； （2）设，则 ， ， ， ， ， 点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合）， ， ， 的周长为： ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为： ，， 时，的周长最大值为 ； （3）存在点，或或； 由（2）可知： ， 此时可得： ， ， 抛物线的对称轴为： ， 则点的横坐标为， ， ， 设 ， ①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧， 此时： ， 点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 点的横坐标为， ， 将其代入抛物线解析式得： ， ， ②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧， 同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 此时 ， 代入抛物线解析式得： ， ， ③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得： ， ， 代入抛物线解析式得： ， 综上所述：或或； （4）在轴上截取 ，连接 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ， 在直角三角形中， ， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形的综合问题，点到点的距离，相似三角形判定与性质，最值问题，平行四边形的存在性问题，熟练掌握基础知识并会综合应用，掌握分类讨论的数学思想方法，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 45．（25-26九年级上·北京·课后作业）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设是已知线段，以为边作正方形；取的中点E，连接；延长至点F，使；以线段为边作正方形，点H就是的黄金分割点． 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ 【答案】 解：设， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴， ∴点H就是的黄金分割点， ∴任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念、正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握黄金比是 是解题的关键． 设，根据题意和勾股定理求出的长，求出，再根据黄金比的定义求解即可． 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 比例线段用基本性质ad=bc变形，黄金分割牢记0.618 · 相似判定优先找两组等角，网格题用勾股算三边比 · 相似性质：周长比=k，面积比=k2，对应线段比都是k · 四边形、折叠、动点综合先找A型X型相似，再列比例式 · 相似多边形与位似抓对应边成比例，实际问题抽象为影长模型 【作业1】．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（   ） A．56 B．24 C．26 D．38 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由矩形的性质得，，，再根据已知和相似三角形的性质可得，，得到，进而由得，即得，最后根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为，且的面积与的面积比为， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【作业2】．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，，D为线段上一定点，且，则的长为__________． 【答案】15 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了“勾股定理的应用”“相似三角形的性质与判定”，通过作辅助线利用到角，借助方程思想求解是解题关键． 过点C作的垂线，借助角求出垂线段的长度，利用对顶角得到相似三角形，再通过勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线与点E． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． 在中，． ∵，， ∴． ∴，即． ∴． ∴，． ∴． 故答案为： 15． 【作业3】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，，是边上的高，，那么的长为_____________． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，由是斜边上的高，通过证明三角形相似，得到比例关系，进而求解的长． 【详解】解： ∵在中，，是边上的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 将，代入，得： 解得：． 【作业4】．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 【作业5】．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可判断结论①；判断和是否相等即可判断结论②；首先根据已知条件可以判定，然后利用对应边成比例可证明，进而可以判断结论③；设，则，，证明，求出，即可判断结论④． 【详解】对于结论①，四边形是矩形， ， . , ． ，故结论①符合题意； 对于结论②，若平分成立，则有， ， ， ， ， 而根据现有条件无法说明，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵四边形是矩形， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 四边形是矩形， ， ， ． F是的中点， ． 设，则，． 在和中， ， ，即 ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ，故结论④不符合题意． 综上可知，符合题意的结论有①③． 【作业6】．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，将沿折叠得到，延长交于点E，若，则的值为_______． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，延长交于点，过点作交射线于点，推出是等边三角形，设，求得，，证明，求得，由平行线分线段成比例求得，求得，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点，过点作交射线于点，如图， ∵，将沿折叠得到， ∴，，，， ∴是等边三角形，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业8】．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为3，那么的面积是_____． 【答案】 13.5 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查三角形的重心的性质，平行线分线段成比例，中线的定义，延长交于F点，连接，先证四边形为平行四边形得 ，由G是的重心，得为边上的中线，再根据平行线分线段成比例可证，从而，然后逐步求，最后，进而得到答案． 【详解】解：延长交于F点，连接，如图， ∵ ， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ， ∵ G是的重心， ∴ 为边上的中线， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为边上的中线， ∴ ． 故答案为：13.5 【作业9】．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】设，则，，根据平行线分线段成比例可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得：，即的长为． 【作业10】．（22-23九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据正方形的性质说明，可得，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 所以正方形的边长为． 【作业11】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及“将军饮马”模型(对称求最短路径)的综合应用．先利用正方形的边长与对角线关系，结合已知的线段比例，证明，从而得到的线段转化关系；再将所求表达式代换为，把问题转化为求的最小值；最后通过作点关于的对称点，利用“两点之间线段最短”，得到的最小值为的长度，代入计算即可得出最终结果． 【详解】解：如图，连接，取关于的对称点，连接． ∵四边形是正方形，且， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∴，即， ∴． ∵为对称轴， ∴，， ∴，； ∴当、、三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度； 此时； ∴的最小值为； 代入得． 故答案为：． 【作业12】．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点A是双曲线上一动点，轴于D，延长交双曲线于点B，轴交x轴于E，交的延长线于点C，则下列说法正确的个数是（     ） ①当时，四边形的面积是； ②当的面积是4时，； ③当k一定时，的值一定； ④当点A离原点O最近时，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①根据反比例函数图象的性质，求出的面积与四边形的面积，两者相加就是四边形的面积；②求出，可得，再由的面积是4，可得，根据，可得，可求出k的值，则说明本题正确；③根据②，即可说明本题正确；④点A离原点O最近时，也就是点A的横坐标与纵坐标相等的时候，根据，利用平行线分线段成比例求出，从而得到，然后求出点A的坐标，从而也可以求出点B的坐标，再利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：①当时，， ∵点B在双曲线上， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得：，， ∵点B在双曲线上，点A是双曲线上一点， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵的面积是4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或0（舍去），故②正确； ③由（2）得：，即， ∵k一定时， ∴的值一定，故③正确； ④如图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得， ∴， 设点A坐标为，则， ∴， 当时，最小， ∴点A离原点O最近时，点A的横坐标与纵坐标相等， ∴点A坐标为，则， 解得（负值舍去）， ∴点， 把代入得：， 解得， ∴点B的坐标为， ∴．故④错误． 所以说法正确的有①②③，共3个． 【作业13】．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．当时，_______秒． 【答案】/2.5 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形——动点问题、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示，矩形的性质及相似三角形的判定与性质．先根据矩形的性质和点求得，，， 再由利用三角形内角和定理得出，从而证明，设，，，利用相似三角形的性质得出，进而求得t的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由题意知，设，，， ∴，即，解得， 即t的值为． 故答案为：． 【作业14】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 【作业15】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·图形的相似·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解成比例线段、比例的基本性质与黄金分割，能在平行四边形、三角形中由平行截线求线段比 · 熟练掌握相似三角形的判定（AA、SAS、SSS、HL），能在网格、位似图形中识别并证明相似 · 灵活运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应高/中线/角平分线成比例、面积比等于相似比平方） · 能综合特殊四边形、折叠、旋转与动点背景，建立相似模型解决线段比、最值与多结论压轴题 · 理解相似多边形与位似图形，能利用相似解决影长、测距等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.成比例线段、比例性质与黄金分割 四条线段a,b,c,d成比例记为a:b=c:d，基本性质：ad=bc；合比、等比性质用于比例变形 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC（AC>BC），若AC:AB=BC:AC=≈0.618，称黄金比 黄金三角形（顶角36°等腰）、黄金矩形是常见模型，底与腰之比为黄金比 重心：三角形三条中线交点到顶点距离是到对边中点距离的2倍 概念辨析例题：已知线段AB=10，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），则AC的长为____ 答案：5 解析：AC=×AB=×10=5(=5。 ☆ 2.平行线分线段成比例与相似三角形的判定 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 相似三角形判定：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似（A型、X型） 两角分别相等(AA)、两边成比例且夹角相等(SAS)、三边成比例(SSS)、斜边直角边(HL)均可判定相似 网格相似：利用勾股定理计算三边，验证三边比是否相等；位似是特殊位置的相似 概念辨析例题：在△ABC中，DE∥BC，D在AB上、E在AC上，若AD:DB=2:3，则AE:EC=____ 答案：2:3 解析：由DE∥BC，平行线分线段成比例，AE:EC=AD:DB=2:3。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比k是对应边的比 对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比k 周长比等于相似比k；面积比等于相似比的平方k2 射影定理：Rt△斜边上的高分原三角形为两个小直角三角形，每直角边的平方等于它在斜边上的射影乘斜边 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的周长比为____，面积比为____ 答案：2:3；4:9 解析：周长比=相似比=2:3；面积比=相似比的平方=22:32=4:9。 ☆ 4.相似多边形、位似与实际应用 相似多边形对应角相等、对应边成比例，面积比等于相似比平方；矩形纸张对折后长宽比不变即相似 位似图形：对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边平行，位似比等于相似比 影长测距：同一时刻物高与影长成正比，把实际问题抽象为相似三角形 动点最值：利用相似把目标线段转化为已知定线段的比，结合胡不归、阿氏圆等模型 概念辨析例题：同一时刻，身高1.6m的人影长2m，一棵树影长8m，则树高为____ 答案：6.4m 解析：物高与影长成正比，树高:8=1.6:2，树高==6.4m。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例基本性质 a:b=c:d ⇔ ad=bc 单位要统一 黄金分割比 ≈0.618 较长段占全长比 平行线分线段 平行截对应线段成比例 A、X两型要辨清 相似判定AA 两角分别相等即相似 最常用判定 相似比k 对应边之比 注意顺序k与1/k 周长比 等于相似比k 线段比都是k 面积比 等于k2 不要漏平方 位似 对应顶点共点、边平行 位似中心位置 ⚠️ 核心考点 【考点1】成比例线段与黄金分割（第1-5题） · 比例变形用基本性质ad=bc与合比、等比性质，设公比k简化计算 · 黄金分割牢记，黄金三角形顶角36°、底角72° · 重心分中线为2:1，结合平行截线把所求比转化为已知线段比 · 无刻度直尺作图利用平行、中点构造比例关系 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，平行四边形中，E为上一点，交于点F．已知，则下列判断错误的是（   ）    A．与的周长比为 B．与四边形的面积比为 C．若连接，则与不相似 D．若题中条件“”改为“点E为边的黄金分割点，”，则 2．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ______． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 5．（20-21九年级下·江西南昌·阶段检测）已知正方形和中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中作的中点； (2)在图2中作的三等分点． 【考点2】相似三角形的判定与位似网格（第6-10题） · 优先找两组角相等(AA)，直角、等腰、平行背景天然提供等角 · 网格题用勾股算三边，验证三边比是否一致判定相似 · 位似是特殊位置相似，对应顶点连线过位似中心，注意同向/反向位似 · Rt△用HL或两锐角关系判定，斜边高模型隐含多个相似三角形 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________．    8．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图①，的两条非直径的弦交于点H，且，连结． (1)求证：平分． (2)若，如图②，作交于的延长线交于交于N． ①若，求的值． ②若，求y关于x的函数关系式． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【教材呈现】下面是苏科版九年级下册53页的部分内容： 【问题模型】（1）.图1为6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A，B，C，D，E均在格点上，点E为与的交点，则的值为_____； 【类比应用】（2）.在图2、图3的6×6正方形网格，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列问题，保留作图痕迹： ①在图2中，在线段AB上确定一点F，使； ②在图3中，在边AC上找一点P，使得． 【深究应用】（3）.如图4，在中，，，，点M以每秒1个单位长度的速度从A向B移动．点N以每秒2个单位长度的速度沿的反向延长线从A开始移动．当M到达B点时．同时停止，连接与，两线段交于点E．连接，设M、N的运动时间为秒． ①求运动过程中的最小值； ②延长交边于点F（如图5），当点F是边的四等分点时，求此时的值． 【考点3】相似三角形的性质与计算（第11-24题） · 对应边成比例是核心，先找准对应关系再列比例式 · 面积比=相似比平方，由面积比反求线段比要开方 · 射影定理：直角边2=射影×斜边，高2=两射影之积 · 多结论题逐项验证，结合勾股定理、等腰等边性质判断线段比是否为定值 11．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，，过点C作交于点D，过点A作交于点E，与交于点F，过点E作分别交、于点G、H，点Q在上，连接交于点P，点P是的中点，连接．下面结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为___ ． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则___________. 16．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 17．（21-22九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在平行四边形的边上，延长交的延长线于点，交于点，若，则________． 18．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就直观地证明出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我国古代的“青朱出入图”就是其中一种．如图，在中，，四边形、四边形、四边形均为正方形，分别交于点F，D，交于点Q，点N在上，于点P．记“朱出”的面积为，记“青出”的面积为，若，则的值为 _________． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 20．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 21．（2026·重庆·模拟预测）为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图，若，点是中点，，求的面积； (2)如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 22．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 23．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段检测）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．求证：； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F．求证：． 24．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】 （3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点． ①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 【考点4】相似与特殊四边形、折叠与动点综合（第25-37题） · 正方形、矩形、菱形中找直角与等线段，构造A型、X型相似 · 折叠问题抓对应边相等、折痕为对称轴，再用相似列方程 · 动点最值把目标线段用相似比转化，结合两点之间线段最短 · 旋转问题抓旋转角与对应边，全等旋转后常接相似求比值 25．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 26．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 27．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·浙江温州·期末）在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 29．（2026·四川达州·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 30．（24-25九年级下·重庆万州·阶段检测）如图，正方形中，点E在上，，连接，以为边作正方形，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，延长交于点M，连接．下列结论：①是直角三角形；②；③当点M与点C重合时，；④平分正方形的面积；⑤．其中结论正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，点为矩形的对角线上异于，的一个动点，过点作于点，点为点关于的对称点，连接，．若，，当为直角三角形时，的长为______． 33．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 34．（24-25九年级下·山西吕梁·阶段检测）如图，在矩形中，点是边的中点，连接，，过点作，交于点，连接交于点．若，，则线段的长度为______． 35．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 36．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线运动，在边上以每秒3个单位的速度运动，在边上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边于点Q，以为底边作等腰三角形，使．设点P的运动时间为． (1)直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)用含t的代数式表示点D到边的距离． (3)当的一条直角边平分的腰时，求t的值． (4)当点D落在的平分线上时，直接写出t的值． 37．（2024·山东德州·三模）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转α（），得到矩形，连结． [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长． [探究2]如图2，连接，过点作交于点M．线段与相等吗？请说明理由． [探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明． 【考点5】相似多边形与实际应用（第38-45题） · 相似多边形对应边成比例，纸张对折、缩放问题抓长宽比不变 · 影长、测距问题抽象为相似三角形，物高与影长成正比 · 与二次函数综合时，先由相似表示关键点坐标，再代入解析式 · 定义新概念题（如旋似）紧扣新定义中的比例关系，转化为相似 38．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）下列四个命题中正确的是（   ） A．经过三个点可以确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 C．边长相等的多边形是正多边形 D．相似多边形面积的比等于相似比的平方 40．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，高为的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距（院墙厚度不计），上午的阳光和煦灿烂，樟树的影子爬过院墙，伸出院墙外的影子长1m，此时人的影子长恰好是人身高的两倍．求这棵樟树的高． 由题意，得． ， ． ， ． 设， 则，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 故这棵樟树的高为． 41．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． (1)【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示） (2)【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G． 证明：点G为边的中点； (3)【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值． 42．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 43．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 44．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 45．（25-26九年级上·北京·课后作业）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设是已知线段，以为边作正方形；取的中点E，连接；延长至点F，使；以线段为边作正方形，点H就是的黄金分割点． 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ 💯 课后巩固 复习建议 · 比例线段用基本性质ad=bc变形，黄金分割牢记0.618 · 相似判定优先找两组等角，网格题用勾股算三边比 · 相似性质：周长比=k，面积比=k2，对应线段比都是k · 四边形、折叠、动点综合先找A型X型相似，再列比例式 · 相似多边形与位似抓对应边成比例，实际问题抽象为影长模型 【作业1】．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（   ） A．56 B．24 C．26 D．38 【作业2】．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，，D为线段上一定点，且，则的长为__________． 【作业3】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，，是边上的高，，那么的长为_____________． 【作业4】．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【作业5】．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业6】．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，将沿折叠得到，延长交于点E，若，则的值为_______． 【作业8】．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为3，那么的面积是_____． 【作业9】．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【作业10】．（22-23九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 【作业11】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【作业12】．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点A是双曲线上一动点，轴于D，延长交双曲线于点B，轴交x轴于E，交的延长线于点C，则下列说法正确的个数是（     ） ①当时，四边形的面积是； ②当的面积是4时，； ③当k一定时，的值一定； ④当点A离原点O最近时，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业13】．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．当时，_______秒． 【作业14】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【作业15】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $